Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 240 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
240
Dung lượng
4,92 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 TÁCH ĐỀ TOÁN CHUYÊN VÀO LỚP 10 NĂM 2023-2024 (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038) Tài liệu sưu tầm, ngày 23 tháng năm 2023 Website: tailieumontoan.com Website: tailieumontoan.com MỤC LỤC Trang Các toán thức biểu thức Bất đẳng thức cực trị Phương trình Hệ phương trình Hàm số Các tốn lập phương trình, hệ phương trình, toán thực tế Số học tổ hợp Hình học Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC VÀ BIỂU THỨC Câu ( Trường chuyên tỉnh An Giang năm 2023-2024) Thực phép tính:= A +1 3−2 − 14 −1 + − 2 Lời giải = A +1 3−2 2 14 − −1 + − 2 ( − 1) + ( )( − 1) 14 +1 =− 3−2 2 −1 ( )( −2 3−2 ) (3 − 2) + 14 − 14 − − 14 + =− + 3−2 3−2 3−2 ( 9−6 3−3 = = 3−2 3−3 ) = Câu ( Trường chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2023-2024) x−3 x 2x 1− x , với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ − : x − x − x −1 x − x +1 Rút gọn = biểu thức: P Lời giải −1 x ( x − 3) x ( x − 1) − x 2x − x − = P= : : ( x − 1)( x + 1) x − ( x + 1)( x − 3) x − ( x − 1) P = − x ( x + 1) = ⋅ (−( x − 1)) ( x − 1)( x + 1) x Câu ( Trường chuyên tỉnh Bắc Giang năm 2023-2024) x + y2 x−y x−y Rút gọn biểu thức Q= với x > y > + 2 x−y+ x−y x − y2 x y x y − − + Lời giải x + y2 x−y x−y Q= với x > y > + 2 x−y+ x−y x − y2 − − + x y x y x−y Q= + x − y + x − y ( x + y) ( x + y )( x − y ) − ( x − y ) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 2 . x + y x − y Website: tailieumontoan.com x + y2 1 + x − y x+y+ x−y x − y2 + − − x y x y x−y = = x + y x + y2 y x − y2 x + y2 y Câu ( Trường chuyên tỉnh Bắc Ninh năm 2023-2024) Rút gọn biểu thức: P = + 2 − − 2 Lời giải Ta có P = + 2 − − 2 = = +1 − − 1= ( ) 2 +1 − ( ) −1 2 + − + 1= Câu ( Trường chuyên tỉnh Bến Tre năm 2023-2024) x+4 x +4 x+ x 1 Cho biểu thức A = + − : , với x>0, x ≠ x − x x x x + − + − 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Có giá trị nguyên x để A ≥ + 2023 2023 Lời giải ? a) Ta có: x+4 x +4 x+ x 1 A= + − : 1− x x +1 1− x x+ x −2 = ( ( )( x −1 ) ( ) : + + 1− x 1+ x x +1 x +2 x +2 x ) ( x +1 )( ) x − −1 x +2 x 2 x + = : − − x x 1 x −1 x +2 = − x −1 x 2 x : x − x − x −1 = x −1 x = x +1 x b) Ta có biến đổi sau Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A≥ + 2023 2023 ⇒ x +1 x ≥ + 2023 2023 ⇒ 2023 x + 2023 ≥ x + 2023 x ⇒ x ≤ 2023 ⇒ x 2023 ≤ Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu, ta < x 2023 ≤ ( x ∈ ) Câu ( Trường chuyên tỉnh Gia Lai năm 2023-2024) − x −2 Cho biểu= thức P x −2 x x với x > 0, x ≠ Tìm x để P = : x +2 x−4 Lời giải *) Với điều kiện x > 0, x ≠ ta có: − P= − x x − x x 2( x + 2) − ( x − 2) x x = : : x−4 x−4 x +2 x−4 x +4− x+4 x −4 x−4 x − x = x−4 x x x x = 6− x x 6− x ⇔ = *) P = x 3 ⇔ x + x − 18 = x =3 ⇔ ⇔x= 9(TM ) x = − 6( L) Câu ( Trường chun tỉnh Bình Định năm 2023-2024) Tính giá trị biểu thức ( x3 + x − 23x + 1) 2024 x 3 −2 với= Lời giải Theo đề x = 3 − ⇔ x + = 3 ⇔ x + x + = 27 ⇔ x + x = 23 Ta có ( x3 + x − 23x + 1) 2024 ( ) = x x + x − 23 x + 1 2024 = ( 23x − 23x + 1) 2024 = Vậy giá trị biểu thức khi= x 3 −2 Câu ( Trường chuyên tỉnh Bình Phước năm 2023-2024) a +1 a −2 3a + 9a − − + với a ≥ 0, a ≠ a+ a −2 a + 1− a a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm a nguyên để biểu thức P nhận giá trị nguyên = P Cho Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Lời giải = P a) = ( 3a + 9a − a +2 )( − ) ( a −1 a −1 a +2 )( − ) ( a −1 a−4 a +2 )( ) a −1 a+3 a +2 = ( ( = ( = 3a + 9a − a +1 a −2 − + a+ a −2 a + 1− a )( a + )( a + )( a +2 ) a + 1) a − 1) a −1 a +1 a −1 b) P = a +1 = 1+ Ta có P ∈ a −1 a −1 ∈ a −1 a − =−1 a = (N) VN a − =−2 ⇔ ⇔ a = ( N ) a −1 = a − =2 a = (N) Vậy = a 0;= a 4;= a P ∈ Câu ( Trường chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2023-2024) Cho biểu thức 10 − x x với x > 0; x ≠ = + Q : x x − x − x +1 x −1 x − x +1 a) Rút gọn biểu thức Q ( ) b) Đặt P = Q x − x + Chứng minh P > Lời giải a) Với x ≥ x ≠ 4, x ≠ , ta có: P = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com ( ( = = x −9 x −2 )( x −3 x −9 x −2 )( x −3 ) − − ( )( )( ) ( ( x − 2)(3 − x ) x + 3 − x + x +1 x −2 ) − x + 2x − x − ) ( )( x − 3− x ) x − + − x + 2x − x − ( x −2 )( x −3 − x + x−2 ( x − 2)( x − 3) x − )( x + 1) (= ( x − 2)( x − 3) b) P = ) x +1 = x −3 x +1 x −3 x −3+ 4 = 1+ x −3 x −3 Để P nhận giá trị số nguyên ⇒ phải nhận giá trị số nguyên x −3 ∈ {−4; −2; −1;1; 2; 4} x −3 *) =−4 ⇔ x − =−1 ⇒ x =4 (loại) x −3 *) = ⇔ x − = ⇒ x = 49 x −3 *) =−2 ⇔ x − =−2 ⇒ x =1 x −3 *) = ⇔ x − = ⇒ x = 25 x −3 *) =−1 ⇔ x − =−4 ⇔ x =−1 (loại) x −3 *) = ⇔ x − =1 ⇒ x =16 x −3 Vậy x ∈1;16; 25; 49} P nhận giá trị số nguyên Câu 10 ( Trường chuyên tỉnh Cao Bằng năm 2023-2024) 1)Rút gọn biểu thức sau: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com x − 108 + 23 x 75 − x P = − 1 : + x − 16 x + x − 12 x +3 , ( x > 0, x ≠ 9, x ≠ 16 ) x + 2) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc = 2023 Tính giá trị biểu thức: = M 2023a b c + + ab + 2023a + 2023 bc + b + 2023 ca + c + Lời giải x > 1)Điều kiện x ≠ x ≠ 16 x − 108 + 23 x 75 − x Ta có P = − + : x − 16 x + x − 12 x − 16 + 23 x − 92 ( 75 − x ) − 1 : x − 16 = 23 ( ( x) x −4 ) : 75 − 16 ( x +3 x + ) ( x + 3)( x + ( x + 4)( x + x − 12) x +4 + x + 300 − x x − x + x x + x − 12 x + x + x − 36 x + x + x − 12 ( ) )( ( ) 23 x − 16 + x + 23 66 x + 264 = = = : 66 x + x + x + x − 12 66 x + 2)Từ giả thiết abc = 2023 , ta có 2023a b c = M + + ab + 2023a + 2023 bc + b + 2023 ca + c + 23 = ( ) x − 12 )( ) ( ) ( x −3 ) a bc b c a bc b c + + = + + ab + a bc + abc bc + b + abc ac + c + ab ( ac + c + 1) b ( ac + c + 1) ca + c + ac c ac + c + + + = = ac + c + ac + c + ac + c + ac + c + Câu 11 ( Trường chuyên Thành phố Đà Nẵng năm 2023-2024) = Cho biểu thức = P Q= x xy x : − − biểu thức x − y y xy + y xy − x x+y x x −y y −x y +y x ( ) x − y với x > 0, y > x ≠ y Rút gọn biểu thức P, Q chứng minh với số x, y dương phân biệt tuỳ ý 4Q+1 > 2P Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com P= x + y ⇒ 2P = x + y x+ y ⇒ 4Q + 1= ( x + y ) + Nhân hai vế biểu thức 4Q + − P cho Q= ( 4Q + − P ) = x + y + − x − y = (2 ) ( ) x −1 + y −1 Ta có x ≠ y ⇒ ( 4Q + − P ) > ⇒ 4Q + > P Câu 12 ( Trường chuyên tỉnh Đak Lak năm 2023-2024) Tính giá ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + ) = Gọi x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm phương trình trị biểu thức P = x1.x2 x3 x4 Lời giải Gọi x1 , x2 , x3 , x4 nghiệm phương trình Tính giá trị ( x + 1)( x + 3)( x + 5)( x + ) = biểu thức P = x1.x2 x3 x4 Biến đổi phương trình thành: ( x + x + 11 − 4)( x + x + 11 + 4) = Đặt t = x + x + 11 giải t = 17, t = − 17 − 17 ⇒ x + x + 11 + 17 = có x3 x= Với t = 11 + 17 Vậy P = x1.x2 x3 x4 = (11 − 17)(11 + 17) = 104 Câu 13 ( Trường chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2023-2024) Cho số thực x thỏa mãn < x < Rút gọn biểu thức x−2+ x−3 + x−2−2 x−3 A= Lời giải Cách 1: Ta có = A ( A= ) x − +1 + x − +1 + ) x − −1 x − −1 Vì < x < nên < Vậy A= ( x − + > x − < , suy x − − < x − + − x − + 1= Cách 2: Ta có A2 = x − + x − + x − − x − + ( x − 2) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 − ( x − 3) Website: tailieumontoan.com ( x − 4) A2 = x − + 2 = 2x − + x − Vì < x < nên A = x − − ( x − ) = Do A > nên A = Câu 14 ( Trường chuyên tỉnh Đồng Tháp năm 2023-2024) x +2 x Cho biểu = thức P với x > 0, x ≠ − : x −2 x−2 x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị x để P ≥ Lời giải x a) Ta= có: P − x −2 x x − ( x−4 = x = ( x −2 ) ) x +2 x +2 ( x − 4) x ( x − 4) x b) Tìm tất giá trị x để P ≥ P ≥1⇒ ≥1 x = ⇒ x ≤2 ⇒x≤4 Do x > 0, x ≠ nên < x < Câu 15 ( Trường chuyên tỉnh Hà Nam năm 2023-2024, đề chung) x −1 Rút gọn biểu thức P + Cho biểu thức P = x x − 1 (với x ≥ 0, x ≠ ) : x −1 x −1 Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên Lời giải Rút gọn biểu thức P P= ( x +1+ x )( x −1 ) x +1 : x −1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Dấu "=" xảy ⇔ DA = DB, EA = EC ⇔ d tạo với AB góc 45° c) Ta có điều phải chứng minh: KB = BD + KH ⇔ IB − KI = IB − ID + IH − IK ⇔ IH = ID ⇒ IH = ID = IE Do tam giác DHE vng H + EHC =DAB + EAC =90o ⇒ DHE =90o Thật vậy, có DHB Do tam giác DHE vng H, tức KB2 = BD2 + KH2 (đpcm) Câu 45 (Trường chuyên tỉnh Thanh Hóa năm 2023-2024) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC nội tiếp đường tròn (O), phân giác góc BAC cắt BC D cắt (O) Q(Q khác A) Từ D dựng DE, DF vng góc với AC, AB ( E thuộc AC, F thuộc AB) Gọi M trung điểm BC, tia QM cắt (O) giao điểm thứ hai P a) Chứng minh QM QP = QD QA b) Gọi N giao điểm PD EF Chứng minh MN // AD c) Dựng đường kính AK (O) Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BFN CEN cắt R(R khác N) Chứng minh điểm P, D, R thẳng hàng Lời giải a) Xét ∆𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄và ∆𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑐𝑐ó � = 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 � = 900 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 � 𝑄𝑄 𝑙𝑙à 𝑔𝑔ó𝑐𝑐 𝑐𝑐ℎ𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 ∆𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 đồng dạng ∆𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄(g.g) 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 => 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 b) Gọi I giao điểm AD EF Ta chứng minh ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 đồ𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑ạ𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑣𝑣ớ𝑖𝑖 ∆𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 (𝑔𝑔 𝑔𝑔), có đường cao tương ứng EI CM nên 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 74 Website: tailieumontoan.com Mà NI // AP => 𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 = 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 MN // DQ Hay MN // AD c) Gọi R giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BFN tam giác CEN Trước hết, ta chứng minh R ∈(O) � � = 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � + 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 � = 1800 − 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 � + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 Ta có 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 Tứ giác ABRC nội tiếp R ∈(O) � = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 � = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 � = 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 � 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 P, D, R thẳng hàng Câu 46 (Trường chuyên tỉnh Huế năm 2023-2024) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn (O), có đường cao AD trực tâm H Gọi E điểm (O) cho hai dây AE BC song song với Đường thẳng EH cắt (O) điểm thứ hai F cắt đường trung trực BC M a) Chứng minh M trung điểm EH AMOF tứ giác nội tiếp + ODF = 180° b) Chứng minh OFA c) Gọi K điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng FK T Chứng minh hai đường thẳng TH BC song song với Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 75 Website: tailieumontoan.com A E M H T O F D B N C K a) Chứng minh M trung điểm EH AMOF tứ giác nội tiếp Vì hai dây AE BC song song nên AH vng góc với AE trung trực BC trung trực AE Tam giác AEH vuông A nên đường trung trực AE đường trung bình tam giác Suy M trung điểm EH F = AEM + EAM = , hay AMF = 2AE Do MA 2AEM = ME = MH , suy AMH = 2AE F (góc tâm góc nội tiếp chắn chung AF) Mặt khác, ta có AOF = AOF , tứ giác AMOF nội tiếp (1) Suy AMF + ODF = b) Chứng minh OFA 180° Gọi N giao điểm thứ hai AH với (O) = CAN (cùng chắn cung CN) Ta có CBN = CAN (cùng phụ với ACB ) Suy CBH = CBN Ta lại có CBH Tam giác BHN có BD vừa đường cao vừa phân giác nên D trung điểm HN Tứ giác AENF nội tiếp (O) AN cắt EF H nên ta có HA.HN = HE.HF ⇔ HA.2HD = 2HM.HF ⇔ HA.HD = HM.HF Suy tứ giác AMDF nội tiếp (2) + ODF = Từ (1) (2) ta có AODF nội tiếp Suy OAF 180° = OFA Mặt khác, tam giác OAF cân O nên OAF + ODF = Suy OFA 180° c) Gọi K điểm đối xứng với A qua O Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng FK T Chứng minh hai đường thẳng TH BC song song với = FAK (cùng phụ với AKF ) (3) Ta có ATF Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 76 Website: tailieumontoan.com = 90° nên EN đường kính (O) Ta lại có EAN Tứ giác AEKN có hai đường chéo AK NE cắt trung điểm = NK đường nên AEKN hình chữ nhật Suy AE = NK , hay AE sđ KN+ sđ NF= sđ AE+ sđ NF=AHE Ta có FAK= 2 2 (4) = AHE , tứ giác ATFH tứ giác nội tiếp Từ (3) (4) suy ATF = AFT = 90° Suy AHT Ta có AH ⊥ TH AH ⊥ BC nên TH // BC Câu 47 (Trường chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2023-2024) Cho đường trịn tâm O điểm A ngồi đường trịn Qua điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB AC đến đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm AO BC, D trung điểm AC, tía BD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh CDEH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA2 = DE.DB 3) Gọi F giao điểm thứ hai AE với đường tròn (O) Chứng minh OC đường trung trực đoạn thẳng BF Lời giải 1) Chứng minh CDEH tứ giác nội tiếp Ta có • AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 77 Website: tailieumontoan.com • OB = OC (bán kính (O)) nên AO đường trung trực đoạn thẳng BC • ∆ABC có D trung điểm AC, H trung điểm BC nên HD đường trung bình tam giác ABC, suy HD / / AB = = BCE = HCE = ABE sd BE Khi HDE Do đó, tứ giác CDEH nội tiếp 2) Chứng minh DA2 = DE.DB Xét ∆DCE ∆DBC ta có chung EDC DCE = DBC = sd BE Suy ∆DCE ∽ ∆DBC (g-g) Do DC DE = Suy DC = DE.DB DB DC Mặt khác, DA = DC nên DA2 = DE.DB 3) Gọi F giao điểm thứ hai AE với đường tròn (O) Chứng minh OC đường trung trực đoạn thẳng BF • Từ DA2 = DE.DB nên ta có DA DB = DE DA • Xét hai tam giác DAE tam giác DBA có chung; +) EDA +) DA DB = DE DA Do DAE ∽ DBA = DBA = DFA = sd BE , BF / / AC • Suy EAD • Mà OC ⊥ AC nên OC ⊥ BF • Mặt khác, OF = OB (bán kính (O)) nên OC đường trung trực đoạn thẳng BF Câu 48 (Trường chuyên thành phố Hồ Chí Minh năm 2023-2024) 1) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), có đường cao AH Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi J giao điểm Ai DE; K trung điểm AB Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 78 Website: tailieumontoan.com a) Chứng minh tứ giác BIJD nội tiếp b) Gọi M giao điểm KI AC, N giao điểm AH ED Chứng minh AM = AN c) Gọi Q giao điểm DI EF, P trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng 2) Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thoi ABCD Gọi E, F, G, H điểm thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho EF, GH tiếp xúc với (O) a) Chứng minh CG AH = AO b) Chứng minh EH song song FG Lời giải = CED = a) Ta có CD = CE nên tam giác CDE cân C Suy CDE 1800 − ACB Áp dụng tính chất góc tam giác AJE, ta thấy AJE = CEJ = EAJ = 1800 − ACB BAC ABC Suy tứ giác BIJD nội tiếp − = = IBD 2 BDI BJI = 900 b) Do tứ giác BIJD nội tiếp nên = BAC AJB = 900 = Vì JAB = 450 nên tam giác JAB vuông cân J Theo giả thiết K trung điểm AB, ta có JK ⊥ AB Chú ý IF AM JK (cùng vng góc với AB) ID AH (cùng vng góc với BC), ta có IF KI JI ID = = = Vì IF = ID nên AM = AN AM KM JA AN c) Đường thẳng qua Q vng góc với ID cắt AC, AB lại R, S Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 79 Website: tailieumontoan.com Vì IQR = IQS = IER = IFS = 900 nên tứ giác IQER, IQSR nội tiếp Chú ý tam giác IEF cân Suy ra, tam giác IRS cân I Do IQ ⊥ RS nên Q trung điểm = IEQ = IFQ = ISQ I, ta có IRQ RS Ta có RS BC (cùng vng góc với ID) P, Q trung điểm BC, RS nên A, P, Q thẳng hàng (theo bồ đề hình thang) a) Đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh hình thoi ABCD nên O trung điểm hai đường chéo AC BD =1800 − OGH − OHG Ta thấy O tâm đường tròn bàng tiếp góc D tam giác DGH Suy GOH 1800 − DHG + DGH 1800 − GDH 1800 − DGH DHG = 1800 − = − = 2 2 = DCA = 180 − ADC Kết hợp hai điều trên, ta thấy Do tam giác DAC cân D nên DAC GOH = DAC = DCA =1800 − GOH − − AOH =1800 − OAH AOH = AHO Từ COG Suy hai tam giác OAH GCO đồng dạng góc-góc Vì thế, OA AH = GC CO Suy AH = CG OA = OC OA2 AE AH = Chú ý CK CF = GCF , ta thu hai tam giác AEH CGF đồng dạng cạnh-góc-cạnh Suy EAH AEH = CGF (do AB CD ) Suy HEG = FGE AEG = CGE Lại có b) Chứng minh tương tự ý trên, ta có AE.= CF OA = AH CG Suy Vậy EH FG (đpcm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 80 Website: tailieumontoan.com Câu 49 (Trường chuyên tỉnh Tuyên Quang năm 2023-2024) Cho tam giác tù ABC có ABC > 90 nội tiếp đường tròn ( O ) Tiếp tuyến C ( O ) cắt đường thẳng AB S Lấy điểm P thuộc miền tam giác OAC cho SC = SP Đường thẳng SP cắt ( O ) hai điểm E , F ( E S F ) Các đường thẳng AP, BP cắt lại ( O ) K , L Chứng minh rằng: a) Tam giác ACS đồng dạng với tam giác CBS ; ; APS = PBS b) c) Tứ giác EKLF hình thang cân Lời giải Câu 50 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2023-2024) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường cao AH tam giác ABC (H thuộc BC) Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H đến cạnh AB, AC = BAH a) Chứng minh PQH b) Hai đường thẳng PQ BC cắt M Chứng minh ∆MQH ∽ ∆MHP MH = MB.MC c) Đường thẳng MA cắt đường tròn (O) K (K khác A) KH cắt đường tròn (O) D (D khác K) Gọi J trung điểm HD Chứng minh JQ = JC Lời giải a) Tứ giác APHQ có APH = 900 (gt) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 81 Website: tailieumontoan.com AQH = 900 (gt) => 1800 hai góc vị trí đối nên APHQ tứ giác nội tiếp APH + AQH = đường tròn = BAH => PQH b) Xét MQH MHP có = BHP (cùng phụ PBH = BHA (cmt), mà BAH ) suy MQH = MHP PQH góc chung ⇒MQH ∽MHP PMH ) = (cùng bù PBC Chứng minh tứ giác BPQC tứ giác nội tiếp ⇒ MBP MQC góc chung Ta lại có BMP ⇒MBP ∽MQC (g.g) ⇒ MQH ∽MHP (g.g) ⇒ MB MP = ⇔ MH = MP MQ (1) MQ MC MQ MH = ⇔ MH = MP.MQ MH MP (2) Từ (1) (2) ⇒ MH = MB.MC = MCA (cùng bù với AMC góc c) Vì AKBC tứ giác nội tiếp nên MKB AKB ), mà chung ⇒MKB ∽MCA ⇒ MK MB = ⇒ MK MA = MB.MC MC MA Mà MH 2= MB.MC ⇒ MH 2= MB.MC ⇒ MH 2= MK MA Do AHM vuông H ⇒ HK đường cao tam giác AHM (vì MHA ∽MKH ⇒ AK ⊥ KH ⇒ AK ⊥ KD suy AD đường kính (O) ACD = 900 nên DC ⊥ AC Suy Mà HQ ⊥ AC ⇒ DC / / HQ nên HQCD hình thang Gọi N trung điểm QC (3) ⇒ JN đường trung bình hình thang HQCD ⇒ JN / / HQ ⇒ JN ⊥ QC (4) Từ (3) (4) ⇒ JN đường trung trực QC ⇒ JQ = JC Câu 51 (Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2023-2024) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC điểm E Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) điểm N ( N ≠ A) Các tiếp tuyến đường tròn (O) điểm B, C cắt điểm D ADN Chứng minh AOND tứ giác nội tiếp tia DO phân giác góc Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 82 Website: tailieumontoan.com Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm P ( P ≠ A) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AME cắt đường tròn (O) điểm F ( F ≠ A) Chứng minh AB.PC = AC.PB ba điểm E, F, P thẳng hàng Kẻ đường kính AK đường trịn (O) Chứng minh điểm D, K, F thẳng hàng đường thẳng FN qua trung điểm đoạn thẳng DM Lời giải A O F T B M P E N X Z C K D Xét đường tròn (O): BD ⊥ BO, CD ⊥ CO (tính chất tiếp tuyến) = DCO = 90◊ ⇒ DBO + DCO = ⇒ DBO 180◊ ⇒ Tứ giác OBDC nội tiếp Lại = có OB OC = , , MB MC = DB DC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 83 Website: tailieumontoan.com ⇒ O, , M D thuộc trung trực đoạn BC Suy MO.MD = MB.MC Mà tứ giác ABNC nội tiếp ⇒ MB.MC = MA.MN ⇒ MO.MD = MA.MN ⇒ Tứ giác AOND nội tiếp 1 ⇒ ADO= sđ OA= sđ ON= ODN 2 ADN ⇒ DO phân giác b) Xét ΔDBP ΔDAB có chung; DBP = DAB BDP ⇒ ΔDBP ∼ ΔDAB (g.g) ⇒ AB AD = BP DB Tương tự ta có ΔDCP ∼ ΔDAC ⇒ ⇒ AC AD = CP DC AB AC = ⇒ AB.CP = AC.BP BP CP Áp dụng định lý Ptoleney cho tứ giác ABPC nội tiếp ta có = AP.BC AB : CP + AC.BP AP BP ⇒ AP.CM = AC.BP ⇒ = AC CM ΔABP AP BP = ; APB ACM ΔAMC= có AC CM ABP = AMC ⇒ ΔABP ∼ ΔAMC (c.g.c) ⇒ ABP = 180◊ − AFP Lại có tứ giác ABPF nội tiếp nên AME = 180◊ − AFB Lại có tứ giác AMEF nội tiếp nên ⇒ AFP = AFE ⇒ E , , F P thẳng hàng Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 84 Website: tailieumontoan.com c) Áp dụng hệ thức lượng cho ΔOCD vuông C ta có OM OD = OC = OF ⇒ OF OD = ⇒ ΔOMF ∼ ΔOFD (c.g.c) OM OF =OMF =90◊ − CMF =90◊ − FAE =90◊ − ⇒ OFD AFO ⇒ AFD = 90◊ ⇒ AF ⊥ FD mà AF ⊥ FK ⇒ DF = DK ⇒ D, , F K thẳng hàng Gọi Z , X giao FN với BC , DM Gọi T giao KZ với MF Ta có= DC DK = DF DM DO ⇒ Tứ giác OMKF nội tiếp = KOF = FMS ⇒ KMF = 2OAF = FME = FAO = KNF ⇒ Tứ giác MNKZ nội tiếp ⇒ KME =180◊ − MNK =90◊ ⇒ KZ‖DM ⇒ KZM Lại có ΔTMK có MZ đường cao đồng thời phân giác ⇒ ZT = ZK Do TK / / DM ⇒ ZT FZ ZK = = MX FX DX ⇒ XD = XM ⇒ X trung điểm đoạn DM Vậy FN qua trung điểm đoạn DM Câu 52 (Trường chuyên Khoa học Tự nhiên năm 2023-2024) Cho tam giác ABC nhọn với AB < AC nội tiếp đường trịn (O) có tiếp tuyến A (O) cắt BC T cho TB > BC Gọi P E trung điểm TA TC 1) Chứng minh tứ giác APEB nội tiếp 2) Gọi giao điểm thứ hai AE với (O) F Láy G thuộc (O) cho FG song song với ATG = TAF AC Chửng minh 3) Gọi H trực tâm tam giác ABC,D giao điểm AH BC M trung điểm BC K đối xứng với A qua BC N thuộc đường thẳng AM cho KN song song với HM Lấy S thuộc BC cho NS ⊥ NK Dựng R thuộc tia AK cho AR.AH = AD Q điểm cho PQ ⊥ AS SQ ⊥ AO Chứng minh điểm đối xứng A qua QR thuộc đường tròn đường kinh DN Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 85 Website: tailieumontoan.com Lời giải A P F O E T C B G 1) Vì AT tiếp tuyến nên ta TA2 = TB.TC Như vậy, ta TP = TA = TA TB = TC TB.TE tứ giác APEB tứ giác nội tiếp 2 2) Vì EP đường trung bình ∆ TAC , ∆ FGC hình thang cân AT tiếp tuyến GAC Như vậy, ta AEP = EAC = FAC = GCA = TAG = FCA = TAF = PAE (O) nên ta thu AE AP = Lại ý AT = AP AC = EP , ta thu ∆ AEP ~ ∆ ACG (g-g) dẫn đến AC AG AE AE AP AT ta thu ∆ ~ AEP = TAG = = = Kết hợp với AEP ∆ TAG (C.G.C) EP AC AG AG ATG = TAF 3) ta xét bổ đề sau: ∆ABC, đường thẳng qua B vuông AC cắt AC,(ABC) F,D E thuộc (ABC) thoả DE//AC Đường thẳng qua E vuông EF cắt BF G, đg thẳng qua B vuông AG cắt đường thẳng qua C vuông AD H, L trung điểm AH CMR AEL = 90 Giải: BH giao EG J J thuộc (BFE) Mặt khác gọi K trung điểm BC F,K,J thẳng BFK = ABE = BEJ = BFJ Mà FK vuông AD vuông CH nên J trung điểm BH => JL // AB nên L thuộc EG => đpcm Quay lại toán: Dựng hbh DKNG, DS' đg kính (ADG) KS'D = AS'D = AGD = DNK => S trùng S' NG giao BC F, NE vuông AD E Khi A,F,E,G thuộc đg trịn ( EF = DN = AG ) • Đường thẳng qua E vuông AF cắt đg thẳng qua T vuông AS J Khi theo bổ đề, trung điểm Q' AJ thuộc SG ( để ý T thuộc (AFGE) ) Mà Q'P vuông AS => Q' trùng Q Hơn biến đổi tỉ số cho ta R trung điểm AE nên QR // JE vuông AF kết hợp thêm cho JE cắt AF A' A' thuộc (EF) hay A' thuộc (DN) nên ta có đpcm Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 86 Website: tailieumontoan.com Câu 53 (Trường chuyên Sư Phạm vòng năm 2023-2024) Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, G.Hai đường thẳng DE , DG cắt đường phân giác ngồi góc BAC M , N Hai đường thẳng MG, NE cắt điểm P Chứng minh rằng: a) EG song song với MN b) Điểm P thuộc đường tròn (I) Lời giải M A N E P G I C B D AI phân giác góc A nên AI ⊥ AM mà GE // AI a) Vì AM phân giác ngồi BAC nên EG // AM hay GE // MN Bài toán chứng minh b) Gọi P1 giao NE đường trịn (I) từ EG // MN, ta có: ANP ANE PGA = = P = 1 EG Do tứ giác ANGP, nội tiếp kết hợp với tứ giác DG P1 E nội tiếp, ta có P = PGD = 180° − PGA EM = NAP 1 Suy tứ giác MA P1 E nội tiếp kết hợp với EG // MN tứ giác ANG P1 nội tiếp, ta có: + + GP AP1 M + APG = AEM + APG = DGE APG = GNA APG = 1 80° 1M = 1 1 Do ta điểm G, P1 , M thẳng hàng Vì nên P1 trùng P Nói cách khác MG, NE cắt điểm P nằm (I) Bài toán chứng minh Câu 54 (Trường chuyên Sư Phạm vòng năm 2023-2024) ABC = 1200 BC = AB Dựng đường trịn (O ) có đường Cho hình bình hành ABCD có kính AC Gọi {E} = AB (O); {F } = AD (O) Gọi EF cắt BC, BD H , S Chứng minh rằng: a) ∆ABD tam giác vuông b) Tứ giác OBEH nội tiếp c) SC tiếp tuyến (O) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 87 Website: tailieumontoan.com = 600 ABC = 1200 ⇒ BAD a) Đặt AB = a, BC = 2a Vì Áp dụng định lí cosin vào ∆ABD ta có: BD = AB + AD − AB AD cos BAD = a + 4a − 2.2a.a cos 60 = 5a − 2a = 3a ⇒ BD + AB = AD Do ∆ABD tam giác vng theo định lí Pytago đảo b) Vì ∆ABD tam giác vng nên OB ⊥ AE nên B trung điểm AE Mặt khác BH // AF nên theo tính chất đường trung bình ta có H trung điểm EF OHF = 90 = OBE OBEH nội tiếp (ĐPCM) = BHE Vì OBEH nội tiếp nên BHE = BOE = BOA = COS c) Ta có: CHS ⇒ OHCS nội tiếp ⇒ SCO = SHO = 900 Từ ta có SC tiếp tuyến (O) (ĐPCM) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 88