(Luận văn) một số tính chất hữu ích của đường cong hyperbol

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI lu an n va tn to p ie gh MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL d oa nl w an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI lu an MỘT SỐ TÍNH CHẤT HỮU ÍCH CỦA ĐƯỜNG CONG HYPERBOL n va p ie gh tn to d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC lu nf va an Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS TRẦN VŨ THIỆU z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2016 n va ac th si i Mục lục Danh sách hình vẽ iv lu an Chương ĐƯỜNG CONG HYPERBOL 1.1 Định nghĩa khái niệm 4 n va Mở đầu Phương trình chuẩn hyperbol Đường tiệm cận hyperbol Hyperbol với tâm điểm cho trước Quan hệ với đường cônic khác 13 18 Tính chất phản xạ hyperbol Một số tập ứng dụng 21 23 p ie gh tn to 1.2 1.3 1.4 1.5 d oa nl w 1.6 1.7 nf va an lu Chương ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPERBOL 33 2.1 Giới thiệu khái quát 33 34 38 38 39 2.4 Hyperbol Vật lý thiên văn 2.4.1 Khoa học không gian 2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời Hyperbol đời sống 40 40 42 43 Gương hyperbol Hệ thống định vị từ xa 43 44 m co l gm an Lu 2.5.1 2.5.2 @ 2.5 z at nh oi Hyperbol hàng hải Hyperbol kiến trúc, xây dựng 2.3.1 Kiến trúc 2.3.2 Năng lượng hạt nhân z lm ul 2.2 2.3 n va ac th si ii 2.6 2.5.3 Mơ hình hóa hyperbol 2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh Một số tập áp dụng 45 46 47 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách hình vẽ lu an n va Hyperbol 1.2 Vẽ Hyperbol 1.3 Hyperbol với tiêu điểm Ox 1.4 Hyperbol với tiêu điểm Oy 1.5 Đường tiệm cận hyperbol 1.6 Hyperbol với tiêu điểm Ox 1.7 Hyperbol với tiêu điểm Oy 1.8 Ví dụ 1.2a) 11 p ie gh tn to 1.1 Ví dụ 1.2b.) 11 w 1.9 12 oa nl 1.10 Ví dụ 1.2c) d 1.11 Tâm hyperbol điểm (h, k ) hai trường hợp: lu 13 nf va an trục thực nằm ngang trục thực nằm dọc 1.12 Tâm hyperbol điểm (h, k ) = (2, 2) lm ul 1.13 Các đường tiệm cận hyperbol tâm (h, k ) 14 14 15 1.15 Ví dụ 1.4.4 17 1.16 Đồ thị hyperbol Ví dụ 1.4.6 17 z at nh oi 1.14 Tìm phương trình chuẩn nhờ đường tiệm cận z @ 1.17 Tâm sai e lớn 18 gm 18 1.19 Thiết diện cônic 19 m co l 1.18 Tâm sai e nhỏ 20 1.21 Tính chất phản quang 22 an Lu 1.20 Tiêu điểm đường chuẩn đường cônic n va ac th si iv lu an n va 22 1.23 Hình tập 1.7.6 29 1.24 Hình tập 1.7.7 30 2.1 Sao chổi quanh mặt trời 34 2.2 Cung thiên văn St Louis 34 2.3 Xác định vị trí tàu 35 2.4 Hyperbol với d1 − d2 = 50 35 2.5 Xác định vị trí tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu 36 2.6 Xác định vị trí vụ nổ nhánh hyperbol 37 2.7 Hyperbolic paraboloid 38 2.8 Phần hyperbol vòm 38 2.9 Tháp làm mát hạt nhân 40 2.10 Phần hyperbol vỏ tháp 40 gh tn to 1.22 Góc tới góc phản xạ 41 p ie 2.11 Gương không gian 41 w 2.12 Sơ đồ gương 43 oa nl 2.13 Quỹ đạo chổi 43 d 2.14 Gương hyperbol lu 45 nf va an 2.15 Hệ thống định vị từ xa 45 2.17 Tiếng ồn máy bay 48 2.18 Bài tập2.6.3 48 2.19 Hạt chuyển động bị lệch hướng 50 2.20 Xác định vị trí vụ nổ 50 z at nh oi lm ul 2.16 Thiết diện hyperbol z 51 m co l gm @ 2.21 Hai tịa nhà hình hyperbol an Lu n va ac th si Mở đầu Các đường cơnic, nói riêng đường hyperbol, quen thuộc khoa học, trường phổ thông, đời sống Chúng mô hình cho nhiều trình vật lý diễn tự nhiên: quĩ đạo lu thiên thể hay quĩ đạo hạt điện tích (như electron) đường an cơnic, nói riêng số chổi chuyển động quanh mặt trời theo quĩ n va đạo nhánh hyperbol Trong thực tế, ta thường thấy số to gh tn cơng trình kiến trúc (nhà thờ, trung tâm văn hóa, cung thiên văn, tháp p ie cao làm mát nhà máy điện nguyên tử ) hay số đồ vật có hình dạng đường cong hyperbol, kỹ thuật cịn có thấu kính, gương oa nl w bánh cưa hình hyperbol, Như vậy, đường cong hyperbol có tính chất đáng ý, sử dụng nhiều d nf va thuật an lu toán học, vật lý, thiên văn, địa lý, kiến trúc, xây dựng kỹ lm ul Đề tài luận văn "Một số tính chất hữu ích đường cong hyperbol " có mục đích tìm hiểu trình bày tính chất đường cong hyperbol z at nh oi số ứng dụng đường hyperbol khoa học, kỹ thuật đời sống thường ngày Luận văn chủ yếu tìm hiểu định nghĩa, z gm @ khái niệm tính chất hyperbol, đặc biệt tính chất phản xạ (ánh sáng), cách biểu diễn đại số, dạng phương trình l hyperbol, , ứng dụng khoa học, kỹ thuật đời sống, đặc co m biệt tốn xác định vị trí tàu thuyền biển, vật bay không, an Lu xác định nơi xẩy tiếng nổ, , với số tập áp dụng đơn n va giản ac th si Luận văn viết dựa chủ yếu tài liệu tham khảo lấy từ nguồn Internet, không trùng lặp với tài liệu tiếng Việt có trước Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương "Đường cong hyperbol " trình bày định nghĩa khái niệm đường cong hyperbol, cách vẽ hyperbol, thiết lập phương trình dạng chuẩn hyperbol, đường tiệm cận hyperbol, cách vẽ đồ thị hyperbol, quan hệ hyperbol với đường cơnic khác tính chất phản xạ hyperbol Cuối chương, nêu số tập ứng lu dụng đường cong hyperbol an Chương "Áp dụng tính chất hyperbol " trình bày số ứng n va dụng thường gặp đường cong hyperbol kỹ thuật (sóng vơ tuyến, to tn thấu kính, gương, bánh răng), kiến trúc xây dựng cơng trình (lâu ie gh đài, nhà thờ, cung điện, tháp làm mát nhà máy điện hạt nhân ), quĩ p đạo hyperbol (vệ tinh, chổi) ngành thiên văn, địa lý, xác nl w định vị trí tàu thuyền (trên biển, khơng), nơi xẩy tiếng nổ Cuối d oa chương số tập ứng dụng an lu Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm nf va hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có lm ul theo chủ đề đặt với lập luận, diễn giải đơn giản, dễ hiểu với nhiều ví dụ hình vẽ minh họa phong phú, cụ thể z at nh oi Sau thời gian cố gắng nỗ lực làm việc nghiêm túc hướng dẫn thầy, GS TS Trần Vũ Thiệu, đến luận văn tơi z hồn thành Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành lời @ trình làm luận văn co l gm cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người ln tận tình giúp đỡ tơi suốt m Tôi xin chân thành cảm ơn GS, PGS, TS Khoa Toán- an Lu Tin, Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên Viện Toán học, Viện n va Công nghệ thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt ac th si Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi q trình tơi học tập nghiên cứu Tôi xin cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên tỉnh Yên Bái, nơi công tác giảng dạy, tạo điều kiện thuận lợi thời gian tinh thần để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, bạn bè anh chị em đồng nghiệp, người ln động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn lu an Thái Nguyên, tháng năm 2016 n va Học viên gh tn to p ie Nguyễn Thị Tuyết Mai d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương ĐƯỜNG CONG HYPERBOL Chương trình bày định nghĩa, khái niệm đường lu an cong hyperbol, cách vẽ hyperbol, phương trình chuẩn hyperbol, n va đường tiệm cận hyperbol tính chất phản xạ hyperbol Xét mối tn to liên hệ đường hyperbol với đường cônic khác (elip, parabol) Nội Định nghĩa khái niệm nl w 1.1 p ie gh dung chương tham khảo chủ yếu từ [1- 3] [5] nf va an lu dụng d oa Có nhiều định nghĩa hyperbol Sau định nghĩa thông Định nghĩa 1.1.1 Một hyperbol (hyperbola) tập hợp tất lm ul điểm P mặt phẳng cho giá trị tuyệt đối hiệu hai dương z at nh oi khoảng cách từ P tới hai điểm cố định mặt phẳng số Hai điểm cố định, ký hiệu F F , gọi hai tiêu điểm (focus) z gm @ Các giao điểm V V đường thẳng qua hai tiêu điểm hai nhánh hyperbol gọi đỉnh (vertices) Đoạn thẳng V V gọi l hyperbol (xem Hình 1.1) m co trục thực (transverse axis) Trung điểm trục thực gọi tâm (center) an Lu Để vẽ hyperbol ta dùng thước kẻ, bút chì, đinh ghim sợi n va dây (xem Hình 1.2) Cắm hai đinh ghim bìa cứng Những ac th si d e f oa nl Các đại lượng không thay đổi tịnh tiến gốc tọa độ quay hệ d trục tọa độ, nghĩa sau biến đổi tọa độ phương trình đường cong có lu nf va an dạng a0 x2 + 2b0 xy + c0 y + 2d0 x + 2e0 y + f = lm ul giá trị ∆, δ S , tính theo hệ số mới, giữ nguyên giá trị z at nh oi ban đầu Dạng đường cong biểu diễn phương trình bậc hai xác z định sau (xem Bảng 1.1) gm @ Tính chất phản xạ hyperbol m co l 1.6 Trong mục này, chúng tơi trình bày tính chất quan trọng hữu an Lu ích đường cong hyperbol Đó tính chất phản xạ (ánh sáng) n va gương hyperbol, ứng dụng nhiều thực tiễn ac th si 22 Bảng 1.1: Các đường cong bậc hai (thiết diện cônic) ∆ 6= 6= 6= 6= =0 =0 =0 =0 =0 δ 0 >0 0 =0 =0 =0 S Dạng đường cônic hyperbol parabol ∆.S < elip thực ∆.S > elip ảo Hai đường thẳng cắt điểm d − af < Hai đường thẳng song song ảo d2 − af = Hai đường thẳng d − af > Hai đường thẳng song song tách biệt lu an n va p ie gh tn to nl w Hình 1.22: Góc tới góc phản xạ d oa Hình 1.21: Tính chất phản quang lu x2 y − =1 a2 b với tiêu điểm F1 , F2 giả sử α β góc hai đoạn thẳng nf va an Mệnh đề 1.6.1 Giả sử P (x1 , y1 ) điểm hyperbol lm ul P F1 , P F2 tiếp tuyến với hyperbol điểm P , vẽ Hình 1.21 z at nh oi Hình 1.22 Khi α = β (Đó tính chất phản xạ hyperbol: Ánh sáng hướng tới tiêu điểm gương hyperbol phản xạ hướng tới tiêu điểm kia) z @ m co l gm Chứng minh Gọi F1 (−c, 0) F2 (c, 0), ta có hệ số góc đường y1 y1 thẳng F1 P F2 P , ( P khơng trùng x1 + c x1 − c F1 F2 nên x 6= ±c ) Lấy vi phân phương trình hyperbol, xem y n va 2x 2yy b2 x − =0⇒y = a2 b ay an Lu hàm ẩn biến x ta nhận ac th si 23 b2 x1 Khi hệ số góc tiếp tuyến với hyperbol điểm P Từ a y1 ta tính b2 x y 1 − 2 a y1 x1 + c