BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGỌ VĂN TRƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGỌ VĂN TRƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGỌ VĂN TRƯƠNG ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn khoa học: TS Mai Xuân Thảo THANH HÓA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1044/QĐ-ĐHHĐ ngày 20 tháng năm 2020 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên GS TS Đào Tam Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Trường Đại học Vinh Chủ tịch HĐ Trường ĐHGD ĐHQGHN UV Phản biện TS Nguyễn Văn Lương Trường Đại học Hồng Đức UV Phản biện TS Phạm Thị Cúc Trường Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Nguyễn Hữu Hậu Trường Đại học Hồng Đức Thư ký PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 10 tháng 09 năm 2020 (ký, ghi rõ họ tên) TS Mai Xuân Thảo * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ mơn Giải tích - PPDH Tốn LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Ngọ Văn Trương i LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn TS Mai Xuân Thảo Tác giả xin chân thành cảm ơn bảo tận tình với nhận xét quý báu để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Sau đại học, thầy giáo khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xni cảm ơn BGH trường THPT Nơng Cống 3, Tổ Tốn - Tin tạo điều kiện giúp tác giả thời gian tác giả học tập vừa qua Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Thanh Hóa, tháng năm 2020 Học viên Ngọ Văn Trương ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 1.1.2 1.2 Khái niệm dãy số Giới hạn dãy số Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học Chương Áp dụng phương pháp quy nạp toán học số toán dãy số 2.1 13 Bài toán công thức số hạng tổng quát tổng phần tử dãy số 13 2.2 Bài toán cấp số cộng cấp số nhân 22 2.3 Bài tốn tính chất số học dãy số 26 2.4 Bài toán tính đơn điệu tính bị chặn dãy số 33 2.5 Bài tốn tính chất số dãy số quen thuộc 36 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích tốn học Các học sinh sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn loại khó liên quan đến chun đề Dãy số có vị trí đặc biệt tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Một phương pháp mạnh tốn học dùng nghiên cứu chứng minh giả thuyết phương pháp sử dụng ngun lý quy nạp tốn học Có vơ số ví dụ mơn học chương trình phổ thơng dùng ngun lý để diễn giải mô tả Nhưng để hiểu thấu đáo kỹ thuật áp dụng học tập, sáng tạo sách bàn tới Tài liệu nước có số sách nói riêng vấn đề chưa đầy đủ nhiều người khó tiếp xúc với tài liệu Nhằm thu thập khảo sát nguyên lý quy nạp toán học theo khía cạnh minh họa tập chương trình phổ thơng có liên quan đến dãy số, chọn đề tài “Áp dụng phương pháp quy nạp toán học số toán dãy số” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu ngun lý quy nạp toán học - Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học - Nghiên cứu việc áp dụng phương pháp quy nạp toán học để giải số toán dãy số Nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu kỹ thuật dùng phương pháp quy nạp tốn học áp dụng số toán dãy số - Xây dựng hệ thống toán liên quan dãy số áp dụng phương pháp quy nạp toán học để giải Phương pháp nghiên cứu - Tổng hợp, phân tích, hệ thống kiến thức phương pháp quy nạp toán học - Tìm hiểu việc áp dụng kỹ thuật dùng phương pháp quy nạp toán học số toán dãy số tìm tịi xây dựng hệ thống toán liên quan Ý nghĩa khoa thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học viên cao học bạn học sinh việc tìm hiểu phương pháp quy nạp tốn học việc áp dụng phương pháp quy nạp toán học số toán dãy số Bố cục luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, kết liên quan đến dãy số nguyên lý quy nạp toán học Cụ thể: 1.1 Một số định nghĩa tính chất dãy số; 1.2 Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học Chương 2: Áp dụng phương pháp quy nạp toán học số tốn dãy số Trong chương này, chúng tơi phân loại dạng toán liên quan đến dãy số, giải chúng thông qua sử dụng nguyên lý quy nạp trình bày Chương Cụ thể: 2.1 Bài tốn cơng thức số hạng tổng quát tổng phần tử dãy số 2.2 Bài toán cấp số cộng cấp số nhân 2.3 Bài tốn tính chất số học dãy số 2.4 Bài tốn tính đơn điệu tính bị chặn dãy số 2.5 Bài tốn tính chất số dãy số quen thuộc; Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước hết, trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến dãy số, phục vụ cho toán trình bày chương sau (Xem [1, 2, 3, 4]) 1.1 Một số định nghĩa tính chất dãy số 1.1.1 Khái niệm dãy số Ánh xạ u : N∗ → R n 7→ u (n) = un gọi dãy số Lưu ý, ta kí hiệu dãy số sau: u1 , u2 , u3 , , un , {un } 1.1.2 Giới hạn dãy số • Dãy {un } gọi hội tụ đến l (hay có giới hạn đến l) với số ε > 0, tồn N ∈ N cho |un − l| < ε, ∀n > N Khi ta viết lim un = l hay un → l (n → ∞) n→∞ • Ta nói {un } dãy hội tụ tồn l ∈ R để lim un = l Ta nói dãy n→∞ {un } phân kì khơng hội tụ • Ta nói dãy {un } tiến đến +∞ (hay {un } dần +∞, hay {un } nhận +∞ làm giới hạn) ∀L > 0; ∃N ∈ N : ∀n > N, un ≥ L Khi ta viết lim un = +∞ un → +∞ (n → ∞) n→∞ • Ta nói dãy {un } tiến đến ∞ (hay {un } có giới hạn ∞) viết lim un = n→∞ ∞ : ∀L > 0; ∃N ∈ N : ∀n > N, |un | ≥ L • Tính chất thứ tự giới hạn * Nếu an 6bn với n ≥ n0 đó; lim an = a, lim bn = b a6b n→∞ n→∞ * Nguyên lí kẹp Cho {un }, {vn }, {wn } ba dãy Nếu từ số N trở xảy bất đẳng thức un 6wn 6vn {un } {vn } hội tụ đến giới hạn l Khi {wn } hội tụ đến l • {un } gọi dãy tăng (giảm) un+1 ≥ un (un+1 6un ), ∀n {un } gọi dãy tăng (giảm) un+1 > un (un+1 < un ), ∀n Dãy tăng giảm gọi chung dãy đơn điệu • Dãy tăng (giảm), bị chặn ( dưới) hội tụ • Dãy tăng (giảm), khơng bị chặn (dưới) dần +∞ (−∞) Chứng minh + Giả sử dãy {un } tăng, bị chặn : u1 6u2 6L < +∞ Tập hợp {un , n = 1, 2, } không rỗng bị chặn Theo tiên đề cận trên, tồn M = sup {un , n = 1, 2, } Ta chứng minh lim un = M n→∞ ∀ε > cho trước, theo tính chất supremum, tồn n0 : M − ε < un0 6M Mặt khác, {un } không giảm bị chặn M nên un0 6un 6M, ∀n > n0 Suy M − ε < un 6M < M + ε, ∀n > n0 Vậy lim un = M n→∞ + Đối với dãy {un } giảm bị chặn dưới, xét dãy {−un } phần lại rõ • Dãy kề Hai dãy {un } {vn } gọi kề {un } tăng, {vn } giảm − un → (n → ∞) • Hai dãy {un } {vn } kề chúng hội tụ đến giới hạn l Hơn un 6un+1 6vn+1 6vn , ∀n ∈ N 2k un Lời giải a) Ta có 2um = um+1 − um−1 Ta chứng minh (2.23) cách quy nạp theo j > Ta đặt P (j) := “2um um+j + (−1)j am−j ” • Bước sở Khi j = 1, 2um = um+1 − um−1 nên P (1) mệnh đề • Bước quy nạp Giả sử P (j) với j k Khi đó, ta có 2um 2um+k + 2(−1)k um−k Do 2um+k + 2(−1)k um−k = um+k+1 − um+k−1 + (−1)k um−k+1 + (−1)k+1 um−k−1 nên 2um um+k+1 + (−1)k+1 um−k−1 − um+k−1 + (−1)k−1 um−k+1 Suy ra, 2um um+k+1 + (−1)k+1 um−k−1 hay P (k + 1) Theo nguyên lý quy nạp, ta suy điều phải chứng minh b) Trước hết, ta cố định m, chứng minh quy nạp theo n > đẳng thức um+n = um−1 un + um un+1 Với n > 0, ta định nghĩa mệnh đề Q(n) := “um+n = um−1 un + um un+1 ” 31 (2.24) • Bước sở Khi n = 0, u0 = 0, u1 = nên “um = um−1 · + um · 1” mệnh đề Suy ra, Q(0) Mặt khác, u2 = 2, ta có “um+1 = um−1 + 2um ” mệnh đề theo cách xác định dãy số Nói cách khác, Q(1) • Giả sử với k > đó, ta có Q(k − 1), Q(k) mệnh đề Khi đó, um+k+1 = 2um+k + um+k−1 = (um−1 uk + um uk+1 ) + um−1 uk−1 + um uk = um−1 (2uk + uk−1 ) + um (2uk+1 + uk ) = um−1 uk+1 + um uk+2 Suy ra, Q(k + 1) Theo nguyên lý quy nạp, Q(n) với n > Từ đó, ta có (2.24) Do m lấy tùy ý nên ta có (2.24) với m, n > Đặc biệt, m n um