Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1: (4,0 điểm) A x x x 6 a) Rút gọn biểu thức b) Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1 x x 1 x 3 x Hãy tính giá trị biểu thức A x Bài 2: (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) (3,0 điểm) a) Cho hàm số: f a Tính b) Bài 3: f x x 12 x 31 2012 3 a 16 16 Tìm số tự nhiên n cho n 17 số phương? (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 3 b) x x 2 x Bài 4: (3,0 điểm) a) x y y x xy Tìm x; y thỏa mãn: b) 1; 2 thỏa mãn: a b2 c 6 Cho a; b; c số thuộc đoạn Hãy chứng minh rằng: a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK ; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh: KB CB BA AC HK AK b) Giả sử: Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com c) Giả sử S ABC 120 cm2 BAC 60 Hãy tính diện tích tam giác ADE ? ……………….HẾT…………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích thêm Họ tên thí ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word sinh:…………………………………………….….Số mơn tốn: báo danh: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1: (4,0 điểm) A x x x 6 a) Rút gọn biểu thức b) Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1 x x 1 x 3 x Hãy tính giá trị biểu thức (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) A x Lời giải A a) Rút gọn biểu thức x x x 6 x x 1 x 3 x ĐKXĐ: x 4; x 9 A x x = b) x x 2 x 1 x x 1 x x x x x x x x x 3 x x x x x x 1 x Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx 1 Hãy tính giá trị biểu thức A x Ta có: (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) xy yz zx 1 x xy yz zx x y x z x x z x z x y Tương tự: y y z y x , z z x z y Thay kết vào biểu thức A để tính Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số: Liên hệ tài 039.373.2038 liệu f x x 12 x 31 word mơn tốn: 2012 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Tính f a 3 a 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n 17 số phương? Lời giải a) Cho hàm số: Tính f a f x x 12 x 31 2012 3 a 16 16 3 Từ a 16 16 a 32 3 16 16 16 16 32 12 a nên a 12a 32 f a 1 Vậy b) Tìm số tự nhiên n cho n 17 số phương? 2 Giả sử: n 17 k ( k N ) k n k n 1 n 8 k n 17 k n k n 17 Vậy với n 8 thỏa mãn yêu cầu toán Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x 3 b) x x 2 x Lời giải a) ĐK: x 1 Bình phương vế: x x (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2 x 0 x x 4 x( x 3) 0 x (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm: x 0; x b) x x 2 x Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ĐKXĐ: x 3 x x 2 x x x 1 x 2 x 0 x 1 x 0 x 0 x x (thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm x Bài 4: (3,0 điểm) a) x y y x xy Tìm x; y thỏa mãn: b) 1; 2 thỏa mãn: a b2 c 6 Cho a; b; c số thuộc đoạn Hãy chứng minh rằng: a b c 0 Lời giải a) x y y x xy Tìm x; y thỏa mãn: ĐK: x 4; y 4 Ta có: x y y x xy x.2 y y.2 x xy Xét VP x.2 y y.2 x Theo BĐT Côsi: y 4 y y 4x x ;2 x 2 2 Vậy VP xy VT x 2 x y 8 y Dấu “=” xảy (thỏa mãn ĐK) b) 1; 2 thỏa mãn: a b2 c 6 Cho a; b; c số thuộc đoạn Hãy chứng minh rằng: a b c 0 1; 2 nên a 1 0; a 0 nên a 1 a 0 Do a; b; c số thuộc đoạn 2 Hay a a 0 a a Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 2 Tương tự b b 2; c c 2 2 2 Do a b c a b c Mà theo đề a b c 6 nên a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK ; BD; CE cắt H KC AC CB BA2 2 a) Chứng minh: KB CB BA AC HK AK b) Giả sử: Chứng minh rằng: tan B.tan C 3 c) Giả sử S ABC 120 cm2 BAC 60 Hãy tính diện tích tam giác ADE ? Lời giải a) Sử dụng định lý Pytago: A AC CB BA2 AK KC ( BK CK ) AB CB BA2 AC ( BK CK ) BA2 ( AK KC )2 D 2CK BK CK 2CK (CK BK ) CK = BK BK CK BK ( BK CK ) BK b) Ta có tan B E AK AK ; tan C BK CK B H K C nên tan B tan C AK 1 BK CK KC tan HKC B HKC KH Mặt khác ta có mà Nên tan B Tương tự 1 Từ KC KH tan C 2 KB KB.KC tanB.tan C KH Do KH tan B.tan C AK KH 2 HK AK Theo giả thiết nên tan B.tan C 3 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com S ABC AB S AD (3) ABC c) Ta chứng minh được: ADE đồng dạng vậy: ADE ABD 30 AB 2 AD Mà BAC 60 nên 4 S ABC 4 S ADE 30 S ADE Từ (3) (4) ta có: (cm2) ……………….HẾT…………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC