Nguyên lý banach caccioppoli trong không gian metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: NGUYÊN LÝ BANACH-CACCIOPPOLI TRONG KHÔNG GIAN K-METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Năm 1966 Arhangelskii suy rộng khái niệm sở, đưa khái niệm sở yếu thu nhiều kết thú vị (xem [1, 4]) Bằng cách thay sở sở yếu , K B Lee suy rộng khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai yếu (xem [2]) Sau đó, cách sử dụng số tính chất sở tính chất dãy hội tụ khơng gian metric, người ta đưa khái niệm không gian xác định phủ đếm theo điểm, k-không gian, không gian dãy, không gian Fréchet, không gian Fréchet mạnh 688 2 Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm Abel với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép toán nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép toán A) Định nghĩa Ideal trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa ideal trái, vừa ideal phải gọi ideal vành R Cho I ideal vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I với x, y ∈ R Định nghĩa Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I 2.0.1 Định lý đồng cấu vành Định nghĩa Cho R, R′ hai vành Ánh xạ f : R → R′ gọi đồng cấu vành f bảo tồn hai phép tốn cộng nhân R, nghĩa f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (x), với x, y ∈ R 2.0.2 Một số kết liên quan Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm Abel với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép toán nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= Định nghĩa Tập A vành R gọi vành R A vành hai phép toán cộng nhân R (bao gồm tính đóng hai phép toán A) Định nghĩa Ideal trái (phải) vành R vành A thỏa mãn điều kiện ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R Vành I R vừa ideal trái, vừa ideal phải gọi ideal vành R Cho I ideal vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} gọi tập thương R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng hai phép toán (x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I với x, y ∈ R Định nghĩa Tập thương R/I với hai phép toán xác định lập thành vành gọi vành thương R theo I 3.0.1 Định lý đồng cấu vành Định nghĩa 10 Cho R, R′ hai vành Ánh xạ f : R → R′ gọi đồng cấu vành f bảo toàn hai phép toán cộng nhân R, nghĩa f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (x), với x, y ∈ R 3.0.2 Một số kết liên quan Không gian hàm liên tục C0 (Ω) Định nghĩa 11 (i) Cho tập A ⊂ Rn , C0 (A) := {f : A → R, f liên tục x ∈ A} (ii) Cho K ⊂ Rn tập compact cho f ∈ C0 (K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ số thực không âm xác định ∥f ∥∞ = ∥f ∥∞,K = sup |f (x)| x∈K ∥.∥∞ gọi chuẩn (hay chuẩn vô cùng) Định lý Cho Ω ⊂ Rn tập mở bị chặn Khi (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian Banach vô hạn chiều Chứng minh Ta giới hạn n = Ω = (a, b) ta phải chứng minh (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) không gian định chuẩn vơ hạn chiều R Ta chứng minh không gian Banach Nghĩa phải dãy Cauchy (fh )h ⊂ (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) hội tụ (tại phần tử thuộc không gian) Giả sử (fh )h dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho ∥fh − fk ∥∞ = sup |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k x∈Ω Điều có nghĩa ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − fk (x)| < ϵ ∀h, k ≥ k, ∀x ∈ Ω (1) Từ (??), (fh (x))h ⊂ R dãy Cauchy Do dó: ∃f (x) := lim fh (x), h→∞ ∀x ∈ Ω (2) Từ (??), lấy qua giới hạn (??), cho k → ∞ ta ∀ϵ > 0, ∃k ∈ N cho |fh (x) − f (x)| ≤ ϵ ∀h ≥ k, x ∈ Ω, theo định nghĩa fh → f Ω Do dó f ∈ C0 (Ω) Tính compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Bây tìm hiểu đặc trưng tập compact (C0 (Ω), ∥.∥∞ ) Đầu tiên ta nhớ lại số khái niệm kết quan trọng liên quan đến chủ đề compact không gian metric Định nghĩa 12 Cho (X, d) không gian metric ký hiệu B(x, r) hình cầu mở X , tâm x bán kính r > với x ∈ X (i) Điểm x0 ∈ X gọi điểm giới hạn tập A ⊂ X A ∩ (B(x0 , r)\{x0 }) ̸= ∅, ∀r > (ii) Tập A ⊂ X gọi bị chặn tồn R0 > cho d(x, y) ≤ R0 với x, y ∈ A (iii) Tập A ∩ X gọi bị chặn hoàn toàn với ϵ > 0, A phủ họ hữu hạn hình cầu B(x1 , ϵ), B(x2 , ϵ), , B(xN , ϵ), nghĩa A ⊂ ∪N i=1 B(xi , ϵ) (iv) Họ A ⊂ X gọi compact dãy dãy A có dãy hội tụ điểm thuộc A (v) Tập A ⊂ X gọi có tính chất Bolzano-Weierstrass (BW) tập vơ hạn A có điểm giới hạn thuộc A Nhận xét Dễ thấy tập bị chặn hoàn toàn tập bị chặn, điều ngược lại không không gian topo (X, τ ) tập hợp compact tập hợp compact dãy có tính chất (BW) Các tính chất khơng cịn giữ trường hợp tổng qt Định lý (Các tiên đề chuẩn tập compact không gian metric) Nếu A tập khơng gian metric (X, d), ta có điều sau tương đương: (i) A compact; (ii) A compact dãy; (iii) (A, d) đầy đủ bị chặn hồn tồn; (iv) A có tính chất BW Nhận xét Nếu (X, d) đầy đủ, A ⊆ X đóng (A, d) đầy đủ Hệ Cho A ⊂ Rn Khi đó: A compact ⇔ A đóng bị chặn Định lý (Riesz) Cho (E, ∥.∥) không gian định chuẩn ta ký hiệu BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi BE compact dimR E < ∞ Nhận xét Định lý 33 cho tập A bị chặn không gian định chuẩn vô hạn chiều (E, ∥.∥) khơng thiết phải bị chặn hồn tồn Ví dụ A = BE Định nghĩa 13 Cho A ⊂ Rn Một họ tập F ⊂ C0 (A) gọi tựa liên tục với ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho f ∈ F, |f (x) − f (y)| < ϵ với x, y ∈ A thỏa |x − y| < δ Ta thêm tiên đề chuẩn tập compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) K ⊂ Rn compact Định lý (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn compact giả sử F ⊂ C0 (K) Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) F là: (i) đóng (C0 (K), ∥.∥∞ ); (ii) bị chặn (C0 (K), ∥.∥∞ ); (iii) liên tục Hệ Cho K ⊂ Rn compact cho F ⊂ C0 (K) Giả sử F bị chặn liên tục Khi F compact (C0 (K), ∥.∥∞ ) Cụ thể hệ cho ta kết đặc biệt sau Hệ Cho fh : [a, b] → R, (h = 1, 2, ) dãy hàm liên tục Giả sử rằng: (i) ∃M > cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h (ii) (fh )h liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > cho |fh (x) − fh (y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h Khi ta có dãy (fhk )k hàm f ∈ C0 ([a, b]) thỏa mãn fhk → f [a, b] Định lý Giả sử M > số cho trước F = {f ∈ C1 ([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M } Khi F tập compact tương đối (C0 ([a, b]), ∥.∥∞ ); Chứng minh định lý Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) (iii) ta F compact Theo tính chất tập compact định lý ?? ta F compact dãy Vì dãy (fh )h ∈ F có dãy (fhk )k hội tụ hàm f ∈ F , nghĩa là, ∥fhk − f ∥∞ → k → ∞ Nhớ K compact tách Giả sử D := {xi : i ∈ N} đếm trù mật K F bị chặn nghĩa tồn M1 > thỏa mãn ∥f − g∥∞ ≤ M1 , ∀f, g ∈ F Cụ thể ta thay f0 ∈ F , đó: ∥f0 − fh ∥∞ ≤ M1 , ∀h ∈ N Hơn ∥fh ∥∞ = ∥(fh − f0 ) + f0 ∥∞ ≤ ∥fh − f0 ∥∞ + ∥f0 ∥∞ ≤ M1 + ∥f0 ∥∞ := M2 Do ta có số M2 > thỏa mãn |fh (x)| ≤ M2 , ∀x ∈ K, ∀h Bây ta xây dựng dãy hội tụ theo trình chéo Cantor Bước 1: (fh (x1 ))h dãy số thực [−M2 , M2 ] Suy dãy có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ R; Bước 2: Xét dãy (fh(1) (x2 ))h ⊂ [−M2 , M2 ] Do dãy (fh(2) (x2 ))h hội tụ Chú ý dãy (fh(2) (x1 ))h hội tụ có dãy (fh(1) (x1 ))h hội tụ Tiếp tục trình ta Bước k: Một dãy (fh(k) )h (fh(k−1) )h thỏa mãn (fhk (xj ))h hội tụ với j = 1, k Ta có tình sau đây: Định nghĩa: gk := fkk : K → R Lưu ý rằng, i = 1, 2, , dãy (gk )k≥i dãy (fki )k≥i Cụ thể, dãy (gk )k dãy (fh )h theo cách xây dựng ∀x ∈ D (3) (gk )k hội tụ (C0 (K), ∥.∥∞ ) (4) (gk (x))k hội tụ R Tiếp tục trình ta Sử dụng giả thiết F liên tục đều, tức ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > : x, y ∈ K |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ϵ, ∀f ∈ F (5) 62 2n−1 j 2n−1 +j |C )| + |C s)| n (1)| + |CSD2n (r n (r s)| + |CSD2n (r SD SD 2 · 2n+1
n n n−1 n−1 n−1 |SD | + |SD | + |U | + |U | = 2 ,j ,2 +j · 2n+1 1 = (2n+1 + 2n+1 + + 4) = + n n+1 4·2 2  =  Trường hợp 2: i ̸= 2n−1 Theo Mệnh đề 30 ta có |Ui,j | = Do 2n+1 i  2n li li+j r ,r s 0⩽l⩽ −1 i  Ui,j = Khi đó, theo Mệnh đề ??, ta có X X |CSD2n (rli )| + |CSD2n (x)| = 0⩽l⩽ 2i −1 = |CSD2n (1)| + |CSD2n (r2 n−1 0⩽l⩽ 2i −1 )| + X |CSD2n (rli )| + n 1⩽l⩽ 2i −1 l̸=  = |SD2n | + |SD2n | + = n+1 +2 n+1  + 2n i |CSD2n (rli+j s)| n n x∈Ui,j X X |CSD2n (rli+j s)| n 0⩽l⩽ 2i −1 2n−1 i  − |R1 | + 2n |U n−1 | i ,li+j 2n 2n+1 (2n−1 + i + 2) 2n − 2n + = i i i  Do đó, theo Mệnh đề ?? ta có Pr(Ui,j , SD2n ) = = X 1 2n+1 (2n−1 + i + 2) |CSD2n (x)| = n+1 |Ui,j ||SD2n | i x∈Ui,j 2n+1 i i+2 2n+1 (2n−1 + i + 2) 2n−1 + i + = = + n+1 n+1 2(n+1) i 2 i Vậy ta có điều phải chứng minh Trong ví dụ sau ta tính độ giao hốn tương đối nhóm nhóm giả nhị diện SD8 SD16 cách áp dụng Mệnh đề ?? 63 Ví dụ (i) Với n = 3, xét nhóm giả nhị diện SD8 = ⟨r, s | r8 = s2 = 1, s−1 rs = r3 ⟩ Các nhóm SD8 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = ⟨r4 ⟩, R8 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩ T3 = ⟨r3 s⟩, T4 = ⟨r4 s⟩, T6 = ⟨r6 s⟩; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩, U4,0 = ⟨r4 , s⟩, U4,2 = ⟨r4 , r2 s⟩; SD8 Khi Pr(R1 , SD8 ) = 1 + = , Pr(R2 , SD8 ) = + = , 8 Pr(R4 , SD8 ) = + = 1, Pr(R8 , SD8 ) = 1; Pr(T0 , SD8 ) = Pr(T1 , SD8 ) = Pr(T2 , SD8 ) = Pr(T3 , SD8 ) 1 = Pr(T4 , SD8 ) = Pr(T6 , SD8 ) = + = ; 8 2+2 + = , 16 1 Pr(U4,0 , SD8 ) = Pr(U4,2 , SD8 ) = + = ; 8 Pr(SD8 , SD8 ) = 16 Pr(U2,0 , SD8 ) = Pr(U2,1 , SD8 ) = (ii) Với n = 4, xét nhóm giả nhị diện SD16 = ⟨r, s | r1 = s2 = 1, s−1 rs = r7 ⟩ Các nhóm SD16 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = ⟨r4 ⟩, R8 = ⟨r8 ⟩, R16 = {1}; T0 = ⟨s⟩, T1 = ⟨rs⟩, T2 = ⟨r2 s⟩, T3 = ⟨r3 s⟩, T4 = ⟨r4 s⟩, T5 = ⟨r5 s⟩, T6 = ⟨r6 s⟩, T7 = ⟨r7 s⟩, T8 = ⟨r8 s⟩, T10 = ⟨r10 s⟩, T12 = ⟨r12 s⟩, T14 = ⟨r14 s⟩; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩, U4,0 = ⟨r4 , s⟩, U4,2 = ⟨r4 , r2 s⟩, U4,3 = ⟨r4 , r3 s⟩, U8,0 = ⟨r8 , s⟩, U8,2 = ⟨r8 , r2 s⟩, U8,4 = ⟨r8 , r4 s⟩; SD16 Khi Pr(R1 , SD16 ) = 1 + = , Pr(R2 , SD16 ) = + = , 16 16 16 64 1 P r(R4 , SD16 ) = + = = Pr(R8 , SD16 ) = + = 1, Pr(R16 , SD16 ) = 16 2 16 Pr(T0 , SD16 ) = Pr(T1 , SD16 ) = Pr(T2 , SD16 ) = Pr(T3 , SD16 ) = Pr(T4 , SD16 ) = Pr(T5 , SD16 ) = Pr(T6 , SD16 ) = Pr(T7 , SD16 ) = Pr(T8 , SD16 ) 1 = Pr(T10 , SD16 ) = Pr(T12 , SD16 ) = Pr(T14 , SD16 ) = + = ; 16 16 Pr(U2,0 , SD16 ) = Pr(U2,1 , SD16 ) = 2+1 11 + = , 32 32 4+2 = , Pr(U4,0 , SD16 ) = Pr(U4,1 , SD16 ) = Pr(U4,2 , SD16 ) = Pr(U4,3 , SD16 ) = + 32 16 1 Pr(U8,0 , SD16 ) = Pr(U8,2 , SD16 ) = Pr(U8,4 , SD16 ) = Pr(U8,6 , SD16 ) = + = ; 16 16 11 Pr(SD16 , SD16 ) = Pr(SD16 ) = 32 23 Nhóm quaternion suy rộng Mệnh đề 30 Cho nhóm quaternion suy rộng Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn = 1, s−1 rs = r−1 ⟩ với n ⩾ H nhóm Q4n Khi (i) Nếu H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n  n+k   k | n, 2n Pr(H, Q4n ) =   2n + k k ∤ n 4n (ii) Nếu H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n, ⩽ j ⩽ i − Pr(H, Q4n ) = n+i+2 4n Chứng minh (i) Giả sử H = Rk với k|2n, ⩽ k ⩽ 2n Theo Mệnh đề 27 ta có |Rk | = 2n 2n = (2n, k) k 65 Do  2n −1 r 0⩽i⩽ k  k Rk = ⟨r ⟩ = ik Ta xét hai trường hợp k sau Trường hợp 1: k | n Khi đó, theo Mệnh đề 28 ta có X X |CQ4n (x)| = |CQ4n (1)| + |CQ4n (rn )| + |CQ4n (rik) | −1 1⩽i⩽ 2n k x∈Rk i̸= nk  2n = 4n + 4n + = 8n +  2n k Do đó, theo Mệnh đề ??, ta có X Pr(Rk , Q4n ) = |Rk ||Q4n | k  − |R1 |  − 2n = |CQ4n (x)| = x∈Rk 4n(n + k) k 4n(n + k) n+k = 2n k 2n 4n k Trường hợp 2: k ∤ n Khi đó, theo Mệnh đề 28, ta có X X |CQ4n (rik )| |CQ4n (x)| = |CQ4n (1)| + −1 1⩽i⩽ 2n k x∈Rk = 4n +  2n k  − |R1 | = 4n +  2n k  − 2n = 2n(2n + k) k Từ suy Pr(Rn , Q4n ) = X 1 2n(2n + k) 2n + k |CQ4n (x)| = · = 2n |Rk ||Q4n | k 4n 4n x∈Rk k (ii) Giả sử H = Ui,j với i|n, ⩽ i ⩽ n, ⩽ j ⩽ i − Theo Mệnh đề 27 ta có |Ui,j | = Đặt k = 4n 4n = (n, i) i 2n Khi i |Ui,j | = 4n = 2k i 66 Do Ui,j = {rli , rli+j s | ⩽ l ⩽ k − 1} Từ suy X X |CQ4n (x)| = x∈Ui,j |CQ4n (rli )| + 0⩽l⩽k−1 = |CQ4n (1)| + |CQ4n (rn )| + X |CQ4n (rli+j s)| 0⩽l⩽k−1 X X |CQ4n (rli )| + 1⩽l⩽k−1 l̸= k2 |CQ4n (rli+j s)| 0⩽l⩽k−1 = |Q4n | + |Q4n | + (k − 2)|R1 | + k|Un,j | 4n(n + i + 2) = 4n + 4n + (k − 2)2n + 4k = i Do đó, theo Mệnh đề ?? Pr(Ui,j , Q4n ) = X 4n(n + i + 2) n+i+2 · |CQ4n (x)| = = 4n |Ui,j ||Q4n | i 4n 4n x∈Ui,j i Trong ví dụ sau ta tính lại độ giao hốn tương đối nhóm nhóm quaternion Q8 , tính độ giao hốn tương đối nhóm nhóm Q12 cách áp dụng Mệnh đề ?? Ví dụ (i) Với n = 2, xét nhóm quaternion Q8 (cho Ví dụ ??) Các nhóm Q8 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R4 = {1}; U2,0 = ⟨r2 , s⟩, U2,1 = ⟨r2 , rs⟩; Q8 Khi Pr(R1 , Q8 ) = 2+1 2+2 2·2+4 = , Pr(R2 , Q8 ) = = 1, Pr(R4 , Q8 ) = = 1; 2·2 2·2 4·2 Pr(U2,0 , Q8 ) = Pr(U2,1 , Q8 ) = 2+2+2 = ; Pr(Q8 , Q8 ) = Pr(Q8 ) = 4·2 67 (ii) Với n = 3, xét nhóm quaternion Q12 = {1, r, r2 , r3 , r4 , r5 , s, rs, r2 s, r3 s, r4 s, r5 s} Các nhóm Q12 R1 = ⟨r⟩, R2 = ⟨r2 ⟩, R3 = ⟨r3 ⟩, R6 = {1}; U3,0 = ⟨r3 , s⟩, U3,1 = ⟨r3 , rs⟩, U3,2 = ⟨r3 , r2 s⟩; Q12 Khi Pr(R1 , Q12 ) = 3+1 2·3+2 = , Pr(R2 , Q12 ) = = , 2·3 4·3 2·3+6 3+3 = 1, Pr(R6 , Q12 ) = = 1; 2·3 4·3 3+3+2 Pr(U3,0 , Q12 ) = Pr(U3,1 , Q12 ) = Pr(U3,2 , Q12 ) = = ; 4·3 Pr(Q12 , Q12 ) = Pr(Q12 ) = Pr(R3 , Q12 ) = 24 ĐỊNH LÝ CAUCHY Định lý 37 (Định lý Cauchy) Giả sử hàm số f g liên tục [a, b], khả vi khoảng (a, b) g ′ (x) ̸= với x ∈ (a, b) Khi tồn c ∈ (a, b) cho: f ′ (c) f (b) − f (a) = ′ g(b) − g(a) g (c) Chứng minh Trước hết ta nhận xét g(a) ̸= g(b) Nghĩa công thức kết luận định lý ln ln có nghĩa Thật vậy, giả sử g(a) = g(b) Khi theo định lý Rolle, tồn ξ ∈ (a, b) cho g ′ (ξ) = Điều mâu thuẫn với giả thiết g ′ (x) ̸= với x ∈ (a, b) Xét hàm số F (x) = [f (a) − f (b)]g(x) − [g(a) − g(b)]f (x) 68 Do hàm f (x), g(x) liên tục đoạn [a, b] khả vi khoảng (a, b) nên hàm số F (x) có tính chất Mặt khác, F (a) = F (b) Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (a, b) cho F ′ (c) = Nhưng ta có F ′ (x) = [f (a) − f (b)]g ′ (x) − [g(a) − g(b)]f ′ (x) Suy F ′ (c) = [f (a) − f (b)]g ′ (c) − [g(a) − g(b)]f ′ (c) = Từ ta nhận điều phải chứng minh Nhận xét 13 Định lý Lagrange trường hợp riêng định lý Cauchy g(x)=x Chú ý: Các định lý Rolle, Lagrange, Cauchy không điều kiện giả thiết không thỏa mãn Nghĩa hàm f g không khả vi khoảng (a, b) hay khơng liên tục đoạn [a, b] định lý khơng 25 Độ giao hốn tương đối nhóm Ta bắt đầu định nghĩa độ giao hốn nhóm Định nghĩa 34 Cho G nhóm H nhóm G Ký hiệu C = {(h, g) ∈ H × G | hg = gh} Độ giao hốn tương đối nhóm H G, ký hiệu Pr(H, G), định nghĩa sau Pr(H, G) = |C| |H||G| Từ Định nghĩa ?? ta thấy Pr(G, G) = Pr(G), Pr(G) độ giao hốn nhóm G định nghĩa Định nghĩa ?? Sau số ví dụ độ giao hốn tương đối số nhóm Ví dụ Xét nhóm nhị diện D3 cho phần tử sinh hệ thức xác định sau D3 = ⟨r, s | r3 = s2 = 1, s−1 rs = r−1 ⟩