(Luận văn) một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ lu an va n MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC tn to p ie gh HÀM SỐ SƠ CẤP d oa nl w nf va an lu LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ lu an n va MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC p ie gh tn to HÀM SỐ SƠ CẤP d oa nl w LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC lu an Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp 60 46 01 13 nf va Mã số: z at nh oi lm ul NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2016 ac th si i Mục lục lu an n va Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ dãy số 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Một vài dãy số đặc biệt 3 tn to 10 10 16 22 24 28 28 35 37 42 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số 4.2 Một số dạng toán khác 46 46 57 p ie gh Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm lượng giác siêu việt d oa nl w nf va an lu Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số 3.1 Sử dụng tính đơn điệu bị chặn để tính giới hạn 3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn dãy số 3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn dãy số 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng z at nh oi lm ul dãy số z 62 l 63 m co Tài liệu tham khảo gm @ Kết luận an Lu n va ac th si Mở đầu Dãy số phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng ngành đại số giải tích tốn học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai lu an trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết n va phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáo to khoa trung học phổ thông, nội dung đề cập đến dãy số Vì học sinh gặp gh tn nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số tham gia ie thi học sinh giỏi cấp p Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán nl w quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán oa dãy số đề cập nhiều thường thuộc loại khó Các toán ước lượng; d xác định dãy số tính giá trị tổng, tích; tốn cực trị, xác định lu tương ứng nf va an giới hạn dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy lm ul Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu z at nh oi số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số toán liên quan Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số z Chương trình bày kiến thức liên quan đến dãy số @ gm Chương Một số phương pháp giải toán xác định dãy số l Chương trình bày tốn liên quan đến xác định số hạng tổng quát tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ hàm số logarit m co dãy số sinh hàm sơ cấp hàm đa thức, hàm phân thức hữu an Lu Chương Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số n va Chương trình bày số phương pháp xác định giới hạn dãy số ac th si phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange xác định giới hạn dãy tổng Chương Các dạng toán khác liên quan đến dãy số Chương trình bày số tốn liên quan đến tính chất dãy số nguyên, dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn thầy, tới thầy cô Ban giám hiệu, Phịng đào tạo Khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu lu thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành tạo điều kiện cho tác an n va giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập tn to ie gh Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2016 p Học viên d oa nl w lu nf va an Phùng Thị Thu Hà z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số lu an Trong chương này, tơi trình bày khái niệm dãy số gồm số định n va nghĩa định lý bản, vài dãy số đặc biệt số toán áp dụng tn to Dãy số, định nghĩa tính chất p ie gh 1.1 Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số oa nl w tự nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu d u:M→R lu nf va an n 7→ u(n) ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M lm ul Dãy số gọi vô hạn chúng có vơ hạn phần tử Dãy số gọi hữu dãy z 1.1.1 Dãy số đơn điệu z at nh oi hạn số phần tử dãy hữu hạn Phần tử ui gọi phần tử thứ i gm @ Dãy (un ) gọi đơn điệu tăng un ≤ un+1 , với n = 1, 2, l Dãy (un ) gọi đơn điệu giảm un ≥ un+1 , với n = 1, 2, co m Dãy (un ) gọi tăng thực un < un+1 , với n = 1, 2, an Lu Dãy (un ) gọi giảm thực un > un+1 , với n = 1, 2, Dãy đơn điệu tăng dãy đơn điệu giảm gọi chung dãy đơn điệu n va ac th si Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng dãy (xn + yn ) tăng • Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm dãy (xn + yn ) giảm • Nếu dãy (xn ) tăng dãy (−xn ) giảm, dãy (xn ) giảm dãy (−xn ) tăng • Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) tăng (giảm) dãy (xn yn ) tăng (giảm) • Một dãy số khơng tăng, khơng giảm Ví dụ dãy số (xn ) với xn = (−1)n , ∀n ∈ N lu 1.1.2 Dãy số bị chặn an n va Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho tn to un ≤ M, ∀n ∈ N∗ ie gh Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số m cho p un ≥ m, ∀n ∈ N∗ w oa nl Dãy (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn nghĩa tồn số M số m cho d nf va an lu m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ lm ul 1.1.3 Dãy số Cauchy N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε z at nh oi Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn z l gm @ dãy Cauchy 1.1.4 Dãy số tuần hoàn m co Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy số tuần hoàn (cộng va (1.1) n un+l = un , ∀n ∈ N an Lu tính) tồn số nguyên dương l cho ac th si Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.2 a) Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy dãy b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l lu Tương tự, ta có định nghĩa dãy tuần hồn nhân tính an n va Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho tn to (1.3) ie gh usn = un , ∀n ∈ N p Số nguyên dương s nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ nl w sở dãy oa Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên d dương s (s > 1) cho (1.4) nf va an lu usn = −un , ∀n ∈ N Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) gọi z at nh oi lm ul chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 z l gm Giới hạn dãy số @ 1.2 co Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a n dần tới m vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε ) an Lu cho với n > N0 ta có |un − a| < ε n va lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε n→+∞ ac th si Ta nói dãy số (un ) dần đến vơ n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un M ) cho với n > N0 ta có |un | > M lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M n→+∞ Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vơ n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.2 (xem [5]) Giả sử tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a) lim (un + ) = lim un + lim = a + b n→+∞ n→+∞ n→+∞ b) lim (un − ) = lim un − lim = a − b lu n→+∞ n→+∞ n→+∞ an c) lim (un ) = lim un lim = ab n→+∞ n→+∞ n→+∞ va un = n→+∞ n d) b 6= lim lim un n→+∞ tn to a = lim b n→+∞ gh Định lý 1.3 Nếu un ≤ , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ ie p a ≤ b nl w Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]) a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng bị oa chặn M tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≤ M n→+∞ d b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm bị chặn m tồn giới hạn hữu lu an hạn lim un = a a ≥ m n→+∞ nf va Nói ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ lm ul Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N n→+∞ Một vài dãy số đặc biệt z 1.3 n→+∞ z at nh oi lim = lim wn = a lim un = a n→+∞ l gm @ 1.3.1 Cấp số cộng m co Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số cộng ∀n ∈ N, un+1 = un + d an Lu tồn d ∈ R cho va u1 gọi số hạng đầu, d gọi công sai cấp số cộng n ac th si Tính chất 1.1 Dãy số (un ) cấp số cộng với cơng sai d i) un = u1 + (n − 1)d với n = 1, 2, ; uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , , un−1 , un Ta có ii) uk = u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với k = 2, 3, , n − iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Ta có Sn = [2u1 + (n − 1)d]n (u1 + un )n = 2 lu an 1.3.2 Cấp số nhân n va Định nghĩa 1.7 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số nhân to tn tồn q ∈ R cho ie gh ∀n ∈ N, un+1 = un q p u1 gọi số hạng đầu, q gọi công bội cấp số nhân nl w Tính chất 1.2 Dãy số (un ) cấp số nhân với cơng bội q d oa i) un = u1 q n−1 với n = 1, 2, ; an lu ii) u2k = uk−1 uk+1 với k = 2, 3, ; nf va iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Khi q 6= ta có lm ul Sn = u1 (q n − 1) q−1 z at nh oi Nhận xét 1.4 Nếu |q| < (un ) gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn tính theo cơng thức z S = u1 + u2 + u3 + · · · = co l 1.3.3 Cấp số điều hòa gm @ u1 1−q m Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Dãy số (un ) (un 6= với n ∈ N) thỏa mãn điều kiện n va gọi cấp số điều hòa 2un−1 un+1 , ∀n ∈ N∗ un−1 + un+1 an Lu un = ac th si f (c) |xn − x0 | ≤ ( − 1).|xn − x0 | √ z at nh oi lm ul Suy |xn − x0 | ≤ ( − 1)n−1 |x1 − x0 |, ∀n > √ n→+∞ n→+∞ 3π z Do lim ( − 1)n−1 = nên lim xn = @ l gm Bài tốn 3.14 Xét phương trình (trong n số nguyên dương) 1 1 + + ··· + + ··· + = x − 4x − k x−1 n x−1 m co (3.14) lớn 1, kí hiệu nghiệm xn an Lu a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình nêu có nghiệm n va b) Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn n → +∞ ac th si 41 Bài giải Viết lại phương trình tốn dạng: 1 1 + + ··· + + ··· + = − + x − 4x − k x−1 n x−1 Với n = 1, 2, 3, ta xét hàm số: 1 1 + + ··· + + ··· + fn (x) = − + x − 4x − k x−1 n x−1 a) Dễ thấy, với n ∈ N∗ , hàm số fn (x) liên tục nghịch biến khoảng (1; +∞) Hơn ta có lu lim fn (x) = +∞, lim fn (x) = − < + x→+∞ x→1 an n va Từ suy với n = 1, 2, phương trình fn (x) = có nghiệm b) Với n ∈ N∗ , ta có: fn (4) = − + =− + =− + =− + p ie gh tn to xn ∈ (1; +∞) d oa nl w nf va an lu 1 1 + + · · · + + · · · + 22 − 42 − (2k)2 − (2n)2 − 1 1 + + ··· + (2 − 1)(2 + 1) (4 − 1)(4 + 1) (2n − 1)(2n + 1) h   i 1 1 − + ··· + − 2−1 2+1 2n − 2n +   1 −1 < = fn (x) 1− = 2n + 2(2n + 1) lm ul Từ đó, fn (x) = nghịch biến (1; +∞) nên suy xn < 4, ∀n ∈ N∗ Mặt khác, với n = 1, 2, , hàm fn (x) có đạo hàm đoạn [xn ; 4] nên theo z at nh oi định lý Lagrange, suy với n ∈ N∗ tồn tn ∈ (xn ; 4) cho fn (4) − fn (xn ) n2 − − · · · − − 2(2n + 1)(4 − xn ) 2(2n + 1) 2(2n + 1) (3.16) m co 9 < xn < 4, ∀n ∈ N∗ mà lim − n→+∞ 2(2n + 1) 2(2n + 1) lim 4, nên sử dụng nguyên lý kẹp ta lim xn =  n→+∞ n→+∞  an Lu Từ (3.16) có − = = n va ac th si 42 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng Bài toán 3.15 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u1 = 10 (3.17) un+1 = u2 − 5un + 9, ∀n ∈ N∗ n Đặt = n P , ∀n ∈ N∗ Tìm lim n→+∞ u − k=1 k Bài giải Từ (3.17), ta có lu un+1 − = (un − 2)(un − 3) 1 ⇔ = − un+1 − un − un − 1 = − , ∀n ∈ N∗ ⇔ un − un − un+1 − an n va gh tn to Do n p ie n X w = X 1 = − uk − uk − uk+1 − k=1   = k=1 1 − , ∀n ∈ N∗ u1 − un+1 − nl d oa Mặt khác un+1 − un = (un − 3)2 > 0, ∀n ∈ N∗ nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy an lu (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a Từ (3.17), chuyển qua giới hạn ta nf va có a = a2 − 5a + ⇔ a2 − 6a + = ⇔ a = Điều vơ lý u1 = 10 dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ lm ul n→+∞ Vậy, z at nh oi 1 − lim = lim n→+∞ u1 − un+1 −  = 1 = u1 − z Bài toán 3.16 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:  x1 = p   (3.18) gm xn (xn + 3)(x2n + 3xn + 2) + 1, ∀n ∈ N∗ n va Từ giả thiết suy xn > 0, ∀n ∈ N∗ an Lu Bài giải m Tìm lim un n→+∞ i=1 xi + co n P l Đặt un = @ xn+1 = ac th si 43 Ta có xn+1 = p q = xn (xn + 3)(x2n + 3xn + 2) + (x2n + 3xn + 1) = x2n + 3xn + Xét xn+1 − xn = x2n + 3xn + − xn = (xn + 1)2 > 0, ∀n ∈ N∗ nên dãy (xn ) dãy tăng Nếu dãy (xn ) bị chặn dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn a Từ xn+1 = x2n +3xn +1 suy a = a2 + 3a + suy a = −1 (vơ lí) Do lim xn = +∞ n→+∞ Từ xn+1 = x2n + 3xn + suy xn+1 + = x2n + 3xn + = (xn + 1)(xn + 2) 1 1 = − xn+1 + (xn + 1)(xn + 2) xn + xn + 1 ⇒ = − xn + xn + xn+1 + ⇒ lu an va n ⇒ un = = n X to tn i=1 n X 1 = − xi + x i + xi +   i=1 = 1 − x1 + xn+1 + ie gh Suy  p lim un = lim n→+∞ n→+∞ 1 − x1 + xn+1 +  = d oa nl w Bài toán 3.17 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u1 = 2017 lu n P k=1 uk , ∀n ∈ N∗ Tìm lim n→+∞ + 2016 Bài giải Từ (3.19), ta có (un − 2016)(u3n + 2016) u4n + 20162 − 2016 = u3n − un + 4032 un (u2n − 1) + 2016 z un+1 − 2016 = z at nh oi lm ul Đặt = (3.19) u4n + 20162 , ∀n ∈ N∗ u3n − un + 4032 nf va an  un+1 = @ l gm Từ quy nạp ta chứng minh un > 2016, ∀n ∈ N∗ Ta có (un − 2016)(u3n + 2016) (u3n + 2016) − (un − 2016) n va 1 = − un+1 − 2016 un − 2016 un + 2016 an Lu Suy m co un+1 − 2016 = ac th si 44 hay u3n 1 = − + 2016 un − 2016 un+1 − 2016 Do = n X k=1 n X 1 = − uk − 2016 uk+1 − 2016 uk + 2016   k=1 1 − =1− = u1 − 2016 un+1 − 2016 un+1 − 2016 Mặt khác u4n − 4032un + 20162 (un − 2016)2 = > 0, ∀n ∈ N∗ u3n − un + 4032 u3n − un + 4032 un+1 − un = lu an nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a a4 + 20162 ⇔ a = 2016 Điều vô a3 − a + 4032 lý u1 = 2017 dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ n va Từ (3.19), chuyển qua giới hạn ta có a = tn to n→+∞ Vậy, lim = lim n→+∞ 1− un+1 − 2016  = p ie gh n→+∞  d oa nl w Bài toán 3.18 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u1 = u (3.20) u2016 n + un , ∀n ∈ N∗ 2016 an lu n+1 = nf va u2015 u2015 u2015 u2015 Đặt = + + + · · · + n Tìm lim n→+∞ u2 u3 u4 un+1 lm ul Bài giải z at nh oi Từ giả thiết suy un > 0, ∀n ∈ N∗ Ta có u2016 n > 0, ∀n ∈ N∗ 2016 z un+1 − un = @ gm nên dãy (un ) dãy tăng Nếu dãy (un ) bị chặn dãy (un ) có giới hạn a > 0, ta có n va 1 u2016 n − = un un+1 2016un un+1 an Lu 2016 m Từ un+1 − un = co n→+∞ u2016 n l a2016 + a ⇔ a = Điều vô lý 2016 u1 = dãy (un ) dãy tăng Do lim un = +∞ Từ (3.20), chuyển qua giới hạn ta có a = ac th si 45 Suy 1 2016 − un  un+1 = u2015 n un+1 Khi = n X u2015 1 1 − + − + ··· + = 2016 u1 u2 u2 u3 un+1 1 k k=1 uk+1 1 = 2016 u1 − un+1  Vậy, lim = lim 2016 − n→+∞ n→+∞   = 2016 −  un+1 un+1   = 2016 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 46 Chương Các dạng toán khác liên quan đến lu dãy số an n va to Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số p ie gh tn 4.1 nl w Trong phần này, ta xét số dạng tốn chứng minh tính chất dãy số d oa dãy số nguyên, dãy số tuần hoàn nf va an lu Bài toán 4.1 Cho dãy số (un ) xác định bởi:   u0 = 1, u1 = (4.1) Chứng minh rằng: z at nh oi lm ul  un+2 = 4un+1 − un , ∀n ∈ N a) un − số phương với n lẻ b) un − số phương với n chẵn z Nhận xét 4.1 Đây dạng toán phương trình sai phân tuyến tính cấp hai, @ gm song ta xét phương pháp chứng minh không sử dụng đến tính chất nguyên dương n ta thường sử dụng số hướng sau: m co l sai phân Để chứng minh dãy số (bn ) thỏa mãn bn số phương với số an Lu • Hướng 1: Ta tồn dãy số nguyên (cn ) thỏa mãn bn = c2n , ∀n ∈ N∗ Dãy số (cn ) thường dự đốn cách tính số giá trị đầu c1 , c2 , n va tìm quy luật dãy (cn ) ac th si 47 • Hướng 2: Ta chứng minh bn bn+2 số phương với số nguyên dương n, sau chứng minh quy nạp • Hướng 3: Dựa vào công thức truy hồi ta tính bn = c2n Bài giải a) Cách Ta dự đoán dãy số (cn ) cho u2n+1 − = c2n , ta có u1 = 2, u3 = 26, u5 = 362, u7 = 5042 suy lu an c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71 n va Khi ta thử thiết lập quan hệ truy hồi dãy (cn ) theo dãy tuyến tính cấp tn to hai p ie gh Giả sử cn+2 = acn+1 + bcn từ c0 = 1, c1 = 5, c2 = 19, c3 = 71, ta   5a + b = 19 a = ⇔ 19a + 5b = 71 b = −1 nl w oa  c0 = 1, c1 = d Do ta dự đoán dãy số (cn ) an lu cn+2 = 4cn+1 − cn , n = 0, 1, nf va Ta chứng minh quy nạp u2n+1 − = c2n , n = 0, 1, Thật (4.2) với n = z at nh oi lm ul (4.2) Giả sử (4.2) đến n, ta chứng minh (4.2) đến n + Ta có z u2n+3 − = 4u2n+2 − u2n+1 − = 4(4u2n+1 − u2n ) − u2n+1 − @ gm = 16u2n+1 − 4u2n − u2n+1 − = 15u2n+1 − (u2n+1 + u2n−1 ) − m co l = 14u2n+1 − u2n−1 − = 14(c2n + 1) − c2n−1 − − hay an Lu u2n+3 − = 12c2n − c2n−1 − 12 (4.3) n va ac th si 48 Theo hệ thức dãy tuyến tính cấp hai ta cn+1 cn−1 − c2n = −6 ⇒ (4cn − cn−1 )cn−1 − c2n = −6 ⇒ c2n + c2n−1 − 4cn cn−1 − = Ta có c2n+1 = (4cn − cn−1 )2 = 16c2n − 8cn cn−1 + c2n−1 = 16c2n − c2n + c2n−1 − + c2n−1
hay c2n+1 = 14c2n − c2n−1 − 12 (4.4) lu Từ (4.3) (4.4) suy u2n+3 − = c2n+1 an Do ta chứng minh (4.2) đến n + suy (4.2) n va Vậy un − số phương với n lẻ tn to Cách ie gh Ta có un+2 un − u2n+1 = 3, ∀n ≥ Từ hệ thức ta p (un+2 −1)(un −1) = un+2 un −un+2 −un +1 = u2n+1 +3−4un+1 +1 = (un+1 − 2)2 (4.5) nl w Từ hệ thức (4.5), phương pháp quy nạp suy un − số phương với oa số nguyên dương n lẻ d b) Ta chứng minh theo hướng sau: lu nf va an u2n+1 − 4un+1 +  un+1 − 2 un+2 − un − un+2 un − un+2 − un + = = = 6 36 36 u −1 Từ đẳng thức này, phương pháp quy nạp suy n số phương lm ul z at nh oi Bài toán 4.2 (TST Việt Nam 2012) Cho dãy số (un ) xác định sau:  u1 = 1, u2 = 2011 (4.6) un+2 = 4022un+1 − un , n = 1, 2, z u2012 + số phương 2012 gm @ Chứng minh l Bài giải n va un+2 = 2pun+1 − un , n = 1, 2, an Lu xác định sau:  u1 = 1, u2 = p m co Ta giải toán tổng quát sau: Cho p số nguyên dương lẻ dãy số (un ) ac th si 49 Chứng minh u2n + số phương với số nguyên dương n p+1 Cách Ta chứng minh theo hướng Ta tính vài giá trị u2 + u4 + u6 + = 1, = (2p − 1)2 , = (4p2 − 2p + 1)2 , p+1 p+1 p+1 Ta dự đoán u2n + = x2n , (xn ) dãy số xác định sau: p+1 x1 = 1, x2 = 2p − 1, · · · , xn+2 = 2pxn+1 − xn , n = 1, 2, Ta chứng minh kết phương pháp quy nạp Ta có xn+2 xn − x2n+1 = (−1)n−1 (x3 x1 − x22 )2 = 2p − lu ⇒ xn+2 xn = x2n+1 + 2p − an n va ⇒ (2pxn+1 − xn )xn = x2n+1 + 2p − tn to ⇒ x2n+1 + x2n + 2p − = 2pxn xn+1 ie gh Suy p x2n+2 = (2pxn+1 − xn )2 nl w =4p2 x2n+1 − 4pxn+1 xn + x2n oa =4p2 x2n+1 − x2n+1 + x2n + 2p − + x2n
d
nf va an lu = 4p2 − x2n+1 − x2n − 4p + Do lm ul u2n + − 4p + p+1 p+1
4p2 − u2n+2 − u2n + = p+1 u2n+4 + = p+1
u2n+2 + 4p2 − − z at nh oi z @ u2n+4 + = x2n+2 p+1 l gm Suy Cách co m Ta chứng minh theo hướng Trước hết ta có hệ thức sau an Lu un+2 un − u2n+1 = (−1)n−1 u3 u1 − u22 = 2p2 − − p2 = p2 −
n va ⇒ un+2 un = u2n+1 + p2 − ac th si 50 Ta có  = =  (p + 1)2 u2n+1 + p2 − + 2pun+1 + (p + 1)2  =  un+2 + un + p+1 p+1 un+2 un + un+2 + un + u2n+1 + p p+1 2 Từ đẳng thức này, phương pháp quy nạp ta u2n + số phương p+1 với số nguyên dương n lu an Bài toán 4.3 (China South East Mathematical 2011) Cho dãy số (un ) xác  u1 = u2 = n va định sau tn to un+1 = 7un − un−1 , n = 2, 3, gh p ie Chứng minh với số nguyên dương n ta có un + un+1 + số Bài giải nl w phương d oa Tính vài giá trị ta được: an lu u1 + u2 + = 22 , u2 + u3 + = 32 , u3 + u4 + = 72 , u4 + u5 + = 182 nf va Từ ta dự đoán un + un+1 + = x2n , dãy số (xn ) xác định sau: phương pháp quy nạp Ta có z at nh oi lm ul x1 = 2, x2 = 3, xn+1 = 3xn − xn−1 , n = 2, 3, Ta chứng minh dự đoán xn+1 xn−1 − x2n = ⇒ (3xn − xn−1 )xn−1 − x2n = ⇒ 3xn xn−1 = x2n−1 + x2n + z Theo công thức truy hồi dãy (xn ) ta được: m co x2n+1 = (3xn − xn−1 )2 = 9x2n + x2n−1 − 6xn xn−1 l gm @ = xn−1 + xn + xn + xn+1 + = xn+1 + 2xn + xn−1 + = 9(un + un+1 + 2) + un−1 + un + − 2(un+1 + 2un + un−1 + 9) n va Do x2n+1 = un+1 + un+2 + hay toán chứng minh an Lu = 7un+1 − un + 7un − un−1 + = un+2 + un+1 + ac th si 51 Bài toán 4.4 (Balkan MO 2002) Cho dãy số (un ) xác định sau:  u1 = 20, u2 = 30 un+2 = 3un+1 − un , n = 1, 2, Tìm tất số nguyên dương n cho + 5un un+1 số phương Bài giải Dễ thấy dãy (un ) dãy số tăng, suy với n ≥ ta có un + un+1 ≥ u4 + u5 > u3 + u4 = 250 (4.7) +) n ∈ {1, 2} không thỏa mãn lu + n = + 5u3 u4 = 2512 suy n = thỏa mãn an +) n ≥ 4, theo tính chất dãy tuyến tính cấp hai ta có: va n un+2 un = u2n+1 + (−1)n−1 (u3 u1 − u22 ) = u2n+1 + 500 to gh tn ⇒ (3un+1 − un )un = u2n+1 + 500 p ie ⇒ 3un+1 un = u2n+1 + u2n + 500 w ⇒ 5un+1 un + = (un+1 + un )2 + 501 d oa nl Giả sử + 5un un+1 số phương, + 5un un+1 = a2 , a ∈ N∗ Khi ta có an lu (un+1 + un )2 + 501 = a2 ⇔ (a − un+1 − un )(a + un+1 + un ) = 501 = 1.501 = 3.167  a = 251 a − un − un+1 = un + un+1 = 250 Trường hợp 2:  a + un + un+1 = 167  a = 85 ⇔ z un + un+1 = 82 (mâu thuẫn với (4.7)) gm @ a − un − un+1 = (mâu thuẫn với (4.7)) z at nh oi ⇔ lm ul Trường hợp 1:  a + un + un+1 = 501 nf va Ta xét trường hợp sau: Do với n ≥ + 5un un+1 khơng phải số phương l Vậy n = số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu toán an Lu n va 8u2n + 1, n ∈ N∗ m un+1 = 3un + co Bài toán 4.5 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u1 = p  ac th si