Một số vấn đề về phân thức liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHÂN THỨC LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự phát triển mạnh mẽ từ kỷ XX hoàn thiện, bổ sung hôm Việc áp dụng quan hệ thứ tự vào nghiên cứu phương trình tốn tử tổng qt mặt cho phép nghiên cứu sâu tính chất định tính nghiệm tính dương, tính lồi, tính đơn điệu, , Mặt khác, cho phép giảm nhẹ điều kiện liên tục ánh xạ kiện lồi tập xét Do đó, lý thuyết phương trình khơng gian có thứ tự ứng dụng rộng rãi để nghiên cứu phương trình xuất phát từ Vật lý, Hố học, Sinh học, Thế nhưng, việc ứng dụng lý thuyết vào toán biến phân lại hạn chế mới bắt đầu năm gần Do đó, việc nghiên cứu ứng dụng quan hệ thứ tự vào toán biến phân cần thiết hứa hẹn nhiều kết thú vị 259 2 Nhóm đối xứng Trong mục chúng tơi tính tốn độ giao hốn tương đối nhóm thay phiên An nhóm đối xứng Sn Định nghĩa Cho n số nguyên dương Một phân hoạch n dãy không tăng số nguyên dương (k1 , k2 , , ks ) cho k1 + k2 + · · · + ks = n Từ Mệnh đề ?? ta có kết sau Mệnh đề Với n ⩾ Pr(An , Sn ) = 2c(n) n! c(n) số lớp liên hợp Sn nằm An Để tính c(n) ta cần kết sau Mệnh đề Cho n số nguyên, n ⩾ 2, (k1 , k2 , , ks ) phân hoạch n Giả sử π ∈ Sn có kiểu (k1 , k2 , , ks ) Khi π ∈ An s + k X ki số chẵn i=1 Chứng minh Vì phép π có kiểu (k1 , k2 , , ks ) cho nên, theo Mệnh đề 40, ta có s P (ki +1) sign(π) = (−1)i=1 s+ = (−1) s P i=1 ki Từ suy điều phải chứng minh Trong ví dụ sau chúng tơi tính tốn giá trị Pr(An , Sn ) với ⩽ n ⩽ cách áp dụng Mệnh đề ?? Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất phân hoạch n ứng với kiểu phép An Từ ta đếm c(n) tính Pr(An , Sn ) Ví dụ (i) Với n = ta có phân hoạch (1, 1) Do c(2) = Cho nên Pr(A2 , S2 ) = 2c(2) = 2! (ii) Với n = ta có phân hoạch (3), (1, 1, 1) Do c(3) = Cho nên Pr(A3 , S3 ) = 2c(3) = 3! (iii) Với n = ta có phân hoạch (3, 1), (2, 2), (1, 1, 1, 1) Do c(4) = Cho nên Pr(A4 , S4 ) = 2c(4) = 4! (iv) Với n = ta có phân hoạch (5), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 1, 1, 1, 1) Do c(5) = Cho nên Pr(A5 , S5 ) = 2c(5) = 5! 15 (v) Với n = ta có phân hoạch (5, 1), (4, 2), (3, 3), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) Do c(6) = Cho nên Pr(A6 , S6 ) = 2c(6) = 6! 60 (vi) Với n = ta có phân hoạch (7), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Do c(7) = Cho nên Pr(A7 , S7 ) = 2c(7) = 7! 315 3.1 Một số đặc biệt hóa Jacobson vành Biểu diễn ∆(R) tính chất Trong mục này, khảo sát tập ∆(R) =: {r ∈ R|r+U (R) ⊆ U (R)} vành R Tập vành có quan hệ chặt chẽ với Jacobson R Ta ∆(R) vành Jacobson lớn R đóng với phép tốn nhân phần tử khả nghịch R Các tính chất ∆ cấu trúc vành nghiên cứu, trình bày số họ vành mà ∆(R) = J(R) Các phương pháp cấu trúc vành với ∆(R) ̸= J(R) mô tả Bổ đề Cho R vành bất kỳ, ta có (1) ∆(R) = {r ∈ R | ru + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)} = {r ∈ R | ur + ∈ U (R), ∀u ∈ U (R)}; (2) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R); (3) ∆(R) vành vành R; (4) ∆(R) idêan R ∆(R) = J(R); Y Y (5) Với họ vành Ri , i ∈ I , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) u thuộc U (R), r + u ∈ U (R) tương đương ru−1 + ∈ U (R) tương đương u−1 r + ∈ U (R) (2) Ta có ruu′ + ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R) r ∈ ∆(R), suy ru ∈ ∆(R) Tương tự ur ∈ ∆(R) (3) Lấy r, s ∈ ∆(R) Khi −r + s + U (R) ⊆ −r + U (R) = −r − U (R) ⊆ U (R), hay ∆ nhóm với phép cộng R Hơn rs = r(s+1)−r ∈ ∆(R) r(s + 1) ∈ ∆(R) theo (2) (4) Rõ ràng J(R) ⊆ ∆(R) Ta giả sử ∆(R) iđêan R r ∈ R Khi rx + ∈ U (R), với x thuộc ∆(R) ∆(R) ⊆ J(R) hay ∆(R) = J(R) Chiều ngược lại dễ thấy Hệ Cho R vành: (1) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy linh; (2) Nếu ∈ U (R), ∆(R) đóng với phép nhân phần tử lũy đẳng Định lý Cho R vành có đơn vị T vành R sinh U (R) Khi đó: (1) ∆(R) = J(R) ∆(S) = ∆(R), với S vành R thỏa T ⊆ S ; (2) ∆(R) vành Jacobson lớn chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch R Chứng minh (1) T vành sinh U (R) nên T vành bao gồm tất tổng hữu hạn đơn vị R Do đó, theo (2) Bổ đề 9, ∆(T ) iđêan T Theo (4) Bổ đề 9, ∆(T ) = J(T ) Nếu r ∈ ∆(R), r + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa r biểu diễn thành tổng hai đơn vị Do r ∈ T , suy ∆(R) ⊆ T Giả sử S vành R thỏa mãn T ⊆ S Khi U (S) = U (R), ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} = S ∩ ∆(R) = ∆(R), ∆(R) ⊆ T ⊆ S (2) Theo (1), ∆ vành Jacobson R theo Bổ đề (2) ∆(R) đóng với phép nhân phần tử khả nghịch phía trái phải R Bây giờ, ta giả sử S vành Jacobson chứa R đóng với phép nhân phần tử khả nghịch Nếu s ∈ S u ∈ U (R), su ∈ S = J(S) Do su quasi-regular S + su ∈ U (R) Theo Bổ đề (1) s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R) Hệ Giả sử R vành mà phần tử biểu diễn thành tổng đơn vị Khi ∆(R) = J(R) Hệ Giả sử R vành đại số trường F Nếu dimF R < |F |, ∆(R) vành lũy linh Mệnh đề Giả sử R vành có đơn vị Khi (1) Cho S vành R thỏa U (S) = U (R) ∩ S Khi ∆(R) ∩ S ⊆ ∆(S) [ = U (R) ∩ ∆(R) [; (2) U (∆(R)) (3) Cho I iđêan R thỏa I ⊆ J(R) Khi ∆(R/I) = ∆(R)/I Chứng minh (1) suy từ định nghĩa ∆ (2) Nếu r ∈ ∆(R), v = + r ∈ U (R) v −1 = − rv −1 ∈ [ ∩ U (R), −rv −1 ∈ ∆(R), Bổ đề ∆(R) [ = ∆(R), nghĩa ∆ Hệ Cho R vành có đơn vị, ∆(∆(R)) tốn tử đóng Hệ ∆(R) ∩ Z(R) ⊆ ∆(Z(R)) Hệ Cho R vành (1) ∆(Tn (R)) = Dn (∆(R)) + Jn (R); (2) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ); (3) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Hệ Cho R vành, ∆(R) = J(R) ∆(R/J(R)) = Định lý ∆(R) = J(R) R thỏa mãn điều kiện sau (1) R/J(R) đẳng cấu với phép nhân vành ma trận division rings (2) R vành nửa địa phương (3) R clear ring thỏa ∈ U (R) (4) R U J -vành, nghĩa U (R) = + J(R) (5) R có stable range (6) R = F G nhóm đại số trường F Bổ đề Giả sử G nhóm R Khi G đóng với phép nhân phần tử khả nghịch đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R Định lý Giả sử R vành có đơn vị G nhóm phép cộng R Khi điều kiện sau tương đương (1) G = ∆(R) (2) R vành Jacobson lớn đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R (3) G nhóm lớn R phép cộng bao gồm phần tử quasi-invertible đóng với phép nhân phần tử quasi-invertible R 3.2 Mở rộng toán tử ∆ cho vành khơng có đơn vị Bổ đề Cho R vành khơng thiết phải có đơn vị, ta có ∆◦ (R) = ∆◦ (R1 ) = ∆(R1 ) Mệnh đề Cho R vành bất kỳ, ta có điều sau (1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) (2) ∆(R) không chứa phần tử lũy đẳng khác không (3) ∆(R) không chứa phần tử unit regular khác không Hệ Cho R vành có unit regular, ∆(R) = Hệ Giả sử ∈ U (R) Khi e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e phần tử lũy đẳng R Mệnh đề Giả sử R vành 2-primal Khi ∆(R[x]) = ∆(R)+J(R[x]) Khơng gian hàm Lipschitz Lip(Ω) Định nghĩa Cho A ⊂ Rn (i) Hàm f : A ⊂ Rn → R gọi "Lipschitz" tồn số L>0 thỏa |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ A Tập hợp hàm Lipschitz f : A ⊂ Rn → R ký hiệu Lip(A) (ii) Cho f ∈ Lip(A) Một số không âm   |f (x) − f (y)| : x, y ∈ A, x ̸= y Lip(f ) = Lip(f, A) := sup |x − y| gọi số Lipschitz f Nhận xét Định nghĩa hàm Lipschitz khái niệm metric Thật vậy, (X, d) (Y, ϱ) không gian metric, ánh xạ f : X → Y gọi Lipschitz có số L > thỏa mãn ϱ(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X Mệnh đề Cho A ⊂ Rn f ∈ Lip(A) (i) f liên tục A; (ii) tồn f¯ : A → R với f |A = f Lip(f ) = Lip(f ) Nhận xét Từ mệnh đề 17 suy f ∈ Lip(A), với A ⊂ Rn , ln có nghĩa hàm f : A → R ngược lại Hơn nữa, ánh xạ mở rộng E : Lip(A) → Lip(A), E(f ) := f song ánh Theo kết này, ta hiểu Lip(A) = Lip(A) Lưu ý tính chất mở rộng khơng cịn khơng gian C1 (Ω) Mệnh đề Cho Ω ⊂ Rn tập lồi bị chặn Khi C1 (Ω) ⊂ Lip(Ω) Chứng minh Cho f ∈ C1 (Ω) Theo định lý giá trị trung bình ∀x, y ∈ Ω, ∃z ∈ xy := {tx + (1 − t)y : ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω thỏa mãn f (x) − f (y) = (∇f (z), x − y)Rn Nghĩa |f (x) − f (y)| = |(∇f (z), x − y)Rn | ≤ sup(|∇f |)|x − y| = L|x − y|, ∀x, y ∈ Ω Ω Nhận xét (i) không Ω không lồi 61 Chứng minh Đặt ∇ = ∇(RG) Giả sử G nhóm hữu hạn có cấp 1+2n R ∆U -vành Theo Mệnh đề 10, ta có ∈ ∆(R), 1+2n ∈ U (R) Khi RG có biểu diễn RG = ∇⊕H với H ∼ = R theo [4] Đặt ∇ = eRG H = (1 − e)RG Rõ ràng e phần tử tâm RG Nếu RG ∆U -vành, ∇ = eRG ∆U -vành theo Mệnh đề 11 Ngược lại, giả sử ∇ = eRG ∆U -vành Vì H ∼ = R nên H ∆U -vành Theo Bổ đề 9, RG ∆U -vành Một nhóm gọi hữu hạn địa phương nhóm sinh hữu hạn phần tử hữu hạn Bổ đề 10 Nếu G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành với ∆(R) lũy linh, ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Chứng minh Giả sử G 2-nhóm hữu hạn địa phương R ∆U -vành ¯ Suy Khi R¯ := R/J(R) ∆U -vành Từ ∆(R) lũy linh, ∈ N (R) ¯ ⊆ N (RG) ¯ ¯ ∇(RG) theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇(RG) iđêan lũy ¯ Ta kiểm tra J(R)G ⊆ J(RG), linh chứa J(RG) J((R/J(R))G) ∼ = J(RG/J(R)G) = J(RG)/J(R)G Do ∇(RG) ⊆ J(RG) ⊆ ∆(RG) Định lý 31 Cho R ∆U -vành G 2-nhóm hữu hạn địa phương Nếu ∆(R) lũy linh, RG ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (RG) Khi ε(u) = + ε(u − 1) ∈ U (R) theo Bổ đề 14 (1) áp dụng cho ánh xạ mở rộng ε i Vì R ∆U -vành nên tồn j ∈ ∆(R) thỏa mãn ε(u) = + j Theo Bổ đề 14 (1) ta có ε(u − + j) = hay u − + j ∈ ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Do u ∈ − j + ∆(RG) suy u ∈ + ∆(RG) Hệ 17 Cho R vành hoàn chỉnh phải trái G 2-nhóm hữu hạn địa phương Khi đó, R ∆U -vành RG ∆U -vành 62 18 Các cận cho độ giao hốn tương đối nhóm Mệnh đề sau cho ta cận cận cho độ giao hốn tương đối nhóm nhóm Mệnh đề 28 Cho H nhóm G, p ước nguyên tố nhỏ |G| Khi |Z(G) ∩ H| + |H| |Z(G) ∩ H| p(|H| − |Z(G) ∩ H|) + ⩽ Pr(H, G) ⩽ |H| |H||G| 2|H| Chứng minh Đặt K = Z(G) ∩ H Khi theo Mệnh đề ?? ta có X X X |H||G| Pr(H, G) = |CG (x)| = x∈H |CG (x)| + x∈K = |K||G| + X |CG (x)| x∈H\K |CG (x)| x∈H\K Rõ ràng x ∈ H \ K {1} ⊊ CG (x) ⊊ G p ⩽ |CG (x)| ⩽ Do p(|H| − |K|) ⩽ X |CG (x)| ⩽ (|H| − |K|) x∈H\K |G| |G| Cho nên |K||G| + p(|H| − |K|) ⩽ |H||G| X |CG (x)| ⩽ |K||G| + (|H| − |K|) x∈H\K |G| Từ suy |K| p(|H| − |K|) |K| |H| − |K| + ⩽ Pr(H, G) ⩽ + , |H| |H||G| |H| 2|H| ta có cơng thức cần chứng minh Rõ ràng độ giao hoán tương đối nhóm nhóm giao hốn Kết sau cho ta cận cho độ giao hốn tương đối nhóm một nhóm khơng giao hốn 63 Mệnh đề 29 Cho G nhóm khơng giao hốn H nhóm G Khi (i) Nếu H ⊆ Z(G) Pr(H, G) = Hơn nữa, H nhóm khơng giao hốn Pr(H, G) ⩽ (ii) Nếu H ⊈ Z(G) Pr(H, G) ⩽ Chứng minh X (i) Vì H ⊆ Z(G) nên |CG (x)| = |H||G| Do x∈H Pr(H, G) = 1 X |CG (x)| = |H||G| = |H||G| |H||G| x∈H (ii) Giả sử H ⊈ Z(G) Khi dó Z(G) ∩ H ⊊ H , Cho nên |Z(G) ∩ H| ⩽ |H| Áp dụng Định lý ?? ta |H| + |H| |Z(G) ∩ H| + |H| Pr(H, G) ⩽ ⩽ = |H| |H| Giả sử H khơng nhóm giao hốn Khi theo Mệnh đề 41 ta có Pr(H) ⩽ Do đó, theo Định lý ?? ta có Pr(H, G) ⩽ Pr(H) ⩽ Vậy ta có điều phải chứng minh Kết sau mơ tả cấu trúc nhóm trường hợp đạt đươc cận Mệnh đề ?? Mệnh đề 30 Cho H nhóm nhóm G Khi đó: H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 ; (ii) Nếu Pr(H, G) = H không giao hốn H/(Z(G)∩H) ∼ = Z2 × Z2 (i) Nếu Pr(H, G) = 64 Chứng minh (i) Giả sử Pr(H, G) = Khi đó, theo Định Lý ?? ta có |Z(G) ∩ H| + |H| |Z(G) ∩ H| = Pr(H, G) ⩽ = + 2|H| 2|H| Từ suy |H| ⩽ |Z(G) ∩ H| |H| = |H| = |Z(G) ∩ H|, từ suy H ⊆ Z(G) Khi |Z(G) ∩ H| theo Mệnh đề ?? (i) ta có Pr(H, G) = Điều mâu thuẫn với giả |H| thiết Do = 2, H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 , ta có điều |Z(G) ∩ H| Nếu phải chứng minh (ii) Giả sử Pr(H, G) = Bằng cách lập luận tượng tự ta suy |H| ⩽ |Z(G) ∩ H| Vì Z(G) ∩ H ⩽ Z(H) nên H/Z(H) ⩽ H/(Z(G) ∩ H) Vì H khơng giao hốn nên H/Z(H) khơng nhóm xiclíc Do H/(Z(G) ∩ H) khơng nhóm xiclíc Từ suy |H| ⩾ |Z(G) ∩ H| Điều chứng tỏ |H| = 4, |Z(G) ∩ H| H/(Z(G) ∩ H) ∼ = Z2 × Z2 19 Một số kiến thức nhóm Một nhóm (G, ·) tập hợp G ̸= ∅ trang bị phép tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: 65 (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a′ ∈ G cho a · a′ = a′ · a = e Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu Với a ∈ G, phần tử a′ xác định (iii) nhất, gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hoán (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H ⩽ G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép toán H , (ii) H nhóm với phép tốn cảm sinh Cho G nhóm, H tập G ta ký hiệu ⟨S⟩ nhóm bé G chứa S , gọi S tập sinh ⟨S⟩ Đặc biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc Mệnh đề 31 (Định lý Lagrange) Cho G nhóm hữu hạn, H nhóm G Khi |H| ước |G| Với G nhóm hữu hạn, H ⩽ G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|, gọi số nhóm H G Mệnh đề 32 Cho G nhóm, A, B hai nhóm hữu hạn G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi |AB| = |A||B| |A ∩ B| Cho G nhóm, a phần tử G Với u phần tử G, liên hợp u a, ký hiệu ua , định nghĩa ua = a−1 ua Với H nhóm G, ta gọi H nhóm chuẩn tắc G, ký hiệu H ◁ G, ∈ H với a ∈ G, h ∈ H Cho N nhóm chuẩn tắc G Ký hiệu G/N = {aN | a ∈ G} 66 Khi G/N nhóm với phép tốn xác định sau Với a, b ∈ G (aN )(bN ) = abN Nhóm G/N gọi nhóm thương G N Với S tập G, tâm hóa S G, ký hiệu CG (S), định nghĩa CG (S) = {a ∈ G | ua = u với u ∈ S} Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG (x) thay cho CG (S) Tâm nhóm G, ký hiệu Z(G), định nghĩa Z(G) = CG (G) Mệnh đề 33 Cho G nhóm khơng giao hốn Khi đó, nhóm thương G/Z(G) khơng nhóm xiclíc Cho G nhóm Với x y hai phần tử G, giao hoán tử x y , ký hiệu [x, y], định nghĩa [x, y] = x−1 y −1 xy Nhóm giao hốn tử G, ký hiệu G′ , định nghĩa nhóm sinh tập tất giao hốn tử {[x, y] | x, y ∈ G} Cho hai nhóm G H Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, tốn ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tất tự đẳng cấu G Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} nhóm với phép tốn xác định sau Với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) 67 Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp tích trực tiếp Sau số kiến thức p-nhóm nhóm abel hữu hạn Cho p số nguyên tố Một nhóm G gọi p-nhóm |G| mơt lũy thừa p Ta thấy nhóm con, nhóm thương p-nhóm p-nhóm Mệnh đề 34 Cho p số nguyên tố Khi (i) Mọi nhóm có cấp p nhóm xiclíc (ii) Mọi nhóm có cấp p2 nhóm abel Mệnh đề 35 Mọi nhóm abel hữu hạn G biểu diễn cách thành tích trực tiếp nhóm xiclíc G∼ = Cn1 × Cn2 × · · · × Cnk ni ⩾ 2, i = 1, 2, k , n1 | n2 | · · · | nk Sau số kiến thức nhóm đối xứng nhóm thay phiên Cho X tập hợp Một song ánh từ tập X đến gọi phép tập X Ký hiệu S(X) tập tất phép tập X Khi S(X) nhóm với phép tốn hợp thành ánh xạ Ta gọi S(X) nhóm đối xứng tập X Ta dùng ký hiệu Sn để nhóm đối xứng tập X = {1, 2, , n} gọi Sn nhóm đối xứng bậc n Định lý 32 Mọi phép π ∈ Sn với n ⩾ phân tích thành tích xích rời Phân tích không kể đến thứ tự nhân tử Cho π ∈ Sn với n ⩾ Khi đó, theo Định lý ??, ta có phân tích π thành tích xích rời π = (a11 a12 · · · a1k1 )(a21 a22 · · · a2k2 ) · · · (as1 as2 · · · asks ) ta giả thiết k1 ⩾ k2 ⩾ · · · ⩾ ks Ta gọi (k1 , k2 , , ks ) kiểu phép π 68 Mệnh đề 36 Hai phép nhóm đối xứng Sn với n ⩾ liên hợp với chúng có kiểu Cho σ ∈ Sn với n ⩾ Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) nghịch σ i < j σ(i) > σ(j) Dấu phép σ, ký hiệu sign(σ), xác định công thức sign(σ) = (−1)t t số nghịch σ Nếu sign(σ) = ta gọi σ phép chẵn, sign(σ) = −1 ta gọi σ phép lẻ Mệnh đề 37 Cho σ, τ ∈ Sn với n ⩾ Khi (i) sign(στ ) = sign(σ)sign(τ ) (ii) Nếu σ xích độ dài k sign(σ) = (−1)k+1 Với n ⩾ ta ký hiệu An tập phép chẵn bậc n Khi An nhóm chuẩn tắc số Sn Ta gọi An nhóm thay phiên bậc n Cuối mục kết độ giao hốn nhóm Định nghĩa 26 Cho G nhóm Ký hiệu C = {(x, y) ∈ G × G | xy = yx} Độ giao hoán G, ký hiệu Pr(G), định nghĩa sau Pr(G) = |C| |G|2 Mệnh đề 38 Nếu G nhóm khơng giao hốn Pr(G) ⩽ 20 Cấu trúc nhóm số nhóm hữu hạn Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Tl , Ui,j nhóm Dn có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ n, ⩽ l ⩽ n − 1, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ n − Sau số tính chất nhóm nhị diện, xem [?] 69 Mệnh đề 39 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Khi (i) Rk nhóm xiclíc cấp n , d = (n, k), với ⩽ k ⩽ n; d (ii) Tl nhóm xiclíc cấp với ⩽ l ⩽ n − 1; (iii) Ui,j nhóm nhị diện cấp 2n , d = (n, i), với i|n, ⩽ i ⩽ n− d ⩽ j ⩽ n − Mệnh đề 40 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Khi (i) Nếu n lẻ CDn (ri ) = R1 , CDn (1) = Dn , CDn (rj s) = Tj với ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ n − 1; (ii) Nếu n chẵn CDn (1) = Dn , CDn (rm ) = Dn , CDn (ri ) = R1 , CDn (rj s) = Um,j n với m = , ⩽ i ⩽ n − 1, i ̸= m, ⩽ j ⩽ n − Mệnh đề 41 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ 3, H nhóm nhóm Dn Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|n, ⩽ k ⩽ n, ⩽ l ⩽ n − 1, i|n, ⩽ i ⩽ n − 1, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn , s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Ui,j nhóm Q4n có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − Sau số tính chất nhóm quaternion suy rộng, xem [?] 70 Mệnh đề 42 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi 2n , d = (2n, k), với ⩽ k ⩽ 2n; d 4n (ii) Ui,j nhóm quaternion suy rộng cấp , d = (n, i), d với ⩽ i ⩽ 2n, ⩽ j ⩽ 2n − (i) Rk nhóm xiclíc cấp Mệnh đề 43 Cho nhóm Quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ Khi CQ4n (1) = CQ4n (rn ) = Q4n , CQ4n (ri ) = R1 , CQ4n (rj s) = Un,j với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= n, ⩽ j ⩽ 2n − Mệnh đề 44 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n với n ⩾ 2, H nhóm Q4n Khi H nhóm sau Rk = ⟨rk ⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n, ⩽ i ⩽ n, i|n, ⩽ j ⩽ i − Cho nhóm giả nhị diện n n−1 SD2n = ⟨r, s | r2 = s2 = 1, s−1 rs = r2 −1 ⟩ với n ⩾ Ký hiệu Rk , Tl , Ui,j nhóm nhóm giả nhị diện SD2n có dạng sau Rk = ⟨rk ⟩, Tl = ⟨rl s⟩, Ui,j = ⟨ri , rj s⟩ với ⩽ k ⩽ 2n , ⩽ l ⩽ 2n − 1, ⩽ i ⩽ 2n − 1, ⩽ j ⩽ 2n − Sau số tính chất nhóm giả nhị diện, xem [?] Mệnh đề 45 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ Khi (i) Rk nhóm xiclíc cấp 2n d = (2n , k), với ⩽ k ⩽ 2n ; d (ii) Tl nhóm xiclíc cấp l chẵn, cấp l lẻ với ⩽ l ⩽ 2n − 1; (iii) Ui,j nhóm giả nhị diện i lẻ với ⩽ i ⩽ 2n − 1, ⩽ j ⩽ 2n − 1; Ui,j nhóm nhị diện i chẵn j chẵn, nhóm quaternion tổng quát i chẵn j lẻ với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= 2n−1 , ⩽ j ⩽ 2n − 1; 71 Với i = 2n−1 , Ui,j nhóm xiclíc cấp j lẻ, Ui,j ∼ = C2 × C2 j chẵn Trong tất trường hợp nhóm Ui,j có cấp d = (2n , i) 2n+1 d Mệnh đề 46 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ Khi CSD2n (1) = CSD2n (r2 n−1 ) = SD2n , CSD2n (ri ) = R1 , CSD2n (rj s) = U2n−1 ,j với ⩽ i ⩽ 2n − 1, i ̸= 2n−1 , ⩽ j ⩽ 2n − Mệnh đề 47 Cho nhóm giả nhị diện SD2n với n ⩾ 3, H nhóm SD2n Khi nhóm H SD2n nhóm sau (i) Rk = ⟨rk ⟩ với ⩽ k ⩽ 2n ; (ii) Tl = ⟨rl s⟩ với ⩽ l ⩽ 2n − l chẵn, ⩽ l ⩽ 2n−1 − l lẻ; (iii) Ui,j với ⩽ i ⩽ 2n−2 , i|2n , ⩽ j ⩽ i−1, U2n−1 ,j với ⩽ j ⩽ 2n−1 − 1, j chẵn 21 Mở rộng Dorroh mở rộng tail ring ∆U vành Mệnh đề 48 Cho R vành, điều kiện sau tương đương (1) R ∆U -vành (2) ∆(R) = U◦ (R) (3) Ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) cho ε(x) = − x đẳng cấu nhóm Định lý 33 Cho R vành có đơn vị Khi điều kiện sau tương đương (1) Mở rộng Dorroh Z ⊕ R ∆U -vành (2) R ∆U -vành Mệnh đề 49 R[D, C] ∆U -vành D C ∆U -vành 72 21.1 Các nhóm vành Định lý 34 Cho G nhóm hữu hạn với cấp + 2n R ∆U -vành Khi RG ∆U -vành agumentation iđêan ∇(RG) ∆U -vành Bổ đề 11 Nếu G locally finite 2-group R ∆U -vành với ∆(R) lũy linh, ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Định lý 35 Cho R ∆U -vành G locally finite 2-group Nếu ∆(R) lũy linh, RG ∆U -vành Hệ 18 Cho R right (or left) perfect ring G locally finite 2-group Khi đó, R ∆U -vành RG ∆U -vành 22 Vô hạn chiều Định nghĩa 27 (i) Không gian vector thực E gọi vơ hạn chiều khơng hữu hạn chiều ta viết dimR E = ∞ (ii) Nếu dimR E = ∞, hệ B ⊂ E gọi sở (đại số Hamel) E hệ vector độc lập tuyến tính (nghĩa tập hữu hạn độc lập tuyến tính) B tập lớn tất tập chứa vector độc lập tuyến tính E Điều chứng minh theo nguyên lý cực đại Hausdorff, với khơng gian vector vơ hạn chiều E có sở B phần tử thuộc E biểu diễn (hữu hạn) theo tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc B Khi dimR E = ∞, (E, ∥.∥E ) (E ′ , ∥.∥E ′ ) không thiết đẳng cấu topo Tuy nhiên, ta chứng minh vài tính chất topo (E ′ , ∥.∥E ′ ) tính tách giữ (E, ∥.∥E ) Định lý 36 (E, ∥.∥E ) tách (E ′ , ∥.∥E ′ ) tách Trước chứng minh định lý ta cần sử dụng điều kiện trù mật cho không gian định chuẩn, hệ định lý Hahn-Banach thứ hai hình học 73 Mệnh đề 50 (Điều kiện trù mật không gian con) Cho (E, ∥.∥E ) không gian định chuẩn Giả sử M ⊂ E không gian không trù mật (E, ∥.∥E ) lấy x0 ∈ E \ M Khi tồn f ∈ E ′ cho ⟨f, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ M ⟨f, x0 ⟩E ′ ×E = Chứng minh Từ định lý Hahn-Banach thứ hai hình học, tồn g ∈ E ′ cho siêu phẳng H := {x ∈ E : ⟨g, x⟩E ′ ×E = α}, tách tập M {x0 } cách nghiêm ngặt, tức ⟨g, x⟩E ′ ×E < α < ⟨g, x0 ⟩E ′ ×E ∀x ∈ M (18) Từ M không gian con, theo (8), suy λ ⟨g, x⟩E ′ ×E < α, ∀λ ∈ R, ⟨g, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ M (19) Do đó, ta xác định hàm f ∈ E ′ f := g, ⟨g, x0 ⟩E ′ ×E ta có điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 22 Cho D := {fh : h ∈ N} ⊂ (E ′ , ∥.∥E ′ ), trù mật Với h có phần tử xh ∈ E với ∥xh ∥ = 1 |fh (x)| ≥ ∥fh ∥E ′ Cho e := spanQ {xh : h ∈ N} D := spanR {xh : h ∈ N}, D tức là, tập tất tổ hợp tuyến tính phần tử {xh : e đếm được, D không gian h ∈ N} với hệ số thực Khi D E theo cách xây dựng ˜ ⊂ (D, ∥.∥) trù mật D 74 Để đưa kết luận chứng minh, ta cần phải D ⊂ (D, ∥.∥) trù mật Theo phản chứng, D không trù mật, lấy x0 ∈ E \ D Khi từ mệnh đề 12, tồn f ∈ E ′ cho ⟨f, x⟩E ′ ×E = 0, ∀x ∈ D ⟨f, x0 ⟩E ′ ×E = Từ D trù mật, có dãy (fhk )k mà lim ∥fhk − f ∥E ′ = k→∞ Tuy nhiên, từ ∥xhk ∥ = 1, ∥fhk − f ∥E ′ ≥ |fhk (xhk ) − f (xhk )| = |f (xhk )| ≥ ∥fhk ∥E ′ ∀k ∈ N Do dó ∥fhk ∥E ′ → k → ∞, nghĩa f ≡ 0, mâu thuẫn với f (x0 ) = Vì D = E 23 KHƠNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH Định lý 37 Cho Ω ⊂ Rn tập mở Khi (Lp (Ω), ∥.∥Lp ) tách ≤ p < ∞ không tách p = ∞ Ta cần hai kết để chứng minh định lý ??: trước kết topo (Urysohn’s Lemma) sau quan hệ xấp xỉ không gian hàm liên tục Lp Định nghĩa 28 Cho (X, τ ) không gian topo Khi C0c (X) := {f : X → R liên tục spt(f ) compact (X, d)} spt(f ) := Bao đóng{x ∈ X : f (x) ̸= 0} 75 Bổ đề 12 (Bổ đề Urysohn) Cho X compact địa phương không gian metric, cho K ⊂ X V ⊂ X , K compact V mở thỏa mãn K ⊂ V Khi đó, tồn hàm φ ∈ C0c (X) thỏa mãn ≤ φ ≤ 1, φ ≡ K spt(φ) ⊂ V Định lý 38 (Xấp xỉ Lp hàm liên tục) Cho Ω ⊂ Rn tập mở Khi C0c (Ω) trù mật (Lp (Ω), ∥.∥Lp ), biết ≤ p < ∞ Chứng minh định lý 26 dựa hai kết tảng xấp xỉ hàm đo được, ta cần nhớ lại Định lý 39 (Xấp xỉ hàm đơn giản) Cho (X, M) không gian đo cho f : X → [0, +∞] hàm đo Khi tồn dãy hàm đơn giản đo sh : X → [0, +∞], (h = 1, 2, ) thỏa mãn tính chất (i) ≤ s1 ≤ s2 ≤ ≤ sh ≤ ≤ f ; (ii) lim sh (x) = f (x), ∀x ∈ X h→∞ Z Đặc biệt, f ∈ L (X, µ), nghĩa f dµ < ∞, sh → f X L1 (X, µ), nghĩa Z ∥f − sh ∥L1 (X,µ) := |f − sh |dµ → X Định lý 40 (Lusin - Dạng khơng gian metric compact địa phương) Cho µ độ đo Radon compact địa phương, không gian metric tách X Cho f : X → R hàm đo cho tồn tập Borel A ⊂ X với µ(A) < ∞, f (x) = ∀x ∈ X \A |f (x)| < ∞ µ− hầu khắp nơi x ∈ X Khi đó, với ϵ > 0, tồn g ∈ C0c (X) cho µ({x ∈ X : f (x) ̸= g(x)}) < ϵ Hơn nữa, g chọn cho supx∈X |g(x)| ≤ sup |f (x)| x∈X