Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân 1.2 Hoán vị tổ hợp 1.3 Nguyên lý chuồng chim bồ câu (Nguyên lý Dirichlet) 1.4 Hoán vị tổ hợp tổng quát 11 1.5 Công thức bao hàm loại trừ Chương 14 Một số chuyên đề tổ hợp dành cho học sinh có khiếu toán bậc trung học phổ thông 17 2.1 Chuyên đề 1: Quy tắc cộng quy tắc nhân 18 2.2 Chuyên đề 2: Hoán vị tổ hợp 2.3 Chuyên đề 3: Nguyên lý chuång chim bå c©u 29 2.4 Chuyên đề 4: Các sè Ramsey 32 2.5 Chuyên đề 5: Các số Catalan 38 2.6 Chuyên đề 6: C¸c sè Stirling 41 2.7 Chuyên đề 7: Hoán vị tổ hợp tổng quát 47 2.8 Chuyên đề 8: Nguyên lý bao hàm loại trừ 2.9 Chuyên đề 9: Những xáo trộn đặt trước 54 2.10 Chuyên đề 10: Đại lượng bất biến Chương Một số tập đề nghị 23 50 57 60 Mở đầu Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu, người ta đà biết đến hình vẽ có liên quan đến hình vuông thần bí Thời cổ Hy lạp, nhà triết học Kxenokrat, sống kỷ thứ trước công nguyên, đà biết tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitago học trò ông đà tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Việc tìm số đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp định Tuy nhiên, nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành toán học quÃng kỷ 17 loạt công trình nghiên cứu nghiêm túc nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler MỈc dï vËy, st hai thÕ kû rìi, tỉ hợp vai trò nhiều việc nghiên cứu tự nhiên Đến nay, với hỗ trợ đắc lực máy tính , tổ hợp đà chuyển sang lĩnh vực toán ứng dụng với phát triển mạnh mẽ, cã nhiỊu kÕt qu¶ cã Ých cho ngêi NhËn thức vai trò lý thuyết tổ hợp đời sống đại Lý thuyết tổ hợp đà đưa vào chương trình học phổ thông chiếm phần kỳ thi toán quốc gia quốc tế Tuy nhiên, nước ta, tài liệu viết tổ hợp chưa nhiều Do đó, luận văn cung cấp thêm tài liệu tổ hợp cho học sinh phổ thông; đặc biệt dành cho em học sinh có khiếu môn toán Chúng hi vọng luận văn đáp ứng phần lòng yêu thích khám phá toán học em Đồng thời tài liệu để đồng nghiệp tham khảo Luận văn gồm ba chương Chương trình bày số kiến thức tổ hợp theo lôgic khác so với sách phổ thông nhằm gây lạ cho học sinh Chương hai trọng tâm luận văn Trong chương này, học sinh tìm hiểu mười chuyên đề: Chuyên đề 1: Quy tắc cộng quy tắc nhân Chuyên đề 2: Hoán vị tổ hợp Chuyên đề 3: Nguyên lý chuồng chim bồ câu Chuyên đề 4: Các số Ramsey Chuyên đề 5: Các số Catalan Chuyên đề 6: Các số Stirling Chuyên đề 7: Hoán vị tổ hợp tổng quát Chuyên đề 8: Nguyên lý bao hàm loại trừ Chuyên đề 9: Những xáo trộn đặt trước Chuyên đề 10: Đại lượng bất biến Trong chuyên đề, tập thường dẫn dắt theo chủ đề định Qua học sinh tự tìm thấy cho kiến thức liên quan đến chủ đề nêu Đồng thời, có lời giải chi tiết, ngắn gọn, đầy sáng tạo bất ngờ Các lời giải gặp tài liệu tổ hợp có thị trường Tác giả hi vọng điều kích thích ham hiểu biết, lòng say mê học sinh có khiếu toán Chương ba có nội dung tập đề nghị chọn lựa kĩ lưỡng; nhằm giúp em vận dụng kiến thức thu từ hai chương trước để nâng cao kỹ giải toán tổ hợp Sau thời gian nghiên cứu luận văn đà hoàn thành Tuy nhiên không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong góp ý quý thầy cô, bạn đồng nghiệp em học sinh Chúng xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức 1.1 Quy tắc cộng quy tắc nhân Quy tắc cộng: NÕu Ei (i = 1, , k) lµ k sù kiện thoả mÃn: (i) Không có hai kiện số chúng xảy đồng thời (ii) Ei xảy theo k ni kiƯn cã thĨ x¶y theo Mét líp häc cã VÝ dơ 1.1.1 18 + 12 = 30 c¸ch 18 (n1 + n2 + + nk ) c¸ch häc sinh nam 12 học sinh nữ có cách chọn học sinh (không kể nam, nữ) làm người đại diện cho lớp Ví dụ 1.1.2 Giả thiết E kiện chọn số nguyên tố nhỏ kiện chọn số tự nhiên chẵn nhỏ Thì: E có cách xảy ra, F có tố chẵn nên hai kiện 10 cách xảy Nhưng E F 10 F số nguyên xảy theo 4+41 = cách Quy tắc nhân: n1 cách; E2 NÕu cã thĨ x¶y theo nh thÕ nµo); E1 vµ E2 Ei (i = 1, , k) E3 n2 k kiện E1 cách (không phụ thuộc đến việc xảy theo n3 VÝ dơ 1.1.3 nk − 1) sù kiƯn tríc x¶y nào), k đồng thời theo n1 n2 n3 nk Một giá sách có E1 xảy cách (không phụ thuộc đến việc xảy nào), ,Ek xảy theo thuộc đến (k xảy theo cách (không phụ kiện xảy cách sách tiếng Anh đôi khác nhau; sách tiếng Pháp đôi khác 10 sách tiếng Đức đôi kh¸c (i) Cã 6.8.10 = 480 c¸ch chän lÊy sách thứ tiÕng (ii) Cã + + 10 = 24 c¸ch chän lÊy qun s¸ch bÊt kú sè sách nói Nếu thi trắc nghiệm có Ví dụ 1.1.4 câu hỏi câu hỏi có phương án trả lời (một phương án hai phương án sai) Vậy số cách chọn câu trả lời tất 1.2 Hoán vị tổ hợp Cho X Định nghĩa 1.2.1 phần tử r số nguyên không n r-hoán vị X Một thứ tự gồm r phÇn tư n phÇn tư cđa X Mét Sè n tập hợp bao gồm âm nhỏ từ câu hỏi 38 = 6561 cách n-hoán vị X gọi hoán vị X r-hoán vị tập hợp n phần tử ký hiệu P (n, r) VÝ dơ 1.2.2 {2, 3, 4} vµ {2, 4, 3} hai 3-hoán vị khác X = {1, 2, 3, 4, 5} Định nghĩa 1.2.3 Một r-tổ hợp X tập gồm r phần tử cđa X r-tỉ hỵp cđa mét tËp hỵp n phần tử ký hiệu C(n, r) n! Định lý 1.2.4 (i) P (n, r) = (n − r)! P (n, r) n! (ii) C(n, r) = = = C(n, n − r) r! r!(n − r)! Sè ë đưa hàm giai thừa: m! (1).(2) (m) Chứng minh: tiên r (i) Có vị trí; có n 0! cách chọn phần tử (n 1) cách X chọn phần tử từ nhóm tử lại để chiếm vị trí thứ hai số r vào vị trí đầu (n 1) phần vị trí Chú ý số cách chọn phần tử chiếm vị trí thứ hai không phụ thuộc vào cách chọn phần tử chiếm vị trí thứ Do theo quy tắc nhân, hai vị trí lấp đầy r cách tất n(n 1) vị trí lấp đầy bởi: n! (n − r)! P (n, r) = n(n − 1) (n r + 1) = cách (ii) Để đánh giá C(n, r), ý r-hoán vị tập hợp n phần tử X r-tập X hoán vị Hơn nữa, r-tập phân biệt sinh r-tổ hợp phân biệt Do đó, quy tắc cộng ta có: P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r) Sè c¸c sè hạng vế phải số r-tập X tức C(n, r) Do ta có: P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r! Mỗi r-tập X (n r)-tập có tập bù Từ ta cã mét quan hƯ quan träng lµ: C(n, r) = C(n, n r) Đặc biệt, số hoán vị n phần tử là: P (n, n) = n! Nhận xét 1.2.5 hợp có r- hoán vị tập n phần tử, r- tổ Trong chương trình phổ thông, n phần tử gọi chØnh hỵp chËp r hỵp cđa mét tËp hỵp cã n phần tử gọi tổ hợp chập r n phần tử Ví dụ 1.2.6 Một câu lạc gồm học sinh khối 10 häc sinh khèi 11; 12 häc sinh khèi 12; 10 häc sinh khèi 11; CÇn lËp mét ban ®¹i diƯn gåm: häc sinh khèi 10 VËy ta cã: häc sinh khèi C(12, 4) = 12; 12! = 495 4!8! c¸ch chän häc sinh khèi 12; C(10, 4) = 210 c¸ch chän häc sinh khèi 11; C(9, 3) = 84 c¸ch chän häc sinh khối chọn ban đại diện là: 1.3 10 Bằng quy tắc nhân, số cách để 495.210.84 = 8731800 cách Nguyên lý chuồng chim bồ câu (Nguyên lý Dirichlet) Một số kết sâu sắc lý thuyết tổ hợp xuất phát từ mệnh đề đơn giản: Nếu n chuồng chim bồ câu nơi trú ẩn (n + 1) chim bồ câu cã Ýt nhÊt mét chuång chim chøa tõ hai chim bồ câu trở lên Ví dụ 1.3.1 Giả thiết có nhiều tất đỏ, nhiều tất trắng nhiều tất xanh hộp Hỏi phải lấy từ hộp tất (khi lấy không nhìn vào bên trong) để chắn màu Giải Mỗi màu coi chuồng chim bồ câu lấy n = Do ®ã, nÕu n + = chiÕc tÊt th× Ýt nhÊt cã hai chiÕc tÊt màu Một tổng quát đơn giản nguyên lý chuång chim bå c©u nh sau: NÕu k n chuång chim bồ câu nơi trú ẩn kn + chim bồ câu với số nguyên dương có chuồng chứa từ k + chim bồ câu trở lên Ví dụ 1.3.2 vÉn cã T¬ng tù nh vÝ dơ 1.3.1 nÕu cần lấy tất màu ta n = để đảm bảo (hay nhiều hơn) số chuồng chứa k+1 = (hoặc nhiều hơn) chim bồ câu ph¶i lÊy kn + = 16 chim Do đáp số 16 tất Ví dụ 1.3.3 Một tủ chứa màu trắng 20 áo sơ mi có màu đỏ; màu xanh Hỏi phải lấy áo (khi lấy không nhìn vào tủ) để lấy r = 4, 5, 6, 7, 8, áo màu? Giải ) Trường hỵp 1: r = = k + Suy k = Có màu nên n = Do đó, cần phải lấy kn + = 3.3 + = 10 chiÕc ¸o sơ mi ) Trường hợp 2: r = = k + Suy k = Ph©n tÝch đơn giản nhất, tưởng tượng áo lấy từ tủ cách Tình "lÃng phí" di chuyển áo lấy ta màu đỏ Do lại phải lấy có màu xanh màu trắng Để chắn r=5 áo lấy có màu có màu xanh màu trắng cần lấy là: n = Số lượng áo kn + = 4.2 + = (theo nguyên lý chuồng chim bồ câu) VËy cÇn lÊy Ýt nhÊt + = 13 áo ) Trường hợp 3: r = = k + Suy k = T¬ng tự trường hợp 2, kết + kn + = + 5.2 + = 15 áo cần phải lấy ) Trường hợp 4: r = = k + Suy k = Tương tự kết + kn + = + 6.2 + = 17 áo cần phải lấy ) Trường hợp 5: r = = k + Suy k = Bây lấy áo màu đỏ màu trắng vô giá trị Do số áo cần lấy là: ∗) + + kn + = + + 7.1 + = 19 chiÕc Trêng hợp 6: r = = k + Tương tự trường hợp ta có kết quả: + + kn + = + + 8.1 + = 20 áo cần phải lấy Cho S tập hợp, tạo thành đối tượng có dấu hiệu tượng có dấu hiệu tËp gåm vr n 2; x3 ≥ x2 KÝ hiệu vr x1 đối tượng có dấu hiệu đối tượng cã dÊu hiÖu 1; x2 ≥ x1 3, , xn xn1 đối số nguyên nhỏ thoả mÃn tất phần tử S mà tập chứa 10 r đối tượng có mét dÊu hiƯu Khi ®ã: n(r − 1) + 1, (n − 1)(r − 1) + + x1 , vr = (n − 2)(r − 1) + + x1 + x2 , (1)(r − 1) + + x + x + + x , n1 Định nghĩa 1.3.4 NÕu x r ≤ x1 x1 < r ≤ x2 x2 < r ≤ x xn−1 < r xn số thực phần nguyên số nguyên lớn nhỏ kí hiƯu [x] x n chng th× Ýt nhÊt mét h (m − 1) i chuång chøa tõ p + trë lªn víi p = n Chøng minh: Giả sử ngược lại, tất chuồng chứa nhiều nhÊt p m − 1 = m−1 < m chim Vậy số chim bồ câu nhỏ np n n Định lý 1.3.5 Nếu nhốt m x, chim bồ câu vào (mâu thuẫn) Ví dụ 1.3.6 cã p= 1.4 h 25 i Gi¶ sư có 26 sinh viên (m = 26) « t« ®Ĩ chë hä VËy = Do ®ã cã Ýt nhÊt mét chiÕc « t« chë tõ sinh viên trở lên Hoán vị tổ hợp tổng quát Định nghĩa 1.4.1 Nếu X đa tập gồm phân biệt), xếp r-hoán vị tổng quát X tổng quát cđa X ) VÝ dơ 1.4.2 §a tËp (nÕu n vật (không cần thiết phải r n vật từ đa tập X gọi r = n gọi đơn giản hoán vị X = {A, A, B, B, B, C, C} cã AABCBBC lµ mét hoán vị tổng quát X ni (i = 1, 2, , k), r vµ n lµ k + số nguyên dương thoả mÃn n1 + n2 + P (n, r) + nk = r ≤ n ta ®Ỉt P (n; n1 , n2 , , nk ) ≡ n1 !n2 ! nk ! NÕu 11 2; p2 = 3; p3 = 5; p4 = h 100 i h 100 i h 100 i h 100 i S1 = + + + = 117 h 100 i h 100 i h 100 i h 100 i h 100 i h 100 i S2 = + + + + + = 45 (2).(3) (2).(5) (2).(7) (3).(5) (3).(7) (5).(7) h 100 i h 100 i h 100 i h 100 i S3 = + + + =6 (3).(5).(7) (2).(5).(7) (2).(3).(7) (2)(3).(5) i h 100 =0 S4 = (2).(3).(5).(7) VËy: π(100) = 100 − + − 117 + 45 − + = 25 Bài toán 2.8.9 lớp hội hoạ, Có 30 sinh viên ký túc xá, 15 sinh viên tham gia häc sinh viªn tham gia häc líp sinh häc, sinh viên tham gia học học hoá học Biết r»ng cã r»ng cã Ýt nhÊt sinh viªn tham gia lớp Chứng minh sinh viên không tham gia lớp học Giải: Gọi A tập hợp sinh viên ký túc xá tham gia lớp hội hoạ B tập hợp sinh viên ký tóc x¸ tham gia líp sinh häc sinh viên ký túc xá tham gia lớp hoá học Ta cã: S3 = Gäi X C lµ lµ tập hợp S1 = 15 + + = 19, số sinh viên không tham gia lớp học Khi đó: x = 30 29 + S2 = S2 Mặt khác: n(A ∩ B ∩ C) = nªn n(A ∩ B) ≥ n(A ∩ C) ≥ n(B ∩ C) ≥ Suy S2 ≥ VËy x ≥ = 2.9 Chuyên đề 9: Những xáo trộn đặt trước Định nghĩa 2.9.1 Một hoán vị P tập 54 X = {x1 , x2 , , xn } gọi P (xi ) 6= xi xáo trộn Định lý 2.9.2 h Dn = n! Chøng minh: Gäi Ai i = 1, 2, , n Gọi Dn số xáo trộn tập hợp X = {x1 , , xn } Khi ®ã: n! víi mäi Gäi Q 1 1 + − + (1)n 1! 2! n! tập hợp tất hoán vị tập Q X chứa tất hoán vị có suy xi n(Q) = cố định (i = 1, 2, , n).Ta ¸p dơng c«ng thøc Sieve : X n! Sk = n(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ∩ Aik ) = C(n, k)(n − k)! = k! Do ®ã Dn = n(A01 HƯ qu¶ 2.9.3 ∩ A02 ∩ ∩ LËp b¶ng tÝnh A0k ) Dn h = n! − víi 1 + − + (−1)n 1! 2! n! n = 1, 2, , 10 n 10 Dn 44 265 1854 14833 133469 1334961 Bµi to¸n 2.9.4 Trong mét líp häc cã n häc sinh n sách phân biệt Giáo viên phát ngẫu nhiên cho học sinh sách yêu cầu học sinh phải nộp lại sau ngẫu nhiên cho tuần Tuần sau, sách lại phát n học sinh Hỏi có cách phân phối cho không học sinh nhận Giải: lần sách? Tuần đầu, sách phân phát theo cách phân phát có Dn cách phân phát tuần thứ hai cho thoả mÃn yêu cầu toán Vậy kết cần tìm Bài toán 2.9.5 Có n! cách ứng với n!Dn n phụ nữ tham dự buổi tiệc Khi đến người mang theo mũ , áo khoác gửi phòng tiếp tân Khi người phụ nữ lấy ngẫu nhiên mũ áo khoác Tìm số cách lấy mũ áo khoác nếu: a) Không người phụ nữ nhận mũ áo cô 55 b) Không người phụ nữ nhận mũ áo cô Giải: a) Những áo khoác bị xáo trộn theo Dn xáo trộn theo Dn cách Vậy ta có (Dn )2 cách Những mũ bị cách lấy mũ áo khoác thoả mÃn yêu cầu toán b) Ai Gọi tập tập X tất phân phối, người phụ i nhận mũ áo khoác cô (i = 1, 2, , n) n÷ thø n(X) = (n!)2 ; Sr = C(n, r)[(n − r)!]2 , (r = 1, 2, , n) Vậy kết cần tìm là: n(X) S1 + S2 + (1)n Sn Bài toán 2.9.6 Có số cách phân phối thư khác để gửi đến địa khác Tìm bøc th nµy cho Ýt nhÊt mét bøc thư đến tay người nhận Giải: Dễ thấy kết cần tìm là: Bài toán 2.9.7 8! D8 = 40320 14833 = 25487 Tìm số đơn ánh từ tập hữu hạn X n phần tử vào có cho đơn ánh có điểm cố định (n0 n0 Giải: X , f (n0 ) = n0 gọi điểm cố định đơn ánh f) Tương tự kết cần tìm là: Bài toán 2.9.8 Có n! Dn đôi găng tay trẻ em hộp Các đôi có màu khác Giả sử găng tay phải phân phát ngẫu nhiên cho em sau găng tay trái lại phát ngẫu nhiên cho 6 em Tìm xác suất để: a) Không em nhận đôi găng tay phù hợp b Tất em nhận đôi găng tay phù hợp c) Chỉ có em nhận đôi ngăng tay phù hợp d) hai em nhận đôi găng tay phù hợp Giải: Sáu găng tay phải có phát ngẫu nhiên 6! cách phân phát Sau có găng tay trái Vậy có tất xảy 56 (6!)2 6! cách phân khả a) Có 6! cách phân phát ngẫu nhiên găng tay phải ứng với cách có D6 cách phân phối găng tay trái để có kết theo yêu cầu toán Vậy xác suất cần tìm là: b) ứng với cách phân phát ph¸t c) 6!D6 D6 = (6!)2 6! chiÕc găng tay phải có cách phân găng tay trái ta có kết quả: ứng với cách phân phát 6!.1 = (6!)2 6! găng tay phải có 6.(1).D5 cách găng tay trái cho có người nhận đôi găng tay D5 6!.(6).(1).D5 = phù hợp VËy ta cã kÕt qu¶: (6!)2 5! D6 D5 d) Sử dụng kết a) c) ta có xác suất cần tìm là: 6! 5! phân phát 2.10 Chuyên đề 10: Đại lượng bất biến Đại lượng bất biến tính chất toán không thay đổi qua tác động biến đổi hệ thống Nhiều toán nhờ phát cố tình tạo biến có tính chất bất biến đơn điệu bất biến từ đưa ta đến kết luận toán Bài toán 2.10.1 Trên bảng ta viết 20 dấu cộng 25 dấu trừ vị trí Ta thực xóa hai dấu viết vào dÊu céng nÕu xãa hai dÊu gièng vµ dÊu trừ xóa hai dấu khác nhau; đến bảng dấu Hỏi dấu dấu gì? Giải: Cách 1: Ta thay dấu cộng số 1, dấu trừ số (-1) Thao tác thực là: xóa hai số viết lại số tích chúng Vì tích tất số viết bảng không đổi Ban đầu tích (-1) Vậy số cuối phải (-1) Hay dấu cần tìm dấu trừ Cách 2: Sau lần thao tác, số dấu trừ không thay đổi giảm hai Ban đầu số dấu trừ lẻ nên ta có dấu cần tìm dấu trừ 57 Cách 3: Thay dấu cộng số 0, dấu trừ số Thao tác thực tổng hai số viết lại số 0, tổng hai số số viết lại số Như sau thao tác thực hiện, tổng số bảng không đổi giảm hai Đầu tiên, tổng số bảng số lẻ nên số cuối số lẻ Do dấu cần tìm dấu trừ Nhận xét 2.10.1 Phân tích ba cách giải, ta thấy, cách lợi dụng tính không đổi tích số viết bảng; cách không đổi số chẵn dấu trừ ; cách sử dụng không đổi tính chẵn lẻ tổng số Bài toán 2.10.2 Trên bảng ta viết ba số nguyên Sau xóa số thay vào tổng hai số lại trừ Thao tác đến ta nhận ba số 15, 2007, 2009 Hỏi ba số có phải 2, 2, 2? Giải: Giả sử ba số 2, 2, Sau thao tác, ba số có hai số chẵn số lẻ Nhưng kết đà cho ba số lẻ nên câu trả lời cần tìm ba số 2, 2, Nhận xét 2.10.3 Bài toán giải nhờ phát tính chẵn lẻ ba số không thay đổi, nên từ trạng thái xuất phát nhận trạng thái kết thúc Bài toán 2.10.4 trắng n2 Trên bảng ô vuông n ì n (n chẵn) ô vuông bao gồm n2 ô ô đen Trong hàng cột bất kì, ta thay tất ô trắng thành đen, ô đen thành trắng Hỏi thực hữu hạn bước thay đổi để bảng lại ô đen hay không? Giải: Không Nếu có k ô đen hàng cột trước thực thay đổi thì, sau thực lần thay đổi, số ô đen hàng cột n k Sự thay đổi số ô đen bảng (n k) k = n 2k Đây số chẵn Do tính chẵn lẻ số ô đen giữ nguyên Mặt khác bắt đầu có chẵn số ô đen nên lại ô đen bảng bước biến đổi Bài toán 2.10.5 Có ba đống sỏi có số lượng tương ứng 19, 8, viên sỏi Ta phép chọn hai đống sỏi chuyển viên sỏi đống sỏi đà 58 chọn sang đống thứ ba Sau số lần làm có khả tạo ba đóng sỏi có 12 viên sỏi hay không? Giải: Không Đặt số viên sỏi ba đống tương ứng a, b c Ta xÐt sè d cđa ba sè nµy chia cho Đầu tiên số dư 1, 2, Sau lần thực số dư 0, 1, với thứ tự khác Do tất đống sỏi 12 viên ba số dư 0, 0, Bài toán 2.10.6 Mỗi thành viên câu lạc có nhiều ba đối thủ câu lạc (đối thủ tương tác lẫn nhau) Chứng minh thành viên câu lạc chia thành hai nhóm cho thành viên nhóm có nhiều đối thủ nhóm Giải: Đầu tiên ta chia ngẫu nhiên thành viên câu lạc thành hai nhóm Kí hiệu S số cặp đối thủ nhóm Nếu thành viên có hai đối thủ nhóm thành viên có nhiều đối thủ nhóm khác Thành viên di chuyển sang nhóm khác, ta giảm S Vì S số nguyên không âm, giảm mÃi Như sau số hữu hạn lần chuyển đổi thỏa mÃn yêu cầu toán Bài toán 2.10.7 A B tiến hành trò chơi với 2009 hạt gạo Một nước lấy khỏi đống hạt gạo 1, hạt A trước thay phiên Người lấy hạt gạo sau người chiến thắng Vậy người có chiến thuật để thắng chiến thuật nào? Giải: A thắng A thực chiến thuật sau: Khởi đầu A lấy hạt gạo, nước A lấy x hạt, x số hạt B đà lấy nước trước Thật vậy, sau A lần đầu tiên, lại 2008 hạt gạo Tiếp đó, theo chiến thuật sau lần B lấy đến A đi, số hạt gạo lại đống bội số Do vậy, cuối đến lượt B lại hạt Dù B thực cách A người chiến thắng 59 Chương Một số tập đề nghị Tập hợp Bài 3.1 A = {1, 2, , 100} chia thành tập hợp khác tập rỗng đôi không giao Chứng minh tồn tập cho tập tìm phần tử a, b, c, d mà tìm phần tử e, f, g cho a+b = c+d e + f = 2g Híng giải: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Cho 1978 tập hợp, tập hợp có 40 phần tử Biết hai tập hợp Bài 3.2 có phần tư chung Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt mét phần tử thuộc tất 1978 tập hợp đà cho Hướng giải: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Bài 3.3 Cho hai tập hợp khác rỗng gồm số nguyên dương cho phần tử tập hợp nhỏ n (n số nguyên dương cho trước, n ≥ 2) Chøng minh r»ng nÕu tỉng sè phÇn tử hai tập hợp không bé n chọn tập hợp phần tử cho tỉng sè cđa chóng b»ng n Híng gi¶i: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Bài 3.4 Cho A = {0, 1, , 8}, tìm số ánh xạ f : A A thỏa mÃn điều kiện: 1, Nếu i khác j (i,j thuộc A) f(i) khác f(j) 2, NÕu i + j = th× f (i) + f (j) = Híng gi¶i: Sư dơng quy tắc nhân Bài 3.5 Chứng minh từ tập hợp gồm 25 số dương chọn hai số mà tổng hiệu chúng không trùng với 23 số lại Hướng giải: Sử dụng nguyên lý Dirichlet Bài 3.6 Cho tập hợp X có k phần tử tập hợp Y có m phần tử Hỏi có bao 60 nhiêu ánh xạ từ X đến Y Hướng giải: Sử dụng quy tắc nhân Cho Bài 3.7 S = {1, 2, , 280} T×m sè tù nhiên n nhỏ cho tập hợp gồm n phần tử S chứa số đôi nguyên tố Hướng giải: Sử dụng công thức số phân tử hợp tập hợp nguyên lý Dirichlet Bài 3.8 Chứng minh với n N ta có đẳng thức: =n 1≤i1 < A = {a1 , a2 , , an } N số nguyên d¬ng m BiÕt r»ng sè d phÐp chia phần tử A cho m khác đôi Chứng minh với k Z, thiết khác nhau) cho số tồn + aj − k i, j ∈ {1, 2, , n} chia hết cho (i, j không m Hướng giải: Sư dơng nguyªn lý Dirichlet n ∈ N ∗ , chứng minh đẳng thức: n P P 2k n + n+1 = n+1 C(n, k) k k=1 k=0 Bài 3.10 Cho Hướng giải: Quy nạp biến đổi tổ hợp Bài 3.11 Cho k [−n, n] P (x) ∈ R[x] th× cã bËc | P (x) | 1.Chứng 2n Biết với sè nguyªn minh r»ng víi mäi x ∈ [−n, n] | P (x) | 22n Hướng giải: Dùng đa thức nội suy Lagrange biến đổi tổ hợp Bài 3.12 Cho số nguyên : xn + a1 xn1 + + an x0 < x1 < < xn cho đa thức P (x) = P (xj ), j = 0, 1, , n n! lu«n tồn số có giá trị tuyệt đối không nhỏ 2n Chứng minh số Hướng giải : Giống 3.11 61 Tìm tất số nguyên dương k thỏa mÃn điều kiƯn : NÕu Bµi 3.13 F (x) ∈ Z(x) cho ≤ F (c) ≤ k víi mäi c ∈ {0, 1, , k + 1} th× F (0) = F (1) = = F (k + 1) Hướng giải: Sử dụng nguyên lý Dirichlet (1.x + 2.x2 + + n.xn )2 = a0 + a1 x + a2n x2n Chøng n(n + 1)(5n2 + 5n + 2) minh r»ng an+1 + an+2 + + a2n = 24 Bài 3.14 Giả sử : Hướng giải : Biến đổi tổ hợp Bài 3.15 (bn ) Cho P (x) Z[x] xác định sau: d N cho với x N b1 = 1, bk+1 = P (bk ), ∀k ≥ tồn số hạng dÃy minh r»ng: ta cã P (x) > x D·y BiÕt với (bn ) chia hết cho d Chứng P (x) = x + 1, ∀x ∈ N ∗ Hướng giải: Phản chứng dùng nguyên lý Dirichlet p1 , p2 , , pn ∈ [0, 1] Chøng minh bất phương trình: 1 1 8n(1 + + + + ) cã nghiÖm thuéc [0, 1] 2n − i=0 | x − pi | Bµi 3.16 n P Cho n sè Hướng giải: Sử dụng nguyên lý Dirichlet [n/2] P (C(n, k) − C(n, k − 1))2 Chøng minh Bài 3.17 Cho n N , đặt Sn = k=0 r»ng Sn = C(2n, n) n+1 Híng gi¶i : Biến đổi tổ hợp Bài 3.18 thuộc vào mà Cho c¸c sè thùc α1 , α2 , , αn α1 , α2 , , αn Chøng minh r»ng tồn số c phụ cho có vô số bé c¸c sè | α1 m1 + + αn mn |< c | m1 | + + | mn |n−1 (m1 , m2 , , mn ) ∈ Z n Hướng giải : Dùng qui tắc nhân nguyên lý Dirichlet Bài 3.19 Cho tập hợp {1, 2, , 14} M = {1, 2, , 27} vµ A = {a1 , , ak } ⊂ Cã tÝnh chất sau: Mỗi phần tử M phần tử A tổng hai phần tử (không thiết phân biệt) A Tìm giá trị nhỏ k Hướng giải : Dùng tổ hợp chứng minh phản chứng để có kết giá trị nhỏ k 62 Bài 3.20 Cho hệ phương trình gồm q = 2p ẩn: a11 x1 + + a1q xq = ap1 x1 + + apq xq = ®ã aij ∈ {−1, 0, 1} Chøng minh tồn nghiệm (x1 , , xq ) khác (0, 0, , 0), xj ∈ Z vµ | xj |≤ q, ∀j = 1, 2, , q Híng giải : Dùng qui tắc nhân nguyên lý Dirichlet Bài 3.21 Cho tập hợp M gồm 2002 số nguyên dương, số có ước nguyên tố không vượt 23 Chứng minh tồn số phân biƯt M cã tÝch lµ lịy thõa bËc số nguyên Hướng giải: Nguyên lý Dirichlet Bài 3.22 Cho tập hợp A gồm n nguyên tố phân biệt M tập gồm n+1 số tự nhiên phân biệt cho số M không số phương có ước nguyên tố thuéc A Chøng minh r»ng cã thÓ chän M số có tích số phương Hướng giải: Nguyên lý Dirichlet Bài 3.23 Cho S = {1, 2, 3, , 100} P tập tËp cđa S mµ |T | = 49 Víi T P , ta đánh số cách ngẫu nhiên, số lấy từ tập S Chứng minh r»ng tån t¹i tËp M cđa S cã số phần tử 50 với x M , tập M \ {x} không đánh số x Hướng giải: Nguyên lý Dirichlet Bài 3.24 Tô màu ô bảng x hai màu: đen, trắng Chứng minh với cách tô tồn hình chữ nhật có cạnh nằm đường lưới cho ô góc màu Hướng giải: Nguyên lý Dirichlet Bài 3.25 Xét bảng ô vuông x Điền vào ô số -1 cho tổng số hàng tổng số cột Hỏi có cách? 63 Đáp án: 90 cách Bài 3.26 Lưới ô vuông n x n, n số nguyên dương Mỗi nút lưới ta tô hai màu: xanh đỏ cho hình vuông đơn vị có hai đỉnh màu đỏ hai đỉnh màu xanh Hỏi có cách? 2n+2 cách Đáp án: Bài 3.27 Cho n số nguyên dương Kí hiệu Zn = {0, 1, 2, , n − 1} XÐt c¸c tËp: An = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Zn , a < b < c, a + b + c ≡ 0(modn)} , Bn = {(a, b, c) : a, b, c ∈ Zn , a ≤ b ≤ c, a + b + c ≡ 0(modn)} a) Chøng minh r»ng b) TÝnh |Bn | = |An | + n |An | Hướng giải: b) Dùng so sánh ®Ó chøng minh |An+3 | = |Bn | Suy |An+3 | = |An | + n Tõ ®ã tÝnh |An | Bài 3.28 Cho tập X = {1, 2, , 2000} mà tổng phần tử T m cột thứ Lần thứ tô ba ô ≤ s ≤ 1990 cña X 402 (2 + 22000 ) Cho bảng ô vuông 1991 x 1992 Kí hiệu ô hàng thứ T chia hết cho Đáp số: Số tập cần tìm Bài 3.29 Hỏi có tập n (m, n) nằm giao Tô màu ô bảng theo quy tắc sau: (r, s), (r + 1, s + 1), (r + 2, s + 2) víi r 1989, Từ lần thứ hai, lần tô ba ô chưa có màu nằm bên cạnh hàng cột Hỏi ta tô màu hết tất ô bảng không? Đáp số: Không ( Sử dụng bất biến) Bài 3.30 Cho góc vuông Oxy Chia góc thành hình vuông đơn vị 64 đường thẳng song song với Ox Oy Kí hiệu ô dòng thứ i cột thứ j (i, j) ô nằm giao (thứ tự dòng cột tính từ lên từ trái sang phải) Thực thuật toán sau: Mỗi lần lấy khỏi góc xOy viên bi ô (i, j) mà ô (i + 1, j) (i, j + 1) bi, đồng thời thêm vào hai ô ô viên bi Hỏi sau số lần thực thuật toán ta nhận trạng thái mà: a) Các ô (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) bi? b) Các ô (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), (1,3) (3,2) bi? Đáp sè: a) Cã b) Kh«ng ( Sư dơng bÊt biÕn) Bài 3.31 Hai người luân phiên viết số vào ô bảng 1993 x 1994 Gọi An Bn tương ứng giá trị lớn tổng số thuộc hàng tổng số thuộc cột Người thứ thắng An > Bn , ngược lại người thứ hai thắng Hỏi có chiến lược thắng Đáp số: Người thứ hai có chiến lược thắng Bài 3.32 Trên bảng cho trước số nguyên dương n0 chơi sau: Người thứ phép viết lên bảng số n0 , người thứ hai phép viết sè n2 cho n1 n2 n1 Hai ngêi ch¬i trß cho n0 ≤ n1 ≤ ps , p có dạng số nguyên tố s số nguyên dương Sau thay giá trị trị n2 n0 giá tiếp tục chơi Người thứ thắng viết số 2001 người thứ hai thắng viết số Giả thiết rằng, hai người chơi thông minh Hỏi người chiến thắng Đáp số: Nếu n0 ∈ {2, 3, 4, 5} th× ngêi thø hai thắng Nếu n0 {6, 7} hai người hòa Các trường hợp lại người thứ thắng Bài 3.33 Trong thi hoa hậu, giám khảo đề nghị 10 thí sinh vào vòng chung kết Một nhóm thí sinh gọi chấp nhận giám khảo A nhóm ®ã cã Ýt nhÊt mét thÝ sinh A ®Ò nghị Biết 65 rằng, với giám khảo ®Ịu tån t¹i mét nhãm gåm ®óng thÝ sinh nhóm chấp nhận giám khảo Chứng minh tồn nhóm gồm 10 thí sinh nhóm chấp nhận thành viên ban giám khảo Hướng dẫn: Phản chứng Cho Bài 3.34 Đặt 3k x k, n số nguyên dương bảng ô vuông vô hạn n quân cờ hình chữ nhật 3k x n Xét cách chơi sau đây: quân cờ nhảy ngang nhảy dọc qua ô kề chứa quân cờ để đến ô ô trống Sau làm loại bỏ quân cờ vừa bị nhảy qua.Hỏi có bảng ô vuông đà cho lại quân cờ? Hướng giải: Sử dụng bất biến Bài 3.35 Trong hình tròn đơn vị cho 2000 điểm tạo thành đa giác lồi A1 A2 A2 000 Chứng minh tồn điểm số tạo thành tam giác có diện tích không vượt 31250000 Hướng giải: Phương pháp cực hạn Bài 3.36 Trên mặt phẳng cho số điểm đỏ số điểm xanh Một số cặp điểm nối với Một điểm gọi kì dị nửa số đoạn thẳng xuất phát từ điểm có đầu mút lại khác màu với Thực thuật toán sau: Mỗi lần chọn tra điểm kì dị đổi màu Chứng minh sau hữu hạn bước, tất điểm kì dị bị xóa Hướng giải: Phương pháp cực hạn Bài 3.37 Xem kÕt qu¶ häc tËp cđa mét líp häc, ngêi ta thấy 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi môn Toán đồng thời đạt điểm giỏi môn Vật Lý; 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi môn Vật Lý đồng thời đạt điểm giỏi môn Ngữ văn; 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi môn Ngữ văn đồng thời đạt điểm giỏi môn Lịch sử; 2/3 số học sinh đạt điểm giỏi môn Lịch sử đồng thời đạt điểm giỏi môn Toán Chứng minh tồn học sinh đạt điểm giỏi bốn môn nêu 66 Hướng dẫn: Nguyên lý bù trừ Bài 3.38 Cho trước n số tự nhiên lẻ lớn 1, với hoán vÞ a = (a1 , a2 , , an ) số n! hoán vị 1, 2, , n, ta đặt S(a) = n X 2i i=1 Chứng minh tồn hoán vị b c, b khác c cho n! ước số S(b) S(c) Hướng dẫn: Phương pháp phản chứng Bài 3.39 Một hình tròn chia thành hình quạt nhau, hình quạt đặt quân cờ Mỗi lần cho phép chuyển quân cờ hình quạt sang hai hình quạt bên cạnh Chứng minh dồn quân cờ vào hình quạt sau 2006 lần thực Hướng dẫn : Xây dựng hệ thức truy hồi Bài 3.40 Cho P1 , P2 , , Pn N, ≤ p n n điểm đường tròn Cho Có cách tô màu n diểm đà cho cho hai điểm kề tô hai màu khác Đáp số: a1 = p, a2 = p(p − 1), an = (p − 1)an−2 + (p − 2)an−1 67 p p∈ mµu Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Nguyễn Hữu Điển (2004), Giải toán phương pháp đại lượng bất biến, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành (2004), Toán rời rạc, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc tổ hợp toán rời rạc, Nxb Giáo dục, Hà Nội Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh V.K Balakrishnan, Ph.D (1995), Theory and problems of combinatorics, McGraw-Hill, INC, Singapore Titu Andreescu Zuming Feng (2004), A Path to Combinatoricts for Undergraduates ( Counting Strategies), Birkhauser Boston, United states of America 68