(Luận văn) phân tích vành thương trong vành các số nguyên eisenstein z

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH CAO THƯỢNG lu an n va p ie gh tn to PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN EISENSTEIN Z [ω] d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 05/2017 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐINH CAO THƯỢNG lu PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG TRONG VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN EISENSTEIN Z [ω] an n va gh tn to p ie CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu lm ul z at nh oi GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: GS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN, 05/2017 n va ac th si Mục lục Mục lục Lời cảm ơn Phần mở đầu lu an va Vành số nguyên Eisenstein 6 1.2 Miền iđêan miền Euclid 12 1.3 Iđêan nguyên tố iđêan tối đại 17 1.4 Một số tính chất kí hiệu Legendre 20 1.5 Căn nguyên thủy đơn vị w 24 1.6 Vành số nguyên Eisenstein Z[ω] 27 ie gh tn to Tính chia hết miền nhân tử hóa p n 1.1 d oa nl an lu Số nguyên tố Eisenstein, vành thương Z[ω] phân 32 nf va tích Số nguyên tố Eisenstein vành thương vành Z[ω] 2.2 Phân tích vành thương vành Z[ω] Kết luận z at nh oi lm ul 2.1 32 41 47 Tài liệu tham khảo 48 z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS TS Lê Thị Thanh Nhàn hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Khi bắt đầu nhận đề tài thực cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mẻ Hơn với vốn kiến thức ỏi với kinh nghiệm làm đề tài lớn không nhiều nên chưa thực tự tin để tiếp cận đề tài Mặc dù bận rộn công việc Cô dành nhiều thời gian tâm huyết việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tơi suốt thời gian tơi thực đề tài Trong lu trình tiếp cận đề tài đến q trình hồn thiện luận văn Cơ ln tận tình an bảo tạo điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn Cho đến bây va n luận văn thạc sĩ hồn thành, xin cảm ơn Cơ đơn đốc Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Tốn - Tin Phịng Đào ie gh tn to nhắc nhở p tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tôi xin trân trọng nl w cảm ơn Thầy, Cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu oa tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành luận văn d Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo trường THPT lu nf va an Kim Sơn A - Ninh Bình nơi tơi cơng tác tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành cơng việc chun mơn nhà trường để tơi hồn thành chương trình lm ul học tập cao học z at nh oi Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè, người khơng ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn z m co l gm @ an Lu n va ac th si PHẦN MỞ ĐẦU Như biết, vành số nguyên Z miền Euclid, miền nhân tử hóa miền iđêan Các iđêan Z có dạng mZ = {km | k ∈ Z} = (m) với m ∈ Z, m ≥ Nếu m > vành thương Z có dạng Z/mZ ∼ = Zm , gọi vành số nguyên modulo m Trong vành số nguyên Z, phần tử khác không khả nghịch phân tích thành tích phần tử lu nguyên tố Phân tích khơng kể đến thứ tự nhân tử an nguyên tố nhân tử ước đơn vị Do Z miền iđêan nên va n iđêan I Z iđêan Giả sử I = (m) iđêan sinh m > tn to Nếu m = pα1 pαt t phân tích tiêu chuẩn m thành tích thừa số p ie gh nguyên tố theo Định lý Trung Hoa ta có phân tích Zm ∼ ⊕ ⊕ Zpαt t = Z/I = Zpα1 d oa nl w √ −1+i nguyên thủy bậc ba đơn vị Đặt Cho ω = nf va an lu Z[ω] = {a + bω|a, b ∈ Z} Khi Z[ω] với hai phép tốn cộng nhân lm ul (a + bω) + (c + dω) = (a + c) + (b + d)ω, z at nh oi (a + bω)(c + dω) = (ac − bd) + (ad + bc − bd)ω z miền nguyên, gọi vành số nguyên Eisenstein @ gm Cấu trúc vành Z[ω] vành thương nghiên cứu M l Misaghian báo [Mi]: "Factor rings and their decompositions in the m co Eisenstein integer ring Z[ω]" xuất năm 2013 Mục đích luận văn an Lu trình bày lại kết báo Luận văn quan tâm khai thác tính chất Euclid vành Z[ω], xác định số nguyên tố Eisenstein, phân n va ac th si tích số nguyên Eisenstein thành thừa số nguyên tố Eisenstein cấu trúc vành thương vành Z[ω] Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số kiến thức miền nhân tử hóa, miền iđêan chính, miền Euclid mối quan hệ chúng Hơn nữa, luận văn trình bày số tính chất kí hiệu Legendre, nguyên thủy đơn vị Đặc biệt phát biểu chứng minh tính chất Euclid vành số nguyên Eisenstein Z[ω] Chương gồm hai phần Phần đầu trình bày tính chất số ngun tố lu Eisentein cấu trúc vành thương vành Z[ω], thể Định lý 2.1.8 an va Định lý 2.1.12 Phần cuối luận văn trình bày phân tích vành thương n vành Z[ω] (xem Định lý 2.2.4), đồng thời đưa số ví dụ minh họa gh tn to Nếu phân tích vành thương vành Z Ví dụ 2.2.6 ie phân tích vành thương vành số nguyên Eisenstein Z[ω] p không d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Vành số nguyên Eisenstein Mục đích chương trình bày tính chất sở vành số lu an nguyên Eisenstein Tài liệu tham khảo Chương [H], [N], [M], [Mi] va n 1.1 Tính chia hết miền nhân tử hóa tn to ie gh Trong suốt mục ta xét D miền nguyên p 1.1.1 Định nghĩa Cho a, b hai phần tử D oa nl w (i) Cho b 6= Ta nói b ước a (hay a bội b), kí hiệu b|a, tồn q ∈ D cho a = bq Nếu b ước a ta cịn nói b d nf va an lu chia hết a a chia hết cho b (ii) Nếu tồn q ∈ D để = bq ta nói b ước đơn vị lm ul (iii) Cho 6= a 6= b Ta nói a liên kết b, kí hiệu a ∼ b, a|b b|a z at nh oi Nếu a không liên kết với b ta kí hiệu a  b (iv) Cho b ước a Ta nói b ước thực a, kí hiệu b || a, z b  b  a Các ước a liên kết với liên kết với a gọi @ l gm ước tầm thường a m sai khác nhân tử ước đơn vị co 1.1.2 Mệnh đề Cho 6= a, b ∈ D Khi a liên kết b chúng an Lu n va ac th si Chứng minh Giả sử a b liên kết Khi tồn c, d ∈ D cho a = cb b = da Suy a = cb = cda Do D miền nguyên a 6= nên = cd Vậy c d ước đơn vị a b khác nhân tử ước đơn vị Ngược lại, giả sử a = cb với c ước đơn vị Khi b|a Do c|1 nên tồn d ∈ D cho = cd Vì ta có ad = b(cd) = b Suy a|b Vậy a b liên kết với 1.1.3 Định nghĩa Cho p ∈ D phần tử khác không khác ước đơn vị lu (i) p gọi phần tử bất khả quy p khơng có ước thực an n va (ii) p gọi phần tử nguyên tố p|ab kéo theo p|a p|b với tn to a, b ∈ D ie gh Trong vành Z số nguyên, khái niệm phần tử bất khả quy p phần tử nguyên tố tương đương Trong trường hợp tổng quát, nhìn chung hai khái niệm không tương đương Tuy nhiên ta có tính chất sau nl w d oa 1.1.4 Mệnh đề Mọi phần tử nguyên tố bất khả quy lu an Chứng minh Giả sử a|p Khi tồn b ∈ D để p = ab Suy p|ab Do p nf va nguyên tố nên p|a p|b Nếu p|a a ∼ p Nếu p|b p ∼ b p lm ul b sai khác nhân tử ước đơn vị, tức a ước đơn vị z at nh oi Ví dụ sau điều ngược lại Mệnh đề 1.1.4 khơng z √ 1.1.5 Ví dụ Lấy D = {a + b −5 | a, b ∈ Z} Vì D vành trường √ số phức nên D miền nguyên Ta khẳng định phần tử 2, 3, + −5 √ − −5 bất khả quy không phần tử nguyên tố Thật vậy, với √ r = a + b −5 ∈ D, gọi r số phức liên hợp với r Ta định nghĩa chuẩn m co l gm @ an Lu r, kí hiệu N (r) số N (r) = rr = a2 + 5b2 Do liên hợp tích hai số phức tích liên hợp nên ta có N (rs) = rs.rs = rrss = N (r)N (s) Ta n va ac th si có = 2.3 = (1 + √ −5)(1 − √ −5) Trước hết ta chứng minh số phần tử bất khả quy không nguyên √ tố Giả sử r = a + b −5 ước Khi tồn s ∈ D cho = rs Suy = N (2) = N (r)N (s) Do N (r) 1, 2, Nếu N (r) = = a2 + 5b2 a = ±1 b = 0, r ước đơn vị Nếu N (r) = a2 + 5b2 = Rõ ràng không xảy trường hợp Nếu N (r) = = a2 + 5b2 a = ±2 b = 0, r liên kết với Vậy số lu phần tử bất khả quy Bây ta chứng minh số không phần tử nguyên √ √ tố Thật vậy, giả sử số phần tử nguyên tố Vì 2|(1 + −5)(1 − −5) nên √ ước hai thừa số Giả sử ước + −5 Khi √ √ tồn r = a + b −5 ∈ D cho 2r = + −5 Suy an n va √ −5) = gh tn to 4(a2 + 5b2 ) = N (2)N (r) = N (2r) = N (1 + p ie Điều vô lý vành số ngun, khơng thể ước Tương √ tự ước − −5 ta suy điều vô lý Vậy không w phần tử nguyên tố d oa nl √ √ Bằng cách tương tự, ta kiểm tra phần tử 2, 1− −5, 1+ −5 nf va an lu bất khả quy không nguyên tố lm ul 1.1.6 Định nghĩa Một miền nguyên D gọi miền nhân tử hóa (vành nhân tử hóa) phần tử khác khác ước đơn vị D phân z at nh oi tích thành tích phần tử bất khả quy phân tích khơng kể đến thứ tự nhân tử ước đơn vị z gm @ Ví dụ đơn giản cho miền nhân tử hóa vành Z số nguyên Từ đầu kỉ 19, nhà toán học người Đức C F Gauss chứng minh l co vành đa thức nhiều biến Z[x1 , , xn ] Q[x1 , , xn ] có hệ số tương ứng m vành số nguyên trường số hữu tỉ miền nhân tử hóa an Lu Chính vậy, nhiều tài liệu đại số gọi miền nhân tử hóa vành Gauss n va ac th si Cho a, b ∈ D Phần tử 6= d ∈ D gọi ước chung lớn a b d ước chung a, b bội ước chung khác a, b Chú ý với d, d0 hai ước chung lớn a b, tồn phần tử khả nghịch u ∈ D cho d = d0 u Đặc biệt, vành Z số nguyên, d ước chung lớn a, b −d ước chung lớn a, b Miền nguyên D gọi thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn hai phần tử D không đồng thời có ước chung lớn Chẳng hạn, vành số nguyên Z thỏa mãn điều kiện có ước chung lớn lu an va Miền nguyên D gọi thỏa mãn điều kiện dãy dừng ước thực n với phần tử a1 , a2 , a3 , D thỏa mãn điều kiện a2 |a1 , a3 |a2 , gh tn to phải dừng Chẳng hạn, vành số nguyên Z thỏa mãn điều kiện dãy dừng ước thực ie p Tiếp theo số tính chất miền nguyên thỏa mãn điều kiện có ước oa nl w chung lớn điều kiện dãy dừng ước thực d 1.1.7 Bổ đề Cho D miền nguyên thỏa mãn điều kiện dãy dừng ước lu an thực Khi phát biểu sau đúng: lm ul quy nf va (i) Mọi phần tử khác khơng khơng khả nghịch có ước bất khả (ii) Mọi phần tử khác không không khả nghịch phân tích thành z at nh oi tích nhân tử bất khả quy Chứng minh (i) Cho a ∈ D phần tử khác không không khả nghịch z gm @ Nếu a bất khả quy a ước bất khả quy a Nếu a không bất khả quy a có ước thực a1 Nếu a1 bất khả quy ta có điều l co cần chứng minh Nếu a1 không bất khả quy a1 có ước thực a2 Tiếp m tục trình ta dãy ước thực Dãy phải dừng nên an Lu a có ước bất khả quy n va ac th si  z1 b  b  √ + β − i = α−a+ − q = z2 z2 2    b b 2 = α−a+ +3 β− 2 1 < + = 4