Chuyên đề bài toán min max

Trang 1

ĐẶNG THÀNH NAM

(Trung tâm Nghiên cứu và phát triển sản phẩm giáo dục Newstudy.vn)

SOẠN THEO CẤU TRÚC MỚI ÁP DỤNG KÌ THI THPT QUỐC GIA

(PHIÊN BẢN MỚI NHẤT)

Dành cho học sinh 10, 11, 12 nâng cao kiến thức Bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Quốc Gia

Trang 2

MỤC LỤC Chương 1: Bất đẳng thức và các kỹ thuật cơ bản

Chủ đề 1 Kỹ thuật biến đổi tương đương 04

Chủ đề 2 Kỹ thuật minh phản chứng 45

Chủ đề 3 Kỹ thuật quy nạp toán học 56

Chủ đề 4 Kỹ thuật miền giá trị 60

Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng nguyên lí Diricle 68

Chủ đề 6 Kỹ thuật tam thức bậc hai 73

Chủ đề 7 Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức tích phân 93

Chương 2: Bất đẳng thức và phương pháp tiếp cận Chủ đề 1 Các kỹ thuật sử sụng bất đẳng thức AM-GM cơ bản 102

Chủ đề 2 Kỹ thuật ghép cặp trong chứng minh đẳng thức AM-GM 198

Chủ đề 3 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số 211

Chủ đề 4 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 218

Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 243

Chủ đề 6 Kỹ thuật tham số hóa 278

Chủ đề 7 Bất đẳng thức Holder và ứng dụng 291

Chủ đề 8 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Chebyshev 304

Chủ đề 9 Bất đẳng thức Bernoulli và ứng dụng 314

Chương 3: Phương trình hàm số trong giải tốn bất đẳng thức và cực trị Chủ đề 1 Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu với bài tốn cực trị và bất đẳng thức một biến số 325

Chủ đề 2 Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho bài tốn cực trị và bất đẳng thức hai biến số 351

Chủ đề 3 Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu cho bài toán cực trị và bất đẳng thức ba biến số 379

Chủ đề 4 Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất 427

Chủ đề 5 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức tiếp tuyến 484

Chủ đề 6 Kỹ thuật khảo sát hàm nhiều biến 502

Chủ đề 7 Kỹ thuật sử dụng tính chất của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai 534

Chủ đề 8 Bất đẳng thức phụ đâng chú ý và áp dụng giải đề thi tuyển sinh 540

Chủ đề 9 Bài toán chọn lọc bất đẳng thức và cực trị ba biến 617

Chương 4: Số phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác Chủ đề 1 Kỹ thuật lượng giác hóa 654

Chủ đề 2 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Schur 684

Trang 3

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Chương 1:

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC KỸ THUẬT CƠ BẢN

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa bất đẳng thức

Giả sử A và B là hai biểu thức bằng chữ hoặc bằng số

+ A≥B (hoặc B≤A), A≤B (hoặc B≥A)được gọi là các bất đẳng thức + A≥ ⇔ − ≥BA B 0;A B− ≥ ⇔ ≥0 AB.

+ Một bất đẳng thức cĩ thể đúng hoặc sai và ta quy ước khi nĩi về một bất đẳng thức mà khơng nĩi gì thêm thì ta hiểu đĩ là bất đẳng thức đúng

II Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trang 4

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

1 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

 − ≤ ≤aaa,∀ ∈a  a < ⇔ − < <α α a α(khi 0α > )   > ( 0)> ⇔ < −a >akhiaαα αα  a − ≤ + ≤baba + b,(∀a b, ∈)

2 Bất đẳng thức liên quan đến hàm số mũ và logarit

  >1 ;0< <1⇒ > ⇒ < >  > xyxyaaaaaaxyxy

 1 log log ; 0 1 log log

0 0> < < ⇒ > ⇒ < > >  > > aa  aaaaxyxyxyxy 3 Bất đẳng thức AM – GM

Cho n số thực khơng âm a a1, 2, ,a ta cĩ n

121 2 + + +≥nnnaaaa aan

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2= = a n

4 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho 2 dãy số thực (a a1, 2, ,an) (; b b1, 2, ,bn)ta cĩ

()2 ( 2 2 2)( 2 2 2)

1 1+ 2 2+ + n n ≤ 1 + 2+ + n 1 + 2 + + n

a ba ba baaabbb

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai =kb ii, =1, ,n k∈ .

CHỦ ĐỀ 1: KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Xuất phát từ bất đẳng thức cơ bản và hết sức tự nhiên x2≥0;A− ≥B 0với mọi số thực x ta cĩ các bất đẳng thức hết sức đẹp mắt Nội dung chủ đề này đề cập đến kỹ năng biến đổi bất đẳng thức về dạng luơn đúng Các bài tốn đề cập đến là các bài tốn trong chủ đề này các bạn chú ý sẽ được sử dụng đến trong các chủ đề khác ở các chương sau như một bài tốn phụ

A NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP I Các bất đẳng thức cơ bản

Bình phương của một số thực

Với mọi số thực x ta luơn cĩ 20.≥

x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0 Từ đĩ ta cĩ các bất đẳng thức với 2 biến và 3 biến thường sử dụng như sau:

 ()20

− ≥

Trang 5

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt  () (2 ) (2 )20− + − + − ≥abbcca hay a2+b2+c2≥ab+bc+ca hoặc ()2 ()3+ + ≥ + +abcabbcca hoặc ( 2 2 2)()23 a +b +c ≥ a+ +bc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Bất đẳng thức về trị tuyệt đối

 Với 2 số thực x,y ta luơn cĩ + ≥ +xyxy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0

≥

xy

 Với 2 số thực x,y ta luơn cĩ − ≥ −xyxy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( − )≥0

x xy

Bất đẳng thức về độ dài cạnh của một tam giác

 a+ >bc b; + >ca c; + >ab  a> −bc b; > −ca c; > −ab  a2+b2+c2<2(ab+bc+ca )II Một số hằng đẳng thức cần lưu ý  333 ()( 222 )3+ + − = + + + + − − −abcabcabc abcab bcca  ()3 3 3 3 ()()()3+ + = + + + + + +abcabcab bc ca  (a+b b)( +c c)( +a) (= a+ +bc ab)( +bc+ca)−abc  − − − ( − )( − )( − )+ + = − ab bc caabbccacababc  − + − + − + − − − =0+ + + + + +abbccaab bc caabbcacab bc ca

1) Kỹ thuật biến dùng định nghĩa

Để chứng minh bất đẳng thức: A≥B Ta chứng minh bất đẳng thức 0− ≥AB đúng Ví dụ 1 Cho x > y và xy = 1 Chứng minh rằng ()()2222 8+≥−xyxy Lời giải Ta cĩ 2 2 ()2 ()22 2+ = − + = − +xyxyxyxy (vì xy = 1) ⇒ ( 2 2)2 ()4 ()24 4+ = − + − +xyxyxy

Do đĩ BĐT cần chứng minh tương đương với

()4 ()2 ()2

4 4 8.

− + − + ≥ −

Trang 6

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam ⇔ ()4 ()24 4 0− − − + ≥xyxy ⇔ ()2 22 0 − −  ≥ xy 

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta cĩ điều phải chứng minh

Ví dụ 2

a) Cho x,y là hai số thực thoả mãn điều kiện xy≥1 Chứng minh rằng 221 1 211 +1 ≥++x +yxy

b) Cho a,b,c là các số thực khơng nhỏ hơn 1 chứng minh

3331 1 1 311 +1 +1 ≥++a +b +cabc

c) Cho x y z, , ∈[ ]0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

() 1 3 1 3 1 311 1 1 = +  + + + + + Pxyzxyz Lời giải

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

221 1 1 101 11 1  − + − ≥ + +   + +  xxy  yxy ⇔()()()()2222 01 1 1 1− −+ ≥+ + + +xyxxyyxxyyxy⇔ ( 2)()( 2)()( ) ( )01 1 1 1− + − ≥+ + + +x yxy xyxxyyxy ⇔ () ()() ()()222101 1 1− −≥+ + +yxxyxyxy

Trang 7

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt 3 43 34 3 3 41 1 211 11 1 2 42 2.11 1 1 .+ ≥++ + + ≥ =  + +  +  +abccabcabca babca babc Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ đpcm

Chú ý Bất đẳng thức này được áp dụng khá phổ biến trong một số bài tốn cực trị Một số dạng tương tự bất đẳng thức trên như sau

 1 2 1 2 2 (), 1 111 +1 ≤ − < ≤++x +yxyxy  ()221 1 2, 111 1+ ≥ ≥++x +yxyxy  ()221 1 2, 1 111 1+ ≤ − < ≤++x +yxyxy

c) Sử dụng kết quả bài tốn trên ta cĩ : 3 3

3 31 1 21 +1 ≤1+x +y + x y3 41 1 211 + ≤1++zxyz + xyz3 34 4 4 42 2 4 411 1 1+ ≤ =++ x y + xyz + x y zxyz

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra

()3333331 1 1 3 1 1 11 311 1 1 1 1 1 + + ≤ ⇒ = +  + + ≤++x +y +zxyzPxyz  +x +y +z 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz

Vậy giá trị lớn nhất của P=3

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số thực x,y ta cĩ

Trang 8

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12= = ±

xy

Ví dụ 4 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b khơng âm thoả mãn ,a b<1;3,2+ ≥ab ta cĩ ()()()()21 2 1 2 141 1 2− −  − − ≥  − −  − − abababab Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

() ()()()()222 2 301 1 2− + −≥− − − −abababab Bất đẳng thức luơn đúng và ta cĩ đpcm Bài tập tương tự

Chứng minh rằng với mọi số thực a,b khơng âm thoả mãn , 1; 12< + ≥a ba b ta cĩ ()()()()21 2 1 2 141 1 2+ +  + + ≥  − −  − − abababab 2) Kỹ thuật phân tích hằng đẳng thức Phân tích thành tổng các bình phương ()210=− ≥∑niiixy

Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng minh

a) a2+b2+c2≥ab+bc+ca b) ()2 ()3+ + ≥ + +abbccaabc abc c) ()2 1(() (2 ) (2 )2)()34+ + − − + − + − ≥ + +abcbccaababbcca d) ( 2 )( 2 )( 2 )()22 2 2 3+ + + ≥ + +abcabc Lời giải

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

() () ()() () ()2222222222222 2 2 2 2 2 02 2 2 00+ + − − − ≥⇔ − + + − + + − + ≥⇔ − + − + − ≥abcabbccaaabbbbccccaaabbcca

Trang 9

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

b) Thực hiện tương tự câu a) đưa về bất đẳng thức luơn đúng

() (2 ) (2 )20− + − + − ≥abbcbccacaab c) Ta cĩ: ()2 ()2 ()21 1 123 a+ +bc −4 b−c =12 a− −bc +ab+bc+ca≥ab+bc+ca Tương tự ta cĩ: ()()()()22221 13 41 13 4+ + − − ≥ + ++ + − − ≥ + +abccaabbccaabcababbcca

Cộng lại theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

d) Chú ý đẳng thức: ()()()()()()()()()()()()2222222222222 2 2 31 32 2 1 22 22 2 2 3+ + + − + + = +  − + − + + −⇒ + + + ≥ + +abcabccababacbcabcabc

Ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =bc 1

Ví dụ 2 Cho , ,x y z là các số thực thỏa mãn điều kiện x2+y2+z2 =1 Chứng minh rằng a) 1 12− ≤xy+yz+zx≤ ; b) ()()2282 3.2+ + − ≥ −+ + − − +xyyzxzxyzxyyzLời giải

a) Bất đẳng thức vế trái tương đương với:

()() 2 2 2 ()2

2 xy+yz+zx + ≥ ⇔1 0 2 xy+yz+zx +x +y +z ≥ ⇔0 x+ +yz ≥0 Bất đẳng thức được chứng minh

Trang 10

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

b) Chú ý điều kiện ta rút gọn vế trái và đưa về chứng minh

()()2382 32 32 102 3+ + − ≥ −+ + ++ + +⇔ ≥+ + +xyyzxzxyyzzxxyyzzxxyyzzx Vậy ta chỉ cần chứng minh ()()22222 2 22 11 30 02 4+ + ≥ − = − − − ⇔ + + + + ≥ ⇔ + +  + ≥ xyyzzxxyzxzyy xzxzyyBất đẳng thức cuối đúng và ta cĩ đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

22201 1 10 , 0,2 2 21 = + + = ⇒ = = = − + + =yxzyxyzxyz

Ví dụ 3 Cho x,y,z là các số thực khơng âm Chứng minh:

a) x3+y3+z3≥3xyz b) 3 3 3 3 ()()()3 4+ +≥ + − − −xyzxyzxyyzzx c) 33333 22+ + + − ≥  −  yzxyzxyzx Lời giải

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

()()() () () ()2222220102+ + + + − − − ≥ ⇔ + +  − + − + − ≥xyzxyzxyyzzxxyzxyyzzx

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz

b) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Trang 11

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt () () ()()()()() () ()() () ()3222222333+ + + + + ≥ − + − + − ≥ − − −− + − + − ≥ − − −xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzx

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz

c) Theo câu a) ta cĩ x3+y3+z3−3xyz≥0, do đĩ nếu 02+− ≤yzx bất đẳng thức luơn đúng + Ngược lại xét y+ −z 2x> ⇔0 (y−x) (+ z−x)>0 Đặt y=2a+x z, =2b+x bất đẳng thức trở thành ( 2 2)()()212x a −ab+b +6 a+b a−b ≥0.Bất đẳng thức đúng vì 02++ = yz− >abx

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc hoặc b=c a, =0

Bài tập tương tự

Cho a,b là hai số thực khác 0 thoả mãn điều kiện ab≥ + +1 1 3

ab Chứng minh rằng 3331 1 ≥ +  abab

Ví dụ 4 Cho x,y,z là các số thực dương chứng minh

222222223(x +xy+y )(y +yz+z )(z +zx+x )≥(x+ +yz) (xy+yz+zx) Lời giải Chú ý ()()()()()22222222222223 1 34 4 43 3;4 4xxyyxyxyxxyyxyyyzzyzzzxxzx+ + = + + − ⇒ + + ≥ ++ + ≥ + + + ≥ + Do đĩ 2 2 2 2 2 2 27() (2 ) (2 )2( )( )( )64+ + + + + + ≥ + + +xxyyyyzzzzxxxyyzzx Ta chỉ cần chứng minh [][]()()()2222264( )( )( ) ( )( )818( )( )9( ) ( ) ( ) 0+ + + ≥ + + + +⇔ + + + ≥ + + + +⇔ − + − + − ≥xy yz zxxyz xyyzzxxyyzzxxyz xyyzzxx yzy zxz xy

Trang 12

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Ví dụ 5 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 0< ≤ ≤ ≤abc 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=( a+ b c) −(a+b) c

Lời giải Ta cĩ ()()()221 1 1 12 2 2 2= + − + = + − − ≤ + − −   ≤ + − − = − −  − −  + ≤   Pab cabccacbcabacbcabababab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 12

= = =

cab

3) Kỹ thuật thêm bớt hằng số

Việc cộng hoặc trừ hai vế của bất đẳng thức cho một số nào đĩ làm lược bỏ đi phần phức tạp của bất đẳng thức

Ví dụ 1 Cho x,y,z là các số thực khơng âm thoả mãn điều kiện x≥ ≥yz Ch ứng minh rằng a) 22+ + ≥ +++ +xyyzzxxzyzyyzz b) ()()() ()() ()2222+ ++ + ≥+ + + + + + + +xzyzxyyzzxxxyyxzxzyzyz Lời giải

a) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

() ()()2222220 0+ + + +≥+ ++ + + +⇔ − ≥ −+ +⇔ ≥ ⇔  + − +  ≥ ⇔ − ≥+ +xyyzzxyyzzxzyzxyyzzxyyzzyyxzyzzxzz x yzz xzz xyzxzyz

Bất đẳng thức cuối đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz hoặc 0,

= =

zxy

b) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Trang 13

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bất đẳng thức cuối đúng vì

()() () ()()2 ( 2 2)

3 x+ +yzxy+yz+zx ≥3 x+y z x+  =y  3z x+y ≥z x +xy+y Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z=0

4) Kỹ thuật biến đổi với bất đẳng thức chứa căn

+ Phép bình phương hai vế được ưu tiên

+ Cần chứng minh A1+ A2 + + An ≥ +b1 b2+ + b n

Ta cĩ để chứng minh 222

1 = 1 + 1 ≥ 1 = 1

Abcbb

Rồi cộng lại theo vế các bất đẳng thức trên ta cĩ đpcm

Ví dụ 1 Chứng minh với mọi số thực x,y cùng dấu và số thực k, ta cĩ

2+ + 2+ ≥ + 2+ +

kxkykkxy

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

2222224222 ( )( ) 2 2( ) 0+ + + + + + ≥ + + + + +⇔ + + + ≥ + + ⇔ ≥kxkykx kykxyk kxykkxyxyk kxyxy

Bất đẳng thức cuối đúng ta cĩ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc x bằng 0 hoặc y bằng 0

Bài 2 Chứng minh rằng với x,y là hai số thực khơng âm thỏa mãn x+ ≥y 1,ta luơn

cĩ 2 2 ()2

4 4 2 4

+ + + + + ≤ + + + + +

xxyyxyxy

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

()()22 8 2 2 4 2 4x +y + + + +xyx + +xy + +y ≤()2 ()24+4 x+y + + + +xy 4 x+y + + + xy 4( 2 )( 2 )()24 4 2 4⇔ x + +xy + +y ≤xy+ x+y + + +xy ( 2 )( 2 ) 2 2 ()2 ()24 4 4 4 4 4⇔ x + +xy + + ≤yx y + xyx+y + + + +xy  x+y + + +xy  ()24 4 7 0 ⇔  + + + + + + − ≥ xyxyxyxy (luơn đúng do x+ ≥y 1)

Tổng quát Tương tự ta cĩ các bất đẳng thức cùng dạng sau

+ Với mọi số thực khơng âm x,y ta luơn cĩ

()2

2+ + 2 + 2+ + 2 ≤ + + + + + 2

Trang 14

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0hoặc y=0 + Với mọi số thực khơng âm ta luơn cĩ

()2

2− + +1 2− + ≤ +1 1 + − − +1

xxyyxyxy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0hoặc y=0

+ 1+ +a 1+ ≥ +b 1 1+ +ab ab,( ≥0; ,a b≥ −1;a+ ≥ −b 1)

5) Kỹ thuật đánh giá phân thức

Sử dụng đánh giá cơ bản: A> > ⇒B 0 1 < 1

AB

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta cĩ

1< + + <2+ + +abcabbcac Lời giải Ta cĩ : + < + + ⇒ 1 > 1 ⇒ > (1)+ + + + + +aaababcababcababcTương tự ta cĩ : > (2)+ + +bbbcabc , > (3)+ + +ccacabcCộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : 1+ + >+ + +abcabbcac (*) Ta cĩ : < + ⇒ < + (4)+ + +aacaabababcTương tự : + (5)<+ + +babbcabc , (6)+<+ + +ccbcaabcCộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : 2+ + <+ + +abcabbcac (**) Từ (*) và (**) , ta được : 1< + + <2+ + +abcabbcac (đpcm)

Ví dụ 2 Cho a,b,c là các số thực khơng âm thoả mãn điều kiện

Trang 15

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta cần chứng minh 31 +1 +1 ≥4+ + +xyzxyz Chú ý 1 11 11 1xxxxyzyyyxyzzzzxyz≥+ + + +≥+ + + +≥+ + + +

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cĩ một số bằng 3 và hai số bằng 0

Ví dụ 3 Cho a,b,c là các số thực khơng âm cĩ tổng bằng 1 Chứng minh

2222221 1 1 721 1 1+ + ++ + ≤+ + +abcbca Lời giải

Ta thấy dấu bằng đạt tại khi một số bằng 1 và hai số bằng 0

Vậy giả sử a=max{a b c K, , } hi đĩ ta mạnh dạn đánh giá 1+b2≥1;1+c2≥1 Ta cĩ 2222222211 1 1 ;111 1 11ababbcbc++ ≥ ⇒ ≤ ++++ ≥ ⇒ ≤ ++ Suy ra ()()222222222222221 12 21 11 12 2 11 1cPababcaaabcaaaa+≤ + + + ≤ + + + ++ +≤ + + + + = + + − ++ + Ta chỉ cần chứng minh ()()()22231 72 1211 4 3 1 0aaaaaa+ + − + ≤+⇔ − + − ≤

Bất đẳng thức cuối luơn đúng nên ta cĩ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1, 0

= = =

abc hoặc các hốn vị

Chú ý Bằng cách tương tự ta chứng minh được 1 1 1 721 1 1+ + ++ + ≤+ + +kkkkkkabcbca

Trang 16

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Ví dụ 4 Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện ,x y≥ −1;x+ + =yz 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

()2222214 1 4 5−= ++ + + − +xyPxyxyzz Lời giải

Trước hết đánh gia hai mẫu số ở hai phân thức bằng cách thay z= − −3 xy

Ta chứng minh ()()()()()()2222224 1 4 54 3 4 3 1 02 2 2 0 1 1 0xyxyzzxyxyxyxyxyxyxy+ + + ≥ − +⇔ + + − − − + − − − ≥⇔ + + + ≥ ⇔ + + ≥ Bất đẳng thức đúng Vậy ta cĩ 2 2 ()2222 114 5 4 5+ − −+ −≤ =− + − +xyxyxyPzzzz Chú ý xy≥ − − − = −1 xyz 4;x+ = −y 3 z Khi đĩ ()2 () 2 ()22223 2 4 1 8 16 2 35 54 5 4 5 4 5− − − − − + −≤ = = − + ≤− + − + − +zzzzzPzzzzzz Dấu bằng đạt tại 335 321, ,25 2 235 32, 1,43 2 22 + = =   = − = = + + = ⇔ = − ⇔   = −  = = − =  =  xyzxyzxyzxyxyzxyzz

6) Kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối

Sử dụng hai bất đẳng thức quen thuộc: x + y ≥ +xy x; − y ≤ −xy

Chú ý Tư duy đầu tiên là khử dấu giá trị tuyệt đối muốn vậy ta xét trường hợp

Ví dụ 1 Chứng minh với mọi số thực a,b,c ta cĩ

+ + + + + ≥ + + + + +

abcabcabbcca

Lời giải

Trang 17

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 2 Cho x,y,z là các số thực đơi một khơng đồng thời bằng 0 Chứng minh

()()()()()()2222222222221 1− − −− ≤ ≤+ + +xyyzzxxyyzzx Lời giải Ta cĩ 2 2 2 2 ( 2 2) (2 2 2)2 2 24 0− ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥xyxyxyxyx y Từ đĩ suy ra ()()()()()()()()()()()()22222222222222222222222211 1xyyzzxxyyzzxxyyzzxxyyzzx− − −≤+ + +− − −⇔ − ≤ ≤+ + +Bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 3 Cho a,b,c là các số thực khơng âm chứng minh

3

3 abc+ − + − + − ≥ + +abbccaabc .

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử a≥ ≥bc K hi đĩ bất đẳng thức tương đương với:

()3323333 ( ) ( ) ( )3 3 0 ( ) 3 0+ − + − + − ≥ + +⇔ − − + ≥ ⇔ − + − ≥abcabbccaabcabcabcabcabcBất đẳng thức cuối luơn đúng và ta cĩ đpcm Bài tập tương tự

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện

33 abc+ − + − + − =abbcca 1 Chứng minh rằng 13+ + ≤a bcb cac ab

Ví dụ 4 Cho x,y,z là các số thực chứng minh

222

2

− + − + − ≥ + + − − −

xyyzzxxyzxyyzzx

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử x≥ ≥yz B ất đẳng thức trở thành

Trang 18

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam ()2 () (2 ) (2 )24 2  ⇔ x−z ≥  x−y + y−z + z−x () () ()[]() ()()()222222( ) ( ) 2 0⇔ − ≥ − + −⇔ − + − ≥ − + − ⇔ − − ≥xzxyyzxyyzxyyzxyyzBất đẳng thức cuối luơn đúng ta cĩ đpcm

Ví dụ 5 Cho n số thực x x1, 2, ,x (vn ới n≥3) Chứng minh

{} 1212231112 x, , ,2−− + − + + − + −+ + +≥ n + nnnnxxxxxxxxxxmax x xxnn Lời giải

Chú ý Với hai số thực x,y bất kỳ ta luơn cĩ

{ }{ }min x y, ≤x y, ≤max x y và , { },2+ + −=xyxymax x y Sử dụng { },2+ + −= xyxymax x y ta được: {}{}{}{}{}12231112232311121212231112 x2 2 2 2, , , ,, , ,−−− + − + + − + −+ + + ++ + − + + −+ + −= + + ++ + + += ≤nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxnnxxxxxxxxxxxxnnn

max x xmax x xmax xxmax x x

max x xx

n

Bài tốn được chứng minh Dấu bằng đạt tại chẳng hạn x1=x2 = = xn

7) Kỹ thuật đặt ẩn phụ

Với bất đẳng thức đối xứng hai biến ta cĩ thể đặt u= +ab v; =ab

Với phân thức ta cĩ để đặt các mẫu số là các biến mới

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi a,b dương, ta cĩ

()()()2 2222 1+ − ≥ + −a babab ab Lời giải Đặt 22 , , 0.+ = = >

abu abv v Khi đĩ bất đẳng thức tương đương với:

Trang 19

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Điều này chứng tỏ 2 1 ( 2 1)42 8 8( 2 1)4− + − + +≥vvv vuv Mặt khác 2+=ab≥ =uabv do đĩ ta chỉ cần chứng minh: 222822241 ( 1) 8 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 04vvv vvvvvvv− + − + +≥ ⇔ − + + + ≥

Bất đẳng thức cuối đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b 1

Ví dụ 2 Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng

2222220− + − + − ≥+ + +xzyxzyyzzxxy Lời giải

Đặt a= +xy b, = +yz c, = +zxkhi đĩ vế trái của bất đẳng thức là

()()()2221 1 102 2 2− − −+ + = + + − − −     =  −  +  −  +  −  ≥     ab cbc aca babbccaabcbcacababbcbccacaabcaabbc

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= =yz .

Trang 20

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

8) Kỹ thuật sử dụng phép thế

Từ bài tốn cĩ điều kiện từ hai biến trở lên ta rút một biến theo các biến cịn lại rồi thay vào bất đẳng thức cần chứng minh

+ Dạng này tốn nếu cĩ cần kết hợp đánh giá một số là max hoặc một số là min

Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng 5 2

3+ + + abc≥

abc

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử ≥ ≥cba

Thay 1−=+abcab ta phải chứng minh ()() ()21 15 232 5 3 1 0ababababababababab− −+ + + ≥+ +⇔ − + + − ≥Bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì 13≤ab

9) Kỹ thuật đánh giá theo cặp

Áp dụng với dạng tích bất đẳng thức dạng tích

Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số thực thuộc khoảng ( )0;1 Chứng minh rằng

(a−a2)(b b− 2)(c−c2)≥(a−bc b)( −ca c)( −ab )

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử a≥ ≥bc K hi đĩ do , , ( )0;1 00− >∈ ⇒  − >a bca b cb ca Nếu c−ab<0bất đẳng thức luơn đúng

Nếu c−ab≥0khi đĩ ta chứng minh bc(1−a)≥ (b−ac c)( −ab )

Thật vậy ()()()() (2 )()1− ≥ − − ⇔ 1− ≥ − −bcabac cabbcabac cab ( 2 ) 2 2 2 ()22 1 0⇔bc a − a+ ≥bc−ab −ac +a bc⇔a b−c ≥ (luơn đúng) Tương tự ta cĩ: ()()()()()()11 − ≥ − −− ≥ − −acbabc cababcabc bca

Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Ví dụ 2 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 1 Chứng

minh rằng 2 2 2 ()()()

Trang 21

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử ≥ ≥abckhi đĩ do , , ( )0;1 00− >∈ ⇒  − >a bca b cb ca Nếu c−ab<0bất đẳng thức luơn đúng

Nếu c−ab≥0khi đĩ ta chứng minh 2ab≥ (a−bc b)( −ca )

Thật vậy ()() 2 2 ()()2ab≥ a−bc b−ca ⇔4a b ≥ a−bc b−ca () ()()()()()2 22222 22222222 222 24 4 1 04 2 1 0 4 1 0⇔ ≥ − − + ⇔ + + − + ≥⇔ + − + − − ≥ ⇔ + − − − ≥a baba c b cabca bc abab ca bc a babc ca bc a bab c()2 ()2 ()()24 0 0 ⇔ab ab− a+b +c a−b ≥ ⇔ c−ab a−b ≥ (luơn đúng) Tương tự ta cĩ 2bc≥ (b−ca c)( −ab); 2ca≥ (c−ab a)( −bc )

Nhân theo vế 3 bất đẳng thức trên ta cĩ ngay điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3= = =

abc

10) Kỹ thuật sử dụng tính thuần nhất

Đưa bất đẳng thức về dạng đồng bậc sẽ dễ xử lý hơn(xem thêm chương 3)

Ví dụ 1 Cho a,b,c là các số thực thoả mãn điều kiện a2+b2+c2 =3 Chứng minh rằng 3() 3() 3()

6

+ + + + + ≤

abcbcacab

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

()()()()() ()() () ()23332224442 22 22 2222222232 4 3 3 3+ + + + + ≤ + +⇔ + + + + + ≥ + + + + +a b cb c ac a babcabca bb cc aab abbc bcca caBất đẳng thức trên là tổng của ba bất đẳng thức cĩ dạng: ()()()()()42442 2222 2 24 30+ + − + = − + −= − − + ≥aba bab ababab ababaabb

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =bc 1

11) Biến đổi hàm lượng giác

Ví dụ 1 Chứng minh với mọi số thực x ta cĩ cos(sin ) sin(cos )x > x

Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: sin sin sin(cos ) 0

2 xx

π

 − − >

 

Trang 22

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

sin cos sin cos

2 22 cos sin 02 2xxxxπ − + π − −⇔ > Bất đẳng thức cuối luơn đúng do

sin cos 2 sin 2; sin cos 2 sin 2

4 4   − =  −  ≤ + =  +  ≤   xxx π xxx π

Vì vậy 0 2 2 2 sin cos 2 2 ;

2 2 2 22 sin cos 22 2 202 2 2 2xxxxπ π πππ π ππ− − − +< < ≤ <− − − +< ≤ ≤ <Bất đẳng thức được chứng minh B BÀI TỐN CHỌN LỌC

Bài 1 Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ≤ ≤xyz

Chứng minh rằng 1+1+1( + )≤1+1( + )      yxzxzxzyxz Lời giải

BĐT tương đương với: ()2 ()

xzy xzxzxzxzy+ + +≥ +() 22 () 0 ()() 0y xzyzxyy zxzxyxyz⇔ + ≥ + ⇔ − + + ≤ ⇔ − − ≤Bất đẳng thức cuối đúng vì 0 < ≤ ≤xyz

Ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz

Bài 2 Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x≥ ≥yz Ch ứng minh

222222222( + )+ ( + )+ ( + )≥ + ++ + +x xyy zxz yzxyzxyzxyz Lời giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

()( ) 1 1 1 10( )( ) ( )( )0( )( ) ( )( )   −− + − − ≥   +  + +   + + − − − −⇔ + ≥+ + + +xy yxyz yzxyxzxyyzxzxy xy yzyz xy yzxy xzxz yz

Trang 23

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bài 3 Cho , ,x y z là các số thực thuộc đoạn [ ]0;1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=2(x3+y3+z3) (− x y2 +y z2 +z x 2 )Lời giải Ta cĩ x y z, , ∈[ ]0;1 ⇒x3≤x2≤x y; 3≤y2≤y z; 3≤z2≤z.Từ đĩ suy ra ( 333) 2222 x +y +z ≤x + +xy + +yz +z ()222222.≤ + + + + + − + +Pxyzxyzx yy zz xTa chứng minh x+ + +yzx2+y2+z2−(x y2 +y z2 +z x2 )≤3 ()()()()()()()()()2222221 1 1 3 01 1 1 1 1 1 0⇔ − + − + − + + + − ≤⇔ − − + − − + − − ≤xyyzzxxyzxyyzzx Bất đẳng thức cuối đúng do ( 2 )()( 2 )()( 2 )()1 1 0; 1 1 0; 1 1 0− − ≤ − − ≤ − − ≤xyyzzx Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 3 xảy ra khi x= = =yz 1

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số thực khơng âm a,b,c ta cĩ

()()

4+ 4+ 4+ + + ≥2 2 2+ 2 2+ 2 2

abcabc abca bb cc a

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử a≥ ≥bc K hi đĩ c2(c−a c)( −b)≥0và

()()()() ()()()()()()()()()22222222 0 − − + − − = −  − − −  ≥ −  − − − = − − − ≥aab acbbc baabaacbbcababcbbcab bc ab

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Nhận xét Đây là một trường hợp riêng của bất đẳng thức Schur Với a,b,c là các

số thực khơng âm và k>0ta luơn cĩ

( − )( − +)( − )( − )+ ( − )( − )≥0

kkk

aab acbbc bacca cb

Bài 5 Cho , ,a b c≥0 thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ()2 ()2 ()2

4 4 4

− − −

= + b c + + c a + + a b

Pabc

Lời giải

Trang 24

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam ()() ()() ()222 2 224 444 2 2bcbcaa abcbcbcbcbcaa bcabca− −+ = + + ++ −  +   + = + + + = +  − ≤ +    .Suy ra ()24 2− ++ bc ≤ +bcaaTương tự ta cĩ : ()2;4 2− ++ ca ≤ +cabb ()24 2− ++ ab ≤ +abcc

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được :

()2 ()2 ()2 ()2 2.4 4 4− − −= + bc + + ca + + ab ≤ + + =Pabcabc

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2 đạt tại a= =b 0,c=1 hoặc các hốn vị

Nhận xét Ta cĩ thể tổng quát thành bài tốn như sau :

Cho a,b,c,k là các số thực khơng âm thỏa mãn a+ + =bck Ch ứng minh rằng

()2 ()2 ()22 4 4 4− − −+ bc + + ca + + ab ≤kakbkck

Bài 6 Cho a,b,c là các số thực khơng âm thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 1.

Chứng minh rằng ()2 ()2 ()2

3.

+ − + + − + + − ≥

abcbcacab

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát giả sử ≥ ≥abckhi đĩ : Sử dụng bất đẳng thức Mincopsi ta cĩ : ()2 ()2 ()2a+ b−c + b+ −ca + c+ a−b ≥()2 () () () 2a+ b+ c +  − ab + b− + − cca  ()2 ()24abcac= + + + −

Bất đẳng thức được chứng minh nếu ta chứng minh được bất đẳng thức sau đúng

Trang 25

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Ta cĩ : () () () () ()()() ()() () ()222222222 − + −  = − + − + − − ≥ − + −⇒ − ≥ − + −abbcabbcabbcabbccaabbcSuy ra () (2 ) (2 ) (2 )22− + − + − ≤ −abbccaca Mặt khác : ()() () ()()()()()()222222224 2 2 2 12 2 1 42 2 1 42 1 42 4 0 − − − = −  + −   = −  + − +  = −  + + − +  ≥ −  + + + − +  = −  + ≥accaacacacacacacaccacacabccacaccac

Bài tốn được chứng minh Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi 13= = =abc hoặc 1, 0= = =abc và các hốn vị

Bài 7 Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 3 Chứng minh rằng ( 2 22 22 2)( 222)

2 a b +b c +c a + ≤3 3 a +b +c

Lời giải

Trang 26

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam ()()()()()4222222 23 32 3 3 2 2 3 2 3 32 231 3 14 1 08− −   ≤ − − +   + −   + −   = − − − ≤aaPaaaaaaa Vì 2 ()(]3a −14a− =1 3a a− −1 11a− < ∀ ∈1 0, a 0;1

Bài tốn được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =bc 1

Bài 8 Cho các số thực a b c, , ∈[ ]0;1 thỏa mãn 32+ + =

abc

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 222)

cos= + +Pabc Lời giải Do a b c, , ∈[ ]0;1 nên 0 2 2 2 3 2 2≤a +b +c ≤ + + = <abc πVậy P lớn nhất( nhỏ nhất) khi a2+b2+c 2 nhỏ nhất (lớn nhất) - Tìm giá trị nhỏ nhất của a2+b2+c 2

Ta cĩ 2 2 2 1()2 3

3 4

+ + ≥ + + =

abcabc Suy ra GTLN của P bằng cos34 ; xảy

ra khi 1

2= = =

abc

- Tìm giá trị lớn nhất của a2+b2+c 2

Giả sử 3 3 12 2≤ ≤ ⇒ + + = ≤ ⇒ ≥abcabccc Vậy 222 ()22 ()222 3 2 522 4 + + = + − + ≤ + + = + −  ≤ abcababcabcccDo (c−1 2)( c− ≤1) 0

Suy ra GTNN của P bằng cos5

4 ; xảy ra khi () 1, , 0, 0,2 =  a b c hoặc các hốn vị

Bài 9 (TSĐH Khối D 2008) Cho ,x ylà các số thực khơng âm

Trang 27

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Với ,x y≥0 ta cĩ : ()2 ()21 10 ;04 41 1≤ ≤ ≤ ≤+ +xyxy

Suy ra giá trị lớn nhất của P bằng 1

4 đạt tại x=1,y=0và giá trị nhỏ nhất của P 1

4

− đạt tại x=0,y=1

Cách 2 : Ta cĩ đánh giá thơng qua trị tuyệt đối như sau :

()()() ()()()()()(() ())2222 2 2211 1 141 1 1 1 4 1 1+ +− − + + += ≤ ≤ =+ + + + + +xyxyxyxyxyxyPxyxyxy Do đĩ 1 14 4− ≤ ≤P Ta cĩ kết quả tương tự

Bài 10 Cho , ,a b c≥0là các số đơi một khác nhau Chứng minh rằng

()() (2 ) (2 )21 1 14  + + + + ≥ − − −  abbccaabbcca Lời giải

Giả sử c=min{a b c , , , } khi đĩ do , ,a b c≥0 ta suy ra: ab+bc+ca≥ab ;

()221 1;≥− bbc ()221 1≥− aacVậy ta chỉ cần chứng minh : ()2221 1 14  + + ≥ −  abbaab ()()()()()2222224 0 2 00−⇔ + + − ≥ ⇔ + − ≥− − −  ⇔ −  ≥− ababababbaababababababab

Bài tốn được chứng minh Xem thêm chương 3

Bài 11 Cho các số thực thoả mãn điều kiện , ,a b c>0 và 1+ =1 2

acb

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 28

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam Lời giải Ta cĩ = 2+acb

ac thay vào biểu thức của P ta được :

2 23 3 31 4.2 2 2 2 22 2+ + + +  + += + = + = +  + ≥ − −+ +acacacaccaacacacPacacaccaacacac(đúng theo AM-GM)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 4 đạt tại = =abc

Bài 12 Cho các số thực a b c, , ∈[ ]1;3 thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=a2+b2+c 2

Lời giải Đặt a= +x 1;b= +y 1;c= +z 1; , ,x y z∈[ ]0; 2 Khi đĩ 2 2 2 () (2 ) (2 )21 1 1= + + = + + + + +Pabcxyz 222 ()2 3=x +y +z + x+ +yz + ()2 () ()2 2 3= x+ +yz − xy+yz+zx + x+ +yz + = −2(xy+yz+zx)+18Từ x y z, , ∈[ ]0; 2 ⇒(2−x)(2−y)(2−z)≥0() ()8 4 2 0⇔ − x+ +yz + xy+yz+zx −xyz≥()2 4 4⇒ − xy+yz+zx = − −xyz≤ − do xyz≥0Từ đĩ suy ra P≤ −2(xy+yz+zx)+18 14≤

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a b c, , ) (= 1, 2,3)hoặc các hốn vị

Chú ý Đặt a= +x 1;b= +y 1;c= +z 1 để chúng ta tận dụng tích xyz≥0Bài 13 Cho các số thực a b c, , ∈[ ]0;1 Chứng minh rằng 1 1 1 32 +2 +2 ≥−a −b −cabc Lời giải Ta cĩ : ()2 () 11 0 2 12− ≥ ⇒ − ≤ ⇒ ≥−aaaaa Tương tự ta cĩ : 1 ; 12 ≥ 2 ≥−bb −cc

Trang 29

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3

1 1 1

3 3

2 +2 +2 ≥ + + ≥ ≥

−a −b −cabcabcabc do abc≤1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= = =bc 1

Bài 14 Cho các số thực a b c, , ∈[ ]0;1 và a+ + ≠bc 0 Chứng minh rằng 1 1 1 51+ 1+ 1≤+ + + + +abbccaabc Lời giải

Do bất đẳng thức đối xứng với ba biến nên khơng mất tính tổng quát ta giả sử 1≥ ≥ ≥ ≥abc 0 Khi đĩ 1 (1 )(1 )21 1 1 1 1+ + + − − ++ ++ + ≤ ≤ =+ + + + +bcbcbccababcabbccabcbcMặt khác 1 1 1 31 1 1 1 1 1+ + + + + = + − +  + − +  + − +     + + +  +   +   + abbccaabbccaabbccaabbcca (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )3 31 1 1− − − − − −= − − − + ≤+ + +abbccaabbcca

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b 1,c=0hoặc các hốn vị

Bài tập tương tự

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a+ + >bc 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5

1 1 1= + + ++ + + + +abbccaPabcabbcca

Bài 15 Cho các số thực khơng âm a,b,c Chứng minh rằng

()()()()

2+ 2+ 2≥4 + + − − −

abcabc ab bc ca

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát ta giả sử b nằm giữa a và c , ta xét hai trường hợp

- Nếu a≥ ≥ ⇒bcVT ≥ ≥0 VP , ta cĩ đpcm - Nếu ≥ ≥cba , khi đĩ vế phải

()()()()4= + + − − −VPabc ab bc ca =4(a+ +bc b)( −a c)( −b c)( −a )()() ()() 2≤  + + abc b−a + −cb c− a Ta chỉ cần chứng minh (a+ +bc b)( −a) (+ −cb c)( −a)≤a2+b2+c 2.

Trang 30

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

C BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số thực khơng âm a và b ta cĩ

(a+b a)( 2+b2)≥8ab a( +b)−12ab ab

Bài 2 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác thoả mãn a≤ ≤bc Ch ứng minh

()2

9

+ + ≤

abcbc

Bài 3 Cho () 2cos2 2 cos

0; , ;2 cos 1− +∈ ∈ =− + xaxaaxyxxaπ Chứng minh rằng 1− ≤ ≤y 1

Bài 4 Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện ≥ ≥xyz

Chứng minh rằng x y2 + y z2 +z x2 ≥x2+y2+z2

zxy

Bài 5 Cho a, b, c, d, e là các số thực Chứng minh các bất đẳng thức

()()222222222;1 1+ + + + ≥ + + ++ + + + ≥ + + +abcdea bcdeabcda bcd

Bài 6 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh

333222222 3+ ++ + ≥+ + + + + +abcabcaabbbbccccaa

Bài 7 Cho x,y là hai số thực khơng âm khơng đồng thời bằng 0 Chứng minh

()22223 2 32 22+ +≥ ++xxyyxyxy

Bài 8 Cho x,y là 2 số thực dương Chứng minh ()()

()33222918+ +≤ ≤+xyxyxy

Bài 9 Chứng minh với mọi số thực a và b ta cĩ

1 1+ +≤+ + + +abababab

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 10 Cho a,b là các số thực và a khác 0 Chứng minh 22213+ + + ≥babaa

Bài 11 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta cĩ

222

+ + ≥ + +

abc

abc

bca

Bài 12 Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta cĩ

()

4+ 4+ 4≥ + +

Trang 31

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bài 13 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh 1

+ + − − − <

abcbca

bcaabc

Bài 14 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác thoả mãn điều kiện a< <bc .Chứng minh rằng 3( 22) (322) (322)

0

− + − + − <

abcbcacab

Bài 15 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh

( − )2+ ( − )2+ ( + )2> 3+ 3+ 3

a bcb cac ababc

Bài 16 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh

2 22 22 2444

2a b +2b c +2c a −a −b −c >0

Bài 17 Cho x,y,z là các số thực dương cĩ tích bằng 1 và z=min{x y z , , }.Chứng minh rằng 2 2 2 2 12 1 2 1 2 1+ +  +  ≥+ +  + xyzxyz

Bài 18 Cho a,b,c là các số thực khơng âm thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=1

Chứng minh rằng 1 1 1 5

2

+ + ≥

+ + +

abbcca

Bài 19 Chứng minh với mọi a,b,c là các số thực ta cĩ

()3 ()3 ()3

0

+ + + + + ≥

a abb bcc ca

Bài 20 Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác Chứng minh

a) + + <2+ + +abcbccaab ; b) 222 ()2+ + < + +abcabbcca ; c) 3333 +333 +333 <2 4+ + +abcbcacba

Bài 21 Cho a,b là các số thực dương Chứng minh 3 3 3 2 22+ +≤+ababab

Bài 22 Chứng minh rằng với mọi số thực x, y thoả mãn điều kiện x+ ≥ −y 1,xy ≤2.Ta cĩ x3+y3≥ −7

Bài 23 Cho a, b, c, d là các số thực

Chứng minh rằng (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

Bài 24 Cho a,b là 2 số thực khơng âm Chứng minh rằng ta luơn cĩ

Trang 32

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Bài 25 Cho x y z, , ∈[ ]0; 2 thỏa mãn x+ + =yz 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=x2+y2+z 2

Bài 26 Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh a) 3211 12+ +   +  ≤ +     bcbcaa b) ()()()3333333 + 3 + 3 ≥1+ + + + + +abcabcbcacab c) ≥ 2+ + +aabcabc d) + + ≥2+ + +abcbccaab e) 4344423338≥++ +aaabcabc f) 222 18 8 8+ + ≥+ + +abcabcbcacab

Bài 27 Cho a,b,c là các số thực đơi một phân biệt Chứng minh

() () ()2222 + 2 + 2 ≥2− − −abcbccaab

Bài 28 Chứng minh rằng với ba số thực , ,a b c ta luơn cĩ

( 2 )( 2 )( 2 )()2

1 1 1 1

+ + + ≥ + + −

abcabbcca

Bài 29 Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x=max x y z { , , }

Chứng minh 1 1 11 1 1+ + + + + ≤ + ++ + +xyzxyzyzxyzx

Bài 30 Cho x,y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện x+2y=1 Chứng minh 1 1 25 2

1 48+ ≥

+

xyxy

Bài 31 Cho a,b là hai số thực khác 0 thoả mãn điều kiện ab≥ + +1 1 3

Trang 33

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bài 32 Cho a,b,c,d là các số thực thuộc đoạn [ ]0; 2 Chứng minh

1 1 1 1

+ + + ≤ + + + + + + +

abcdabbccaad

Bài 33 Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [ ]0; 2 và a+ + =bc 3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức = 2+ 2+ 2

+ +

abc

P

abbcca

Bài 34 Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2+d2=1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

()()()()

3333

= + + + + + + + + + + +

Pabcdbcdacdabdabc

Bài 35 Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [ ]1;3 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 =14 Chứng minh 1 − 2+ ≥ −8

  

  

bc

aa

Bài 36 Cho a,b,c là các số thực khơng âm Chứng minh rằng

()

222222

9 5

+ + + + + + ≥ + +

abcabbccaabc

Bài 37 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng

( 333 )()( 222)

9 a +b +c +abc ≥8 a+ +bc a +b +c

Bài 38 Cho ,a b>0 thỏa mãn điều kiện a2+b2=1 Chứng minh rằng 21 12 2  + ≥ + −  ababba

Bài 39 Cho , ,a b c>0 thỏa mãn điều kiện 222 53

+ + =

abc

Chứng minh rằng 1 + − <1 1 1

abcabc

Bài 40 Cho a, b là hai số thực thỏa mãn ,a b <1,ta luơn cĩ

221 1 211 +1 ≥−−a −bab

Bài 41 Với mọi số thực ,a b≥1ta luơn cĩ 1 1 31+ 1+ 1≤2

+ + +

ab

abab

Bài 42 Cho a b c, , ∈[ ]0;1 Chứng minh rằng a(1−b) (+b 1− +c) (c 1−a)≤1.

Bài 43 Cho , ,a b c>0 thỏa mãn ≤ ≤abc

Trang 34

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Bài 44 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn điều kiện a+ + =bc 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

222222

= + + + + + + + +

Paabbbbccccaa

Bài 45 Cho a,b,c,d thuộc đoạn [ ]1; 2 Chứng minh rằng ()()

()222222512+ +≤+abcdacbd

Bài 46 Cho x,y,z là các số thực Chứng minh

()2 ()2 ()2222 3 3 3, ,4 4 4 − − −  + + − − − ≥    xyyzzxxyzxyyzzxmax

Bài 47 Cho x,y,z là các số thực khơng âm Chứng minh

(){() (2 ) (2 )2}333 33 ,4+ + − ≥ + + − − + −xyzxyzxyz maxxyyzzx

Bài 48 Cho a,b,c là các số thực khơng âm Chứng minh

() () (){ 222}3 max ; ;3+ + − ≤ − − −abcabcabbccaD HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Bài 1 Bất đẳng thức tương đương với: ()2 ()()2

6 0 −  + + − ≥ aba babab Chú ý ()()2 ()2 ()6 2 0.+ + − = − + + − ≥ababababab abab

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =ab

Bài 2 Ta cĩ () (2 )22≤ ⇒ + + ≤ +ababcbc Vậy ta chứng minh ()2 2 2 ()()2b+c ≤9bc⇔4b −5bc+c ≤ ⇔0 b−c 4b− ≤c 0 Bất đẳng thức cuối luơn đúng do b c− ≤0; 4b c− ≥ + − = + − +3b a c (a b c) 2b>0 Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Bài tập tương tự

Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác ta cĩ 2 2 ( 2 2 2)24a b > a +b −cBài 3 Ta cĩ ()()2 22221 sin1 0 1 12 cos 1−− = ≥ ⇒ − ≤ ≤− +xayyxxa

Bài 4 Bất đẳng thức tương đương với 2() 2() 2()

0

− − −

+ + ≥

xyzyzxzxy

Trang 35

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Theo giả thiết ta cĩ

()()()()2222 − −≥ ⇒ ≥− − ≥ ≥ ⇒ ≥xyzxyzyzzyyzxyzxxyzxy Suy ra ()()()()()()()()()2222220− − − − + − + −+ + ≥− − −= ≥xyzyzxzxyxyzyzxzxyzxyyxyxzyzy

Ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =xyz

Bài 5 Bất đẳng thức tương đương với

()() () () ()() () () ()222222222222222224 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 4 4 02 2 2 2 0.+ + + + ≥ + + +⇔ − + + − + + − + + − + ≥⇔ − + − + − + − ≥abcdea bcdeaabbaaccaaddaaeeabacadae

Bất đẳng thức luơn đúng Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=2b=2c=2d=2e

Bất đẳng thứ hai là trường hợp riêng khi e=1

Bài 6 Ta chứng minh 2 3 2 23−≥+ +xxy

xxyy với mọi số thực dương x và y Thật vậy bất đẳng thức tương đương với: ()()2

0+ − ≥xyxy (luơn đúng) Áp dụng bất đẳng thức trên ta cĩ 3223223222;32;32.3−≥+ +−≥+ +−≥+ +aabaabbbbcbbccccaccaa

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Bài tập tương tự

Cho n là số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2 và các số thực x x1, 2, ,x cĩ n

Trang 36

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam ()9963 36113≤ < ≤+ −≥+ +∑niji j niijjxxn nxx xx

Bài 7 Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

()() ()()()222222 2 422223 2 32 223 2 3 8 0 0 + + ≥ +  +  ⇔ + + − + + ≥ ⇔ − ≥xxyyxyxyxxyyxyxyxy

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =xy

Bài 8 Bất đẳng thức vế trái tương đương với: ()

()22220−≥+xy xyxy

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =xy

Bất đẳng thức vế phải tương đương với: ()

()222222408− +≥+xxyyxy

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=(2± 3)y

Bài 9 Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho về dạng luơn đúng + ≥ +

abab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab≥0

Chú ý Thực chất bất đẳng thức xuất phát từ tính đồng biến trên khoảng

(− +∞ c1; ) ủa hàm số 1=+xyx Bài tập tương tự

Chứng minh với mọi số thực a và b ta cĩ 2014 2014

2015 2015+ + + +≤+ + + +abababab

Bài 10 Bất đẳng thức tương đương với

()22222221 33 02 42 3102 4baaaabaa +  + + − ≥  − ⇔ +  + ≥ 

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

41 3,2 4= − = ±baa

Trang 37

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt () (2 ) (2 )20− − −+ + ≥abbccabca

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Bài 12 Bất đẳng thức đã cho chính là phần rút gọn của bất đẳng thức sau

( 2 2) (2 2 2) (2 2 2) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )20

− + − + − + − + − + − ≥

abbccaabcbcacab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

Bài 13 Chú ý đẳng thức () () ()()()()222222222222− − −+ + − − − = + +− + − + −=− − −=abcbcaabbccabcaabcabbccac aba bcc ababcac ab cbabc Ta cĩ ()()()1− − −< =ac ab cbabcabcabc Bất đẳng thức được chứng minh

Bài 14 Chú ý nếu coi vế trái là một đa thức bậc ba của a thì ta cĩ 2 hai nghiệm

,

= =

ab ac Vì vậy ta phân tích được vế trái dưới dạng

(a−b a)( −c b)( −c ab)( +bc+ca )

Rõ ràng với a< < ⇒bc (a−b a)( −c b)( −c ab)( +bc+ca)<0 Bất đẳng thức được chứng minh

Bài 15 Bất đẳng thức đã cho tương đương với

()()()()()()22222200 − − +  − − +  + − >     ⇔ + − + − + − >abcabcabcabcabc bca cabBất đẳng thức cuối luơn đúng và ta cĩ đpcm

Bài 16 Gọi P là biểu thức vế trái ta cĩ đẳng thức sau

()()()() 0

= + + + − + − + − >

Pabc abc bca cab

Bất đẳng thức được chứng minh

Bài 17 Quy đồng rút gọn bất đẳng thức tương đương với :

Trang 38

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Bất đẳng thức cuối đúng do vậy ta cĩ đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1= = =xyz Bài 18 Sử dụng bất đẳng thức 5 23+ + + abc≥abc và quy đồng rút gọn bất đẳng thức cần chứng minh ()() ()() ()() ()()()()2 ()2 2 2 52 5 2 5+ + + + + + + + ≥ + + +⇔ + + + + ≥ + +ab acbc baca cbab bc caabcabcabcSử dụng 5abc≥ −6 3(a+ +bc ta ) được ()() ()()()2222 5 2 5 2 8 82 2 0+ + + + − + + ≥ + + + − + += + + − ≥abcabcabcabcabcabc

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b 1,c=0hoặc các hốn vị Bài 19 Đặt 2, , 22= + −= + = + = + ⇒ = + − = + −axyzxab ybc zcabyzxczxy Bất đẳng thức trở thành ()()()33344433333300+ − + + − + + − ≥⇔ + + + + + − − − ≥xxyzyyzxzzxyxyzx yy zz xxyyzzx Bài 20 a) Ta cĩ 2 22 22 2= <+ + + + + += <+ + + + + += <+ + + + + +aaabcbcbcabcbbbcacacaabccccababababc

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh b) Ta cĩ ()()()222000< < + ⇒ < +< < + ⇒ < +< < + ⇒ < +abcaa bcbcabb cacabcc ab

Trang 39

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt ()3 () ()3 () (2 )()33333333 13 4 44.+ = + − + ≥ + − + + = +⇒ ≤++ababab abababababccabab

Tương tự rồi cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh

Bài 21 Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

()()233224 2 202 + +≤  ⇔ − + + ≥+ abababaabbab

Bài 22 Bất đẳng thức đã cho tương đương với

()()()()() (() () ())()33222221 3 3 2 01 1 3 2 011 1 1 3 2 02+ + − + + ≥⇔ + + + + − − − + + ≥⇔ + + − + − + − + + ≥xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy

Bất đẳng thức cuối luơn đúng theo giả thiết ta cĩ đpcm

Bài 23 Ta cĩ (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd) (2+ ad−bc) (2≥ ac+bd)2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad =bc

Bài 24 Ta cĩ : 22221 1 1 10; 0 ;2 2 4 4 −  ≥  −  ≥ ⇒ + ≥ + ≥   a  b  aa bb Suy ra : 22223 3 1 1 14 4 2 2 21 1 1 1 1 14 2 24 4 4 4 2 2 + +  + +  ≥ + +  + +  = + +                        = +  + +  ≥  +  +  = +  +           abbaa ba ba bababab

Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 12= =

ab

Bài 25 Theo giả thiết ta cĩ :

Trang 40

Khám phá tư duy Kỹ thuật giải bất ĐT Bài tốn Max – Min – Đặng Thành Nam

Bất đẳng thức cuối đúng suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b+ =c 2a

b)Áp dụng câu a) ta cĩ ()()()323222332322233232223;;.≥+ ++ +≥+ ++ +≥+ ++ +aaabcabcbbabcbcaccabccab

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = =abc

a) Bất đẳng thức tương đương với:

()()()()()2 22244 0 0+ + ≥ + ⇔  + + − + ≥ ⇔ − − ≥a abcabcaabca bca abc

Bất đẳng thức luơn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=0hoặc = +abc

b) Áp dụng câu c) ta cĩ 2 2 2; ;≥ ≥ ≥+ + + + + + + + +aabbccbcabccaabcababc

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta cĩ đpcm Với a,b,c thì đẳng thức khơng xảy ra

c) Bất đẳng thức tương đương với:

( 4/3 4/3 4/3)2 8/3 ( 4/3 4/3)( 4/3 4/3 4/3)2/32/31/322( ) 4 ( )+ + − = + + +≥abcabcabcbcabc( 4/3 4/3 4/3)2 8/3 2/3 2/3( 2 )4/34/34/34/328 88⇒ + + ≥ + = +⇒ ≥+ ++abcabc aaabcaaabcabcBất đẳng thức cuối đúng theo AM – GM

d) Áp dụng chứng minh ở câu e) xây dựng ba bất đẳng thức cùng dạng rồi cộng lại ta cĩ điều phải chứng minh

Bài 27 Chú ý hằng đẳng thức

( − )( − ) (+ − )( − ) (+ − )( − )=1

bccaab