Một số phương pháp số giải gần đúng đạo hàm và tích phân

LỜI CẢM ƠN Đề tài thực hoàn thành trường Đại Học Hồng Đức hướng dẫn tận tình thầy Lê Trần Tình,người hướng dẫn truyền cho em kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học.Em xin bày tỏ lịng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến nhà trường ,khoa thầy cô trực tiếp giảng dạy suốt qua trình rèn luyện học tập trường Đại Học Hồng Đức, Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln giúp đỡ , động viên tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt q trình học tập hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Vân i MỤC LỤC Trang LỜI MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU A SAI SỐ 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần đúng- sai số tƣơng đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn 1.1.3 Cách viết số gần 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu 1.2.2 Sai số tổng u  x  y 1.2.3 Sai số tích u  x y 1.2.4 Sai số thƣơng u  x , y  y 1.2.5 Công thức tổng quát 1.3 Sai số tính tốn sai số phƣơng pháp B ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.4 ĐẠO HÀM 1.4.1 Đạo hàm hàm số điểm 1.4.2 Ý nghĩa hình học đạo hàm 1.4.3 Đạo hàm hàm số khoảng 1.5 TÍCH PHÂN ii 1.5.1 Định nghĩa 1.5.2 Tính chất 1.5.3 Ý nghĩa hình học tích phân CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM 10 2.1 Bài toán nội suy tổng quát 10 2.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Lagrange 12 2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange 12 2.2.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Lagrange 13 2.3 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton 14 2.3.1 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy cách 14 2.3.2 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với mốc nội suy cách 17 2.3.3 Đa thức nội suy Newton với mốc nội suy khơng cách 18 2.3.4 Tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với mốc nội suy không cách 20 2.4 Tính gần đạo hàm phƣơng pháp ngoại suy Richardson 21 2.4.1 Phƣơng pháp sai phân thuận(Forward difference) 21 2.4.2 Phƣơng pháp sai phân ngƣợc (Backward difference) 21 2.4.3 Phƣơng pháp sai phân trung tâm (Central difference) 22 2.5 Tính gần đạo hàm phƣơng pháp Spline bậc ba 22 2.5.1 Giới thiệu hàm Spline (hàm ghép đơn) 22 2.5.2 Tính gần đạo hàm phƣơng pháp Spline bậc ba 25 2.6 Một số lƣợc đồ giải gần đạo hàm maple 27 2.6.1 Lƣợc đồ giải gần đạo hàm đa thức nội suy Newton 27 CHƢƠNG 3: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỐ GIẢI GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN 30 3.1 Cơng thức hình thang 30 3.1.1 Xây dựng công thức 30 3.1.2 Phân tích sai số 31 3.1.3 Ví dụ 31 iii 3.2 Công thức parabol (Simpson) 32 3.2.1 Xây dựng công thức 32 3.2.2 Phân tích sai số 34 3.2.3 Ví dụ 34 3.3 Công thức Newton – Cotes 35 3.3.1 Xây dựng công thức 35 3.3.2 Ví dụ 36 3.4 Công thức Chebyshew 37 3.4.1 Xây dựng công thức 37 3.4.2 Ví dụ 38 3.5 Công thức Gauss 39 3.5.1 Xây dựng công thức 39 3.5.2 Ví dụ 42 3.6 Phƣơng pháp Monte – Carlo 43 3.6.1 Nội dung phƣơng pháp 43 3.6.2 Sai số phƣơng pháp Monte – Carlo 45 3.6.3 Ví dụ 47 3.7 Một số lƣợc đồ giải gần tích phân Maple 51 CHƢƠNG 4: CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 56 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 iv LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Việc tìm cơng thức nghiệm tƣờng minh cho tốn vi phân- tích phân khơng phải lúc giải đƣợc.Từ việc nghiên cứu định tính, định lƣợng tốn phƣơng trình vi phân – tích phân.Vấn đề giải tích số trở thành cơng cụ hữu hiệu để hiểu sâu Một khó khăn phƣơng pháp giải tích số phƣơng trình vi phân – tích phân tính gần đạo hàm tích phân Nhận thấy vấn đề đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vấn đề then chốt nghiên cứu phƣơng pháp số cho phƣơng trình vi phân- tích phân Vì vậy, em lựa chọn đề tài “Một số phương pháp số giải gần đạo hàm tích phân” làm khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu -Tìm hiểu đạo hàm tích phân, phƣơng pháp số giải gần đạo hàm tích phân - Nghiên cứu lƣợc đồ giải gần đạo hàm tích phân - Hệ thống phân loại dạng tập liên quan đến tính gần đạo hàm tích phân Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đạo hàm , tích phân, lƣợc đồ giải gần đạo hàm tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lƣợc đồ giải gần đạo hàm tích phân Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu định tính: nghiên cứu tài liệu tham khảo liên quan đến đạo hàm tích phân - Phƣơng pháp nghiên cứu định lƣợng: nghiên cứu lƣợc đồ giải tích số kết hợp với phần mềm tƣơng thích Cấu trúc Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khóa luận đƣợc chia làm chƣơng Chương 1: Kiến thức mở đầu Chương 2: Một số phƣơng pháp số giải gần đạo hàm Chương 3: Một số phƣơng pháp số giải gần tích phân Chương 4: Các dạng tập NỘI DUNG CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU A SAI SỐ Sai số giá trị chênh lệch giá trị đo đƣợc tính đƣợc giá trị thực hay giá trị xác đại lƣợng 1.1 Số gần sai số 1.1.1 Số gần đúng- sai số tƣơng đối sai số tuyệt đối Ta gọi x số gần x* x không sai khác nhiều so với x*,hiệu số   x *  x đƣợc gọi số thực x khơng biết đƣợc giá trị x* nên khơng thể xác định đƣợc  Mặt khác ta tìm đƣợc số  ≥ cho x *  x ≤  x Khi đó:  x đƣợc gọi sai số tuyệt đối x x  x đƣợc gọi số tƣơng đối x x Suy  x  x  x công thức thể đƣợc mối quan hệ sai số tƣơng đối sai số tuyệt đối 1.1.2 Quy tròn số sai số quy tròn a Hiện tượng quy trịn số Khi gặp chữ số có q nhiều số đáng nghi, ngƣời ta bỏ vài chữ số cuối,việc làm gọi quy trịn số Mỗi quy tròn số, ta tạo sai số gọi sai số quy tròn tuyệt đối b Sai số quy tròn tuyệt đối Gọi x số gần x* x’ số quy tròn x Thế số  x cho x  x ' ≤  x đƣợc gọi sai số quy trịn x’ Vì x *  x '  x *  x  x  x '   x   x nên ta thấy làm trịn số sai số tuyệt đối tăng thêm  x 1.1.3 Cách viết số gần a Chữ số có nghĩa Một số viết dƣới dạng thập phân gồm nhiều chữa số, nhƣng ta kể đến chữa số từ chữ số khác khơng tính từ trái sang phải chữ số có nghĩa Chẳng hạn 1,46 có ba chữ số có nghĩa 0,0146 có ba chữ số có nghĩa 1;4;6 b Chữ số đáng tin Mọi chữ số thập phân x biểu diễn dƣới dạng : x p   10 x s x  p q s Trong  s số nguyên từ đến Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối  x Thế  s đƣợc gọi chữ số hay chữ số đáng tin  x  0.5.10s  x  0.5.10s  s chữ số đáng nghi c Cách viết số gần Gọi x số gần x* với sai số tuyệt đối  x Thế có cách viết số gần x nhƣ sau: Cách 1: x   x x 1   x  Cách 2: Viết theo quy ƣớc chữ số có nghĩa x chữ số đáng tin 1.2 Các quy tắc tính sai số 1.2.1 Mở đầu Xét hàm số u biến x y có dạng u  f  x, y  Cho biết sai số x;y Hãy lập công thức tính sai số u Ta ký hiệu : 1,  , 3 số gia x,y,u d x , d y , du vi phân x,y,u  x ,  y , u sai số tuyệt đối x,y,u Vì x *  x   x nên ta có : 1   x 2   y Ta phải tìm  u để có 3  u 1.2.2 Sai số tổng u  x  y Ta có 3  1  2 suy 3  1   nên 3   x   y Ta chọn  x y   x   y để có 3  u Do ta có quy tắc: Sai số tuyệt đối tổng tổng sai số tuyệt đối số hạng Chú ý: Nếu u  x  y với x y dấu  u  u  x   y  u x y Cho nên x  y bé sai số tƣơng đối lớn.Vì vậy,trong tính tốn ngƣời ta tìm cách để tránh phải trừ số gần 1.2.3 Sai số tích u  x y Ta có 3  du  ydx  xdy  y1  x2 Suy 3  y 1  x   y  x  x  y Suy 3  y  x  x  y Do  u  u y  x  x  y  x  y    u x y x y Tức  xy   x   y Vậy sai số tƣơng đối tích tổng số tƣơng đối thừa số tích Đặc biệt ta có   x n   n. x với n số nguyên dƣơng 1.2.4 Sai số thƣơng u  x ,y0 y Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp tích ta có quy tắc.Sai số tƣơng đối thƣơng tổng sai số tƣơng đối số hạng:  x   x   y y 1.2.5 Công thức tổng quát n Cho u  f ( x1, x2 , xn ) ta có u   j 1 f x j x j n f  x x j u j 1 i Suy  u   u f ( x1 , x2 , , xn ) 1.3 Sai số tính tốn sai số phƣơng pháp Khi giải gần toán phức tạp ta phải thay toán cho toán đơn giản giải đƣợc thơng qua việc thực phép tính thơng thƣờng tay máy tính điện tử.Phƣơng pháp thay toán phức tạp toán đơn giản đƣợc gọi phƣơng pháp gần Sai số phƣơng pháp gần tạo gọi sai số phƣơng pháp Để giải toán đơn giản ta phải thực phép tính thơng thƣờng ta ln phải quy trịn kết trung gian.Sai số tạo tất lần quy tròn nhƣ gọi sai số tính tốn Sai số cuối tổng hợp loại sai số phƣơng pháp sai số tính tốn Chú ý: Sai số tổng hợp cuối phần sai số phƣơng pháp sai số tính tốn.Vì vậy, phải ý điều chỉnh cho sai số cuối nhỏ sai số cho phép Giải Ta có x  0, x1  0,1, x  0,2, x  0,3, x  0,4, x  0,5, x  0,6 x  0,7, x8  0,8, x  0,9, x10  Áp dụng công thức parabol ta đƣợc I n 1 n 1 ba   f (a)  f (b)  f x  f x       2i  2i  6n  i 0 i 1  1 1  0,5  4(f (0,1)  f (0,3)  f (0,5)  f (0,7)  f (0,9)  6.5 2  f (0,2)  f (0,4)  f (0,6)  f (0,8)  I I  0,693 dx với n=5  x Câu 10: Sử dụng phƣơng pháp parabol tính I   Giải Ta có x  1, x1  1,1, x  1,2, x  1,3, x  1,4, x  1,5, x  1,6 x  1,7, x8  1,8, x  1,9, x10  Áp dụng công thức parabol ta đƣợc I n 1 n 1 ba   f (a)  f (b)  f x  f (x )     2i  2i  6n  i 0 i 1  1 f (1)  f (2)   f (1,1)  f (1,3)  f (1,5)  f (1,7)  f (1,9)) 6.5   f (1,2)  f (1,4)  f (1,6)  f (1,8))  I  0,5  0,2   0,452  0,372  0,308  0,257  0,217  30 2  0,41  0,338  0,281  0,236   I I  0,3218 Câu 11: a, Tính gần f '(50),f '(55),f '(60) với f (x) đƣợc cho nhƣ bảng sau: x 50 55 60 f (x) 1,6990 1,7404 1,7782 61 b, So sánh với kết tính đạo hàm f (x)  lg x ( trƣờng hợp f '(50) Giải a, với nút nội quy x , x1 , x ta có h2 f '(x )   3y0  4y1  y   f '''(c0 ) 2h h2 f '(x1 )    y  y   f '''(c1 ) 2h h2 f '(x )   y  4y1  3y   f '''(c ) 2h Với c0 ,c1 ,c2  x , x  ta có h  60  55  55  50  h2 f '(50)   3y0  4y1  y   f '''(c0 ) 2h f '(50)   3.1,6990  4.1,7404  1,7782  2.5 f '(50)  0,00864 h2  y  y  f '''(c1 )  2 2h f '(55)    y0  y2  2h f '(55)   1,6990  1,7782  10 f '(55)  0,00792 f '(55)  h2 y  4y  3y  f '''(c )  2 2h f '(60)   y0  4y1  3y  2h f '(60)  1,6990  4.1,7404  3.1,7782  10 f '(60)  0,0072 f '(60)  62 b, So sánh với kết tính đạo hàm f (x)  lg x ( trƣờng hợp f '(50) ta có f (x)  lg x f '(x)  x ln10 f ''(x)   x ln10 f '''(x)  x ln10 max f '''(x)  50,60 50 ln10 h2 ' f 50  0,00864  f '''(50) 52   5,79.105 50 ln10 Câu 12: Sử dụng phƣơng pháp hình thang tính tích phân sau I   e  x dx (với n  10 ) đánh giá sai số Giải Ta có h  ba  n 10 Ta có bảng x 10 f (x) e 1    10  10 e  2    10  10 e  3    10  10 10 e  4    10  e 5    10  10 10 e 6    10  e 7    10  e 8    10   2  3  4 5 6                10   10   10   10   10  I  e  e e e e e  e  10  20    2 7 8 9        e  10   e  10   e  10    2 63 2 10 10 e      9    10  e I  0,8637309155 M b  a  h2  12 Sai số f (x)  e  x ,f '(x)  2x e  x f ''(x)  2.e  x  4x e  x 2 M  max  2e x  4x 2e x  2.e1 2 0,1 1 2.e 1      10   6,13132402.104  12 1 Câu 13: Hãy tính tích phân I   e x dx ƣớc lƣợng sai số a, Sử dụng phƣơng pháp hình thang với n  10 b, Sử dụng phƣơng pháp Parabol với 2n  10 Giải a, Phƣơng pháp hình thang với h  10 ta có bảng x 10 f (x) 1    10  e 10 10 e  2    10  e  3    10  10 10 e  4    10  e  5    10  e  6    10  10 10 10 e 7    10  e 8    10   2  3  4  5  6               10  10  10  10  10       I  e  2 e e e e e  e 10   20    e 7    10  e 8    10  e 9    10  2     I  1,467 M(b  a)h Sai số   12 64 2 10 e     9    10  e f (x)  e x ,f '(x)  2x.e x f ''(x)  2e x  4x 2e x 2 M  max 2e x  4x 2e x  6e 2 0,1 1 6e(1  0)    10   0,0136  12 b,Phƣơng pháp parabol h  ba  2n 10 2 2 2 1  2  3  4  5                  I  1  e   e 10   e 10   e 10   e 10   e 10   e 10      30     e 7    10  e 8    10  e 9    10      I  1,4626814 Sai số   (b  a) M.h 180 f (4)  12e x  48x 2e x  16x e x 2 M  max 12e x  48x 2e x  16x 4e x  72e 2 0,1 1  76e.   0,001147 180  10  Câu 14:Tính gần tích phân sau theo cơng thức Gauss với n=4  x4 I dx  x6 Giải Ta tính gần tích phân cơng thức Gauss Trƣớc tiên ta đổi biến số Đặt x 1 1 1 t  t 2 2  x4 Khi I   dx  Bif (x i )   x i  1 65 1 Trong x i  t i  , t i nghiệm đa thức Lagendre bậc 2 f (x i )   x i4  x i6 Ta lập bảng tính sau: i xi f (x i ) Bi Bif (x i ) -0,861 1,1010083 0,348 0,3831508884 -0,340 1,0118003 0,652 0,6596937956 0,340 1,0118003 0,652 0,6596937956 0,861 1,1010083 0,348 0,3831508884 Suy I   Bif (x i )  1,042844684 i1 Trong giá trị gần I I  1,047197551 Bài 15: Bằng công thức Gauss, với n=4 , giải gần tích phân e x 1 I  dx  cosx 1 Giải Áp dụng cơng thức Gauss, ta có: e x 1 I    Bif (x i )  cosx i1 1 e x 1 dx Với f (x)    cosx 1 Ta lập bảng tính sau: i xi f (x i ) Bi Bif (x i ) -0,861 2,265507276 0,348 0,869954794 -0,340 1,408104625 0,652 0,965028215 0,340 1,4080104625 0,652 0,965028215 0,861 2,265597276 0,348 0,869954794 66 Suy I   0,869954794  0,965028215   3,669966018 Bài 16: Tính gần tích phân sau theo cơng thức Chebysev với n=5  sinx dx  x I Giải Với n=5, ta dùng phép biến đổi biến số Đặt x    t  Khi 4  0  I f (t i )  f (t1 )   f (t )   i1 10   sin  t i   4 4 Trong f (t i )      ti   4 4 Tính tốn đƣợc lập theo bảng sau i ti   sin  t i   4 4     ti   4 4 f (t i ) -0,832 0,13156436 1,1319469 0,11622838 -0,374 0,47208925 1,4916593 0,31648598 0,70710678 1,7853982 0,39604990 0,374 0,88155076 2,0791371 0,42399838 0,832 0,99130763 2,4388494 0,40646529 Suy I    f (t i )  0,52126183 10 i1 Trong giá trị I I  0,5210324698 Bài 17: Bằng công thức Chebysev với n=5 , tính tích phân  x3  I   x e ln   x dx   x 67 Giải  x3   x  x3 Ta thấy I   x e ln   x dx   x e ln   x  dx 1     x I f (x1)  f (x )   f (x )   x 3i  Trong f (x i )  x e ln      xi i Ta có bảng sau: i xi f (x i ) -0,832 0,1784050129 -0,374 0,065859848894 0 0,374 0,1426920000 0,832 1,2483625960 Suy  0,1784050129  0,06585484894   0,1426920000  1,2483625960  I  0,3270638916 I  3    Câu 18: Cho hàm số f (x)  sinx đoạn 0,  Tính f '   ,f ''    2 3 3 nhờ Spline bậc với phân hoạch   3    0, , ,  Giải Ta có  3 x  0;x1  ;x  ;x  2 f (x )  0;f (x1 )  1;f (x )  0;f (x )  1 f '(x )  1;f '(x1 )  0;f '(x )  1;f '(x )  68 Với n  3,h  h1  h         12    y  y0 b0    y'0     1    1   h0  h0       2     y  y1 y1  y0    1   24 b1           h  h1  h1 h0      2 2     y3  y y  y1   1  0   b2          0 h1  h  h h1     2 2    6 y  y2   1   24 b3   y'3     0     h2  h2     2  Từ ta có hệ phƣơng trình sau:  12    2m  m1      1    24 1  m  2m1  m   2   m  2m  m   24  m  2m3    Từ ta có đƣợc đa thức Spline S(x) đoạn nhỏ tìm đƣợc S’(x) Chẵng hạn với x      0, ,ta có:    384 132      312 36  96 14 S'(x)          x   x  2 19 19  19 19      19 19   Suy 69  S'      0,515493   3  768 164      624 72  S''(x)        x  x 2  19 19      19 19      80 11 Suy S'      0,488044   19 57 Trong giá trị  f '     0,5 3   f ''     0,866025 3 Bài 19: Hàm số y=f(x) đƣợc cho bảng x -2 -1 y -5 Tính f '(x) Giải Trƣớc tiên ta tìm đa thức nội suy Lagrange f(x) Ta có: (x  1)(x  1)(x  2) (x  2)(x  1)(x  2) 1 (2  1)(2  1)(2  2) (1  2)(1  1)(1  2) (x  2)(x  1)(x  2) (x  2)(x  1)(x  1) 4 7 (1  2)(1  1)(1  2) (2  2)(2  1)(2  1)  (x  1)(x  2)  (x  4)(x  1)  (x  4)(x  1)  (x  1)(x  2) 12 12  (x  2x  x  2)  (x  x  4x  4)  (x  x  4x  4) 12  (x  2x  x  2) 12 1  x3  x  x  2 P(x)  5 Vậy f '(x)  P(x)  x  x  70 Bài 20: Hàm số f(x) đƣợc cho bảng x 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 y 0,298876 0,494867 0,685795 0,869981 1,045374 Tính f '(0,2);f '(0,49) đa thức nội suy Newton tiến, Newton lùi? Giải Ta lập bảng sai phân i x y 0,15 0,298876 y 2 y 4 y 3 y 0,195991 0,25 0,494867 -0,005063 0,190928 0,35 0,685795 -0,001679 -0,006742 0,184186 0,45 0,869981 -0,000372 -0,002051 -0,008793 0,175393 0,55 1,045374 Ta thấy mốc nội suy cách h=0,1  Tính f '(0,2) Ta thấy giá trị x=0,2 gần mốc nội suy x=0,15 đầu bảng, ta dùng công thức nội suy Newton tiến Đặt t x  x 0,2  0,15   0,5 h 0,1 Ta có:  1 2t  3t  6t  f '(x  th)   y0   y0   y0   h 2! 3!  Trong : 71 2t  2.0,5   y0  (0,05063)  2! 3t  6t  3.0,52  6.0,5  *)  y0  (0,001674)  0,0000699583333 3! 4t  18t  22t  4.0,53  18.0,52  22.0,5  *)  y0  (0,000372) 4! 4!  0,0000155 *) Suy f '(0,2)  0,195991  0,000069958333  0,0000155  1,960454583 0,1  Tính f '(0,49) Ta thấy giá trị x=0,49 gần mốc nội suy x  0,55 cuối bảng, ta dùng công thức nội suy Newton lùi Đặt t x  x 0,49  0,55   0,6 h 0,1 Ta có: 1 2t  3t  6t  4t  18t  22t   f '(x  th)   y3   y2   y1   y0  h 24  Trong đó: 2t  2(0,6)   y2  (0,008793)  0,0008793 2 3t  6t  3(0,6)  6(0,6)  *)  y1  (0,002051)  0,0001777775333 6 4t  18t  22t  4(0,6)3  18(0,6)  22(0,6)  *)  y0  (0,000372) 24 24  0,000024552 *) Suy f '(0,49)  (0,175393  0,0008793  0,0001777775333  0,000024552) 0,1 f '(0,49)  1,76474573 72 Bài 21: Hàm số f(x) đƣợc cho bảng sau: x -2 y 17 -5 -4 52 191 Tính f '(x) Giải Áp dụng cơng thức tính gần đạo hàm đa thức nội suy Newton với n=4 Trƣớc hết, ta lập bảng tỷ sai phân (TSP) x y -2 17 TSP cấp TSP cấp TSP cấp TSP cấp -11 -5 1 -4 28 52 37 139 191 Ta có: f '(x)  f (x , x1 )  (0  1 )f (x , x1, x )  (01  1   20 )f (x , x1, x , x )  (01  1 23   23   013 )f (x , x1 , x , x , x ) V ới i  x  x i (i  1,3) Ta có:   1  (x  2)  (x  0)  2x   01  1   2  (x  2)x  x(x  1)  (x  1)(x  2)  3x  3x   01  1 23   23   013  (x  2)x(x  1)  x(x  1)(x  3) (x  1)(x  2)(x  3)  (x  2)x(x  3)  4x  6x  10x  Suy f '(x)  11  4(2x  2)  1.(3x  3x  2)  1(4x  6x  10x  6)  4x  3x  73 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, đề tài “ Một số phương pháp số giải gần đạo hàm tích phân” đạt đƣợc số kết nhƣ sau: Đề tài trình bày cách hệ thống kiến thức đạo hàm tích phân Đề tài đƣa phƣơng pháp số giải gần đạo hàm tích phân Đề tài đƣa lƣợc đồ số giải gần đạo hàm tích phân Đề tài đƣa số tập có lời giải liên quan đến phƣơng pháp số giải gần đạo hàm tích phân Mặc dù vậy, thời gian hạn chế, kiến thức hạn hẹp nên đề tài chƣa sâu tìm hiểu rõ kỹ phƣơng pháp số để giải đạo hàm tích phân 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] PGS.TS TRẦN ANH BẢO- TS NGUYỄN VĂN KHẢI,PGS-TS PHẠM VĂN KIỀU – PGS TS NGÔ XUÂN SƠN- Giải tích số -(NXB Đại học sư phạm) [2] PHẠM KỲ ANH (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] NGUYỄN MINH CHƢƠNG (chủ biên), NGUYỄN VĂN KHẢI, KHUẤT VĂN NINH, NGUYỄN VĂN TUẤN, NGUYỄN TƢỜNG (2001), Giải tích số, NXB Giáo dục [4] PHẠM HUY ĐIỂN (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Richard L Burden, J Douglas Faires (1997), Numerical Analysis, Brooks/Cole Publishing Company, New York 75