Đang tải... (xem toàn văn)
1 Mở đầu Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã hình thành và phát triển từ khá lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị đã xuất hiện từ những năm 30[.]
1 Mở đầu Lý thuyết đồ thị lĩnh vực nghiên cứu hình thành phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị xuất từ năm 30 kỷ XVIII nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sĩ Leonhard Euler Chính ơng người đề xuất mơ hình đồ thị sử dụng để giải toỏn ni ting v cõy cu thnh ph Kăonigsberg Từ đó, lý thuyết đồ thị ngày khẳng định vị trí quan trọng việc áp dụng để giải nhiều toán lĩnh vực Đồ thị mô tả quan hệ hai tập hợp cách trực quan sinh động: giúp mơ ta tốn phức tạp trở lên cụ thể, đơn giản Sơ đồ biểu diễn hệ thống tuyến bay hãng hàng không hình ảnh đồ thị Các đối tượng sân bay, đường bay thẳng biểu diễn mối liên hệ sân bay đầu cuối tuyến Các tính chất đồ thị biểu diễn ngơn ngữ đại số tuyến tính kết đại số tuyến tính thể trực quan đồ thị Ma trận khái niệm Đại số tuyến tính Ma trận có ứng dụng hầu hết lĩnh vực khoa học Ma trận có vai trị quan trọng lý thuyết đồ thị Có thể nói ma trận công cụ kết nối lý thuyết đồ thị đại số tuyến tính Trong phạm vi luận văn tốt nghiệp thạc sĩ chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp từ đề xuất hướng nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chúng tơi xác định đề tài “Một số tính chất ma trận áp dụng vào đồ thị” Với đề tài này, hy vọng làm rõ mối liên hệ đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị dựa biểu diễn ma trận nó, từ tìm ứng dụng Kết đề tài thể trình tập dượt nghiên cứu tơi Mục tiêu luận văn tìm hiểu liên hệ ma trận đồ thị, phổ đồ thị, từ góp phần làm rõ mối quan hệ đại số tuyến tính với lý thuyết đồ thị Nhiệm vụ nghiên cứu đặt khuôn khổ luận văn nghiên cứu lợi ích biểu diễn đồ thị dạng ma trận, từ sử dụng cơng cụ đại số nhằm tìm ứng dụng thực tế ma trận đồ thị Đối tượng nghiên cứu luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn biểu diễn đồ thị dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận có trọng số ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6]) Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày cách xây dựng đồ thị ma trận đại số khái niệm phổ đồ thị Chương Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép toán đồ thị Trên cở sở loại ma trận đồ thị hướng đến chứng minh định lí Kirchhoff Rõ ràng, việc tính số bao trùm đồ thị trực quan thường thời gian dễ gây nhầm lẫn, thiếu xót với định lí Kirrchoff từ cơng cụ đại số tác giả xây dựng nên cách tính số bao trùm đồ thị cách xác khoa học phần bù đại số ma trận Laplace Tiếp theo phép toán đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Áp dụng số tính chất ma trận vào đồ thị Tác giả trình bày ứng dụng sử dụng tính chất nêu chương hai Ứng dụng sử dụng định lý kirchhoff nhằm giải toán xây dựng mạng lưới đường sắt tàu hỏa cách kinh tế tối ưu Ứng dụng thứ hai thứ ba sử dụng tính chất phổ đồ thị để đếm số đồ thị xác định bậc quy tính hai phần Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở cho chương sau Trước tiên trình bày khái niệm đồ thị có hướng đồ thị vơ hướng, từ biểu diễn đồ thị dạng ma trận ý nghĩa Mục đích chương nhằm giới thiệu vài khái niệm lí thuyết đồ thị, đặc biệt phổ đồ thị Kiến thức chương sử dụng tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Khái niệm đồ thị phổ đồ thị 1.1.1 Khái niệm đồ thị Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị vơ hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn; E tập với phần tử tập hai phần tử V , E ⊆ {{u, v}|u, v ∈ V, u 6= v} Các phần tử V gọi đỉnh, tập đỉnh G ký hiệu V (G) Các phần tử E gọi cạnh, tập cạnh đồ thị vô hướng G ký hiệu E(G) Nhưng để đơn giản ta viết “đỉnh v ∈ V ” hay “cạnh e ∈ E” Cho a, b ∈ V , tồn e ∈ {a, b} e cạnh G với hai đỉnh đầu mút a, b hay a, b hai đỉnh liên thuộc với e Cạnh e = {a, b} thường ký hiệu ngắn gọn ab hay ba Trong luận văn này, ta xét tới đơn đồ thị, không xét tới đồ thị có khuyên đa đồ thị Do nhắc đến đồ thị, ta ngầm hiểu đơn đồ thị vơ hướng Có thể biểu diễn đồ thị cách trực quan sau: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cạnh biểu diễn đường cong (đường thẳng) nối đầu mút cạnh Ví dụ 1.1.2 Cho G = (V, E) với V = {a, b, c, d, f, g}; E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf } Khi biểu diễn đồ thị vơ hướng G: Hình 1.1: Đồ thị G Giả sử mạng lưới giao thông gồm trạm xe bus đường chúng, trạm ln có khơng q đường trực tiếp, khơng có đường quay vịng từ trạm tới Ta biểu diễn mạng lưới giao thơng mơ hình đồ thị sau: trạm đỗ xe đỉnh, đường trực tiếp hai trạm cạnh Ta có hình ảnh xác đồ thị Hình 1.2: Mạng lưới xe bus Các đường giao thông chạy theo chiều Chúng ta dùng đồ thị có hướng để mơ hình hóa mạng Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị có hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập hữu hạn, E tập tích Đề V × V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cung đồ thị vô hướng G Nếu (a, b) ∈ E (a, b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b có hướng từ a tới b Khi cho G = (V, E) đồ thị có hướng, cung (a, b) ∈ E thường ký hiệu ngắn gọn ab với a đỉnh đầu b đỉnh cuối; ba cạnh với b đỉnh đầu, a đỉnh cuối Biểu diễn đồ thị có hướng mặt phẳng trực quan tương tự biểu diễn đồ thị vô hướng: Các đỉnh V biểu diễn vòng tròn nhỏ (rỗng đặc), cung biểu diễn đường cong có hướng (với mũi tên) từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối Định nghĩa 1.1.4 Đồ thị có hướng vô hướng G = (V, E) gọi đồ thị có trọng số (hay thường gọi tắt trọng đồ) có hai hàm: f : V → WV g : E → WE xác định Ở Wv WE tập số Giá trị f (v) cho v ∈ V gọi trọng số đỉnh v, giá trị g(e) cho e ∈ E gọi trọng số cung hay cạnh e Người ta thường ký hiệu trọng đồ G = (V, E, f ) hay hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc hàm f , hàm g hay hai hàm f g xác định Trong khuôn khổ luận văn này, sử dụng tới G = (V, E, g) Biểu diễn đồ thị G = (V, E, g) có trọng số mặt phẳng ta biểu diễn đồ thị có hướng gắn giá trị trọng số tương ứng lên trực tiếp sát phía bên cạnh cung mang giá trị Ví dụ 1.1.5 Cho đồ thị có hướng có trọng số với V = {a, b, c, d, f, g}, E = {ad, db, dc, bc, cf, cg, gf }, g(ad) = g(dc) = g(gf ) = 3, g(db) = g(bc) = 2, g(cf ) = g(cg) = Khi biểu diễn đồ thị có trọng số G: Hình 1.3: Đồ thị có trọng số G 1.1.2 Phổ đồ thị Cho G đơn đồ thị vô hướng hữu hạn khơng có khun Giả sử đỉnh G gán nhãn 1, 2, , n Nếu đỉnh i j nối với cạnh ta nói i j kề viết i ∼ j Trước hết ta xem xét ma trận kề A đồ thị G định nghĩa sau: A = A(G) = (aij ), aij = i ∼ j trường hợp khác Do A ma trận đối xứng với phần tử đường chéo 0, phần tử khác lấy giá trị trường hợp bất kỳ, nhiên xuyên suốt luận văn phần tử xem số thực Một ví dụ đồ thị ma trận kề cho Hình 1.4 Hình 1.4: Một đồ thị gán nhãn G ma trận kề A Các giá trị riêng A số thực λ thỏa mãn Ax = λx với véc tơ khác không x ∈ Rn Mỗi véc tơ x gọi véc tơ riêng ma trận A (hay đồ gán nhãn G) tương ứng với giá trị riêng λ Quan hệ Ax = λx mơ tả theo cách sau: x = (x1 , x2 , , xn )T λxu = X xv (u = 1, 2, , n), (1.1) v∼u tổng lấy qua tất đỉnh kề v đỉnh u Chúng ta ý hai hệ sau từ phương trình mà ta gọi phương trình giá trị riêng G Vì A ma trận đối xứng thực, giá trị riêng số thực Chúng ta thường ký hiệu giá trị riêng λ1 , λ2 , , λn trừ trường hợp khác, giả sử λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn Khi cần, sử dụng ký hiệu λi = λi (G) (i = 1, 2, , n) Định nghĩa 1.1.6 Tập giá trị riêng ma trận kề A đồ thị G gọi phổ đồ thị G Giá trị riêng lớn λ1 (G) gọi số (index) G Với số P nguyên k ≥ 0, moment phổ thứ k G ni=1 λki ký hiệu sk Chú ý sk tổng đường chéo Ak n moment phổ xác định phổ G Mệnh đề 1.1.7 ([2], [4]) Nếu đồ thị G có bậc lớn ∆(G) |λ| ≤ ∆(G) với giá trị riêng λ G Chứng minh Với ký hiệu trên, đặt u đỉnh mà |xu | cực đại Sử dụng Phương trình (1.1), có: |λ||xu | ≤ X |xu | ≤ |∆(G)||xu | v∼u Vì xu 6= 0, mệnh đề chứng minh Mệnh đề 1.1.8 ([2], [4]) Đồ thị G quy bậc r tất véc tơ véc tơ riêng G (với giá trị riêng tương ứng r) Nếu λ giá trị riêng A tập {x ∈ Rn : Ax = λx} không gian Rn gọi không gian riêng λ ký hiệu ε(λ) εA (λ) Các không gian riêng λ gọi không gian riêng G Tất nhiên, việc gán nhãn đỉnh G dẫn đến hoán vị tọa độ véc tơ riêng (và khơng gian riêng) Vì A ma trận đối xứng nên chéo hóa ma trận trực giao Vì không gian riêng trực giao đôi cách ghép với sở trực chuẩn không gian riêng thu sở trực chuẩn Rn gồm véc tơ riêng Ngoài ra, số chiều εA (λ) bội λ nghiệm PG (x) Nói cách khác, bội hình học (geometry multiplicity) λ tương tự bội đại số λ; đề cập đến bội λ Một giá trị riêng đơn giá trị riêng có bội Nếu G có giá trị riêng phân biệt µ1 , , µm tương ứng với bội k1 , , km , viết µk11 , , µkmm phổ G (Chúng ta thường bỏ sót trường hợp Ki 1) Ví dụ 1.1.9 Cho đồ thị G Hình 1.4, ta có x −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 x = x5 − 8x3 − 8x2 = x2 (x + 2)(x2 − 2x − 4) √ Giá trị riêng xếp theo thứ tự không tăng λ1 = + 5, λ2 = √ 0, λ3 = 0, λ4 = − 5, λ5 = −2 với véc tơ riêng độc lập tuyến tính √ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x1 = (1, 1, 1, 1, −1 + 5)T , x2 = (0, 1, 0, −1, 0)T , √ x3 = (1, − 1, 0, 0, )T , x4 = (1, 1, 1, 1, − 5)T , x5 = (1, −1, 1, −1, 0)T Chúng √ √ ta có ε(1 + 5) = hx1 i, ε(0) = hx2 , x3 i, ε(1 − 5) = hx4 i ε(−2) = hx5 i, ngoặc ký hiệu không gian sinh véc tơ ngoặc Ví dụ 1.1.10 Các giá trị riêng chu trình có độ dài n cos 2πj n (j = 0, 1, , n − 1) Để thấy điều này, ta quan sát ma trận kề có dạng A = P + P −1 P ma trận hốn vị xác định hốn vị vịng độ dài n Nếu ω bậc n đơn vị (1, ω, ω , , ω n−1 )T véc tơ riêng P với giá trị riêng tương ứng ω Vì giá trị riêng A số ω + ω −1 ω n = Vì giá trị riêng lớn (với bội 1) giá trị riêng lớn thứ hai cos 2π n (với bội 2) Giá trị riêng nhỏ −2 (với (n−1)π bội 1) n chẵn cos n (với bội 2) n lẻ Ví dụ 1.1.11 Đồ thị Petersen (Hình 1.5) có phổ 31 , 15 , (−2)4 Hình 1.5: Đồ thị Petersen Chúng ta nói hai đồ thị đồng phổ chúng có phổ giống Rõ ràng, đồ thị đẳng cấu đồng phổ (nói cách khác, phổ bất biến đồ thị) Tuy nhiên đồ thị có phổ giống khơng thiết đẳng cấu: đồ thị khơng đẳng cấu Hình 1.6(a) có phổ 21 , 03 , (−2)1 Đây ví dụ với số đỉnh Hình 1.6(b) đồ thị liên thông không đẳng cấu đồng phổ với số đỉnh nhất: đa thức đặc trưng chúng (x−1)(x+1)2 (x3 −x2 −5x+1) Các đồ thị khác đặc trưng phổ chúng với bất biến đại số chúng Hình 1.6: Hai cặp đồ thị đồng phổ không đẳng cấu Cho đồ thị G với tập đỉnh 1, 2, , n Gọi D ma trận đường chéo diag(d1 , , dn ), di bậc đỉnh i (i = 1, , n) Ma trận Laplacian đồ thị G ma trận D − A ma trận Laplacian không dấu ma trận D + A Ma trận Seidel G ma trận S = J − I − 2A, J ma trận kích thược n × n Vì phần tử vị trí (i, j) S i = j, −1 i ∼ j trường hợp khác Giống đồ thị quy biết, có lựa chọn ma trận từ quan điểm phổ đồ thị Giả sử G đồ thị quy bậc r A có giá trị riêng xếp theo thứ tự không tăng λ1 , , λn Từ Mệnh đề 1.1.7 1.1.8, ta có λ1 = r tất véc tơ gồm tồn mở rộng tới sở trực giao Rn gồm véc tơ riêng ma trận A, rI ± A J − I − 2A Khi D ± A có giá trị riêng r ± r, r ± λ2 , , r ± λn , S có giá trị riêng n − − 2r, −1 − 2λ2 , , −1 − 2λn Ví dụ 1.1.12 Cho đồ thị Hình 1.4 Các giá trị riêng ma trận Laplacian 5, 5, 3, 3, Các giá trị riêng ma trận Laplacian không dấu √ √ √ 1 (9 + 17), 3, 3, (9 − 17) giá trị riêng Seidel 3, (−1 + 17), −1, 2 √ −1, 21 (−1 + 17) Ma trận Seidel có liên quan đặc biệt tới graph switching (thường gọi Seidel switching): cho tập U đỉnh đồ thị G Đồ thị GU thu từ G sau Với u ∈ U, v ∈ / U đỉnh u, v kề GU chúng không kề G Giả sử G có ma trận kề G A(G) = AU B BT ! C , AU ma trận kề đồ thị cảm sinh U B T chuyển vị B Khi GU có ma trận kề T A(GU ) = AU B B C ! , 10 B thu từ B cách thay Khi G quy cơng thức dễ (Xem Ví dụ 1.1.9) Việc tìm kiếm điều kiện cần đủ U cho GU quy sau: Mệnh đề 1.1.13 ([2], [4]) Giả sử G quy với n đỉnh bậc r Khi GU quy bậc r U sinh đồ thị bậc k, |U | = n − 2(r − k) Chú ý đồ thị switching tập U tập đỉnh giống đồ thị switching hợp phần Đồ thị switching mơ tả dễ dàng từ ma trận Seidel S G: ma trận Seidel GU T −1 ST T ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thứ i i ∈ U −1 i không thuộc U Ta dễ dàng thấy đồ thị switching U V giống ˙ \U ) Ta thấy switching xác định quan switching (U \V )∪(V hệ tương đương đồ thị Chú ý đồ thị tương đương switching có ma trận Seidel tương tự có phổ Seidel giống Xét quan hệ phổ phổ Seidel đồ thị quy, có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.14 ([2], [4]) Nếu G GU quy bậc G GU có phổ giống 1.2 Ma trận kề Ma trận trọng số Xét đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V = {1, 2, , n} tập cạnh E = {e1 , e2 , , em } Ta gọi ma trận kề đồ thị G (0;1) - ma trận A = {aij : i, j = 1, 2, , n} với phần tử xác định theo quy tắc sau ( aij = 0, {i, j} ∈ /E aij = 1, {i, j} ∈ E, i, j = 1, 2, , n Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị hình vẽ: 11 Hình 1.7: Đồ thị vơ hướng G đồ thị có hướng G1 Lời giải Ma trận kề đồ thị vô hướng G là: 2 1 3 4 5 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Các tính chất ma trận kề 1) Rõ ràng ma trận kề đồ thị vô hướng đối xứng, tức aij = aji , i, j = 1, 2, , n Ngược lại (0,1) - ma trận đối xứng cấp n tương ứng, xác đến cách đánh số đỉnh (cịn nói là: xác đến đẳng cấu), với đồ thị vô hướng n đỉnh 2) Tổng phần tử dòng i (cột j) ma trận kề đồ thị vơ hướng bậc đỉnh i (đỉnh j) 3) Nếu ký hiệu apij , i, j = 1, 2, , n phần tử ma trận tích Ap = A | · A{z A} p 12 Khi apij , i, j = 1, 2, , n cho ta số đường khác từ đỉnh i tới đỉnh j qua p − đỉnh trung gian Ma trận kề đồ thị có hướng định nghĩa hồn tồn tương tự Ví dụ 1.2.2 Đồ thị có hướng G1 cho Hình 1.7 có ma trận kề ma trận sau 2 0 3 4 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Lưu ý ma trận đồ thị có hướng chưa ma trận đối xứng Trong trường hợp đồ thị có trọng số cạnh cung, thay ma trận kề, để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số C = cij : i, j = 1, 2, , n, với cij = cji , (i, j) ∈ E cij = θ, (i, j) ∈ /E số θ, tùy trường hợp cụ thể, đặt giá trị sau: 0, −∞, +∞ Ưu điểm lớn phương pháp biểu diễn đồ thị ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u, v có kề đồ thị hay không, phải thực phép so sánh Nhược điểm lớn phương pháp không phụ thuộc vào số cạnh đồ thị, ta phải sử dụng n2 đơn vị nhớ để lưu trữ ma trận kề 13 1.3 Ma trận liên thuộc Xét G = (V, E), (V = {1, 2, , n}, E = {e1 , e2 , , em }) , đồ thị có hướng Xây dựng ma trận B = (bij , i = 1, 2, , n, j = 1, 2, , m), bij = 1 tồn {i, j}, i < j 0 không tồn {i, j} −1 tồn {i, j}, i > j Ma trận B xây dựng quy tắc vừa nêu gọi ma trận liên thuộc đỉnh cung Ví dụ 1.3.1 Xét đồ thị cho hình vẽ sau: Hình 1.8: Đồ thị vô hướng −1 0 −1 0 −1 B = 1 Ma trận liên thuộc cách biểu diễn hay sử dụng toán liên quan đến đồ thị có hướng mà phải xử lý cung đồ thị 14 Chương Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị phép toán đồ thị Trong chương này, tơi trình bày khái niệm ma trận Laplace đồ thị, ma trận Laplace cạnh, ứng dụng định lý Kirchhoff đếm số bao trùm thông qua giá trị riêng ma trận Laplace đồ thị kết liên quan đếm toán đếm, sau phép tốn đồ thị Tơi tham khảo từ tài liệu [2], [4] - [6] 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất Định nghĩa 2.1.1 Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V tập hợp cạnh E + Ma trận kề AG = aij đồ thị G xác định ( aij := {i, j} ∈ E, {i, j} ∈ / E + Ma trận bậc DG = aij ma trận đường chéo định nghĩa: ( aij := deg (vi ) i = j, i 6= j 15 Khi đó, ma trận Laplace đồ thị G : LG định nghĩa LG = DG − AG Ví dụ 2.1.2 Cho đồ thị G hình vẽ Hình 2.1: Đồ thị G Khi đó: 1 AG = 1 1 1 0 1 0 DG = 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 −1 −1 Suy LG = −1 −1 −1 −1 −1 Nhận xét 2.1.3 Nếu đỉnh i ∈ G đỉnh lập hàng cột tương ứng ma trận Laplace [LG ]ij = 0, ∀i [LG ]ji = 0, ∀j Nhận xét 2.1.4 Nếu G H hai đồ thị với tập đỉnh tập cạnh rời LG∪H = LG + LH 16 Bổ đề 2.1.5 ([2], [4]) Ma trận Laplace hai đồ thị G H tổng trực tiếp LG LH LG∪H = LG ⊕ LH = LG 0 LH ! Chứng minh Xét đồ thị G ∪ v(H) = (VG ∪ VH , EG ) định nghĩa tương tự cho v(G) ∪ H Theo Nhận xét 2.1.3 ta có LG 0 LH LG∪v(H) = ! 0 LH Lv(G)∪H = ! Theo Nhận xét 2.1.4 ta có LG∪H = LG ⊕ LH = LG 0 LH ! Điều có nghĩa: ma trận Laplace tổng trực tiếp ma trận Laplace thành phần liên thông Định lý 2.1.6 ([2], [4]) [Hợp phổ rời nhau] Nếu LG có tập vectơ riêng (v1 , v2 , , ) với giá trị riêng (λ1 , λ2 , , λn ) LH có tập vectơ riêng (ω1 , ω2 , , ωn ) giá trị riêng (µ1 , µ2 , , µn ) Khi LG∪H có vectơ riêng: v1 ⊕ 0, v2 ⊕ , ⊕ 0, ⊕ ω1 , ⊕ ω2 , , ⊕ ωn với giá trị riêng: λ1 , λ2 , , λn , µ1 , µ2 , , µn Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.5 ta có: LG∪H = LG ⊕ LH = LG 0 LH ! suy LG∪H ∗ (v1 ⊕ 0) = LG 0 LH ! v1 ! = λ1 v1 ! 17 2.1.2 Ma trận Laplace cạnh Định nghĩa 2.1.7 Cho đồ thị G = (V, E), e ∈ E Lấy Le ma trận Laplace n đỉnh mà bao gồm cạnh e Ví dụ 2.1.8 Cho đồ thị G hình vẽ với E = {v1 , v2 , , } Hình 2.2: Đồ thị G Suy −1 0 −1 0 0 Le = 0 0 0 0 Do vậy, ta có biểu diễn Laplace cạnh e sau: ! Le = −1 −1 ⊕ Bởi tính cộng tính LG xác định cơng thức LG = X Le e∈E Ví dụ 2.1.9 Cho đồ thị G = (V, E), E = {1, 2, 3, 4}, V = {(1, 2), (1, 3), (1, 4)} hình vẽ: 18 Hình 2.3: Đồ thị G Khi −1 L(1,2) = 0 −1 0 0 0 0 , 0 L(1,4) 0 −1 0 0 L(1,3) = −1 0 = 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 Suy LG = X e∈E −1 Le = 0 −1 0 0 0 0 + 0 −1 0 −1 −1 −1 −1 −1 0 = −1 −1 0 −1 −1 0 0 + 0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 19 Nhận xét 2.1.10 L nửa xác định dương Thật ! −1 −1 Le = Vì −1 √ , √ 2 ! −1 = √ √1 − √1 −1 = 2 −√ T vectơ riêng ứng với giá trị riêng Sự phân tích cho ta hệ xT Le x = x1 , x2 ! −1 x −1 ! x2 = (x1 − x2 )2 Chú ý 2.1.11 Ma trận Laplace dạng bình phương, cụ thể T x LG x = x T X Le x = e∈E X T x Le x = e∈E X (xi − xj )2 i,j∈E Điều có nghĩa LG nửa xác định dương 2.1.3 Phân tích ma trận Laplace Nhận xét 2.1.12 LG = B T · B Chứng minh Giả sử [B T B]ij = ( cột thứ i B)( hàng thứ j B) = X (Bij )nj=1 = (Bij )ni=1 e Điều cho ba trường hợp • Khi i = j [B T B]ij = X X ((Bij )nj=1 )2 = e e liên thuộc = deg(i) vi • Khi i 6= j khơng tồn cạnh vi vj [B T B]ij = X (Bij )nj=1 (Bij )ni=1 = 0, e cạnh khơng liên thuộc tới vi vj 20 • Nếu i 6= j tồn cạnh e0 vi vj [B T B]ij = X (Be,vi )(Be,vj ) = (Be0 ,vi )(Be0 ,vj ) = −1 e 2.1.4 Định lý Kirchhoff Định lý 2.1.13 ([2], [4]) Giả sử L ma trận Laplace đơn đồ thị liên thông G với n đỉnh Khi đó, số lượng bao trùm G, kí hiệu t(G) xác định cơng thức n 1Y t(G) = λi n hay tG = Ckk (L) i=1 với λi giá trị riêng không âm LG (ma trận Laplace đồ thị G) Nhận xét 2.1.14 Ta thấy tổng phần tử hàng ma trận Laplace G Do đó, vectơ [1, 1, , 1]T vectơ riêng L với giá trị riêng Do giá trị riêng L không âm phải giá trị riêng nhỏ L 2.1.4.1 Hạng ma trận ma trận liên thuộc B Chú ý cột ma trận liên thuộc có xác giá trị giá trị (-1) Do đó, tổng thành phần cột Tên tổng tất vectơ hàng ma trận Do phụ thuộc tuyến tính Vậy hạng ma trận B phải nhỏ n Do có điều sau Hệ 2.1.15 ([2], [4]) Nếu G liên thông BG ma trận liên thuộc G rank(BG ) ≤ n − Bây xem xét ma trận H G k < n đỉnh mà rank(BH ) = k Điều có nghĩa hàng BH độc lập tuyến tính Do tồn cạnh e = (u, v) mà nối đỉnh H với đỉnh khơng thuộc H Nói cách khác, H khơng thể thành phần liên thơng G Do có điều sau Hệ 2.1.16 ([2], [4]) Nếu hạng ma trận liên thuộc BH n − với H ma trận (n − 1) đỉnh G G liên thơng ... cứu luận văn xoay quanh đồ thị hữu hạn biểu diễn đồ thị dạng ma trận là: ma trận kề, ma trận liên thuộc, ma trận có trọng số ma trận Laplace (xem [1-2], [4-6]) Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài... , n Gọi D ma trận đường chéo diag(d1 , , dn ), di bậc đỉnh i (i = 1, , n) Ma trận Laplacian đồ thị G ma trận D − A ma trận Laplacian không dấu ma trận D + A Ma trận Seidel G ma trận S =... [6] 2.1 Tính chất ma trận biểu diễn đồ thị 2.1.1 Ma trận Laplace đồ thị số tính chất Định nghĩa 2.1.1 Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với tập đỉnh V tập hợp cạnh E + Ma trận kề AG = aij đồ thị