Phương trình tích phân kỳ dị dạng cauchy trên trục thực và bài toán biên liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC Lê Thị Thanh Hoa PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ DẠNG CAUCHY TRÊN TRỤC THỰC VÀ BÀI TOÁN BIÊN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THANH HÓA - NĂM 2014 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Thị Thanh Hoa ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học NGND GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Hồng Đức, Khoa Sau Đại học Trường Đại học Hồng Đức, thầy cô giáo nhà trường thầy giáo giảng dạy chun nghành Tốn Giải tích tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin tỏ lòng biết ơn tới Ban Giám hiệu Trường THCS THPT Thống Nhất, gia đình, người thân tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn Thanh Hóa, Tháng năm 2014 Lê Thị Thanh Hoa iii Mục lục Mở đầu 1 Tích phân kỳ dị dạng Cauchy tốn Riemann trục thực 1.1 Tính chất tớch phõn k d khụng gian Hăolder 1.2 Chỉ số hàm số theo trục thực 1.3 Bài toán Riemann trục thực 11 Phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng dạng Cauchy trục thực 2.1 Nghiệm phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng 2.1.1 Chuyển phương trình đặc trưng tốn bờ Riemann 2.1.2 Cơng thức nghiệm phương trình đặc trưng 2.1.3 Phương trình đặc trưng dạng suy biến 2.2 Nghiệm phương trình tích phân kỳ dị liên kết 14 14 17 19 21 24 Chính quy hố phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ 3.1 Phương pháp quy hố tương đương 3.1.1 Khái niệm quy hố tương đương 3.1.2 Chính quy trái tương đương 3.1.3 Điều kiện giải phương trình khơng 3.1.4 Định lý quy hoá tương đương 3.2 Ví dụ áp dụng 3.2.1 Bài toán biên Riemann nửa mặt phẳng 3.2.2 Phương trình với nhân Cauchy trục thực Kết luận Tài liệu tham khảo 27 27 27 29 30 33 34 34 38 42 43 Mở đầu Lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị tốn biên Riemann hàm giải tích biến phức xây dựng phát triển mạnh mẽ nửa kỷ, từ năm 1920 đến 1970 Các kết gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học tiếng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Trong giáo trình lý thuyết hàm biến phức đại học, biết đến tích phân Cauchy, tích phân dạng Cauchy tích phân với nghĩa giá trị theo Cauchy Giả sử Γ chu tuyến đóng trơn mặt phẳng phức, chia mặt phẳng phức thành miền D+ miền D− Nếu f (z) hàm giải tích D+ liên tục D+ ∪ Γ, theo cơng thức tích phân Cauchy lý thuyết hàm biến phức, ta có  Z f (τ ) f (z), z ∈ D+ dτ = 0, z ∈ D− 2πi τ − z Γ Nếu hàm f (z) giải tích D− liên tục D− ∪ Γ,  Z f (τ ) f (∞), z ∈ D+ dτ = −f (z) + f (∞), z ∈ D− 2πi τ − z Γ Cơng thức tích phân Cauchy cho ta lời giải tốn biên lớp hàm giải tích Tích phân vế trái cơng thức tích phân Cauchy Mục tiêu luận văn tập trung nghiên cứu lớp phương trình tích phân kỳ dị trục thực dạng (2.1) Bằng phương pháp sử dụng toán biên Riemann, ta thu nghiệm phương trình tích phân tương ứng Luận văn gồm phần mở đầu chia thành chương Chương trỡnh by cỏc tớnh cht ca khụng gian Hăolder, tích phân kỳ dị dạng Cauchy lời giải tốn Riemann trục thực Nhắc lại cơng thức Sokhotski Plemelij trình bày cách giải tốn biên Riemann: toán bước nhảy, toán nhất, tốn khơng tốn biên Riemann nửa mặt phẳng đưa số ví dụ toán biên Riemann nửa mặt phẳng Đây cơng cụ để giải lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân khác Chương trình bày cách giải phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng Nêu phương pháp giải phương trình tích phân kỳ dị dạng đặc trưng số ví dụ minh họa phương trình tích phân kỳ dị dạng đặc trưng trục thực Chương trình bày tốn quy hóa phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ Sau xét số ví dụ áp dụng cụ thể Chương Tích phân kỳ dị dạng Cauchy toán Riemann trục thực 1.1 Tính chất tích phân kỳ dị khụng gian Hă older Gi s ( ) l hàm phức biến thực τ , thoả mãn điều kiện Holder ứng với τ hữu hạn tiến tới giới hạn xác định ϕ (∞) τ → ±∞ Ta đòi hỏi τ đủ lớn, bất đẳng thức sau thoả mãn: |ϕ (τ ) − ϕ (∞)| < A , µ > 0, A > |τ |µ (1.1) Xét tích phân dạng Cauchy Φ (z) = 2πi Z+∞ ϕ (τ ) dτ, τ −z (1.2) −∞ với giả thiết z không nằm trục thực Khi ϕ (∞) = tích phân thường (1.2) phân kỳ, tức là, biểu thức ZN 00 ϕ (τ ) dτ τ −t N0 không tiến tới giới hạn N N 00 tiến tới -∞ +∞ , tương ứng cách độc lập với Thật vậy, ta có ZN 00 ϕ (τ ) dτ = τ −t N0 ZN 00 ϕ (τ ) − ϕ (∞) dτ + ϕ (∞) τ −t N0 ZN 00 dτ τ −z (1.3) N0 Trong tích phân đầu vế phải, theo (1.1) biểu thức dấu tích phân với |τ | đủ lớn có bậc |τ |−1−µ Vậy nên tích phân tương ứng với giới hạn tới vô hội tụ, theo tiêu chuẩn hội tụ tích phân thường Tích phân thứ hai dễ dàng tính sau: ZN 00 dτ |N 00 − z| 00 = ln (N − z) = ln ± iα, τ −t |N − z| N0 α góc đường thẳng nối điểm Z với điểm N N 00 dấu số hạng thứ hai dương Z nằm nửa mặt phẳng âm nằm nửa mặt phẳng Khi N N 00 tiến tới (một cách độc lập) -∞ +∞ , tương ứng, α |N 00 − z| tiến tới π , ln không tiến tới giới hạn nào, thế, suy |N − z| vế trái hệ thức (1.3) không tiến tới giới hạn Giả thiết giới hạn tích phân N N 00 tiến tới vô cách đối xứng, tức là, −N = N 00 = N Thì: |N 00 − z| lim ln = ln = N →∞ |N − z| Do ta nhận ZN lim N →∞ −N ϕ (τ ) dτ = τ −z Z∞ ϕ (τ ) − ϕ (∞) dτ ± πiϕ (∞) , τ −t −∞ dấu lựa chọn dẫn Biểu thức xuất vế trái gọi giá trị tích phân (1.2) với giới hạn vơ Vì vậy, sau, tích phân với giới hạn vơ ln hiểu theo nghĩa giá trị Khi tích phân tồn thơng thường hiển nhiên trùng với giá trị tích phân Vậy nên ta đánh giá tồn giá trị tích phân (1.2), 2πi Z∞ ϕ (τ ) dτ = τ −z 2πi −∞ Z∞ ϕ (τ ) − ϕ (∞) dτ ± ϕ (∞) , τ −t (1.4) −∞ tích phân vế phải hiểu theo nghĩa thông thường Khi ϕ (∞) = 0, tích phân (1.2) hội tụ R∞ ϕ (τ ) dτ Vì tích phân hội tụ tuyệt đối ứng với z không −∞ (τ − z) nằm trục thực, tích phân (1.2) khả vi theo tham số z, kết là, hàm Φ (z) hàm số giải tích nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng Các hàm số ký hiệu tương ứng Φ+ (z) Φ− (z) Giả thiết Im z = , tức là, điểm z = t nằm đường lấy tích phân Khi đó, tích phân Z∞ −∞ ϕ (τ ) dτ (τ − z)2 (1.5) ta hiểu theo nghĩa giá trị xác định theo cách sau: Z∞ −∞   t−ε Z ZN ϕ (τ ) ϕ (τ )   ϕ (τ ) dτ + dτ dτ = lim N →∞ τ −t τ −t (τ − z)2 ε→0 −N t+ε Đặc biệt, ta có Z∞ −∞  t−ε  Z ZN dτ dτ dτ  −ε(N − t) = lim  + = lim ln = N →∞ τ − t N →∞ τ −t τ −t (−N − t)ε ε→0 ε→0 t+ε −N Sử dụng hệ thức này, ta viết Z∞ −∞  t−ε  Z ZN ϕ (τ ) dτ ϕ (τ ) − ϕ (∞) ϕ (τ ) − ϕ (∞)  = lim  dτ + N →∞ τ −t τ −t τ −t ε→0 −N t+ε  t−ε  Z ZN ϕ (τ ) − ϕ (∞) ϕ (τ ) − ϕ (∞)  = lim  dτ + ε→0 τ −t τ −t −∞ t+ε Hai tích phân cuối tích phân theo nghĩa thơng thường Để chứng minh tồn giới hạn, ta không sử dụng giả thiết độ dài chu tuyến hữu hạn Tuy nhiên điều không cốt yếu trường hợp xét, ta quay trường hợp với chu tuyến hữu hạn biến đổi Z∞ Zt−ε + −∞ t+ε  t−A ∞  t+A Zt−ε Z Z Z + + = + −∞ t+A t−A t+ε Tích phân khơng phụ thuộc vào ε, giới hạn tổng hai tích phân cuối tồn Vậy nên, ϕ (τ ) thoả mãn điều kiện phát biểu trên, giá trị tích phân (1.5) tồn Lặp lại cách chứng minh trường hợp với chu tuyến hữu hạn, ta chứng minh tính đắn cơng thức Sokhotski chu tuyến vô hạn:  1 R∞ ϕ(τ )  +  Φ (t) = ϕ(t) + dτ  2πi −∞ τ − t 1 R∞ ϕ(τ )  −  dτ  Φ (t) = − ϕ(t) + 2πi −∞ τ − t (1.6) đó, Φ+ (t) Φ− (t) giới hạn Φ (z) z tiến tới t tương ứng từ nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng Ta khảo sát dáng điệu hàm số Φ (z) lân cận vô cùng, điểm biên Đổi biến z = − Khi điểm z = τ chuyển động ζ trục thực theo hướng dương Biến đổi tích phân (1.2) cách đổi biến     1 Φ (z) = Φ = Φ∗ , ϕ (τ ) = ϕ − − ϕ∗ (σ) ζ σ 21 Khi điều kiện giải thoả mãn, lời giải phương trình khơng (2.11) cho cơng thức (2.17) Pκ−1 (t) ≡ Ta kết sau Định lý 2.1 (xem [2]) Giả sử κ số phương trình Khi đó: Khi κ > 0, phương trình K o ϕ = có κ độc lập tuyến tính nghiệm ϕk (t) = b (t) Z (t) tk−1 , (k = 1, 2, , κ) Khi κ ≤ 0, phương trình không giải Khi κ ≥ 0, phương trình khơng giải với vế phải f (t) tuỳ ý, nghiệm tổng quát phụ thuộc tuyến tính vào κ số tuỳ ý Khi κ < , phương trình khơng giải vế phải f (t) thoả mãn −κ điều kiện Z ϕk (t) f (t)dt = 0, (2.23) Γ ϕk (t) = [1/Z (t)] tk−1 2.1.3 Phương trình đặc trưng dạng suy biến Xét phương trình đặc trưng b (t) K ϕ ≡ a (t) ϕ (t) + πi o Z ϕ (τ ) dτ = f (t) πi (2.24) Γ Giả thiết hàm số a (t) − b (t) a (t) + b (t) có khơng điểm chu tuyến điểm α1 , α2 , , αµ β1 , β2 , , βν tương ứng Do đó, biểu diễn dạng a (t) − b (t) = µ Y (t − αk )mk r (t) , k=1 a (t) + b (t) = ν Y j=1 (t − βj )pj s (t) , 22 r (t) s (t) khơng triệt tiêu khắp nơi p Ta chia phương trình (2.24) cho s (t) r (t) giả thiết hệ số thoả mãn điều kiện 2 a (t) − b (t) = µ Y mk (t − αk ) ν Y (t − βj )pj = Q0 (2.25) j=1 k=1 Phương trình (2.24) đưa tốn bờ Riemann µ Q (t − αk )mk Φ+ (t) = k=1 ν Q pj (t − βj ) G1 (t) Φ− (t) + Q ν j=1 f (t) , (2.26) pj (t − βj ) s (t) j=1 r (t) Lời giải toán này, lớp hàm số s (t) thoả mãn điều kiện Φ (∞) = G1 (t) =  X + (z)  +   [Ψ+ (z) − Qρ (z) + Q0 Pκ−p−1 (z)] , Φ (z) = µ  Q    (z − βj )pj  j=1 X − (z)  −   Φ (z) = µ [Ψ− (z) − Qρ (z) + Q0 Pκ−p−1 (z)] ,  Q    (z − αk )mk  (2.27) k=1 Ψ (z) = 2πi Z f (τ ) dτ s (τ ) X + (τ ) τ − z (2.28) Γ Qρ (z) đa thức nội suy hàm số Ψ (z) bậc ρ = m + p − với nút P P điểm αk βj tương ứng, bậc mk pj , m = mk p = pj Xét đa thức Qρ (z) toán tử sinh số hạng tự f (t) phương trình (2.24) đa thức nội suy theo ngơn ngữ tích phân dạng Cauchy (2.28) Ký hiệu tốn tử T f = Qρ (z) (2.29) 23 Ta nhận từ (2.27) công thức Φ+ (t) =  +  X (t) f (t) 1 + µ Q s (t) X + (t) πi (t − βk )pk Z dτ f (τ ) − T f (t) − Q0 Pκ−p−1 (t) s (τ ) X + (τ ) τ − t Γ k=1 Φ− (t) =  −  X (t) 1 f (t) − + + s (t) X (t) πi (t − αj )mj ν Q j=1 Z dτ f (τ ) − T f (t) − Q0 Pκ−p−1 (t) + s (τ ) X (τ ) τ − t Γ số hạng cuối cơng thức chọn hệ số đa thức Pκ−p−1 (t) tuỳ  ý Từ đó, ta có cơng thức  Hệ số  + 1 X − (t) f (t)  X (t)  ϕ (t) = Φ (t) − Φ (t) =  Q + µ  ν Q  s (t) X + (t) 2 (t − βj )pj (t − αk )mk j=1 k=1     R + f (t) dτ 1 X − (t)  X (t)  + Q + µ − T f − Q0 Pκ−p−1 (t)  + Q 2 ν pj mk  πi Γ s (t) X (t) τ − t (t − βj ) (t − αk ) + j=1 − k=1 (2.30) Ký hiệu Z (t) = s (t) X + (t) = r (t) X − (t) sử dụng hệ thức (2.25), ta có   b (t) Z (t) R f (τ ) dτ ϕ (t) = a (t) f (t) − + b (t) Z (t) T f Q0 πi Γ Z (τ ) τ − t +b (t) Z (t) Pκ−p−1 (t) Xét toán tử (2.31) 24  (Rf ) (t) ≡   b (t) Z (t) a (t) f (t) − Q0 πi Z f (τ ) dτ + b (t) Z (t) T f  , Z (τ ) τ − t Γ (2.32) ta thu ϕ (t) = Rf + b (t) Z (t) Pκ−p−1 (t) (2.33) Công thức (2.33) cho lời giải phương trình(2.24) κ > 0, phụ thuộc tuyến tính vào κ − − p số tuỳ ý Khi κ − p < 0, nghiệm tồn p − κ + điều kiện bổ sung thoả mãn 2.2 Nghiệm phương trình tích phân kỳ dị liên kết Phương trình dạng K ϕ = a (t) ϕ (t) − πi o Z b (τ ) ϕ (τ ) dτ = h (t) τ −t (2.34) Γ liên kết với phương trình đặc trưng K o ϕ = f phương trình đặc trưng Tuy nhiên, cách đổi biến b (t) ϕ (t) = ω (t) (2.35) ta chuyển phương trình đặc trưng theo hàm số ω (t) Z b (t) ω (τ ) a (t) ω (t) − dτ = b (t) h (t) πi τ −t (2.36) Γ Theo công thức (2.35), ta hàm số ϕ (t) cần tìm Khi b (t) triệt tiêu khơng điểm lập, theo (2.36), ta có  ω (t) = b (t)  a (t) πi  Z Γ ω (τ ) dτ + h (t) τ −t 25 tức là, ω (t) có khơng điểm điểm b (t), bậc nhỏ thua bậc b (t) Xét hàm giải tích khúc Z ω (τ ) Ω (z) = dτ (2.37) 2πi τ − z Γ Ta thu toán bờ Riemann Ω+ (t) = a (t) + b (t) − b (t) h (t) Ω (t) + a (t) − b (t) a (t) − b (t) (2.38) Hệ số toán cuối nghịch đảo hệ số toán bờ Riemann (2.12) tương ứng với phương trình K o ϕ = f Do đó, κ0 = Ind a (t) + b (t) a (t) − b (t) = − Ind = −κ a (t) − b (t) a (t) + b (t) (2.39) Nhận xét hàm đặc trưng tương ứng với phương trình (2.38), hàm X (z), phương trình (2.11) hàm X (z), nghịch đảo nhau, tức là, X (z) = X (z) Ta nhận lời giải phương trình tích phân kỳ dị (2.34) ứng với κ0 = −κ ≥ , dạng ϕ (t) = a (t) h (t) + πiZ (t) Z b (τ ) Z (τ ) h (τ ) dτ + Qκ0 −1 (t) τ −t Z (t) Γ đa thức bậc κ0 − với hệ số tuỳ ý (khi κ0 = Q (t) ≡ ) Khi κ0 = −κ < , để phương trình (2.34) giải được, điều kiện cần đủ điều kiện sau thoả mãn: Z b (t) Z (t)h (t) tk−1 dt = 0, (k = 1, 2, , −κ0 ) (2.41) Γ Khi điều kiện thoả mãn nghiệm cho cơng thức (2.40), ta đặt Qκ0 −1 (t) ≡ 26 Nhận xét điều kiện giải (2.22) (2.41) có dạng cần thiết định lý Fredholm Ta chứng minh trường hợp tổng quát, phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ Kết khảo sát đồng thời phương trình đặc trưng phương trình liên kết cho ta kết luận phương trình đặc trưng phương trình liên kết không đồng thời giải Hiệu số số nghiệm chúng số κ Tính chất thoả mãn phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ 27 Chương Chính quy hố phương trình tích phân kỳ dị đầy đủ 3.1 3.1.1 Phương pháp quy hố tương đương Khái niệm quy hố tương đương Ta thấy phép tốn điều chỉnh (chính quy hố) nhìn chung dẫn đến phương trình khơng tương đương với phương trình gốc Cả hai trường hợp thêm nghiệm (điều chỉnh bên trái) nghiệm (điều chỉnh bên phải) xảy Vậy với điều kiện theo cách phương trình tích phân kỳ dị chuyển tương đương phương trình Fredholm, tức là, phương trình chứa nghiệm phương trình gốc nghiệm thoả mãn phương trình gốc Bài tốn nhìn nhận nhiều góc độ khác Ta xét chuyển tương đương tới phương trình khơng kỳ dị nhận ứng với phải Trong trường hợp này, ta phải đối mặt với quy hố tương tương khơng phải phương trình riêng lẻ mà lớp phương trình với toán tử kỳ dị K Ta giải toán quy hố tương tương tốn tử K với vế phải cụ thể Từ tính chất vế phải ta thấy phương trình nhận với tốn tử quy chọn tương đương ứng với vế phải mà không tương đương ứng với vế phải khác Lời giải toán nêu thực chất phụ thuộc vào việc ta xét phương trình khơng kỳ dị nhận có chứa ẩn hàm phương trình gốc hay khơng Nói cách khác, phụ thuộc vào việc chọn điều chỉnh bên trái hay 28 điều chỉnh bên phải Trước hết, ta giải tốn quy hố tương đương Ta xét điều chỉnh bên phải ˜ tốn tử quy tương đương phương Bổ đề 3.1 Để toán tử K ˜ trình tích phân kỳ dị KKϕ = f với vế phải tuỳ ý, điều kiện cần đủ khơng có hàm riêng ˜ Chứng minh Khi điều kiện thoả mãn, từ K(Kϕ − f ) = suy Kϕ − f = kéo theo điều kiện đủ ˜ tương Ta chứng minh điều kiện cần Theo giả thiết , tồn toán tử K đương với phương trình khơng kỳ dị Kϕ = f ứng với f tuỳ ý Giả sử ngược lại tốn tử K có hàm riêng ω đặt f = ω Khi đó, theo giả thiết, phương ˜ ˜ = tương đương, phương trình sau, trình Kϕ = ω KKϕ = Kω phương trình ban đầu, khơng có nghiệm khác Vậy nên ω ≡ Ta điều phải chứng minh Ta chứng minh toán tử với số khơng âm có tốn tử quy khơng có hàm riêng, tốn tử với số âm khơng có tốn tử quy dạng Từ kết chứng minh bổ đề trên, ta có Định lý 3.1 (xem [2]) Để phương trình tích phân kỳ dị Kϕ = f tương đương với phương trình điều chỉnh với vế phải f , điều kiện cần đủ số tốn tử K khơng âm Định lý cho lời giải tốn quy hố tương đương quy bên trái Kết để áp dụng điều chỉnh bên trái tương đương tốn tử phải có số âm Ta chuyển sang xét hai bên điều chỉnh, bên trái bên phải Điều chỉnh bên phải xem tương đương, với nghiệm ϕ phương ˜ = ϕ hữu hạn nghiệm trình gốc Kϕ = f tồn tương ứng biến đổi Kω ˜ phương trình khơng kỳ dị nhận KKω = f , ngược lại Dễ thấy trường hợp này, quy tương tương tồn lớp toán tử kỳ dị trở thành khả thi ˜ = K o tốn tử quy tương đương với số tuỳ ý Toán tử K κ ≥ ta áp dụng điều chỉnh bên trái, cịn κ < sử dụng điều chỉnh bên phải 29 3.1.2 Chính quy trái tương đương Xét phương trình tích phân kỳ dị Kϕ = f (3.1) với vế phải hàm số cho trước Cần tìm điều kiện để phương trình có ˜ , dẫn đến phương trình Fredholm tương đương tốn tử quy bên trái K ˜ ˜ KKϕ = Kf (3.2) Ta xây dựng tốn tử trường hợp tồn Khi η ≥ 0, ta biết tồn tốn tử khơng có hàm riêng ( chẳng hạn K o ) Rõ ràng, tốn tử quy tương đương bên trái với f Vì ta khảo sát trường hợp κ < 0, khơng tồn tốn tử quy khơng có hàm riêng Dễ tìm điều kiện cần để tồn tốn tử quy tương đương phương trình cho Phương trình (3.2) tương đương với phương trình Kϕ = f + p X α j ωj , (3.3) j=1 ˜ ; α1 , α2 , , αp ω1 , ω2 , , ωp hệ đầy đủ hàm riêng toán tử K số tuỳ ý xác định Theo định nghĩa, phương trình (3.2) tương đương với phương trình gốc (3.1) αj 6= Giả sử ta có điều Giả sử ψ1 , ψ2 , , ψq hệ đầy đủ hàm riêng toán tử liên kết K Nhân phương trình (3.3) ψ1 , ψ2 , , ψq lấy tích phân dọc theo chu R tuyến Γ, với ý Kϕψj dt = 0, ta nhận hệ phương trình Γ p X aij αj = −fi (i = 1, 2, , q), j=1 Z aij = Z ψj ωj dt, fj = Γ f ψj dt Γ (3.4) 30 Hiển nhiên hệ (3.4) thoả mãn giá trị zero αj fi = Nhưng hệ thức sau điều kiện giải phương trình (3.1) Vậy nên ta có kết sau: Khi tốn tử điều chỉnh khơng có hàm riêng, để phương trình tích phân kỳ dị (3.1) chuyển tương đương tới phương trình Fredholm (3.2), phải giải Điều kiện đủ 3.1.3 Điều kiện giải phương trình khơng Khái niệm tốn tử liên kết độc lập với khái niệm toán tử liên hợp sử dụng lý thuyết tốn tử tuyến tính Điều kiện giải có dạng khác Chẳng hạn ta không thấy xuất điều kiện trực giao số hạng tự với nghiệm phương trình liên hợp Ta trình bày khái niệm tốn tử liên hợp đưa điều kiện giải phương trình khơng Ta khơng tách phần kỳ dị nhân Giả sử K tốn tử kỳ dị xác định cơng thức Z Kϕ ≡ a (t) ϕ (t) + K (t, τ )ϕ (τ ) dτ, (3.5) Γ giả sử τ = τ (σ) , (0 ≤ σ ≤ l) (3.6) phương trình chu tuyến Γ, σ toạ độ cung Khi σ nhận giá trị s tương ứng toạ độ phức t ký hiệu t (s) Ta ký hiệu hàm số biến thực s, σ nhận từ biến đổi (3.6), hàm số gốc biến phức t, τ Chẳng hạn ϕ (t) = ϕ [t (s)] ∼ ϕ (s) , K (t, τ ) = K [t (s) , τ (σ)] ∼ K (s, σ) , Toán tử (3.5) viết dạng Kϕ ≡ a (s) ϕ (s) + Z1 K (s, σ)τ (σ) ϕ (σ) dσ 31 Toán tử K ∗ xác định công thức Z1 K ∗ ψ ∗ ≡ a (s)ψ ∗ (s) + K(σ, s)t0 (s)ψ ∗ (σ) dσ (3.7) gọi toán tử liên hợp K Phương trình Kϕ = K ∗ ϕ∗ = gọi phương trình liên hợp Ta thấy toán tử liên hợp thoả mãn điều kiện (K ∗ )∗ = K Biểu thức Z1 ϕ (s) ψ (s)ds (ϕ, ψ) = (3.8) gọi tích vơ hướng hai hàm số ϕ ψ Hiển nhiên Z1 ψ (s) ϕ (s)ds = (ϕ, ψ) (ψ, ϕ) = Khi (ϕ, ψ) = 0, hàm số ϕ ψ gọi trực giao Ta dễ dàng chứng minh đẳng thức (Kϕ, ψ) = (ϕ, K ∗ ψ) (3.9) Ta tiếp tục xét mối liên hệ nghiệm phương trình liên kết Z K ϕ = a (t) ψ (t) + K (τ, t)ψ (τ ) dτ = (3.10) Γ phương trình liên hợp K ∗ ψ ∗ ≡ a (s)ψ ∗ (s) + Z1 K(σ, s)t0 (s)ψ ∗ (σ) dσ = 0 Chuyển qua liên hợp phức biểu thức, ta (3.11) 32  K ∗ ψ ∗ ≡ t0 (s) a (t) ∗ ψ (t) + t0 (s) ∗ Z K (τ, t)  ψ (τ )  dτ = τ (s) (3.12) Γ So sánh phương trình (3.10) với (3.11) nghiệm phương trình liên kết phương trình liên hợp có hệ thức: ψ ∗ (t) = ψ (t) , ψ ∗ (t) = t0 (s) ϕ (t) t (s) (3.13) Từ suy phương trình liên hợp phương trình liên kết có số nghiệm Sử dụng cơng thức (3.13) ta viết điều kiện giải phương trình tích phân kỳ dị khơng (3.1) Kϕ = f dạng khác Ta có Z1 Z f (t)ψj (t) dt = 0hay f (t)ψj (t) t0 (s) ds = 0 Γ Do từ (3.13) ta nhận
∗ Z1 f, ψj = f (t)ψj∗ (t)ds = (j = 1, 2, , k ) (3.14) Điều kiện giải (3.14) mơ tả dạng sau Để phương trình kỳ dị khơng (3.1) giải được, điều kiện cần đủ số hạng tự phương trình trực giao với nghiệm phương trình liên hợp ( 3.11) Ta có đẳng thức (K ∗ Kω; ω) = (Kω, Kω) = Z1 ∗ |Kω|2 ds (3.15) Xét hàm số K ∗ Kω kết toán tử K áp vào hàm số Kω , ta nhận phần đầu hệ thức từ đẳng thức (3.9), phần thứ hai suy từ định nghĩa tích vơ hướng (3.8) Ta quay trở lại tốn quy hố tương đương phương trình 33 3.1.4 Định lý quy hố tương đương Trước hết, ta chứng minh Bổ đề 3.2 Giả thiết phương trình tích phân kỳ dị khơng Kϕ = f (3.16) giải Khi tương đương với phương trình K ∗ Kϕ = K ∗ f (3.17) Chứng minh Theo giả thiết định lý, tồn hàm số ϕ1 (t) thoả mãn phương trình (3.1) Do tính tốn tử K ∗ lời giải phương trình (3.17) Ta chứng minh hàm số ϕ2 (t) khác thoả mãn phương trình (3.17), thoả mãn phương trình (3.1) Ta có K ∗ Kϕ1 = K ∗ f, K ∗ Kϕ2 = K ∗ f Đặt hệ thức đầu vào hệ thức thứ hai, ta nhận hàm số ω = ϕ2 − ϕ1 lời giải phương trình K ∗ Kω = (3.18) Ta xây dựng tích vơ hướng hàm số K ∗ Kω ω Sử dụng hệ thức (3.18) đẳng thức (3.15), ta nhận = (K ∗ Kω, ω) = Z1 |Kω|2 ds Vậy nên Kω = hay Kϕ2 = Kϕ1 Vì Kϕ1 = f nên Kϕ2 = f Ta điều cần chứng minh Tiếp theo, ta dễ dàng chứng minh rằng, nhìn chung tốn tử K ∗ khơng phải tốn tử điều chỉnh tốn tử K (nó xảy tốn tử K thực) Do đó, phương trình (3.17) khơng phải phương trình Fredholm Chỉ số toán tử liên hợp K ∗ trùng với số toán tử liên kết K 34 đó, số tốn tử K, lấy dấu ngược lại Vì số tích hai tốn tử tổng số nhân tử, phương trình (3.17) phương trình tích phân kỳ dị với số Ta biết phương trình dạng có tốn tử quy khơng có hàm riêng, chẳng hạn, tốn tử (K ∗ K)0 o Vậy nên, ta chứng minh định lý quy hố tương đương phương trình Định lý 3.2 (xem [2]) Khi vế phải phương trình tích phân kỳ dị Kϕ = f (3.19) đảm bảo phương trình giải được, tồn tốn điều chỉnh bên trái, chuyển tương đương phương trình tích phân Fredholm Theo chứng minh trên, toán tử điều chỉnh tương đương lấy tốn tử dạng e = (K ∗ K)0 o K ∗ , K (3.20) 0o K ∗ toán tử liên hợp xác định cơng thức (3.4) (K ∗ K) tốn tử đặc trưng xác định số hạng toán tử K ∗ K Do đó, trường hợp khơng có tốn tử quy khơng chứa hàm riêng (κ < 0) khơng tồn tốn tử điều chỉnh với vế phải Khi số hạng tự f thoả mãn điều kiện giải phương trình tích phân kỳ dị Kϕ = f , tồn toán tử điều chỉnh tương đương dựng hữu hiệu Dạng toán tử độc lập vế phải 3.2 3.2.1 Ví dụ áp dụng Bài tốn biên Riemann nửa mặt phẳng Ví dụ 3.1 Ta xét toán biên Riemann trục thực với hệ số hàm số hữu tỷ khác khơng khơng có cực điểm biên Φ+ (t) = p(t) − Φ (t) + g(t) q(t) (3.1) 35 Khai triển đa thức p(z), q(z) thành tích p(z) = p+ (z)p− (z), q(z) = q+ (z)q− (z), p+ (z), q+ (z) đa thức có nghiệm nửa mặt phẳng phức, p− (z), q− (z) có nghiệm nửa mặt phẳng phức Dễ dàng thấy κ = m+ − m− , m+ , m− tương ứng số không điểm cực điểm đa thức p+ (z) p− (z) Vì hệ số hàm số thác triển giải tích vào nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng nên ta xét tốn thác triển tổng qt Viết điều kiện biên sau q− (t) + p+ (t) − q− (t) Φ (t) − Φ (t) = g(t), p− (t) q+ (t) p− (t) ta thu nghiệm ứng với Φ− (∞) =    P (z) p (z) κ −1 −   Ψ+ (z) + Φ+ (z) =   q− (z)  (z + i)κ−1     q+ (z) Pκ−1 (z) Φ− (z) = Ψ− (z) + p+ (z) (z + i)κ−1     R q− (τ ) dτ +∞   g(τ ) Ψ(z) = 2πi −∞ p− (τ ) τ −z Nếu số âm, cần đặt Pκ−1 = cần thêm |κ | điều kiện giải được: Z+∞ q− (τ ) dτ g(τ ) = (k = 1, 2, , −κ ) p− (τ ) (τ + i)k −∞ Ví dụ 3.2 Giải toán biên Riemann sau Φ+ (t) = t + ib 2t − ih − Φ (t) + (h 6= 0, −∞ < t < +∞) t+i t +1 Lời giải Trường hợp h > 0, ta viết lại toán biên sau: (t + i)Φ+ (t) − (2t − ih)Φ− (t) = t + ib t−i