Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC: LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ Năm: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC Chuyên ngành: : Mã số: : LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn TS 1 PHẦN MỞ ĐẦU Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “ Tính chất ánh xạ thương– dãy”đã đạt số kết sau đây: - Trình bày lại cách có hệ thống chứng minh chi tiết số kết không gian topo, khái niệm tập đóng, tập mở, tập compact, phần bao đóng với tính chất chúng - Trình bày số tiên đề tách, khơng gian compact ánh xạ liên tục với số tính chất chúng - Trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết ánh xạ liên tục theo dãy, ánh xạ thương, ánh xạ tiền dãy, ánh xạ thương- dãy - Trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết đặc trưng ánh xạ thương- dãy mối quan hệ ánh xạ thương- dãy với bất biến cs*- mạng, cs’-mạng, wsn-mạng thông qua ánh xạ thương- dãy 671 Các đặc trưng ∆U -vành Ta biết + J(R) ⊆ U (R) Vành R gọi U J -vành U (R) ⊆ + J(R), nghĩa + J(R) = U (R) Lưu ý R U J -vành ∆(R) = J(R) 2.1 Các tính chất tổng qt ∆U -vành Bổ đề Cho R vành tùy ý, ta có (1) ∆(R) vành R (2) ∆(R) iđêan R ∆(R) = J(R) (3) Với r ∈ ∆(R) u ∈ U (R), ur, ru ∈ ∆(R) Y Y Y (4) Nếu R = Ri tích vành Ri , ∆( Ri ) = ∆(Ri ) i∈I i∈I i∈I (5) Nếu R vành nửa địa phương, ∆(R) = J(R) (6) ∆(R[x]/(xn )) = ∆(R)[x]/(xn ) (7) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]] Vành R gọi ∆U -vành + ∆(R) = U (R) Mệnh đề R ∆U -vành U (R) + U (R) ⊆ ∆(R) (khi U (R) + U (R) = ∆(R)) Chứng minh Giả sử R ∆U -vành, Lấy u, v ∈ U (R), ta có + u ∈ ∆(R), − v ∈ ∆(R), u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R) Các tính chất ∆U -vành Mệnh đề Cho R ∆U -vành Khi (1) ∈ ∆(R); (2) Nếu R division ring, R ∼ = F2 ; (3) Nếu x2 ∈ ∆(R) x ∈ ∆(R); (4) R Dedekind finite; (5) Cho I ⊆ J(R) iđêan R Khi R ∆U -vành R/I ∆U -vành; Y (6) Vành Ri ∆U vành Ri ∆U , với i ∈ I i∈I (7) Nếu T vành R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T , T ∆U -vành Cụ thể, điều áp dụng cho Z = Z(R) tâm R Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) (3) Giả sử x2 ∈ ∆(R) Khi (1+x)(1−x) = (1−x)(1+x) = 1−x2 ∈ U (R) tức 1+x ∈ U (R) Vì R ∆U -vành, 1+x ∈ 1+∆(R), x ∈ ∆(R) (4) Giả sử a, b ∈ R với ab = Khi − ba lũy đẳng R, [b(1 − ba)2 ] = = [(1 − ba)a]2 ∈ ∆(R) Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy − ba = (1 − ba)2 = [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆ Từ đó, ba ∈ U (R) ba = (5) Nếu I ⊆ J(R) ideal, ∆(R/I) = ∆(R)/I Giả sử R ∆U vành Khi u + I ∈ + ∆(R)/I = + ∆(R/I) Do R/I ∆(U )vành Ngược lại, giả sử R/I ∆U -vành Lấy u ∈ U (R) tùy ý Khi u + I ∈ + ∆(R)/I Ta kiểm tra u ∈ + ∆(R) Do đó, R ∆U -vành (6) Hiển nhiên (7) Giả thiết U (T ) = U (T ) ∩ T nghĩa ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây U (R) = + ∆(R) cho + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U (R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = + (∆(R) ∩ T ) ⊆ + ∆(T ) Định lý Mn (R) ∆U -vành n = R ∆U -vành Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên (⇒:) Giả sử Mn (R) ∆U -vành n > Đầu  tiên ta chứng  0 − a     0 0    minh R division Lấy a ∈ R, a ̸= 0, ta có X =     0 Mn (R) X = DoMn (R) ∆U -vành, ta lấy X ∈∆(Mn (R)) Lấy U=  0 1 0 0 0 0 0           0  0   ∈ Mn (R) Khi In − U X =               0 0 0 a khả nghịch Mn (R), hay a ∈ U (R) Do đó, R division ∼ Tiếp  theo, ta chứng  minh R = F2 Lấy a ∈ R, a ̸= a ̸= Lấy a 0 0 a 0      0 X=  ∈ Mn (R) Khi X khả nghịch Vì Mn (R)       0 a   1−a 0  − a        ∆U -vành nên ta có In − X =   ∈ ∆(Mn (R))       0 − a Vì − a khả nghịch nên In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do R∼ = F2     1 X1 Cuối cùng, ta n = Lấy X1 = X = ∈ 0 In−2 Mn (R) Khi X khả nghịch Mn (R) Bởi giả thuyết, ta có ∈     In − X ∈ ∆(Mn (R)) Mặt khác, ta có In − X =  X2 0 In−2   X2 = Suy In − X khả nghịch, mâu thuẫn Do đó, n = 1 R ∼ = M1 (R) ∆U -vành Mệnh đề Giả sử R ∆U -vành e phần tử lũy đẳng R Khi eRe ∆U -vành Chứng minh Lấy u ∈ U (eRe) Khi u + − e ∈ U (R) Vì R ∆U -vành nên ta có u − e ∈ ∆(R) Ta chứng minh u − e ∈ ∆(eRe) Lấy tùy ý v khả nghịch eRe Rõ ràng v + − e ∈ U (R) Vì u − e ∈ ∆(R) nên u−e+v+1−e ∈ U (R) theo định nghĩa ∆, đặt u−e+v+1−e = t ∈ U (R) Ta kiểm tra et = te = ete = u − e + v , ete ∈ U (eRe) Suy u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy, u ∈ e + ∆(eRe) hay eRe ∆U -vành Định lý Cho M (R, R) song môđun Vành R ∆U -vành T (R, M ) ∆U -vành   u m ∈ U (T (R, M )) = T (U (R), M ), Chứng minh (:⇒) Lấy u¯ = u u ∈ U (R) m ∈ M Ta u¯ − ∈ ∆(T (R, M )) Rõ ràng, u ∈ U (R) u = + a ∈ + ∆(R) với a thuộc ∆(R) Suy  a ¯= 0   + a m a  ∈ T (∆(R), M ) = ∆(T (R, M )) Vì T (R, M ) ∆U -vành (⇐:) Điều ngược lại dễ thấy Hệ 1.Giả sửM (R, S) song mơđun Khi vành ma trận tam giác dạng R M S ∆U -vành R S ∆U -vành Hệ R ∆U -vành vành ma trận tam giác Tn (R) ∆U -vành, n ≥ 2.2 Một vài tính chất đại số ∆U -vành Nhớ lại rằng, vành R gọi vành 2-primal nguyên tố N (R) Mệnh đề Cho R vành 2-primal Nếu vành đa thức R[x] ∆U vành, R ∆U -vành Chứng minh R vành 2-primal, theo [10, Mệnh đề 19], ∆(R[x]) = ∆(R) + J(R[x]) Mặt khác ta có J(R[x]) = I[x] với I iđêan lũy linh R Bây giờ, ta giả sử R[x] ∆U -vành Khi U (R) ⊆ U (R[x]) = + ∆(R[x]) = + ∆(R) + I[x], điều có nghĩa U (R) ⊆ + ∆(R) + I = + ∆(R) ⊆ U (R), I iđêan lũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do U (R) = + ∆(R), hay R ∆U -vành Mệnh đề Cho R vành m ∈ N (1) R ∆U -vành R[x]/xm R[x] ∆U -vành (2) R ∆U -vành vành chuỗi lũy thừa R[[x]] ∆U -vành Chứng minh (1) Điều suy từ Mệnh đề 2.4(5), từ xR[x]/xm R[x] ⊆ J(R[x]/xm R[x]) (R[x]/xm R[x])/(xR[x]/xm R[x]) ∼ = R (2) Ta xét (x) = xR[[x]] iđêan R[[x]] Khi (x) ⊆ J(R[[x]]), R ∼ = R[[x]]/(x), kết suy từ Mệnh đề 2.4(5) Bổ đề Cho R, S vành i : R → S, ϵ : S → R đồng cấu thỏa ϵi = idR (1) ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R) (2) Nếu S ∆U -vành, R ∆U -vành (3) Nếu R ∆U -vành ker ϵ ⊆ ∆(S), S ∆U -vành Chứng minh (1) Dễ thấy, ϵ(U (S)) ⊆ U (R) U (R) = ϵi(U (R)) ⊆ ϵ(U (S)) Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), ϵ(a) + ϵ(U (S)) ⊆ ϵ(U (S)) ϵ(a) + U (R) ⊆ U (R) Điều có nghĩa ϵ(a) ∈ ∆(R) Do đó, ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R) (2) Cho S ∆U -vành Khi U (S) = + ∆(S), theo (1) U (R) = ϵ(U (S)) = + ∆(S) ⊆ + ∆(R) Do U (R) = + ∆((R) (3) Giả sử R ∆U -vành Ta phải ϵ−1 (U (R)) ⊆ + ∆(S), điều có nghĩa U (S) = + ∆(S) Với y ∈ ϵ−1 (U (R)), ta lấy ϵ(y) ∈ U (R) = + ∆(R), R ∆U -vành Suy y − = i(x) + v , v tùy ý thuộc ker(ϵ) x ∈ ∆(R) Lấy tùy ý u khả nghịch thuộc S Lưu ý x + U (R) ⊆ U (R) Ta có ϵ(i(x) + u) = x + ϵ(u) ∈ x + ϵ(U (S)) = x + U (R) ⊆ U (R) = ϵ(U (S)) i(x) + u = u′ + a u′ ∈ U (S) a ∈ ker(ϵ) Suy y − + u = u′ + a + v ∈ U (S) + ker(ϵ) ⊆ U (S) + ∆(S) theo giả thuyết Từ U (S) + ∆(S) ⊆ U (S) với vành có đơn vị S , ta có y − + u ∈ U (S) với u ∈ U (S) Điều có nghĩa y − ∈ ∆(S) hay y ∈ + ∆(S) Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề Cho R vành, M monoid RM monoid ring Nếu RM ∆U -vành, R ∆U -vành Mệnh đề Cho R vành giao hoán có đơn gị Vành đa thức R[x] R ∆U R ∆U 2.3 Tính chất ∆U lớp vành Mệnh đề Các điều kiện sau tương đương vành R (1) R ∆U -vành (2) Tất clean elements R ∆-clean Định lý Cho R vành, điều kiện sau tương đương (1) R clean ∆U -vành; (2) Với a ∈ R, ta có a − a2 ∈ ∆(R) a − e ∈ ∆(R) e lũy đẳng, e ∈ R; (3) R ∆-clean ∆U -vành; (4) R vành ∆-clean Bổ đề Nếu R vành unit-regular ∆(R) = Định lý Cho R vành, điều sau tương đương (1) R regular ∆U -vành (2) R strongly regular ∆U -vành (3) R unit-regular ∆U -vành (4) R có identity x2 = x (R vành Boolean) Định lý Cho R vành, điều sau tương đương (1) R semiregular ∆U -vành (2) R exchange ∆U -vành (3) R/J(R) vành Boolean Hệ Cho R ∆U -vành, điều sau tương đương (1) R semiregular ring (2) R exchange ring (3) R clean ring Các khái niệm Định nghĩa Cho tập hợp R khác rỗng, R ta trang bị hai phép toán mà ta gọi phép cộng phép nhân thỏa mãn: R nhóm Abel với phép tốn cộng, R nửa nhóm với phép toán nhân phép toán nhân phân phối với phép toán cộng, nghĩa x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz với x, y, z ∈ R Phần tử trung hòa phép cộng ký hiệu (thường gọi phần tử không) Phần tử đơn vị phép nhân có ký hiệu Nếu vành có nhiều phần tử có đơn vị ̸= f (x)ϱ(y)dy f (x − y)ϱh (y)dy − n Rn ZR = (f (x − y) − f (x))ϱh (y)dy n ZR ≤ |f (x − y) − f (x)|ϱh (y)dy B(0,1/h) Z =ϵ ϱh (y)dy B(0,1/h) = ϵ Ta có điều phải chứng minh Chứng minh định lý 24 (i) Ta chưng minh kết n = Đủ để rằng, ϱ ∈ C1c (R), ϱ ∗ f ∈ Cm (R) với số nguyên m ≥ Cho m = giả sử ϱ ∈ C1c (R), ϱ ∗ f ∈ C1 (R) (ϱ ∗ f )′ (x) = (ϱ′ ∗ f )(x), ∀x ∈ R (9) Sau đó, ta chứng minh với m có kết luận Thật vậy, giả sử ϱ ∈ Cm c (R) m−1 ′ với m ≥ Khi ϱ ϱ ∈ Cc (R) Từ giả thiết ban đầu, ϱ ∗ f ∈ Cm−1 (R) (??) giữ Từ ϱ′ ∈ Ccm−1 (R) chí ϱ′ ∗ f ∈ Cm−1 (R), theo (??), (ϱ ∗ f )′ ∈ Cm−1 (R) giữ Vì vậy, ϱ ∗ f ∈ Cm (R), kết thúc chứng minh phát biểu (i) 46 Ta chứng minh (??) Cho < |t| ≤ cố định x ∈ R, (ϱ ∗ f )(x + t) − (ϱ ∗ f )(x) − (ϱ′ ∗ f )(x) t Z ϱ(x − y + t) − ϱ(x − y) − tϱ′ ()x − y = f (y)dy t R (10) Lấy qua giới hạn (??) t → ∞ tốn hội tụ số hạng vế phải Ta thấy, ϱ bị chặn R, Z z+t