thành tích nhân tử nguyên tố lm ul vành số nguyên đại số bậc k áp dụng phân tích dó vành số z at nh oi nguyên đại số bậc trường vòng Vì khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến bổ sung để z luận văn hoàn chỉnh m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN B Trong chương trình bày khái niệm mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, tính chất chúng Chúng ta chứng minh ideal vành số nguyên đại số phân tích thành tích ideal ngun tố từ xây dựng số học vành số nguyên đại số 1.1.Các khái niệm mở rộng trường B lu an va 1.1.1.Định nghĩa: n B to gh tn Cho F, E trường, F trường E E gọi mở rộng Khi E khơng gian vectơ F, dim F E = [ E : F ] bậc mở rộng E p ie F oa nl w F d • Nếu [ E : F ] = ∞ E mở rộng vô hạn F lu nf va an • Nếu [ E : F ] = n E mở rộng hữu hạn (bậc n) F Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G Ta có lm ul [ G : F ] = [ G : E ] [ E : F ] z at nh oi Hơn { xi }i =1,n sở E F {x y } i sở G F j j =1, n sở G E z j i =1, n j =1, m {y } gm @ 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp B co l m Cho E mở rộng F, X tập E F ( X ) giao tất trường n Đặc biệt va nhỏ trường E chứa F X an Lu E vừa chứa F X, F ( X ) gọi mở rộng F X F ( X ) trường ac th si • f (a) F (a) = f , g ∈ F [ x ] , g ≠ gọi X = {a} F ( X ) = g (a) mở rộng đơn • X = • {a1 , a2 , , an } , n ≥ f (a1 , a2 , , an ) F(X ) = F (a1 , a2 , , an ) = f , g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] , g ≠ g (a1 , a2 , , an ) gọi mở rộng lặp 1.1.3 Phần tử đại số B lu Định nghĩa Cho E mở rộng trường F Lấy α ∈ E , α gọi đại an số F tồn f ( x) ∈ F [ x ] , deg f ≥ cho f (α ) = n va • Số phức đại s trờn Ô c gi l s i s to p ie gh tn • Cho α phần tử đại số F, tồn f ( x) ∈ F [ x ] , f ( x) đơn khởi, bất khả quy F [ x ] nhận α làm nghiệm Đa thức w f ( x) gọi đa thức tối tiểu α F kí hiệu oa nl irr (α , F ) d • Nếu α đại số bậc n F F (α ) : F =n 1, α , α , , α n −1 an lu nf va sở F (α ) F F (α ) = + a1α + + an−1α n−1 ∈ F } z at nh oi a Các định nghĩa lm ul 1.1.4 Mở rộng đại số B {a • Cho E mở rộng F, E mở rộng đại số F phần tử z l • Mở rộng chuẩn tắc gm @ α ∈ E đại số F Mở rộng không đại số gọi mở rộng siêu việt co Cho E mở rộng F, E mở rộng chuẩn tắc F đa thức m p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy F [ x ] , có nghiệm α ∈ E p ( x) phân tích an Lu thành tích đa thức bậc E [ x ] (E chứa tất nghiệm p ( x) ) n va Từ khái niệm ta kết sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã E ac th si • Mở rộng tách p ( x) ∈ F [ x ] tách F khơng có nghiệm bội F F ⊂ E , α ∈ E gọi tách F irr (α , F ) tách F ⊂ E , E mở rộng tách ∀α ∈ E , α tách F Nếu charF = đa thức bất khả quy F [ x ] tách Suy mở rộng E F tách b Định lý phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E mở rộng hữu hạn tách F E mở rộng lu đơn Nghĩa tồn α ∈ E cho F (α ) = E an n va Phần chứng minh định lý độc giả sẻ tìm thấy Saban Alaca and tn to Kenneth S Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp 102 – 104] gh 1.2.Phần tử nguyên B ie p 1.2.1.Định nghĩa w B oa nl Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi d nguyên A b nghiệm đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A lu nf va an Một số phức nguyên ¢ gọi nguyên đại số ∀b ∈ B, b nguyên A B gọi nguyên A z at nh oi lm ul 1.2.2 Định lý: B Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B Nếu B A_môđun hữu hạn sinh B nguyên A z l A [b ] A_môđun hữu hạn sinh gm @ 1.2.3 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b ∈ B , b nguyên A m co 1.2.4 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b1 , , bn ∈ B b1 , , bn an Lu nguyên A A [b1 , , bn ] A_môđun hữu hạn sinh va Chứng minh định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy Saban n Alaca and Kenneth S Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp 77 – 80] ac th si 10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C suy c nguyên B, tồn b0 , , bn −1 ∈ B cho Suy c nguyên A [b0 , , bn−1 ] , A [b0 , , bn−1 , c ] c n + bn−1c n−1 + + b0 = A [b0 , , bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh Mặt khác b0 , , bn −1 ∈ B nên A [b0 , , bn −1 ] A_môđun hữu hạn sinh Suy A [b0 , , bn−1 , c ] A_môđun hữu hạn sinh ■ Vậy C nguyên A 1.3.Bao đóng nguyên vành B lu an 1.3.1 Các khái niệm n va B to • Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B AB = {b ∈B| b nguyên A} P PR R tn • Cho A miền nguyên, K trường thương A Bao đóng nguyên p ie gh vành B chứa A gọi bao đóng nguyên A B A K gọi bao đóng ngun A Kí hiệu AK P P w nl • Miền nguyên A gọi vành đóng nguyên AK = A P P oa d Cho tháp mở rộng trường ¤ ⊂ K ⊂ £ , [ K : ¤ ] = n lu £ nf va an £ { α ∈ £ α nguyên ¢ } c gi l bao úng nguyờn ca  ã = Â= lm ul ã gi l số nguyên đại số z at nh oi • a ∈ ¢ gọi số nguyên hữu tỉ K { α ∈ K | α nguyên ¢ } gọi l vnh cỏc s nguyờn i s ã O= Â= K m co 1.3.2 Các tính chất B l gm @ Chú ý: ¢ = Ω ∩ ¤ OK = Ω ∩ K z trường K u u số nguyên đại a n va số a số nguyên hữu tỉ an Lu i) Mỗi số đại số viếc dạng α = ac th si 38 ∑∏ ( x − θ ) n = f '( x ) n j i =1 j =1 j ≠i Từ suy f ' (θi ) = ∏ (θ n j =1 j ≠i i − θ j ), i = 1, 2, , n Khi ∏∏ (θ n n f ' (θi ) ∏= =i n =i =j j ≠i i −θ j ) = ∏ (θi − θ j ) 1≤i < j ≤ n ∏ (θ 1≤ j