(Luận văn) một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ NĂM lu an va n MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC p ie gh tn to nl w Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa Mã số: 8460113 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải z m co l gm @ an Lu n va THÁI NGUYÊN - 2018 ac th si i Danh möc h¼nh lu an n va p ie gh tn to 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 10 11 12 13 14 16 17 18 phÊi l lợn nhĐt 2013 20 21 24 25 26 28 29 30 32 33 d oa nl B i to¡n Malfatti Têng diằn tẵch cĂc hẳnh trỏn Malfatti khổng Nghiằm cừa bi to¡n Malfatti gèc Líi gi£i Ôi số Líi gi£i Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach Khi R = 21 ; a = sin α, b = sin β, c = sin γ Ph²p düng phö v  ph²p düng phö Ph²p düng bơng phƯn mÃm GeoGebra, nôm Bi toĂn A B i to¡n B nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 w B i to¡n Feuerbach Düng ÷íng trán Thebault nh lỵ Thebault Bờ sung tẵnh chĐt cõa t¥m I B i to¡n cì b£n a) P Q i qua I ; b) P Q i qua IC c) P Q i qua IA ; d) P Q i qua IB CĂc trữớng hủp cừa nh lỵ Thebault Tø b i to¡n Thebault án nh lỵ Feuerbach Mằnh à 1.3 nh lỵ Feuerbach ối vợi ữớng trỏn bng tiáp IMO 2012 m co 3.1 arbelos - h¼nh "con dao thđ èng gi¦y" 39 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos 41 3.3 nh lỵ Bankoff thù nh§t 42 an Lu n va ac th si ii 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Ba cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai nh lỵ Bankoff thự hai C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ C°p ÷íng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Cp ữớng trỏn thù b£y, thù t¡m Cp ữớng trỏn thự chẵn v cp thự m÷íi C°p thù m÷íi mët v  c°p thù m÷íi hai 43 45 46 47 48 49 50 51 52 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Mưc lưc lu Líi c£m ìn Mð ¦u Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach an n va p ie gh tn to 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.1.1 B i to¡n Feuerbach 1.1.2 B i to¡n Thebault 1.2 B i to¡n cì b£n 1.2.1 p dưng b i to¡n cì b£n chùng minh ành lỵ Thebault 1.2.2 Tứ nh lỵ Thebault án nh lỵ Feuerbach 1.3 p döng d oa nl w lu nf va an B i to¡n Malfatti z at nh oi lm ul 2.1 Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti 2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.3.1 CĂch dỹng Ôi sè 2.3.2 CĂch dỹng Ôi số-hẳnh hồc cừa Schellbach 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc 2.4.1 Hai bi toĂn Malfatti ối ngău 2.4.2 B i to¡n Malfatti cho tam gi¡c ·u v  hẳnh vuổng 2.4.3 Bi toĂn Malfatti cho ữớng trỏn z co l gm @ 4 12 14 17 20 20 22 24 24 26 31 31 34 37 38 m ữớng trỏn tiáp xúc h¼nh håc arbelos vi an Lu 3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n 38 n va ac th si iv 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos 3.2.2 CĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC 3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes arbelos 3.3.1 Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v  thù hai 3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù t¡m T i li»u tham kh£o 40 40 44 45 45 48 49 50 54 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si v BÊng kỵ hiằu lu an n va p ie gh tn to stt d oa nl Nởi dung kỵ hiằu TƠm ữớng trỏn Euler BĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp Ab ữớng trỏn i qua im A, B, C 11 ữớng trỏn tƠm O 17 TƠm, bĂn kẵnh ữớng trỏn Malfatti Ab 24 Hẳnh arbelos 22 Nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q 38 ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r 38 BĂn kẵnh ÷íng trán Archimedes 45 C°p ÷íng trán Archimedes ÷íng trán Bankoff h¼nh arbelos 46 47 nf va an lu 10 11 w Kỵ hiằu O9 a (ABC) (O) (OA , rA ) [ABC] (P Q) O(r) ab t= a+b (Wk ), (Wk0 ) (CXY ) z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si vi Líi c£m ìn lu an n va p ie gh tn to  hon thnh ữủc luên vôn mởt cĂch hon chnh, tổi luổn nhên ữủc sỹ hữợng dăn v giúp ù nhiằt tẳnh cừa PGS.TS Nguyạn Viằt HÊi, GiÊng viản cao cĐp Trữớng Ôi hồc HÊi Phỏng Tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc án thƯy v xin gỷi lới tri Ơn nhĐt cừa tổi ối vợi nhỳng iÃu thƯy  dnh cho tổi Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn o tÔo, Khoa ToĂn-Tin, quỵ thƯy cổ giÊng dÔy lợp Cao hồc K10B (2016 - 2018) Trữớng Ôi hồc khoa Hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo iÃu kiằn cho tổi hon thnh khâa håc Tỉi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nhĐt tợi gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới  luổn ởng viản, hộ trủ v tÔo mồi iÃu kiằn cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Xin trƠn trồng cÊm ỡn! d oa nl w lu nf va an H£i Pháng, th¡ng 10 nôm 2018 Ngữới viát Luên vôn z at nh oi lm ul Vơ Thà N«m z m co l gm @ an Lu n va ac th si M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn lu an n va p ie gh tn to C¡c b i to¡n v· ÷íng trán ln l  nhúng b i to¡n ữủc cĂc nh toĂn hồc quan tƠm NhiÃu bi toĂn và sỹ tiáp xúc cừa cĂc ữớng trỏn  gưn liÃn vợi tản tuời cừa cĂc nh toĂn hồc nhữ b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c bi toĂn và ữớng trỏn hẳnh hồc arbelos ("hẳnh dao cừa thủ õng giƯy") Sỹ dăn dưt tứ b i to¡n n y sang b i to¡n kh¡c còng c¡c ùng dửng cừa chúng  mang lÔi nhiÃu kát quÊ tuyằt với cừa hẳnh hồc Euclide  hiu biát thảm và cĂc cĂc ữớng trỏn tiáp xúc, khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cĂch xĂc nh chúng, Ăp dửng ữủc vo cĂc b i to¡n kh¡c, tỉi ¢ chån · t i "Mët sè bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc" Mửc ẵch cừa à ti l: -Tẳm hiu cĂc bi toĂn liản quan án cĂc ữớng trỏn tiáp xúc: bi toĂn Thebault, bi to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos - Trẳnh by mội bi toĂn vợi nhỳng nởi dung ữủc cêp nhêt, theo trẳnh tỹ: xuĐt cừa bi toĂn, cĂch giÊi quyát mợi cừa bi toĂn v cĂc bi toĂn liản quan - CĂc kát luên khoa hồc rút tø c¡c b i to¡n v  ¡p döng º gi£i to¡n hồc sinh giọi phờ thổng - Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh hồc giọi mổn H¼nh håc d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n à cƯn giÊi quyát Trẳnh by mởt cĂch hằ thống cĂc bi toĂn nõi trản, Ăp dửng ữủc cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn tiáp xúc vo cĂc bi toĂn khĂc Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach lu X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v  mèi li¶n h» giúa chóng B i to¡n Feuerbach l mởt nhỳng bi toĂn àp  nhĐt cừa hẳnh hồc phng Euclide trÊi qua nhiÃu nôm thĂng vợi nhiÃu cĂch chựng minh Chữỡng ny bao gỗm: an n va 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach tn to 1.2 B i to¡n cì b£n ie gh 1.3 p dưng p Ch÷ìng B i to¡n Malfatti w d oa nl Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti v  b i to¡n Malfatti gèc Tr¼nh b y chi ti¸t líi gi£i b i to¡n to¡n Malfatti cho tam giĂc bĐt ký, giÊi thẵch Ưy ừ tÔi cĂc ÷íng trán Malfatti khỉng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc v Ơu l nghiằm úng cừa bi toĂn õ Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: nf va an lu lm ul 2.1 Giỵi thi»u b i to¡n Malfatti 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti z at nh oi 2.2 Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc z 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc @ l gm Ch÷ìng ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos m co Hẳnh hồc arbelos nghiản cựu cĂc nỷa ữớng trỏn tiáp xúc, chỳ "arbelos" ữủc ghp tứ chỳ cĂi α, %, β, η, λ, θ, ς th nh (α%βηλθς ) Hẳnh arbelos l ba nỷa ữớng trỏn vợi cĂc ữớng kẵnh trản mởt ữớng thng Theo quan im trỹc quan, ngữới ta gồi arbelos l "hẳnh dao cừa thủ âng gi¦y" an Lu n va ac th si 40 Chùng minh Xem \ \ = h¼nh 3.1b) Ta câ c¡c gâc vuæng AU C = ADB b , D, b Vb cõa tù gi¡c CU DV ·u b¬ng 1v Suy \ CV B = 1v n¶n ba gõc U tự giĂc CU DV l hẳnh chỳ nhêt Bi toĂn 3.3 GiÊ thiát nhữ bi toĂn trản, õ ữớng thng U V l tiáp tuyán cừa hai nûa ÷íng trán (AC) v  (CB) Chùng minh Gåi O l  trung iºm CD Ta câ" \ \ \ AU C = 900 , U AC = 900 − U CA lu an n va tn to \ \ \ \ LÔi cõ U CD = 1v U CA nản AU C =U CD, vêy U O1 C ∆U CD \ \ \ v  suy U\ O1 C = U OD V¼ C, O, D th¯ng h ng n¶n CU O+U OD = 0 0 \ \ \ 180 hay U\ O1 C + U OC = 180 m  O CO = 90 n¶n O1 U C = 90 hay O1 U ⊥U O Nh÷ thá U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AC) tÔi U Hon ton tữỡng tỹ, U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (CB) tÔi V p ie gh 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos d oa nl w Ta xt nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp, phĂt biu v chựng minh mởt số tẵnh chĐt  tứ õ cõ cĂc cĂch dỹng ữớng trỏn nëi ti¸p mët Arbelos nf va an lu 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos nh nghắa 3.1 Cho Arbelos ABC ữớng trỏn tiáp xúc ngoi vợi z at nh oi lm ul (BC), (CA) tÔi X, Y v tiáp xúc vợi (AB) tÔi Z ữủc gồi l ữớng trỏn nởi tiáp cừa arbelos ABC Ba iºm X, Y, Z l  c¡c ti¸p iºm M»nh à 3.1 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC cõ bĂn k½nh @ Chùng minh Gåi ab(a + b) a2 + ab + b2 z ρ= co l gm l tƠm v l bĂn kẵnh ữớng trỏn nëi ti¸p , °t \ ωOO2 = θ Theo ành lỵ cổsin Ăp dửng vo O1 O, O2 O: m O1 ω = Oω + OO12 + 2Oω.OO1 cosθ an Lu O2 ω = Oω + OO22 + 2Oω.OO2 cosθ n va ac th si 41 lu an n va Hẳnh 3.2: ữớng trỏn nởi tiáp arbelos gh tn to tữỡng ữỡng vợi p ie (a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ)cosθ w (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 + 2a(a + b − ρ)cosθ oa nl Khû cosθ ta ÷đc d a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 + b2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 an lu nf va Khai triºn hai vá v giÊn ữợc ta ữủc phữỡng trẳnh bêc nhĐt èi vỵi ρ: a3 + b3 + 2(a2 + b2 )ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ hay ρ = ab(a + b) a2 + ab + b2 z at nh oi lm ul z Trong [5], P.Woo  ữa cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp cừa hẳnh arbelos rĐt ìn gi£n, t§t c£ ·u suy tø vi»c ph¡t hi»n im thuởc ữớng trỏn Ngay sau Ơy ta s trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Tứ õ suy cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh arbelos @ gm Mằnh à 3.2 (nh lỵ Bankoff thù nh§t) Gi£ sû Q1, Q2 l  trung iºm m co l nûa ÷íng trán (AC), (BC) Vợi kỵ hiằu nhữ nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC thẳ i, A, C, X, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q1 ii, B, C, Y, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q2 an Lu n va ac th si 42 lu an n va gh tn to p ie Hẳnh 3.3: nh lỵ Bankoff thự nhĐt w oa nl Chựng minh Xem hẳnh 3.3 Gåi D l  giao cõa nûa ÷íng trán ÷íng kẵnh d AB vợi ữớng thng CtAB Lữu ỵ r¬ng ta câ AB.AC = AD2 X²t ph²p nghàch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l (A, AD) Hai iºm B, C l  nghàch £o cõa nhau, cán AB l  ÷íng th¯ng k²p ƒnh cõa c¡c nûa ÷íng trán (AB), (AC) t÷ìng ùng l  c¡c ÷íng th¯ng `, `0 vuổng gõc vợi AB , lƯn lữủt i qua C v B Nỷa ữớng trỏn (AB) trỹc giao vợi AB (kp) nản cụng l nỷa ữớng trỏn kp ữớng trỏn nởi tiáp (XY Z) nghch Êo thnh ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (BC) v cĂc ữớng thng `, `0 tữỡng ựng tÔi im P, Y , Z Vẳ nỷa ữớng trỏn (BC) kp n¶n c¡c iºm A, X, P th¯ng h ng; c¡c iºm Y , Z , cƯn thọa mÂn iÃu kiằn º BP Z v  CP Y l  c¡c ữớng thng tÔo vợi AB cĂc gõc 450 Ta lÔi cõ ữớng thng BP Z i qua trung iºm L cõa ÷íng trán (AB) ƒnh nghàch £o cõa nâ l  ÷íng i trán i qua A, C, X, Z Vẳ php nghch Êo bÊo ton gõc nản ữớng trỏn ny cụng tÔo vợi AB gõc 450 Do â t¥m cõa nâ l  trung iºm Q1 cõa ữớng trỏn (AC) PhƯn thự hai hon ton tữỡng tỹ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 43 lu H¼nh 3.4: Ba c¡ch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC an n va ữớng trỏn nởi tiáp (XYZ) Chựng minh Xem hẳnh 3.4 b) Ta luæn câ A, X, Q2 th¯ng h ng, B, Y, Q1 p ie gh tn to M»nh · 3.3 CĂc ữớng thng AX, BY, CZ cưt tÔi iºm S tr¶n d oa nl w th¯ng h ng Gåi S = AQ2 ∩ (XY Z) v  x²t ph²p nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l A(AD) nh nghàch £o cõa S l  S = AQ2 ∩(Q2 Y Z ) 0 0Z = Q 0 0 \ \ \0 \ Lữu ỵ rơng AS S Z = Q2 Y Z = 45 = ABZ n¶n A, B, S , Z thuởc mởt ữớng trỏn Bơng cĂch xt Ênh nghch £o cõa ÷íng trán n y ta rót CZ chùa S Nâi c¡ch kh¡c AQ2 v  CZ c­t tÔi im S trản ữớng trỏn (XY Z) Cụng giống nhữ vêy ối vợi BQ1 v CZ nf va an lu lm ul M»nh · 3.4 Gåi M l  trung iºm cõa nûa ÷íng trán (AB) èi xùng z at nh oi vợi nỷa ữớng trỏn (AB) cừa arbelos ABC Khi â, c¡c iºm A, B, X, Y n¬m trản ữớng trỏn tƠm M v CZ i qua M Chùng minh Xem h¼nh 3.4 c) V¼ C, Q2, Y nơm trản ữớng thng tÔo vợi z m co l gm @ AB gâc 450 n¶n £nh nghàch £o cõa nâ l  mët ÷íng trán i qua A, B, X, Y cụng tÔo vợi AB gõc 450 TƠm cừa ữớng trỏn ny phÊi l trung im M cừa nỷa ữớng trỏn (AB) ối xựng vợi nỷa (AB) cõa arbelos qua AB Nèi M n¶n iºm A, Z , B, M \ = 450 = BZ \ AM , nâ c­t ` M Vẳ BAM ỗng viản Sỷ döng ph²p nghàch £o ta suy CZ i qua M an Lu n va ac th si 44 3.2.2 CĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC Ta cõ nhiÃu cĂch dỹng ữớng trỏn nởi táp mởt arbelos: C¡ch düng (Suy tø m»nh · 3.2), h¼nh 3.4 a)) - Düng Q1 , Q2 l  trung iºm c¡c nûa ÷íng trán (AB), (CB) - Düng ÷íng trán Q1 (Q1 A) cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (CB), (AB) lƯn l÷đt ð X, Y - Düng ÷íng trán Q2 (Q2 B) cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (AC), (AB) lƯn lữủt Y, Z lu - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng an n va CĂch düng (Suy tø m»nh · 3.3), h¼nh 3.4 b)) ie gh tn to - Düng X = AQ2 ∩ (CB), Y = BQ1 = ∩(AC), gåi S l  giao cõa c¡c ÷íng th¯ng AQ2 , BQ1 p - ÷íng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng nl w C¡ch düng (Suy tø m»nh · 3.4), h¼nh 3.4 c)) d oa - Düng M l  trung im nỷa ữớng trỏn ối xựng vợi nỷa ữớng trán (AB) Arbelos an lu nf va - Düng ÷íng trán M (M A), nâ c­t c¡c nûa ÷íng trỏn (CB), (AC) lƯn lữủt X, Y lm ul z at nh oi - Düng ÷íng th¯ng M C , nâ c­t nûa ÷íng trán (AB) ð Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng z Ta lÔi thĐy rơng tƠm cừa (XY Z) chẵnh l giao cừa cĂc ữớng thng nối X, Y, Z lƯn lữủt l tƠm cĂc nỷa ữớng trỏn (BC), (AC), (AB) Tuy nhiản ta cõ th dỹng tƠm mởt cĂch ỡn giÊn hỡn, bơng cĂch ch cƯn dỹng hai hẳnh vuổng (hẳnh 3.5) Ta kỵ hiằu tƠm cừa (XY Z) l  ω º sû döng v· sau m co l gm @ an Lu n va ac th si 45 lu Hẳnh 3.5: CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp an n va gh tn to 3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes arbelos p ie CĂc cp ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt giống cp ữớng trán Archimedes ÷đc ph¡t hi»n v  cỉng bè nhi·u cĂc bi bĂo khoa hồc gƯn Ơy Cp ữớng trỏn thự nhĐt chẵnh Archimedes tẳm ra, chựng minh ữủc chúng cõ bĂn kẵnh bơng khổng phử thuởc vo v trẵ cừa im C trản AB oa nl w d 3.3.1 C°p ÷íng trán Archimedes thù nhĐt v thự hai Mằnh à 3.5 (nh lỵ Archimedes) Hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi CD, nf va an lu Chùng minh X²t z at nh oi lm ul vợi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v mởt hai nỷa ữớng trỏn O1(a), O2(b) cõ bĂn kẵnh t = a ab khổng phử thuởc vo v trẵ cừa C trản AB +b z ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc nỷa ữớng trỏn O(a + b), O1 (a) v CD Kỵ hiằu t l bĂn kẵnh ữớng trỏn Bơng cĂch tẵnh khoÊng cĂch tứ tƠm ữớng trỏ ny tợi AB theo cĂch ta cõ phữỡng trẳnh @ l gm (a + b − t)2 − (a − b − t)2 = (a + t)2 − (a − t)2 m co ab a+b Do t½nh èi xùng cõa biu thực ối vợi a, b ta suy ữớng trán thù hai cơng câ b¡n k½nh t Tø â, t = an Lu n va ac th si 46 lu an Hẳnh 3.6: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v  thù hai n va ie gh tn to Hai ữớng trỏn nõi trản l cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt Php dỹng ữớng trỏn Archimedes ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau p - Dỹng Q1 , Q2 l trung iºm nûa ÷íng trán (AB) v  CB w oa nl - Düng K = O1 Q2 ∩ O2 Q1 , th¼ K ∈ CD v  KC = ab = t - bĂn kẵnh cừa cĂc ữớng trỏn Archimedes a+b d an lu KC = ab Chú ỵ r¬ng a+b nf va - Düng M1 , M2 ∈ AB cho CM1 = CM2 = KC z at nh oi lm ul - Düng W1 = O1 (O1 M2 ) ∩ M1 u vỵi M1 u⊥AB â l tƠm Archimedes thự nhĐt - Dỹng W10 = O2 (O2 1M1 ) ∩ M2 v vỵi M1 v⊥AB â l  t¥m Archimedes thù hai z m co l gm @ Trản hẳnh 3.6 ta kỵ hiằu (W1 ), (W10 ) Sau Archimedes ngữới ta tẳm ữủc ab khĂ nhiÃu cĂc cp ữớng trỏn cõ bĂn kẵnh v cõ tẵnh chĐt tiáp xúc a+b giống nhữ thá Chúng tổi s lƯn lữủt trẳnh by mởt số cp, cõ cÊ nhỳng cp ữủc phĂt hiằn nhỳng nôm gƯn Ơy Cp ữớng trỏn (W2 ), (W20 ) lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa (W1 ), (W10 ) lản AB â l  c°p ÷íng trán Archimedes thù hai, c¡c c°p ÷íng trán (W1 ), (W20 ) an Lu n va ac th si 47 câ ti¸p tuy¸n chung i qua B , cán c¡c c°p (W10 ), (W2 ) cõ tiáp tuyán chung i qua A, hẳnh 3.6 Cp n y ÷đc ph¡t hi»n bði C.W Dodge, cỉng bè tÔp chẵ Math Mag.,72(1999) lu an va n Hẳnh 3.7: nh lỵ Bankoff thự hai tn to ie gh Mằnh à 3.6 (nh lỵ Bankoff thự hai) GiÊ sỷ ữớng trán nëi ti¸p cõa p arbelos [ABC] ti¸p xóc hai nỷa ữớng trỏn (AC) v (CB) tữỡng ựng tÔi X,Y Khi â ÷íng trán i qua C, X, Y cơng cõ bĂn kẵnh bơng t = a ab +b oa nl w d Chùng minh Rã r ng ÷íng trán (CXY ) l ữớng trỏn nởi tiáp cừa tam nf va an lu gi¡c ωO1 O2 v  ωX = ωY = t, O1 X = O1 C = a, O2 Y = O2 C = b Nûa chu vi cõa tam gi¡c CO1 O2 b¬ng (a + b)2 ab(a + b) = a + b + t = (a + b) + a + ab + b2 a + ab + b2 S BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ữủc tẵnh theo cổng thực r = p s r ab abt ab.ab(a + b) r= = = a+b+t (a + b)3 a+b z at nh oi lm ul z @ gm â ch½nh l  b¡n kẵnh t cừa ữớng trỏn Archimedes m co l ữớng trỏn CXY õ cõ tản gồi l ữớng trỏn Bankoff, hẳnh 3.7 Kát quÊ ny ch mối quan hằ giỳa ữớng trỏn nởi tiáp arbelos v ữớng trỏn Bankoff (cụng l ữớng trỏn Archimedes) ỗng thới ữớng trỏn Bankoff lÔi l ữớng trỏn nởi tieps cừa tam giĂc ωO1 O2 an Lu n va ac th si 48 3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù tữ lu Hẳnh 3.8: Cp ữớng trỏn Archimedes thự ba v  thù t÷ an n va p ie gh tn to Kỵ hiằu thảm I l trung im cung AB ữớng vuổng gõc vợi AB , i qua O, C lƯn lữủt cưt Q1 Q2 I, J Khi â ta câ CJ = 2t v  v¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 nản theo tẵnh chĐt ữớng trung bẳnh h¼nh thang ta câ: OI = (a + b) − 2t Ko theo II = 2t lữu ỵ rơng OQ1 = OQ2 v vẳ I v J lÔi ối xùng qua trung iºm cõa Q1 Q2 n¶n câ JJ = II = 2t Tø â suy ra: hai ữớng trỏn tƠm (W3 ), (W30 ) mội ữớng trỏn i qua I, J v tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt cừa arbelos Ãu cõ bĂn kẵnh bơng t õ l cp ữớng trỏn Archimedes thự ba cừa arbelos [ABC], xem hẳnh 3.8a Cp ny ữủc phĂt hiằn bi Thomas Schoch, Germany Nôm 1970 T.Schoch  lữu ỵ rơng cõ rĐt nhiÃu ữớng trỏn Archimedes hẳnh Arbelos ab GiÊ sỷ t = nhữ trản Náu U V l  ti¸p tuy¸n chung ngo i cõa hai a+b nỷa ữớng trỏn nhọ hẳnh arbelos v tiáp xúc vợi dƠy cung HK cừa nỷa ữớng trỏn lợn Gồi W4 = O1 W ∩ O2 U V¼ O1 U = a, O2 V = b v  O1 C a ab = n¶n W4 = = t i·u â nghắa l ữớng trỏn W4 (t) i CO2 b a+b qua C v tiáp xúc vợi HK im N Gåi M l  trung iºm cõa HK V¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 n¶n OM + CN = O1 U + O2 V = a + b Tø â suy (a + b) − OM = CN = 2t Ngh¾a l ữớng trỏn tiáp xúc vợi dƠy HK v cung HK cõ bĂn kẵnh t ữớng trỏn tƠm W40 ny tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) im Q Cp ữớng trỏn tƠm W4 (t), (W40 (t) gồi l cp ữớng trỏn Archimedes thự tữ, hẳnh 3.8b) d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 49 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu lu an n va Hẳnh 3.9: Cp ữớng trỏn Archimedes thù n«m v  thù s¡u ie gh tn to N«m 2005, Frank Power  phĂt hiằn cp ữớng trán Archimedes (W5 ), (W50 ) v  (W6 ), (W60 ), xem [3] p Mằnh à 3.7 ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) v tiáp oa nl w xúc vợi OQ1 Q1 (Hoc tiáp xúc vợi OQ2 Q2 ) cõ bĂn kẵnh t = a ab +b d Chùng minh Câ hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi OQ1 Q1, trản hẳnh 3.9 ta lu nf va an kỵ hiằu tƠm l W5 v W50 Xt ữớng trỏn tƠm W5 , b¡n k½nh r Ta câ c¡c tam gi¡c vng OQQ1 v  OW5 Q1 n¶n: z at nh oi lm ul OQ21 = O1 Q21 + OO12 = a2 + b2 , thay v o ¯ng thùc sau z OW52 = Q1 W52 + OQ21 ⇐⇒ (a − b − r)2 = (a2 + b2 ) + r2 ab T½nh to¡n nhữ thá thu ữủc (W50 ) cụng cõ bĂn kẵnh t Tø â, r = a+b Ho n to n t÷ìng tü, ta câ th¶m c°p (W6 ), (W60 ) @ m co l gm C°p ÷íng trán (W5), (W50 ) v  (W6), (W60 ) cán ÷đc gåi l  c°p ÷íng trỏn kiu Pewer Ta s giợi thiằu thảm cp nhữ vêy an Lu n va ac th si 50 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù tĂm Gồi M l trung im cừa CD, kỵ hiằu im xuyản tƠm ối cừa ữớng kẵnh ữớng trỏn CD, vng gâc vỵi OM v  U1 , U2 Chú ỵ rơng OC = (a b)2 v vẳ CD = ab nản OD2 = a2 − ab + b2 v  OU12 = a2 + b2 lu an n va p ie gh tn to oa nl w Hẳnh 3.10: Cp ữớng trỏn thự bÊy, thự tĂm d BƠy giớ xt cp ữớng trỏn bơng nhau, mội ữớng trỏn tiáp xúc O(a+b) v tiáp xúc vợi tÔi U1 v U2 BĂn kẵnh r cừa cĂc ữớng trỏn ny thọa mÂn (a + b − r)2 = OU12 + r2 Thay c¡c ng thự trản vo phữỡng trẳnh ab thu ữủc: r = Vêy ta cõ cp ữớng trỏn Archimedes thự b£y kiºu a+b Power (W7 ), (W70 ) B¬ng c¡ch lĐy ối xúng qua OM ta cõ cp ữớng trỏn Archimedes thù t¡m kiºu Power (W8 ), (W80 ), h¼nh 3.10 Hai c°p n y ÷đc ph¡t hi»n bði Floor van Lamoen (St Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands) N«m 2014, Dao Thanh Oai v  Tran Quang Hung cơng giợi thiằu cp ữớng trỏn Archimedes Forum Geometricorum: c°p (W9 ), (W90 ) v  0 c°p (W10 ), (W10 ) trản hẳnh 3.11 cừa Dao Thanh Oai; c°p (W11 ), (W11 ) v  c°p (W12 ), (W12 ) trản hẳnh 3.12 cừa Tran Quang Hung + b)2 Chựng minh rơng diằn tẵch IO1O2 bơng aab(a v + ab + b2 I c¡ch AB mët kho£ng b¬ng 2ρ nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu B i to¡n 3.4 n va ac th si 51 Bi toĂn 3.5 Chựng minh rơng cĂc tiáp im cừa I() vợi cĂc nỷa ữớng trỏn cõ th xĂc nh ơng cĂch: X,Z l giao cừa Q1(Q1A) vợi hai nỷa O1 (a), O(a+b), cán X, Z l  giao cõa Q2 (Q2 B) vỵi hai nûa O2 (b), O(a+b) lu an n va p ie gh tn to oa nl w d Hẳnh 3.11: Cp ữớng trỏn thự chẵn v c°p thù m÷íi an lu nf va B i to¡n 3.6 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A' B' l cĂc hẳnh chiáu z at nh oi lm ul vuổng gõc cừa D trản tiáp tuyán tÔi K v H cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB, tữỡng ựng CĂc ữớng trỏn ữớng kẵnh DA' v DB' l cĂc ữớng trỏn Archimedes Bi toĂn 3.7 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, gi£ sû A1A2 v  B1B2 l  ti¸p tuy¸n cõa hai ữớng trỏn (AC), (CB) vợi A1, B1 AB v  A1A2 = a, B1 B2 = b Gåi W10 = CQ1 ∩ A1 B2 , W10 = CQ2 B1 A2 Khi õ cĂc ữớng trỏn tƠm W10, W100 i qua C l  c¡c ÷íng trán Archimedes Bi toĂn 3.8 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, cĂc ữớng thng vuổng gõc vợi AB tÔi O1, O2 cưt (AB) tữỡng ựng tÔi E, F Kỵ hiằu W11 = AF ∩ 0 (AC), W11 = BE ∩ (CB) thẳ cĂc ữớng trỏn tƠm W11 , W11 tiáp xúc vìi CD l  c¡c ÷íng trán Archimedes z m co l gm @ an Lu n va ac th si 52 Bi toĂn 3.9 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, gi£ sû W12 l  giao cõa AD vỵi nûa ữớng trỏn (AO2) v W120 l giao cừa BD vợi nỷa ữớng trỏn (BO1 ) CĂc ữớng trỏn tƠm W12 v W12 tiáp xúc vợi CD l cĂc ữớng trán Archimedes lu an n va to p ie gh tn Hẳnh 3.12: Cp thự mữới mởt v cp thự m÷íi hai w B i to¡n 3.10 (÷íng trán cõa Schoch) ữớng trỏn C nởi tiáp d oa nl tam giĂc cong b giợi hÔn bi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v cĂc ữớng trỏn A(2a), B(2b) Chựng minh rơng C l  ÷íng trán Archimedes nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 53 Kát luên cừa luên vôn Luên vôn  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ sau lu Trẳnh by hai bi toĂn nời tiáng vợi hữợng chựng minh mợi: Bi to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach xu§t ph¡t tø b i to¡n cì b£n v  têng qu¡t hâa an n va ie gh tn to Tr¼nh b y líi gi£i b i toĂn Malfatti và dỹng ữớng trỏn v trẳnh by t÷íng minh v· nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc cịng ba b i to¡n kiºu Malfatti (cho tam gi¡c ·u, h¼nh vuổng v ữớng trỏn) p PhĂt biu v trẳnh b y líi gi£i mët sè b i to¡n v· ÷íng trán tiáp xúc hẳnh hồc Arbelos ữa cĂc kát quÊ và cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC v giợi thiằu 12 cp ữớng trỏn Archimedes cừa Arbelos CĂc kát quÊ ny mợi ữủc cổng bố cĂc bi bĂo gƯn Ơy: [2], [4], [5], [7] d oa nl w an lu nf va Chóng tỉi nhªn thĐy cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo: z at nh oi lm ul - Tẳm thảm và cĂc bi toĂn ựng dửng kát quÊ cừa cĂc nh lỵ luên vôn Tẳm hiu sƠu thảm và hẳnh hồc Arbelos z - Sỷ dửng cĂc php bián hẳnh thẵch hủp hoc phữỡng phĂp tồa ở  nghiản cựu sƠu và cĂc bi toĂn ang xt Mc dũ  rĐt cố gưng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, khiám khuyát TĂc giÊ rĐt mong sỹ gõp ỵ, bờ sung cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cừa cĂc ỗng nghiằp nhơm lm cho kát quÊ nghiản cựu hon chnh v cõ ẵch hỡn Xin chƠn thnh cÊm ỡn m co l gm @ an Lu n va ac th si 54 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t lu [1] Nguyạn BĂ ang, (2016), Nhỳng nh lỵ bi toĂn ¡p dưng, NXB Gi¡o dưc Vi»t nam h¼nh håc ph¯ng v  c¡c an n va Ti¸ng Anh p ie gh tn to [2] Kostandinov E., (2013) Malfatti's Problems, Meeting in Mathematics 2nd edition, Bulgarian Academy of Sciences oa nl w [3] Power F (2005), Some More Arechimedean Circles in the arbelos, Volume 5, 133-134, Forum Geometricorum d [4] Schellbach, (1998), Malfatti's Problem,1998 Volume 45, Crelle's Journal an lu nf va [5] Woo P Y., (2001), Simple Constructions of Volume 1,133-136, Forum Geometricorum the Incircle of an arbelos, lm ul z gm @ Ti¸ng Nga z at nh oi [6] Zalgaller V.A, Los G.A, (1994), The solution of Malfatti's Problem, Journal of Mathematical Sciences Vol 72, N0 (p3163-3177) m co åðáàõà, Êâàíị, Íỵìåð 11-1975 l [7] Ïðỵịàđỵâ  (1995), ấủỵựốồủ ợờúổớợủũố: ẻũ ềồỏợ ọợ ễồộ- an Lu n va ac th si