Phương trình đường thẳng oxy nguyễn bảo vương

Tài liệu toán 10 năm học 2018 1.PHƯƠNG TRìNH Đường Th¼ng A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Vectơ pháp tuyến phương trình tổng quát đường thẳng :   a Định nghĩa : Cho đường thẳng  Vectơ n  gọi vectơ pháp tuyến (VTPT)   giá n vng góc với  Nhận xét :   - Nếu n VTPT  kn  k   VTPT  b Phương trình tổng quát đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) có VTPT n  (a;b)     Khi M (x ; y )    MM  n  MM n   a(x  x )  b(y  y )   ax  by  c  (c  ax  by ) (1) (1) gọi phương trình tổng quát đường thẳng  Chú ý :  - Nếu đường thẳng  : ax  by  c  n  (a;b) VTPT  c) Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát • • • • •  song song trùng với trục Ox   : by  c   song song trùng với trục Oy   : ax  c   qua gốc tọa độ   : ax  by  x y   với ab   a b Phương trình đường thẳng có hệ số góc k y  kx  m với k  tan  ,  góc hợp tia Mt  phía trục Ox tia Mx  qua hai điểm A a; , B 0;b : Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 Vect ch phng v phng trình tham số đường thẳng : a Định nghĩa vectơ phương :   Cho đường thẳng  Vectơ u  gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng  giá song song trùng với  Nhận xét :   - Nếu u VTCP  ku  k   VTCP    - VTPT VTCP vng góc với Do  có VTCP u  (a;b) n  (b; a ) VTPT  b Phương trình tham số đường thẳng :  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) u  (a;b) VTCP   Khi M (x ; y )    MM  tu   x  x  at   t  R (1)   y  y  bt   Hệ (1) gọi phương trình tham số đường thẳng  , t gọi tham số Nhận xét : Nếu  có phương trình tham số (1) A    A(x  at; y  bt ) Phương trình tắc đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M (x ; y ) u  (a;b) (với a  0, b  ) vectơ phương phương trình x  x0 y  y0 gọi phương trình tắc  a b đường thẳng Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 : a1x  b1y  c1  0; d2 : a2x  b2y  c2  • d1 cắt d2 • d1 / /d2 • d1  d2 a1 b1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 a1 b1 a2 b2 0   b1 c1 b2 c2 c1 a1 b1 c1 a1 b1 0  ,  c2 a2 b2 c2 a2 b2  c1 a1 c2 a2 0 Chú ý: Với trường hợp a2 b2 c2  + Nếu a1 a  hai đường thẳng cắt b1 b2 + Nếu a1 a c   hai đường thẳng song song b1 b2 c2 + Nếu a1 a c   hai đường thẳng trùng b1 b2 c2 B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát đường thẳng Phương pháp giải: • Để viết phương trình tổng quát đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ pháp tuyến n a;b   Khi phương trình tổng qt  a  x  x   b  y  y   Chú ý:  o Đường thẳng  có phương trình tổng qt ax  by  c  0, a  b  nhận n a;b  làm 2 vect phỏp tuyn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 o Nếu hai đường thẳng song song với VTPT đường thẳng VTPT đường thẳng o Phương trình đường thẳng  qua điểm M  x ; y  có dạng  : a  x  x   b  y  y   với a  b  ta chia làm hai trường hợp + x  x : đường thẳng song song với trục Oy + y  y  k  x  x  : đường thẳng cắt trục Oy o Phương trình đường thẳng qua A a; , B  0;b  với ab  có dạng x y  1 a b ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A  2; , B  0; , C (1; 3) Viết phương trình tổng quát a) Đường cao AH b) Đường trung trực đoạn thẳng BC c) Đường thẳng AB d) Đường thẳng qua C song song với đường thẳng AB Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x  2y   điểm M  1;2  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  biết: a)  qua điểm M có hệ số góc k  b)  qua M vng góc với đường thẳng d c)  đối xứng với đường thẳng d qua M Ví dụ 3: Biết hai cạnh hình bình hành có phương trình x  y  x  3y   , tọa độ đỉnh hình bình hành  2;2  Viết phương trình cạnh cịn lại hình bình hành Ví dụ 4: Cho điểm M  1;  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt hai tia Ox , tia Oy A B cho tam giác OAB có diện tích nhỏ 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài 1: Cho điểm A  1; 3  Viết phương trình tổng quát đường thẳng  qua A a) Vng góc với trục tung b) song song với đường thẳng d : x  2y  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 Bi 2: Cho tam giác ABC biết A  2;1 , B  1; , C (0; 3) a) Viết phương trình tổng quát đường cao AH b) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng BC d) Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua A song song với đường thẳng BC Bài 3: Viết phương trình tổng quátcủa đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) ∆ qua điểm M  2;5  song song với đường thẳng d : 4x  7y   b) ∆ qua P  2; 5  có hệ số góc k  11 Bài 4: Cho M  8;6  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt chiều dương hai trục toạ độ A, B cho OA  OB đạt giá trị nhỏ DẠNG 2: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng Phương pháp giải: • Để viết phương trình tham số đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ phương u a;b      x  x  at , t  R Khi phương trình tham số    y  y  bt   • Để viết phương trình tắc đường thẳng  ta cần xác định - Điểm A(x ; y )    - Một vectơ phương u a;b , ab   Phương trình tắc đường thẳng  x  x0 y  y0  a b (trường hợp ab  đường thẳng khơng có phương trình tắc) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 Chỳ ý: o Nếu hai đường thẳng song song với chúng có VTCP VTPT o Hai đường thẳng vng góc với VTCP đường thẳng VTPT đường thẳng ngược lại   o Nếu  có VTCP u  (a;b) n  (b; a ) VTPT  ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho điểm A  1; 3  B  2;  Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ trường hợp sau:  a)  qua A nhận vectơ n  1;2  làm vectơ pháp tuyến b)  qua gốc tọa độ song song với đường thẳng AB c)  đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ 2: Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) ∆ qua điểm A  3;  B  1;   x   3t  b) ∆ qua N  3;  vng góc với đường thẳng d ' :    y   5t   Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A  2;1 , B  2;  C  1; 5  a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC tam giác b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM c) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm D, G với D chân đường phân giác góc A G trọng tâm ABC Ví dụ 4: Cho tam giác ABC biết AB : x  y   , AC : x  y   trọng tâm G  1;2  Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC 1i Bài tập tự luận tự luyện Bài Cho điểm A  2; 2  B  0;1  Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ trường hợp sau:  a)  qua A nhận vectơ u  1;2  làm vectơ phương  b)  qua A nhận vectơ n  4;2  làm vect phỏp tuyn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 c)  qua C  1;1  song song với đường thẳng AB d)  đường trung trực đoạn thẳng AB Bài 6: Viết phương trình tổng qt, tham số, tắc (nếu có) đường thẳng ∆ trường hợp sau: a) ∆ qua điểm A  3;  B  1;  b) ∆ qua M  1;2  vng góc với đường thẳng d : x  3y     x   3t c) ∆ qua gốc tọa độ song song với đường thẳng  ' :    y  2t   Bài 7: Cho tam giác ABC có A  2; 1 , B  2; 3  C  1;5  a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM c) Viết phương trình đường thẳng qua trung điểm AB trọng tâm tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC biết A  1; , B  3; 1  C  6; 2  a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB b) Viết phương trình đường cao AH c) Viết phương trình đường trung tuyến tam giác AM d) Viết phương trình đường trung trực cạnh BC e) Viết phương trình đường thẳng qua trọng tâm tam giác song song với trục hồnh f) Viết phương trình đường thẳng qua trung điểm BC vng góc với trục tung g) Viết phương trình đường thẳng qua A tạo với hai trục tọa độ tam giác cân đỉnh gốc tọa độ h) Đường thẳng qua C chia tam giác thành hai phần , phần chứa điểm A có diện tích gấp đối phần chứa điểm B Bài Viết phương trình đường thẳng qua M  3;2  cắt tia Ox A, tia Oy B cho : a) OA  OB  12 b) Diện tích tam giác OAB bng 12 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018 Bi 10 Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AB : 2x  y   , đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , tâm hình chữ nhật I  4;5  Viết phương trình cạnh cịn lại hình chữ nhật Bài 11 Cho hình bình hành hai cạnh có phương trình 3x  y   x  y   Viết phương trình hai cạnh cịn lại biết tâm hình bình hành I  3;1  Bài 12 Cho tam giác ABC có trung điểm AB I  1;  , trung điểm AC J  3;1  Điểm A thuộc Oy đường BC qua gốc tọa độ O Tìm tọa độ điểm A , phương trình BC đường cao vẽ từ B Bài 13 Cho tam giác ABC biết M  2;1 , N  5; , P  3; 4  lần lựợt trung điểm ba cạnh Viết phương trình cạnh tam giác ABC 1ii Bài tập trắc nghiệm tự luyện Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Ox ?     A u1  1;0 B u2  0; 1 C u3  1;1 D u4  1;1 Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng song song với trục Oy ?     A u1  1; 1 B u2  0;1 C u3  1;0 D u4  1;1 thẳng song song với trục Ox ?     A n1  0;1 B n2  1;0 C n3  1;0 D n4  1;1 Câu Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng song song với trục Oy ?     A n1  1;1 B n2  0;1 C n3  1;1 D n4  1;0 Câu Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm A 2;3 B 4;1 ? Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A 3;2 B 1;4  ?     A u1  1;2 B u2  2;1 C u3  2;6 D u4  1;1 Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua gốc tọa độ O 0;0 điểm M a; b  ?  A u1  0; a  b   B u2  a; b   C u3  a; b   D u4  a; b  Câu Vectơ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm A a;0 B 0; b  ?     A u1  a; b  B u2  a; b  C u3  b; a  D u4  b; a  Câu Vectơ vectơ phương đường phân giác góc phần tư thứ nhất?     A u1  1;1 B u2  0; 1 C u3  1;0 D u4  1;1  A n1  2; 2  C n3  1;1  B n2  2; 1  D n4  1; 2 Câu 10 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua gốc tọa độ điểm A a; b  ?  A n1  a; b   B n2  1;0  C n3  b; a   D n4  a; b  Câu 11 Vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng qua hai điểm phân biệt A a;0 B 0; b  ?  A n1  b; a   B n2  b; a   C n3  b; a   D n4  a; b  Câu 12 Vectơ vectơ pháp tuyến đường phân giác góc phần tư thứ hai? Câu Vectơ vectơ phỏp tuyn ca ng Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | Tài liệu toán 10 năm học 2018     A n1  1;1 B n2  0;1 C n3  1;0 D n4  1;1  Câu 13 Đường thẳng d có vectơ phương u  2; 1 Trong vectơ sau, vectơ vectơ pháp tuyến d ?  A n1  1;2  B n2  1; 2  C n3  3;6  D n4  3;6  Câu 14 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n  4; 2 Trong vectơ sau, vectơ vectơ phương d ?     A u1  2; 4  B u2  2;4  C u3  1;2 D u4  2;1  Câu 15 Đường thẳng d có vectơ phương u  3; 4 Đường thẳng  vng góc với d có vectơ pháp tuyến là:  A n1  4; 3  B n2  4; 3  C n3  3;4   D n4  3; 4  Câu 16 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến  n  2; 5 Đường thẳng  vng góc với d có vectơ phương là:  A u1  5; 2  B u2  5;2  C u3  2;5  D u4  2; 5  Câu 17 Đường thẳng d có vectơ phương u  3; 4  Đường thẳng  song song với d có vectơ pháp tuyến là:  A n1  4; 3  B n2  4;3  C n3  3;4   D n4  3; 4  Câu 18 Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến  n  2; 5 Đường thẳng  song song với d có vectơ phương là:  B u2  5; 2  C u3  2;5  D u4  2; 5 Câu 19 Một đường thẳng có vectơ phương? B  x   t A d :      y   2t   x   3t B d :     y  2  5t  x   5t  C d :      y  2  3t  x   2t  D d :     y   t Câu 21 Đường thẳng d qua gốc tọa độ O có vectơ  phương u  1;2 có phương trình tham số là:   x  1 A d :     y   x  2t  B d :     y  t x  t  C d :     y  2 t  x  2 t  D d :    y  t Câu 22 Đường thẳng d qua điểm M 0; 2 có vectơ  phương u  3;0 có phương trình tham số là:  x   2t   A d :    y   x  B d :     y  2  3t x   C d :     y  2 t  x  3t  D d :      y  2 Câu 23 Vectơ vectơ phương đường x   ? thẳng d :     y  1  t     A u1  6;0 B u2  6;0 C u3  2;6 D u4  0;1 Câu 24 Vectơ vectơ phương đường thẳng   x   t : ?      y  3  3t       A u1  1;6 B u2   ;3 C u3  5; 3 D u4  5;3   Câu 25 Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai  A u1  5; 2 A Câu 20 Đường thẳng d qua điểm M 1; 2 có vectơ  phương u  3;5 có phương trình tham số là: C Giảng dạy: nguyễn bảo vương D Vụ số - 0946798489 điểm A 2; 1 B 2;5 x   A     y  1  t  x  2t  B      y  6 t  x   t C    y   6t    x  D    y   6t  Page | Tµi liệu toán 10 năm học 2018 Cõu 26 Vit phng trình tham số đường thẳng qua hai điểm A  –1;3 B 3;1   x  1  t A    y   t   x  1  t B    y  3t  x   2t  C     y  1  t  x  1  t  D    y   t Câu 27 Đường thẳng qua hai điểm A 1;1 B 2;2 có phương trình tham số là:  x   t A     y   2t  x   t B     y   2t   x   2t C    y  1 t  x  t D     y  t x   4t  A      y   2t   x   2t B     y   t   x  1  t C    y  t  x  1  t  D    y  2  t  Câu 32 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có đỉnh A  –2;1 phương trình đường thẳng chứa  x   4t Viết phương trình tham số cạnh CD     y  3t đường thẳng chứa cạnh AB  x  2  3t  A   y  2  t     x  2  t B     y   3t  x  2  3t  C     y  1 4t  x  2  3t  D     y   4t Câu 28 Đường thẳng qua hai điểm A 3; 7 B 1; 7 có Câu 33 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua phương trình tham số là: điểm M 3;5 song song với đường phân giác góc  x t  A     y  7  x t  B   y  7  t     x  3t C     y   7t  x  t D   y  Câu 29 Phương trình khơng phải phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm O 0;0 M 1; 3 ? x  1 t  B A     y  3t phần tư thứ  x  3  t  A   y  5t   x  3  t  B  y   t    x   t C      y  5  t  x   t D      y  3  t Câu 34 Viết phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M 4; 7 song song với trục Ox  x  1 t       y  3  3t   x   2t C     y  3  t   x  t D     y  3t  x   4t A     y  7 t  x  B      y  7  t  x  7  t  C     y  x  t  D     y  7 Câu 30 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 35 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC A 2;0 ¸ B 0;3 C 3; 1 Đường thẳng qua điểm B có A 1;4  , B 3;2 C 7;3 Viết phương trình tham số song song với AC có phương trình tham số là: đường trung tuyến CM tam giác  x  5t  A    y   t x   B     y   3t x   A      y   5t  x   5t  B    y  7  x  t  C     y   5t  x   5t  D     y  t  x   t C    y   x  D     y  3t Câu 31 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ba điểm Câu 36 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC A 3;2 ¸ P 4;0 Q 0; 2 Đường thẳng qua điểm A có A 2;4  , B 5;0 C 2;1 Trung tuyến BM tam song song với PQ có phương trình tham số là: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 giỏc i qua điểm N có hồnh độ 20 tung độ bng: Page | 10 Tài liệu toán 10 năm học 2018   x    31 d1 : x – y       d1  d  A ;  Ta có Câu 122   16  d : x  y –   31  y  16   A  d  A  d 31 53      c   c   d || d3 : x  y –1  d : x  y  c  c   1 8  Vậy d : x  y – 53   d3 : 24 x  32 y  53  Chọn A  x   d : x  y 1  2 Câu 123     d1  d  A3;   Ta có  3 d : x  y    y     2  A  d  A  d     2.   c   c   d  d3 : x  y   d : x  y  c    Vậy d : x  y    d : x  y   Chọn A d1 : x  y  15   x  1   d1  d  A1; 3  d3 Câu 124 Ta có:  d : x  y 1   y   m  6m   9m 13   m  Chọn D    d1 : x  y –   x   26    d1  d  A ;   d3 Câu 125  d : x – y     9  26 y   5m 26     m  12 Chọn D d1 : x – y  15   x  1   d1  d  A1;3  d Câu 126  d : x  y –1   y   m 12  15   m  Chọn C d1 : x  y –1   x     d1  d  A1; 1  d3  m  1   m  Câu 127  d : x  y    y  1 Chọn B    4  f  M   f 1;     M  d    3         0 N   d Câu 128 Đặt f  x; y   51x  30 y  11    f  N   f 1;   80      0 f  P      0   f Q  Chn A Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 32 Tài liệu toán 10 năm học 2018  t  2   2t x  2, y 1 d Câu 129 M 2; –1   d     VN   M  1   t  t  7   2t t  4 x 7, y  0 d N  –7;0     VN   N  d 0   t t  3   2t t  x 3, y 5 d P 3;5   d    VN   P  5   t t  2 3   2t x 3, y  2d  t   Q  d Chọn D Q 3; 2   2   t Câu 130 Gọi 12 x  y    f  M 1;1  10   0 M  d     f  N 1; 1   N  d Chọn A Đặt f  x; y   12 x  y     f  P   0, f Q    x  1  2t 1  1  2t x 1, y 3 d Câu 131 Gọi d :  M 1;3     t   M  d  y   5t 3   5t 1  1  2t x 1, y 2 d N 1; 2     t   N  d 2   5t t  3  1  2t  P 3;1     P  d Chọn C t  1   5t  x 3, y 1 d 3  1  2t x 3, y 8 d Q 3;8     t  1  Q  d 8   5t  DẠNG Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau: •   x  x  at x  x0 y  y0 ) có dạng Điểm A thuộc đường thẳng  :  , t  R (  :    y  y  bt a b   A  x  at; y  bt  •  at  c  Điểm A thuộc đường thẳng  : ax  by  c  (ĐK: a  b  ) có dạng A  t;  với  b   bt  c  b  A  ; t  với a   a  Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng  : 3x  4y  12  a) Tìm tọa độ điểm A thuộc  cách gốc tọa độ khoảng bốn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 33 Tài liệu toán 10 năm học 2018 b) Tỡm im B thuộc  cách hai điểm E  5;  , F  3; 2  c) Tìm tọa độ hình chiếu điểm M  1;2  lên đường thẳng  Lời giải:  a) Dễ thấy M  0; 3  thuộc đường thẳng  u  4;  vectơ phương  nên có phương trình   x  4t tham số    y  3  3t   Điểm A thuộc  nên tọa độ điểm A có dạng A  4t; 3  3t  suy OA    4t    3  3t   t 1    25t  18t      t  7  25  28 96  Vậy ta tìm hai điểm A1  4;  A2  ;   25 25  b) Vì B   nên B  4t; 3  3t  Điểm B cách hai điểm E  5;  , F  3; 2  suy 2 2 EB  FB   4t     3t     4t     3t    t   24  Suy B  ;    7 c) Gọi H hình chiếu M lên  H   nên H  4t; 3  3t    Ta có u  4;  vectơ phương  vng góc với HM  4t  1; 3t   nên   19 HM u    4t     3t     t  25  76 18  Suy H  ;    25 25     x  1  t Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng  : x  2y    ' :   y t   a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A  1;  qua đường thẳng  b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng vi ' qua Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 34 Tài liệu toán 10 năm häc 2018 Lời giải: a) Gọi H hình chiếu A lên  H  2t  6; t    Ta có u  2;1  vectơ phương  vng góc với AH  2t  5; t  nên   AH u    2t    t   t   H  2;2  A' điểm đối xứng với A qua  suy H trung điểm AA'   x A '  2x H  x A x A '  3          y 4  yA '  2yH  yA    A' Vậy điểm cần tìm A '  3;    x  1  t b) Thay  vào phương trình  ta 1  t  2t    t  suy giao điểm    y t    5  ' K   ;   3  Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng  ' đường thẳng đối xứng với  ' qua  qua điểm A' điểm K     x  3  t  nhận A ' K   ;     1; 7  nên có phương trình    3   y   7t   Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H A lên  ta làm cách khác sau: ta có đường thẳng AH nhận  u  2;1  làm VTPT nên có phương trình 2x  y   tọa độ H nghiệm hệ  x  2y      H  2;2    2x  y     7  Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Biết A  1; , B  1; 4  , đường thẳng BC qua điểm K  ;2  Tìm 3  toạ độ đỉnh C Lời giải:     Ta có BK  ;6  suy đường thẳng BC nhận u  2;9  làm VTCP nên có phương trình    x   2t     y  4  9t   C  BC  C   2t; 4  9t      Tam giác ABC vuông A nên AB.AC  , AB  2; 8 , AC   2t; 8  9t  suy   2t    9t     t Vy C 3;5 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 35 Tài liệu toán 10 năm học 2018 Vớ dụ 4: Cho hình bình hành ABCD Biết I  ;  trung điểm cạnh CD, D  3;  đường phân giác góc    2   BAC có phương trình  : x  y   Xác định tọa độ đỉnh B Lời giải:  xC  2x I  x D     7  Cách 1: Điểm I trung điểm CD nên   C  4;     yC  2x I  yD     Vì A   nên tọa độ điểm A có dạng A a; a       Mặt khác ABCD hình bình hành tương đương với DA, DC khơng phương AB  DC   AB  DC   xB  a      xB  a       B a  1; a       yB  a  yB  a         2 a 1   a 3  a  11 DA, DC không phương  2   Đường thẳng  phân giác góc BAC nhận vectơ u   1;1  làm vec tơ phương nên         AB.u AC u cos AB; u  cos AC ; u       (*) AB u AC u         Có AB  1;2 , AC   a;  a  nên   *   13  a 1  2a  2  2a  13a  11     a  11 (l ) 5     a     a  2  Vậy tọa độ điểm B  2;   7 Cách 2: Ta có C  4;     Đường thẳng d qua C vng góc với  nhận u  1;1  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  7  x     y    hay 2x  2y  15  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 36 Tài liệu toán 10 năm học 2018 Ta độ giao điểm H  d nghiệm hệ:   x  13  x  y       H  13 ; 17     4   2x  2y  15   17  y    Gọi C' điểm đối xứng với C qua  C' thuộc đường thẳng chứa cạnh AB H trung điểm CC'     xC '  2x H  xC   xC '   C '  ;5       yC '  2yH  yC y        C'   Suy đường thẳng chứa cạnh AB qua C' nhận DC  1;2  làm vectơ phương nên có phương trình    x  t      2t y   Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng  ta  t   2t    t   suy A  1;2  2   ABCD hình bình hành nên AB  DC    xB    xB        yB   y 4     B Suy B  2;  Chú ý: Bài tốn có liên quan đến đường phân giác ta thường sử dụng nhận xét "  đường phân giác góc tạo hai đường thẳng cắt 1 2 điểm đối xứng với điểm M  1 qua  thuộc 2 " Ví dụ 5: Cho đường thẳng d : x  2y   điểm A  0;1  B  3;  Tìm tọa độ điểm M d   cho MA  2MB nhỏ Lời giải:     M  d  M  2t  2; t  , MA  2t  2;1  t , MB   2t;  t  MA  2MB   6t; 3t     Suy MA  2MB   6t    3t      314  45  t     5 314    16  MA  2MB nhỏ t  M  ;  điểm cần tìm  5 Bi luyn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 37 Tài liệu toán 10 năm học 2018 Bi 24: Cho tam giỏc ABC có trọng tâm G  2;  , phương trình cạnh AB: 4x  y  14  , AC: 2x  5y   Tìm toạ độ đỉnh A, B, C Lời giải: ĐS: A  4;2 , B  3; 2 , C  1;  Bài 25: Cho hai đường thẳng d1 : x  y  d2 : 2x  y   Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1 , đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc trục hoành Lời giải: A  d1, C  d2 , B, D thuộc trục hoành suy A a; a ,C c;1  2c  , B b; , D d ;  Vì ABCD hình vng B, D thuộc trục hoành nên A C đối xứng qua trục hồnh  a c    a  c  Suy A  1;1 ,C  1; 1    a c     ABCD hình vuông suy BA  BC trung điểm AC trùng với trung điểm BD   b  (1) BA  BC  BA.BC     b       b  Trung điểm AC trùng trung điểm BD nên b  d  (2)   b  b   Từ (1) (2) ta có    d   d    Vậy có hai hình vng thỏa mãn có tọa độ đỉnh A  1;1 , B  2; ,C  1; 1 , D  0;  A  1;1 , B  0; ,C  1; 1 , D  2;  Bài 26: Cho tam giác ABC có đỉnh A  2;1  , đường cao qua đỉnh B có phương trình x  3y   đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x  y   Xác định toạ độ đỉnh B C tam giác Lời giải: ĐS: B  2; 3 , C  4; 5  Bài 27: Cho điểm A  2;2  đường thẳng: d1 : x  y   0, d2 : x  y   Tìm toạ độ điểm B C thuộc d d cho tam giác ABC vuông cân A Lời giải: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 38 Tài liệu toán 10 năm học 2018 B d1; C  d2 nên tọa độ B, C có dạng B a;2  a , C b;  b    AB  a  2; a  ; AC b  2;6  b  Tam giác ABC vuông cân A nên a  2  a  b  2    b 2  a  b     AB  AC       2  AB.AC   a  b    a   b   a    b         a  1 a    Giải hệ dễ dàng tìm      b3 b5     Từ B  1; , C  3;5  B  3; 1 , C  5;  Bài 28: Tam giác ABC biết A  2; 1  phương trình hai đường phân giác góc B góc C  : x  2y   0,  ' : 2x  3y   Xác định tọa độ B, C Lời giải: Điểm A '  0;   BC điểm đối xứng A qua  , A ''  0;2   BC điểm đối xứng A qua  '  1  5 Ta có BC : x  suy B  0; , C  0;      Bài 29: Cho điểm A  2;1  Trên trục Ox , lấy điểm B có hồnh độ x B  , trục Oy , lấy điểm C có tung độ yC  cho tam giác ABC vng A Tìm điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn Lời giải: ĐS: B  0; , C  0;5  Bài 30: Cho tam giác ABC cân B, với A  1; 1 ,C  3;5  Điểm B nằm đường thẳng d : 2x  y  Viết phương trình đường thẳng AB, BC Lời giải: ĐS: AB : 23x  y  24  , BC : 19x  13y  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 39 Tài liệu toán 10 năm học 2018 Bi 31: Cho đường thẳng  : x  2y   hai điểm A  2;5  B  4;5  Tìm tọa độ điểm M  cho a) 2MA2  MB đạt giá trị nhỏ b) MA  MB đạt giá trị nhỏ c) MA  MB đạt giá trị lớn Lời giải:  11  267 267  a) M    M  2t  3; t  suy 2MA  MB  15t  66t  126  15  t     5 5 Dấu xảy  t  2  11  11  M  ;   5  b) Dễ thấy A, B phía với  Gọi A' điểm đối xứng A qua   A '  4;1  3 9 Ta có MA  MB  MA ' MB  A ' B , dấu "=" xảy  M  A ' B  M  A ' B    M  ;    c) Lấy A' câu b) suy MA  MB  MA ' MB  A ' B dấu "=" xảy 3 9  M  A ' B    M  ;    Bài 32: Viết phương trình cạnh BC tam giác ABC biết A  1;1  phương trình đường phân giác góc B, C 2x  y   x  3y   Lời giải: ĐS: BC : 3x  11y  20  Bài 33: Viết phương trình đường thẳng  ' đối xứng với đường thẳng  qua điểm I biết a) I (3;1);  : 2x  y    x   t b) I (1; 3);  :    y  1  2t   Lời giải: a) d  I ;    ,  '/ /   ' : 2x  y  c  Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 40 Tài liệu toán 10 năm học 2018 d I ;  d I ; '   c  3(l ) c 5    5  c  13 Vậy  ' : 2x  y  13  b)  ' : 2x  y  15  Bài 34: Cho hình vuông tâm I  2;  AB : x  2y   Viết phương trình cạnh cịn lại đường chéo Lời giải: Ta có DC : x  2y   0; BC : 2x  y   0; AD : 2x  y  12  0; AC : x  3y  11  0; BD : 3x  y   Bài 35: Cho tam giác ABC vuông A biết phương trình cạnh BC là: 3x  y   ; điểm A, B thuộc trục hoành Xác định toạ độ trọng tâm G tam giác ABC biết bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Lời giải:  Dễ thấy B  1;  Vì C    C a; a    A, B thuộc trục hoành tam giác ABC vuông nên A a;      AB  a  1; , AC  0; a   , ABC tam giác AB, AC không phương hay   a 1 Theo công thức tính diện tích tam giác ta có S ABC  pr  AB.AC suy 2  AB  BC  CA   AB.AC , mặt khác AB  a  , BC  a  ,CA   nên ta có   a 1  a 1 a   suy a  (loại), a   a  1  Vậy có hai trường hợp xảy ta tìm tọa độ trọng tâm hai trường hợp   3    1  2     , G2  ; ; G1      3 3 Nhn xột: Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 41 Tài liệu toán 10 năm häc 2018 Cách khác: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Vì r   yI  2 Từ phương trình đường thẳng BC  suy B  600 BI : y   x  x  32 A C  x I      x A  xC  1  x 1 Từ phương trình BC ta suy yC tìm tọa độ ba đỉnh suy tọa độ trọng tâm Bài 36: Cho tam giác ABC có C (2, 0) , đường phân giác góc A có phương trình 5x  y     thỏa mãn AB  2OM với M  2;  Tìm tọa độ điểm A, B Lời giải:    A a;  5a   B   a;9  5a  , u  1;5  , AB  4;6 , AC  2  a;5a       cos AB; u  cos AC ; u      26 42  62  a    Chỉ có trường hợp  a  26a  13 2  a    5a   a   B  5;  Bài 37: Cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x  y   Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E  1;  nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho Lời giải: (hình 3.27)Gọi H' chân đường cao xuất phát từ đỉnh A, H giao điểm đường thẳng  AH Vì H   nên H a;  a  A H B H' CE Hình 3.27   AH u   1 a     2  a    a   H  2;2   (Trong u  1;1  vectơ phương  ) H trung điểm đoạn thẳng AH' nên H '  2; 2   Đường thẳng chứa cạnh BC qua H nhận u làm vect ch phng nờn Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 42 Tài liệu toán 10 năm học 2018   x  2  t BC :    y  2  t   Gọi B  2  t; t    C  t  2; 2  t    E nằm đường cao qua đỉnh C nên EC AB   t 4 hay  t   8  t     t  t     t  2t      t  2 Vậy B  6;2 ,C  2; 6  B  0; 4 ,C  4;  Bài 38: Cho hình thoi ABCD có A(1, 2); B(3, 3) giao điểm hai đường chéo nằm đường thẳng d : x  y   Tìm toạ độ C D Lời giải: C  3; , D  1; 1  C  6;13 , D  10;  Bài 39: Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB : x  y   phương trình đường thẳng BD : 2x  y   ; đường thẳng AC qua M  1;1  Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật ABCD Lời giải: 2 ĐS: A( ; ) ; B(0;1) ; C (1; 0) ; D( ;  ) 3 3 , tọa độ đỉnh A  2; 3 , B  3; 2  trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng có phương trình 3x  y   Tìm tọa độ đỉnh C Bài 40: Cho tam giác ABC có diện tích S  Lời giải: 5 5 S 1 I trung điểm AB I  ;   , SGAB   GH  GAB  , G a;  3a  AB  2  AB : x  y   , d G ; AB   GH từ suy C  2; 10  C  1;1  Bài 41: Cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : 3x  y   0, d2 : x  y   Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 43 Tài liệu toán 10 năm học 2018 Vit phng trình tổng quát đường thẳng d qua M cắt d1, d2 A, B cho 2MA  3MB  Lời giải: A  d1  A(x 1; 3x  5), B  d2  B(x ;  x )    2MA  3MB   Vì A, B, M thẳng hàng 2MA  3MB     2MA  3MB  (1) (2)   Ta có MA  (x  1; 3x  6), MB  (x  1;  x )    x1   (1)  2(x  1; 3x  6)  3(x  1;  x )      x   5 5 Suy A  ; , B(2; 2) Suy phương trình d : x  y   2    x1  (2)  2(x  1; 3x  6)  3(x  1;  x )     x 1   Suy A(1;  2), B(1; 3) Suy phương trình d : x   Bài 42 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C  4;1  ; phương trình đường trung tuyến AA', đường phân giác BB' tam giác 2x  y   0, x  y   Lời giải: B  3; , C '  5;10  với C' điểm đối xứng C qua BB' Bài 43 Cho tam giác ABC có A  4; 1  phương trình hai đường trung tuyến BB ' : 8x  y   0, CC ' : 14x  13y   Tính tọa độ B, C Lời giải: ĐS: B  1;5 , C  4; 5  Bài 44: Cho tam giác ABC ; phương trình đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A x  2y  13  13x  6y   Tìm tọa độ đỉnh B C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC l I (5; 1) Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 44 Tài liệu toán 10 năm häc 2018 Lời giải: Ta có A(3;  8) Gọi M trung điểm BC  IM / /AH Ta suy pt IM : x  2y   Suy tọa độ   x  2y   M thỏa mãn   M (3; 5)   13x  6y     Pt đường thẳng BC : 2(x  3)  y    2x  y  11  B  BC  B(a; 11  2a ) a  Khi IA  IB  a  6a      a  Từ suy B(4; 3), C (2; 7) B(2; 7), C (4; 3) Bài 45 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh A  5;  , trực tâm H  3;2  trung điểm 1  cạnh BC M  ;2    Lời giải: BC : 2x  y  3, CA : x  3y  14  0; AB : 4x  3y  11  Bài 46: Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết M  1; , N  1;  trung điểm BC, CA 1 5 H  ;   trực tâm tam giác ABC  3    x  t  Từ giả thiết suy MN  CH , NM  2;1   CH :    y  1  2t       26 Gọi C  t; 1_2t   A  t  2;7  2t   HA  t  ;  2t , CM  t  1;5  2t   3      26  7 Do HACM    t    t      2t    2t     3  t 3   15t  86t  123     t 41 15 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 45 Tài liệu toán 10 năm học 2018 41 67 71 53   11 23  Do C  3;5 , B  5; , A  1;1  C   ; , B  ; , A  ;   15 15   15 15 15 15 Giảng dạy: nguyễn bảo vương - 0946798489 Page | 46