Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 I – PHẦN GHI KẾT QUẢ ( Thí sinh ghi kết vào tờ giấy thi ) Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Câu 2: a = an + 2017 Cho = 2017 n+1 với n ³ 1, n ẻ Ơ Tỡm a2018 Cõu 3: 2 Cho 4a + b = 5ab với b > 2a > Tính giá trị p= 5ab 3a + 2b Câu 4: Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi 200m , vận tốc vật thứ 4m / s , vận tốc vật thứ hai 6m / s Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (không kể lúc xuất phát) Câu 5: Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp {1;2;3; 4;5;6; 7} Câu 6: Giải phương trình 1- x + x + = Câu 7: Cho số a, b thỏa mãn a + 8b = 1- 6ab Tính a + 2b Câu 8: ìï b + c = a ï í ï ( a + b + c) = bc b > c ( ) Tìm số nguyên dương a , b , c , thỏa mãn ïïỵ Câu 9: Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; chu vi tam giác ABC 26 Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Câu 10: µ µ AC ( AC + BC ) Cho tam giác ABC có A = 30° ; B = 50°, cạnh AB = Tính II – PHẦN TỰ LUẬN ( Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi ) Câu 11: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com ìï y - x = ï í ïï ( x - y) = y - x Giải hệ phương trình ïỵ Câu 12: Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn ( O) với cạnh AB, AC , BC Gọi tâm O Gọi D , E , F tiếp điểm I giao điểm BO EF M điểm di động đoạn CE Gọi H giao điểm BM EF a) Chứng minh AM = AB tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp » ( O) , P Q lần b) Gọi N giao điểm BM cung nhỏ EF lượt hình chiếu N đường thẳng DE , DF Chứng minh PQ £ EF Câu 13: Cho x , y số ngun khơng đồng thời Tìm GTNN F = x +11xy - 5y ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí ………………… sinh:…………………………………………….….Số báo danh: LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: Tìm số cạnh đa giác lồi có 27 đường chéo Li gii ( n ẻ Ơ , n > 3) Ta có Gọi số cạnh đa giác lồi n , Þ n ( n - 3) = 27 n =9 Câu 2: (5,0 điểm) a = an + 2017 Cho a1 = 2017 n+1 vi mi n , n ẻ Ơ Tìm a2018 Lời giải Ta có a2 = a1 + 2017 = 2.2017 , a3 = a2 + 2017 = 3.2017 ,… Do a2018 = 2018.2017 = 4070306 Câu 3: (5,0 điểm) Cho 4a + b = 5ab Û với b > 2a > Tính giá trị Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: p= 5ab 3a + 2b2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải 2 Ta có 4a + b = 5ab Û ( a - b) ( 4a - b) = Do b > 2a > nên 20a2 P= = b = 4a Suy 3a + 32a Câu 4: (3,0 điểm) Hai vật chuyển động đường trịn có chu vi 200m , vận tốc vật thứ 4m / s , vận tốc vật thứ hai 6m / s Hai vật xuất phát thời điểm vị trí chuyển động chiều Hỏi sau 16 phút vật thứ hai vượt lên trước vật thứ lần? (không kể lúc xuất phát) Lời giải Gọi t thời gian để hai vật gặp tính từ lúc xuất phát Quảng đường vật đến lúc gặp S1 = v1t = 4t , S2 = v2t = 6t Vì hai vật chiều nên S2 - S1 = S Þ 6t - 4t = 200 Þ t = 100 (giây) Do sau 100 giây chúng gặp lần Vậy sau 16 phút = 960 giây chúng gặp số lần trước lần é960 ù ê ú= ê ë100 ú û Vậy vật thứ hai vượt lên Câu 5: (3,0 điểm) Có tam giác khác mà độ dài cạnh số tự nhiên (cùng đơn vị đo) thuộc tập hợp {1;2;3; 4;5;6; 7} Lời giải Số tam giác khác é( n +1) ( n + 3) ( 2n +1) ù é8.10.15 ù ê ú= ê = 50 ê ú ê 24 ú ú 24 ê ú û ë û ë Câu 6: (3,0 điểm) Giải phương trình 1- x + x + = Lời giải 1- x = a ; x + = b ³ é a=0 ê ìï a + b = ê - ± 17 ïí êa = ïïỵ a3 + b3 = Þ a ( a + a - 4) = Þ ê ë Ta có ĐKXĐ x ³ - Đặt ìï 15 ± 17 ü ïï S = ïí 1; ý ïï ïï ợ ỵ T ú tỡm c nghim ca phương trình cho Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu 7: (3,0 điểm) Cho số a, b thỏa mãn a + 8b = 1- 6ab Tính a + 2b Lời giải éx + y + z = ê ê x =y =z ë 3 Ta có x + y + z = xyz Þ 3 Do a + 8b = 1- 6ab Û Þ 3 a +( 2b) +( - 1) = 3a ( 2b) ( - 1) Þ éa + 2b - = ê êa = 2b =- ë é a + 2b = ê êa + 2b =- ë Câu 8: (3,0 điểm) ìï b + c = a ï í ï ( a + b + c) = bc b > c) ( a b c Tìm số nguyên dương , , , thỏa mãn ïỵ Lời giải 2 Ta có b + c = a ( b + c - 2) = ( a + 2) ( b + c) Þ - 2bc = a Þ ( b + c) - ( a + b + c) = a 2 Vì b > c ³ nên b + c - ³ b + c - = a + Þ b + c = ( b + c - 4) Þ Û ( b - 4) ( c - 4) = a = b +c - Þ Vì b - > c - ³ - nên có trường hợp sau ìï b - = ùớ ù c - =1 ị TH1: ùợ ỡù b = 12 ùớ ùùợ c = ị ỡù b - = ìï b = ïí ùớ ùùợ c - = ị ùùợ c = Þ TH2: Câu 9: (3,0 điểm) a = 13 a = 10 Biết khoảng cách từ trọng tâm tam giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; chu vi tam giác ABC 26 Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải Gọi độ dài cạnh BC = a , AC = b , AB = c Độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A , B , C x , y , z Khoảng cách từ trọng tâm tam x y z = = =k giác ABC đến cạnh tỉ lệ với số ; ; nên ta có Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mặt ax = by = cz = 2S ABC khác nên a c a c a +b +c = = = = = = = 24k 1 1 1 13 x y z 2k 3k 4k 12 k Suy a = 12 ; b = ; c = Câu 10: (3,0 điểm) µ µ AC ( AC + BC ) Cho tam giác ABC có A = 30° ; B = 50°, cạnh AB = Tính Lời giải Kẻ đường phân giác CD · · · Ta có ACB = 100° Þ BCD = ACD = 50° Suy tam giác BCD cân D Suy BD = DC AC AD = Lại có D ADC D ACB Þ AB AC Þ AC = AB.AD AC CD = Và AB BC Þ Suy AC.BC = AB.CD AC BC + AC = AB ( AD + CD) = AB ( AD + BD ) = AB = 12 AC ( AC + BC ) = 12 hay II – PHẦN TỰ LUẬN (Thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: (3,0 điểm) ìï y - x = ï í ï ( x - y) = y - x Giải hệ phương trình ïïỵ Lời giải Thay = 2y - x phương x3 - 2y ( 2y2 - x ) = y3 - x ( 2y2 - x ) x ( 5t - 2t - 2t - 1) = Û trình thứ liệu word mơn ta có x - 5y + x y + xy = Đặt y = xt Xét x = , thay vào phương trình thứ hai ta khơng thỏa mãn phương trình thứ Liên hệ tài 039.373.2038 hai tốn: y ( y + 2) = Þ y =0 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét 5t - 2t - 2t - = Û ( t - 1) ( 5t + 3t +1) = Û t = Do y = x , ìï x2 =1 ï í ï x ( x - 1) = Û x = ±1 ta có hệ phương trình ïïỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 12: ( x; y ) Î { ( - 1; - 1) ,( 1;1) } (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC ngoại tiếp đường trịn tâm O ( O) với cạnh AB, AC , BC Gọi Gọi D , E , F tiếp điểm I giao điểm BO EF M điểm di động đoạn CE Gọi H giao điểm BM EF a) Chứng minh AM = AB tứ giác BDHF , ABHI nội tiếp » ( O) , P Q lần b) Gọi N giao điểm BM cung nhỏ EF lượt hình chiếu N đường thẳng DE , DF Chứng minh PQ £ EF Lời giải Gọi K giao điểm BO DF Ta có tam giác IKF vng K Hình chữ nhật ADOE có OD = OE nên hình vng Suy 1· · DEF = DOE = 45° · Suy BIF = 45° a) Khi AM = AB tam giác AMB vuông cân A suy · · DBH = 45°= DFH Nên tứ giác BDHF nội tiếp Do năm điểm B , D , O , H , F thuộc đường · · trịn đường kính BO Suy BFO = BHO = 90° Þ OH BM , mà tam giác ABM vuông cân có AH phân giác nên AH BM Suy A , O , H thẳng hàng Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com · · Suy BAH = BIH = 45° Vậy tứ giác ABHI nội tiếp · · · b) Tứ giác PNQD nội tiếp suy NPQ = NDQ = NEF Tương tự ta có · · · NQP = NDP = NFE · · · NQP NDP NFE Suy D NEF D NQP Þ PQ NQ = £1 Þ EF NE PQ £ EF Dấu " = " xảy P trùng F , Q trùng E hay DN đường kính ( O) Câu 13: (3,0 điểm) Cho x , y số nguyên khơng đồng thời Tìm GTNN F = x +11xy - 5y Lời giải Đặt F = x +11xy - 5y = f ( x , y ) , m GTNN F f ( 0;1) = f ( 1; 0) = Þ Ta có m số nguyên m£ 2 Vì x , y số nguyên không đồng thời nên x +11xy - 5y ¹ hay F ¹ f ( x; y) = f ( 2n;2k ) = f ( n; k ) f ( 2n;2k ) Xét x = 2n ; y = 2k Ta có nên giá trị khơng thể GTNN Do GTNN F xảy x , y khơng chẵn, m số lẻ * Nếu m =1 suy tồn 100 x + 220 xy - 100 y = ±20 ( 10 x +11y) ,y x ( 10 x +11y) Û ( 10 x +11y) ± 20 = 221y M x +11xy - 5y = Û để - 221y = ±20 Û Suy chia 13 dư dư Mà số phương chia 13 có dư 0,1,3,4,9,10,12 Do vơ lý * Nếu m =3 tồn 100 x + 220 xy - 100 y = ±60 Û ( 10 x +11y) suy x,y để x = 11xy - 5y = ( 10 x +11y ) = ±60 = 221y 2 M3 Suy Û chia 13 dư dư Mà số phương chia 13 có dư 0,1,3,4,9,10,12 Do vơ lý Vậy GTNN F Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com …………… HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC