luận văn từ bài toán giải phương trình đến bài toán dựng hình

luận văn từ bài toán giải phương trình đến bài toán dựng hình

NGUYỄN VĂN HIỆP

TỪ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

TỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Chuyên ngành: Phuơng pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục Lục

Lời cảm ơn

Lời nói đầu 3

Chương 1 Nhìn chung về bài toán giải phương trình 4

1.1 Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện 4

1.2 Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện 4

1.3 Đẳng thức 5

1.3.1 Định nghĩa 6

1.3.2 Ví dụ 6

1.4 Phương trình 6

1.4.1 Phương trình và nghiệm của phương trình 6

1.4.2 Ví dụ 10

1.4.3 Giải phương trình, đường lối chung để giải một phương trình 10

1.4.4 Phương trình hệ quả, phương trình tương đương 16

1.4.5 Phương trình có tham số 16

Chương 2 Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình 16

2.1 Cái nhìn tổng quan 19

2.1.1 Một kết luận khác thường 44

2.1.2 Một kết luận quan trọng 45

2.1.3 Vẽ hình trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương phapsboons bước …….18

2.2 Ví dụ 18

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Minh Hà Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy về công tác giảng dạy cùng với sự hướng dẫn tận tình trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành luận văn

Trong quá trình học tập, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy nhiệt tình của các Thầy, Cô công tác tại trường Đại Học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên, Khoa Công Nghệ Thông Tin – Đại Học Thái Nguyên, Trường Đại Học Sư Phạm – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán Học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Thầy,

Cô

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường THPT Lục Ngạn số 4, Ban Giám Hiệu Trường THPT Bố Hạ, đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học cao học và hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình, đã giúp đỡ rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Thái nguyên ngày 6 tháng 11 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Văn Hiệp

LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán dựng hình là một trong ba bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện cơ bản của chương trình toán phổ thông: bài toán giải phương trình, bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình Dạy cho học sinh hiểu được bản chất logic của bài toán dựng hình là một vấn

đề tương đối khó, bởi những lí do sau:

+ Tìm kiếm bằng công cụ hoàn toàn mới (compa và thước kẻ), đối tượng cần tìm mới và đa dạng (điểm, tam giác, đường tròn )

+ Học sinh phổ thông được học qúa ít về dựng hình (thời lượng quá ít, cụ thể các em được học khoảng từ 2 đến 3 tiết về bài toán dựng hình)

Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể hiểu được bản chất logic của bài toán dựng hình? Làm thế nào để các em học sinh phổ thông có thể giải bài toán dựng hình một cách đơn giản?

Câu trả lời mà tôi tìm thấy là:

“Lấy sự vững vàng trong bài toán giải phương trình để khắc phục sự non nớt trong bài toán dựng hình”

Bởi những gì đã phân tích ở trên, tôi chọn cho luận văn của mình đề tài

Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình

Luận văn này bao gồm hai chương:

Chương 1 Nhìn chung về bài toán giải phương trình

Tôi đưa ra các cách giải của hai bài toán: bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện và bài toán tìm kiếm đối tượng thỏa mãn điều kiện

Tôi giới thiệu với học sinh một cách tổng quan về bài toán giải phương trình

Chương 2 Từ bài toán giải phương trình tới bài toán dựng hình

Tôi phân tích cho học sinh thấy rõ sự đồng nhất về mặt logic giữa bài toán giải phương trình và bài toán dựng hình, đồng thời cũng phân tích để học sinh thấy được những khác biệt cụ thể giữa bài toán giải phương trình (tìm giá trị của ẩn sao cho phương trình trở thành đẳng thức đúng) và bài toán dựng hình (tìm bằng thước và compa hình (H) thoả mãn những ràng buộc nào đó) Tiếp theo là một số ví dụ về bài toán dựng hình, có lời giải, kèm theo nhận xét nhằm làm sáng tỏ hơn về mối liên hệ giữa bài toán giải phương trình và bài toán dựng hình

CHƯƠNG I NHÌN CHUNG VỀ BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

1.1 Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện

Bài toán chứng minh đối tượng thỏa mãn điều kiện, về hình thức nó được phát biểu như sau:

Cho đối tượng A( )  chứng minh rằng đối tựơng B( ) 

Về phương diện logic, bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có hai

phương pháp giải, được mô hình hoá như sau

Phương pháp 1, chứng minh trực tiếp*

A( )    B( ).

Phương pháp 2, chứng minh phản chứng

B( )   A( ) Hai phương pháp giải bài toán chứng minh đối tượng thoả mãn điều kiện khá đơn giản, tương đối dễ hiểu đối với học sinh

1.2 Bài toán tìm đối tượng thỏa mãn điều kiện

Bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện được phát biểu như sau:

Tìm tất cả các đối tượng A( ) 

Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện chỉ có ba phương pháp giải, được mô hình hoá

như sau

Phương pháp 1, biến đổi hệ quả và thử lại*

Bước 1, biến đổi hệ quả* A( )    T A

A   T A( ) 

Như vậy, phương pháp đoạn nhận và khẳng định không tự nhiên bằng phương pháp

biến đổi hệ quả và thử lại

Vì lí do trên, phương pháp đoán nhận và khẳng định ít được sử dụng hơn phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại

Kí hiệu A( )  biểu thị đối tượng A có tính chất 

Cùng với kí hiệu A( ),  ta còn dùng kí hiệu A( )  để biểu thị đối tượng A không có tính chất 

Các kí hiệu A( )  và A( )  có hiệu lực trong toàn bộ luận văn này

Trong bài toán 2, thuật ngữ “tìm” cần phải hiểu là “tìm hết” chứ không phải là “tìm được” Nói một cách chính xác, tìm tập hợp A A( )  

Trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện của chương trình toán phổ

thông, ba bài toán sau được coi là điển hình

1) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ nhất, giải phương trình

Tìm giá trị của ẩn sao cho khi thay giá trị đó vào vị trí của ẩn, phương trình trở thành đẳng thức đúng

2) Bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện thứ hai, quỹ tích

Hai biểu thức nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là đẳng thức

Mỗi một biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của đẳng thức

1.4 Phương trình

1.4.1 Phương trình và nghiệm của phương trình

Hai biểu thức có chứa các số chưa biết (gọi là ẩn) nối với nhau bởi một dấu bằng được gọi là phương trình

Mỗi biểu thức nói trong định nghĩa trên được gọi là một vế của phương trình

Những giá trị của ẩn làm cho phương trình trở thành đẳng thức đúng được gọi là nghiệm của phương trình

1.4.2 Ví dụ

1 = 1 (phương trình nhận mọi giá trị của ẩn làm nghiệm)

1 = 2 (phương trình vô nghiệm)

2x + 1 = 5 (phương trình (ẩn x) có duy nhất nghiệm x = 2; phương trình ẩn (x,

y) có vô số nghiệm dạng (2, y); )

3x2 +xy3 = 5zy +z4 (phương trình ẩn (x, y, z); phương trình ẩn (x, y, z, t); ) Trừ một vài loại phương trình được học trong chương trình toán phổ thông, nhìn chung việc tìm các nghiệm của một phương trình không hề đơn giản

1.4.3 Giải phương trình, đường lối chung để giải một phương trình

Giải phương trình tức là tìm hết các nghiệm của phương trình đó

Như vậy bài toán giải phương trình là một trong các bài toán tìm đối tượng thoả mãn

điều kiện Do đó, về phương diện logic nó chỉ có thể được giải bởi một trong ba phương

pháp sau: biến đổi hệ quả và thử lại; biến đổi tương đương; đoán nhận và khẳng định

Các ví dụ dưới đây là sự cụ thể hoá ba phương pháp giải

Ví dụ 1.1, biến đổi hệ quả và thử lại

Giải phương trình sau

x    1 x 3.

Lời giải

Bước 1, biến đổi hệ quả

Giả sử x0 là nghiệm của phương trình, theo định nghĩa nghiệm của phương trình, ta thấy:

0 0

0 0

Vì 2       1 1 1 2 3 nên 2 không phải là nghiệm của phương trình

Vì 5 1     2 5 3 nên 5 là nghiệm của phương trình

Kết luận

Phương trình có nghiệm là 5

Ví dụ 1.2, biến đổi tương đương

Giải phương trình sau

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

Kết hợp với điều kiện x0  1 0, ta thấy:

x0 là nghiệm của phương trình

0 0

x0 là nghiệm của phương trình

Phương trình vô nghiệm

Chú ý

Vì phương trình vô nghiệm nên trong lời giải trên không có bước đoán nhận mà chỉ

có bước khẳng định

1.4.4 Phương trình hệ quả, phương trình tương đương

Trong mục 1.2.3) lời giải cho ví dụ 1.1 là lời giải chuẩn về phương

pháp biến đổi hệ quả và thử lại, trên cơ sở học sinh đã biết biến đổi hệ quả đẳng thức; lời giải cho ví dụ 1.2 là lời giải chuẩn về phương pháp biến đổi tương đương, trên cơ sở học

sinh đã biết biến đổi tương đương đẳng thức Tuy nhiên, về mặt hình thức các lời giải này đều qúa rườm rà Để khắc phục sự rườm rà này, dựa vào những hiểu biết của học sinh về lí thuyết tập hợp, người ta đưa ra các khái niệm: phương trình hệ quả; phương trình tương đương

Cho hai phương trình sau:

f x y z , , ,  g x y z , , ,  (1.1)

h x y z , , , l x y z , , ,  (1.2)

Phương trình (1.2) được gọi là hệ quả của phương trình (1.1) nếu tập hợp các nghiệm của (1.2) chứa tập hợp các nghiệm của (1.1)

Đề biểu thị (1.2) là hệ quả của (1.1), ta viết (1.1)  (1.2)

Kí hiệu  được gọi là dấu hệ quả*

Phương trình (1.1) và phương trình (1.2) được gọi là tương đương nếu tập hợp các nghiệm của chúng bằng nhau

Để biểu thị (1.1) và (1.2) tương đương, ta viết (1.1)(1.2)

Kí hiệu  được gọi là dấu tương đương

Đương nhiên, (1.1) và (1.2) tương đương khi và chỉ khi (1.1) là hệ quả của (1.2) và (1.2) là hệ quả của (1.1)

Nói cách khác, (1.1) và (1.2) tương đương khi và chỉ khi (1.1) (1.2)

Với các khái niệm phương trình hệ quả; phương trình tương đương, lời giải cho các

ví dụ 1.1 và ví dụ 1.2 trong mục 1.2.3) được thể hiện đơn giản như sau

Lời giải đơn giản cho ví dụ 1.1

Bước 1, biến đổi hệ quả

Vì 2       1 1 1 2 3 nên 2 không phải là nghiệm của phương trình

Vì 5 1     2 5 3 nên 5 là nghiệm của phương trình

0 0 0

+ Khi giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương chỉ được dùng dấu

tương đương ()

+ Để phân biệt phương pháp giải trong cách 2 với phương pháp giải trong cách 1, ta

gọi phương pháp giải trong cách 2 là phương pháp biến đổi tương đương trong điều kiện* Các phép biến đổi tương đương mà ta thực hiện trong cách 2 chỉ đúng trong các điều kiện

Hãy theo dõi lời giải của phương trình có tham số m: x  m   x 3 và so sánh lời giải đó với lời giải của phương trình: x    1 x 3, đã giới thiệu trong mục 1.2.5)

13 m 4

13 m 4

Vì cũng là bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện nên, về mặt logic, bài

toán dựng hình có thể được giải bởi một trong ba phương pháp: biến đổi hệ quả và thử lại;

biến đổi tương đương; đoán nhận và khẳng định

Kết luận trên quả là khác thường, bởi lẽ, từ trước tới nay, nói tới bài toán dựng hình

là người ta nói tới phương pháp bốn bước*: phân tích; dựng hình; chứng minh; biện luận

2.1.2 Một kết luận quan trọng

Về phương diện logic, phương pháp bốn bước chính là phương pháp biến đổi hệ quả

và thử lại mà ta đã đề cập đến trong chương I, khi nói về các phương pháp giải bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện, và đã một lần gặp nó trong chương I, phần 1.2), mục

1.2.3), khi nói về các phương pháp giải phương trình

Kết luận trên rất quan trọng, nhờ nó, lời giải bài toán dựng hình bằng phương pháp

bốn bước vốn rất khó hiểu đối với học sinh sẽ trở nên dễ hiểu hơn trong sự so sánh với lời

giải bài toán giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại

Bước phân tích trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước chính

là bước biến đổi hệ quả trong bài toán giải phương trình bằng phương pháp biến đối hệ quả

và thử lại Câu nói đầu tiên trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước

“Giả sử đã dựng được hình (H) thoả mãn điều kiện đề bài” hoàn toàn tương tự với câu nói

đầu tiên trong lời giải bài toán giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử

lại “Giả sử x0 là nghiệm của phương trình”

Như đã nói trong chương I, tuy cũng là bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều

kiện nhưng, về phương diện logic, bài toán dựng hình khó hơn hẳn bài toán giải phương

trình, bởi lẽ bài toán dựng hình là bài toán tìm kiếm đối tượng thoả mãn điều kiện rất đặc

biệt, công cụ tìm kiếm là compa và thước kẻ

Trong đa số các trường hợp, khi bước phân tích kết thúc, người giải bài toán dựng bằng phương pháp bốn bước đã nhận thấy “ Các hình cần dựng chỉ có thể là các hình (H1), (H2), (H3) (tính không thiếu)” nhưng người theo dõi lời giải vẫn chưa cảm nhận được

điều đó Do đó, tiếp theo bước phân tích người giải bài toán dựng hình bằng phương pháp

bốn bước cần phải thực hiện bước dựng hình, cụ thể hoá các hình (H1), (H2), (H3) bằng

trong đa số các lời giải của các bài toán dựng hình được giải bằng phương pháp bốn bước

Tuy nhiên, điều đó cũng thông báo rằng có những bài toán dựng hình được giải bằng

phương pháp bốn bước mà trong lời giải của nó không cần có bước dựng hình

toán giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại không có bước “dựng nghiệm”, bởi lẽ, khi người giải bài toán giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ

quả và thử lại kết thúc bước biến đổi hệ quả bằng câu nói “ Các số cần tìm (nghiệm) chỉ có

thể các số x1, x2, x3 (tính không thiếu)” cũng là khi người theo dõi lời giải hoàn toàn tin tưởng rằng “ Các số cần tìm (nghiệm) chỉ có thể các số x1, x2, x3 (tính không thiếu)”

Tiếp theo bước dựng hình là bước chứng minh Mục đích của bước chứng minh là:

chỉ ra rằng trong các hình (H1), (H2), (H3) hình nào là hình cần dựng và hình nào không

phải là hình cần dựng (tính không thừa) Như vậy, về phương diện logic bước chứng minh trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước có vai trò như là bước thử lại trong lời giải bài toán giải phương trình bằng phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại

Tuy nhiên, cần nói thêm rằng, bởi sự xuất hiện của bước dựng hình, khi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước người giải bài toán dựng hình luôn cố gắng hoàn chỉnh bước phân tích tới mức khi kết thúc bước phân tích bằng câu “ Các hình cần dựng

chỉ có thể là các hình (H1), (H2), (H3) ” người giải bài toán dựng hình cũng hiểu rằng các hình (H1), (H2), (H3) cũng chính là các hình cần dựng Điều đó giải thích nguyên nhân của sự trùng lặp “đáng ngờ”: các hình có thể là hình cần dựng (H1), (H2), (H3) luôn luôn chính là các hình cần dựng Vì lí do trên, rất nhiều người giải toán dựng hình bằng phương

pháp bốn bước, do không hiểu được bản chất của vấn đề, thường có cảm giác không cần có bước chứng minh

Vì trong giả thiết của bài toán dựng hình thường chứa tham số (có thể nhiều tham số) nên trong lời giải của bài toán dựng hình thường (chứ không phải luôn) có quá trình biện luận

Với mục đích làm cho lời giải bài toán dựng hình sáng sủa và dễ hiểu, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể, quá trình biện luận (nếu có) được thể hiện bới một trong hai phương án sau

Phương án 1 Diễn ra một cách logic trong lời giải bài toán dựng hình, tương tự như quá trình biện luận trong lời giải bài toán giải phương trình có tham số,

Phương án 2 Được đặt ở cuối lời giải bài toán dựng hình, ngay sau bước chứng

minh

Nếu quá trình biện luận (nếu có) của bài toán dựng hình được đặt ngay sau bước

chứng minh thì ta gọi nó là bước biện luận

Với tất cả những gì đã phân tích ở trên, ta đi đến kết luận sau

Cũng như bài toán giải phương trình, bài toán dựng hình có thể được giải bởi một

trong ba phương pháp: biến đổi hệ quả và thử lại; biến đổi tương đương; đoán nhận và

khẳng định Tuy nhiên phương pháp biến đổi hệ quả và thử lại được sử dụng nhiều hơn cả,

trong tài liệu này nó được gọi là phương pháp bốn bước Xin lưu ý rằng khi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước có nhiều trường hợp ta không phải thực hiện cả

bốn bước (có thể không có bước biện luận, có thể không có bước dựng hình, luôn có bước

phân tích, luôn có bước chứng minh), như vậy, thuật ngữ phương pháp bốn bước chỉ là

thuật ngữ mang tính ước lệ

2.1.3 Vẽ hình trong lời giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước

Hình vẽ là con dao hai lưỡi trong lời giải các bài toán hình học, nó hỗ trợ đắc lực người làm toán trong quá trình suy luận, nó cũng là thủ phạm của các vấn nạn sau đây:

Lời giải phụ thuộc hình vẽ - vấn nạn thường gặp khi giải bài toán chứng minh đối

tượng thoả mãn điều kiện

Mất nghiệm - vấn nạn thường gặp trong bài toán tìm đối tượng thoả mãn điều kiện,

bài toán dựng hình

Khi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp bốn bước, do đặc điểm riêng của

phương pháp này, vấn đề vẽ hình cần được lưu ý hơn

Hình vẽ trong bước phân tích không phải là hình cần dựng, nó được vẽ tương đối

giống hình cần dựng để ta dễ dàng tìm kiếm (bằng compa và thước kẻ) hình cần dựng

Hình vẽ trong bước dựng hình chính là hình cần dựng

Từ hai nhận xét trên, ta thấy, khi bài toán dựng hình được giải bằng phương pháp bốn bước, nên (không bắt buộc) vẽ hai hình khác nhau: hình thứ nhất là hình của bước

phân tích; hình thứ hai là hình của bước dựng hình Tuy nhiên, do thói quen, trong đa số

các tài liệu, lời giải bài toán dựng hình được giải bằng phương pháp bốn bước chỉ có một

hình vẽ (chung cho cả hai bước phân tích và dựng hình) Điều đó gây rất nhiều khó khăn

cho những ai bắt đầu làm quen với bài toán dựng hình

2.2 VÍ DỤ VÀ NHẬN XÉT

Trong phần 2.2) này, hàng loạt các ví dụ kèm theo nhận xét sẽ được giới thiệu nhằm làm sáng tỏ những kết luận đã trình bày trong phần 1.1)

Ví dụ 2.1 Cho đường tròn (O) và đường thẳng ∆ không cắt (O) A là một điểm cho

trước trên ∆ Dựng đường tròn (I) tiếp xúc với (O) và tiếp xúc với ∆ tại A

Lời giải

Phân tích

Giả sử đường tròn (I) tiếp xúc ngoài (trong) với (O) và tiếp xúc với ∆ tại A (Hình 2.1a, Hình 2.1b)

Gọi T là tiếp điểm của (O) và (I)

Đặt B là giao điểm khác T của AT và (O)

B

O T

Dựng đường thẳng qua O vuông góc với ∆ cắt (O) tại B (có hai điểm B)

Dựng T, giao điểm khác B của AB và (O)

Dựng I, giao điểm của OT và đường thẳng qua A vuông góc với ∆

Ta sẽ chứng minh các đường tròn (I), tâm I bán kính IT (Hình 2.1a, Hình 2.1b), thoả mãn điều kiện đề bài

Chứng minh

Theo cách dựng T, O, I thẳng hàng, do đó, (I) tiếp xúc với (O)

Theo cách dựng IA  ∆, do đó, (I) tiếp xúc với ∆ tại A

Kết luận

Bài toán luôn có hai nghiệm hình: (I) tiếp xúc ngoài với (O) (Hình 2.1a); (I) tiếp xúc trong với (O) (Hình 2.1b)

Nhận xét

+ Đây là bài toán dựng hình được giải bằng phương pháp bốn bước không có bước

biện luận mặc dù trong giả thiết của nó có rất nhiều tham số

+ Nếu chỉ nhìn vào hình vẽ, rất dễ thiếu nghiệm

+ Chú ý cách thể hiện lời giải: đồng thời tìm cả hai nghiệm

+ Có thể thể hiện lời giải theo cách khác

Trường hợp 1 (I) tiếp xúc ngoài với (O)

Trường hợp 2 (I) tiếp xúc trong với (O)

Ví dụ 2.2 Cho hai đường thẳng a, b song song và điểm M không thuộc a, b Dựng

các điểm A, B theo thứ tự thuộc a, b sao cho tam giác MAB đều

Do đó (sự phân tích trên), tam giác MAB (mà ta hi vọng thoả mãn điều kiện đề bài)

được dựng như sau

Ta sẽ chứng minh các tam giác MAB được dựng như trên (Hình 2.2a, Hình 2.2b),

thoả mãn điều kiện đề bài

Chứng minh

+ Đây là bài toán dựng hình được giải bằng phương pháp bốn bước

không có bước biện luận mặc dù trong giả thiết của nó có rất nhiều tham số

+ Nếu chỉ nhìn vào hình vẽ, rất dễ thiếu nghiệm

+ Chú ý cách thể hiện lời giải: đồng thời tìm cả hai nghiệm

Lời giải 2

TH1: Tam giác MAB có hướng dương

Phân tích

Giả sử đã dựng tam giác đều ABM thỏa mãn điều kiện đã cho