Phương Pháp Toán Sơ Cấp, Hình Học Tổ Hợp, Phương Pháp Giải Toán.docx

ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀ NỘI TRƢỜNGĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN TRẦNTHỊLIÊN CÁCPHƢƠNGPHÁPGIẢITOÁNHÌ NHHỌCTỔHỢP Chuyênngành PHƢƠNGPHÁPTOÁNSƠCẤPM ã s ố 60460113 LUẬNVĂNTHẠCSĨKHOAHỌC NGƢỜIHƢỚNGDẪNKHOAHỌC PGS TSVŨĐỖLONG H[.]

ĐẠIHỌCQUỐCGIAHÀ NỘI TRƢỜNGĐẠIHỌCKHOAHỌCTỰNHIÊN - TRẦNTHỊLIÊN CÁCPHƢƠNGPHÁPGIẢITỐNHÌ NHHỌCTỔHỢP Chunngành:PHƢƠNGPHÁPTỐNSƠCẤPM ã số :60460113 LUẬNVĂNTHẠCSĨKHOAHỌC NGƢỜIHƢỚNGDẪNKHOAHỌC:PGS.TSVŨĐỖLONG HàNội, 2015 Mụclục Lờinóiđầu .2 Chƣơng1.Mộtsốphƣơngphápcơbản 1.1 NguyênlíĐirichlê 1.2 Nguyênlícựchạn 16 1.3 Phươngphápđồthị,tômàu 20 1.4 Phươngpháptạođagiácbao .26 1.5 Phươngphápmởrộng,thunhỏmộthình 30 Chƣơng2.Mộtsốdạngtốnhìnhhọctổhợpthƣờnggặp 33 2.1 Hệđiểmvàđườngthẳng 33 2.2 Điểmnằmtrongmộthình .36 2.3 Hìnhnằmtrongmộthình 41 2.4 Phủhình 44 2.5 Hìnhgiaonhau .47 2.6 Đếmcácyếutốhìnhhọc 54 2.7 Đánhgiáđộdài,góc,diệntích 64 Chƣơng3.Mộtsốđềthicónộidunghìnhhọctổhợp 67 3.1 Đềthituyểnsinhchuyên 67 3.2 Đềthihọcsinhgiỏi 76 3.3 ĐềthiđềnghịOlympictruyềnthống30/4lầnXX-năm2014 77 TÀILIỆUTHAMKHẢO 81 DANHMỤCCÁCTỪVIẾTTẮT 82 Lờinói đầu Hình họctổhợp–làmộtbộphậncủa hìnhhọcnói chungvàlàmộtnhánhcủatổhợp.Nhữngbàitốnliênquanđếnhìnhhọctổhợprấtđadạn gvềnộidungvàp h n g phápgiải.Nhiềubàitốnphátbiểuđơngiản,cóthểthấyđúngng aynhưngđểgiảiđượcthìcầntrangbịnhữngkiếnthứcriêngvềhìnhhọctổhợpvàhìnhhọc.K hi đóbàitốnsẽtrởnênrấtdễdàng.Tuynhiêncũngcónhữngbàiđịihỏikiếnthứcchu nsâu,vàthậmchícónhiềubàihìnhhọctổhợptổngqtchokhơnggianvẫnchưacólờigiải Hìnhhọctổhợpđượccoinhưnộidungdànhchohọcsinhkhá,giỏibậcTrunghọcc ơsởvàt hườngxuyênxuấthiệntrongcácđề thihọcsinhgi ỏi,đềthituyểnsinhT H P T chuyê n,đềthiOlympictruyềnthống30/4,… Luậnvănnàyđưaramộtsốcáchgiảicơbảnchocácbàihìnhhọctổhợpxuấthiệntrong cáckìthithờigianqua,làtàiliệuthamkhảochocáchọcsinhkhá,giỏitừlớp7 Bốcụccủaluậnvănnàygồmbachương Chương1.Mộtsốphươngphápcơbản Chươngnàytrìnhbàycácphươngphápcơbảnđượcvậndụngđểgiảicácbàito n hìn hhọctổhợpnhư:NgunlíĐirichlê;ngunlícựchạn;phươngphápđồthị,tơmàu;phư ơngpháptạođagiácbao;phươngphápmởrộng,thunhỏmộthình.Ng i raphươngpháp phảnchứngcũngđượcsửdụngnhiềunhưngđanxencùngc c phươngphápkhác Chương2.Mộtsốdạngtốnhìnhhọctổhợpthườnggặp Chươngnàyđưaracácbàitốnhìnhhọctổhợpcụthể,đãđượcsắpxếptheot ừngdạng :Hệđiểmvàđườngthẳng;điểmnằmtronghình;hìnhnằmtronghình;phủhình;hìnhg iaonhau;đếmcácyếutốhìnhhọc;đánhgiáđộdài,góc,diệntích.C h n g 3.Mộtsốbàihìnhhọ ctổhợptrongcácđềthi Chươngnàyđưara mộtsốbàihìnhhọctổhợpcótrongcácđềthihọcsinhgiỏilớp9cáctỉnh,cácđềthituyểnsinhTHP Tchun,cácđềthiOlympicTốnhọc Đểh o n t h nhđ ợ cl u ậnv ă n này,emx i n đ ợ cg ửil ờic ảmơ n s â u s ắ ct ớiP G S TSVũĐỗLongđãdànhthờigianhướngdẫn,đánhgiá,chỉbảo,tậntìnhgiúpđỡemtrongquá trìnhxâydựngđềtàicũngnhưhồnthiệnluậnvăn Quađâyemcũng xinđượcgửilờicảmơnchânthành tớiBan giámhiệu, phịng sauĐạihọc,khoaTốn-Cơ-TinhọctrườngĐạihọcKhoahọcTựnhiê nĐạihọcQuốcgiaHàNộiđãtạođiềukiệnthuậnlợichoemtrongsuốtqtrìnhhọctậptạitr ường Emx i n cảmơ n g i a đ ì n h , b nb è v t ấtc ảmọin g iđ ã q u a n tâm,tạođ i ề ukiện,g iúpđỡemhồnthànhluậnvănnày Tuyđãcónhiềucốgắngnhưngdothờigianvàkhảnăngcóhạnnêncácvấnđềtrongl uậnvănvẫnchưađượctrìnhbàysâusắcvàkhơngthểtránh khỏicónhữngsaisóttrongcáchtrìnhbày.Mongđượcsựgópýxâydựngcủathầycơvàcácbạn Emxinchânthànhcảmơn! HàNội,tháng04năm2015 HọcviênTrần ThịLiên Chƣơng1 Mộtsốphƣơngphápcơbản Trướckhiđivàomộtsốphươngphápcơbản đểgiảibàitốnhìnhhọctổhợp,taxétc c kháiniệmsau +Mộthình F đ ợ cgọilàlồinếuvớihaiđiểmAvàB b ấtkìthuộcF , thìđoạnthẳngnốihaiđi ểmA ,B c ũ n g thuộcF +Khoảngcáchlớnnhấtgiữahaiđiểmbấtkìtrongmộthìnhlồilàđườngkínhcủah ì n h lồi 1.1 NgunlíĐirichlê NgườiđầutiênđềxuấtngunlínàyđượccholànhàtốnhọcĐứcJohannĐirichlêk h i n g đ ề c ậptớin g u y ê n l í v ớit ê n g ọi“nguyênl í n g ă n k é o ” ( T h e D r a w e r P r i n c i p l e ) N g i r a ngunl í nàycịnđ ợ cb i ếtđế nn hư nguyênl í c hi m bồc â u ( T h e PigeonholePrinciple)hoặcngunlínhữngcáilồngnhốtthỏ NgunlínàyđượcĐirichlêphátbiểuđầutiênnăm1834 “NgunlýĐirichlêởdạngcổđiểnthườngđượcdùngđểchứngminhtồntạitheokiểukh ơngxâydựng(nonconstructive),tứclàbiếtđốitượngtồntạinhưngkhơngchỉracụthể.”(TríchbàigiảngCá cphươngphápvàkỹthuậtchứngminh,trìnhbàytạichươngtrìnhGặpgỡtốnhọc2010do ĐHQGTp.HCMtổchứctừngày25/1-31/1/2010.) a) NgunlíĐirichlêcơbản Nhố n1thỏvàonlồngthìtồntạimộtlồngcóítnhấthaithỏ t b) NgunlíĐirichlêtổngqt Nếu cóN đồ vật đặt vàotrongk h ộp,N khơng chia h ết chok , sẽtồntại mộthộpchứtnhất (Ởđây, x  N 1 đồvật k làsốngunlớnnhấtcógiátrịnhỏhơnhoặcbằngx ) Chứngminh N Giảsửmọihộpđềuchứthơn vật.Khiđótổngsốđồvậtnhỏhơnhoặc 1  k   kNN k ĐiềunàymâuthuẫnvớigiảthiếtcóN đồvậtđượcđặtvàohộp c) NguyênlíĐirichlêđốingẫu Chot ậph ữuh ạn S1,S2, ,Sn làc c t ậpc o n c S saoc h o S ,v S1S  kS Khiđó,tồntạimộtphầntửx thuộcSs a o chox l phầntử S n chungcủa k 1tậ Si,i1,n p ỞđâySlàsốphầntửcủatậphợpS Si, i 1, làsốphầntửcủacáctậphợp n d) Si NgunlíĐirichlêchodiệntích NếuKl mộth ì n h p h ẳng, làc c h ì n h p h ẳngs a o c h o Ki K1,K2, ,Kn với  K i1,n,và|K||K1||K2|  |Kn| ỞđâyK làd i ệnt í c h c ủah ì n h p h ẳngK,c ị n | Ki| i1,n Khiđó,tồntạiítnhấthaihìnhphẳngtron gchung e) làd i ệnt í c h h ì n h ph ẳng Ki, Ngu nlíĐiri chlêvơ Ki Kj , , hạn (1i jn )saocho Ki ,Kj cóđiểm Nếuchiamộttậphợpvơhạncácquảtáovàohữuhạnngănkéothìphảicóítnhấtmộtngănk éochứavơhạncácquảtáo f) NguyênlíĐirichlêđốivớiđoạnthẳng Takíhiệu d(I)làđộdài củađoạnthẳngI n ằmtrong¡ ChoAl mộtđoạnthẳng, A1 ,A2, ,An làcácđoạnthẳngsaocho d(A)d(A1)d(A2) d(An) Ai A,i 1,nvà Khiđóítnhấtcóhaiđoạnthẳngtrongsốcácđoạnthẳngtrêncómộtđiểmtrongc h u ng Chứngminh Giảsửk h n g cóh a i đ o nt h ẳngn o t r o n g c c đ oạ nt h ẳngđ ã c h o c ó đ i ể mt ro ng c h u n g Khiđó d( A1A2 An)d (A1)d( A2)  d(An)d(A) Màtừ Ai A,i d(A1A2 An)d(A) 1,n,tacó Haibấtđẳngthứctrênmâuthuẫnvớinhaunênđiềugiảsửlàsai Vậycóítnhấtcóhaiđoạnthẳngtrongsốcácđoạnthẳngtrêncómộtđiểmtrongc h u n g  NgunlíĐirichlê thườngliênquanđếncác bàitốnthiđấuthểthao,chiahết,nguntốcùngnhau,đồthị,tơmàu,quennhauvàcácbàitố nhìnhhọc.Ởđâychỉđ a ramộtsốbàitốncơbảnsau Bài1.1.BêntrongtamgiácđềuABCcạnhbằng2 mđặtnămđiểm.Chứngminhr ằngtồnt ạihaiđiểmcókhoảngcáchnhỏhơn1m Lờigiải Bađườngtrungbìnhcủatam giácđềuc ạnh2 msẽchianórathànhbốnt amgiácđềucócạnh1m( h ì n h 1) Tac ó n ă m đ i ể m đ ặ tt r o n g b ốnt a m giác D o đ ó t h e o nguyênl í Đ i r i c h l ê ,tồntạimộttamgiácnhỏmàtrongđ óc ó n h ấthai điểmđã cho,và cácđi ể m đ ó k h ô n g t h ể r i v o c c đ ỉ nhc ủatamgiác ABC.Vậykhoảngcá chg iữahaiđiểmđónhỏhơn1m Bài1.2.Trênmặtphẳngcho 43điểm.Trongđócứbađiểmbấtkìlnlntìmđượch aiđiểmcókhoảngcáchnhỏhơn Chứngminhrằngtồntạihìnhtrịnbánk ín h 1chứak hơngíthơn22điểm đãcho Lờigiải LấyAl mộttrongsố43đ i ể m đãcho.Xéthìnhtrịn( A;1).Chỉcóhaikhảnăngsaucóth ểxảyra +Nếutấtcảcácđiểmđãchonằmtronghìnhtrịn( A;1) thìkếtluậncủabàitốnlà +TồntạiđiểmB A(Bthuộctrongsố43điểmđãcho),saocho B (A;1).Vì B(A;1)n AB1 ên Xéthìnhtrịn(B;1) LấyC l điểmb ất kìtrong số43 điểmđãchosaochoCA,CB Theog i ảt h i ếtv d ựav o AB1 ,t a cóMinCA,CB1 VìthếC(A;1),hoặcC (B;1) (hình2) VìC điểmbấtkìtrongsố43điểmđãchosaocho trịn( A;1),(B;1) CA, C B nêncáchình chứatấtcả43đ i ể m đãcho.VìthếtheongunlíĐirichlê,một tronghaihìnhtrịntrênchứakhơngíthơn 22đ i ể m đãcho.Tacóđiềucầnchứngminh Tổngqt Cho2n điểmtrênmặtphẳng(với n3).Biếttrongđócứbađiểmbấtkìl u n lntìmđượchaiđiểmcókhoảngcáchnhỏhơn1 Khiđótồntạihìnhtrịnbánkính 1chứakhơngíthơn n1 điểmđãcho Bài1 C h o m ộth ì n h v u n g c ó d i ệnt í c h b ằng1 N g i t a đ ặ tv o t r o n g h ì n h vu n g mộtcáchtù101điểm.Chứngminhrằngtồntạiítnhấtmộttamgiácvới bađỉnhlàcácđiểmtrongsốcácđiểmđãchocódiệntíchkhơngq 100 Lờigiải.TachiahìnhvngABCDthành50h ì n h chữnhậtbằngnhau códiệntích 1b 50 ằngcáchsau +ChiacạnhABthành10đoạ nliêntiếpbằngnhau +ChiacạnhADthành5đoạ nliêntiếpbằngnhau Khiđặt101điể mvàotrong50h ì n h chữnhậtthìítnhấtmộthìnhchữnhậtchứaba điểm.Giảsửhìnhchữnhậtđóchứabađiểm Khiđódiệntích M,N,K M khơnglớnhơnmộtnửadiệntíchhìnhchữnhậtchứanótức NK làkhơnglớnhơn 100 Điềuđócónghĩalàtồntạiítnhấtmộttamgiácvớibađỉnh làcácđiểmtrongsốcácđiểmđãchocódiệntíchkhơngq  100 Tươngtựtacóbàitốnsau Bài1.4.Tronghìnhvngcócạnhbằng1 ,đặt201đ i ể mphânbiệt.Chứngminh rằngcóítnhấtbatrongsố201điểmđónằmtrongmộthìnhtrịnbánkính 14 Lờigiải.C h i a h ì n h v u ô n g c h o t h n h 0 h ì n h v u n g nhỏb ằngn h a u c ó c ạnh 10 TheongunlíĐirichlê,tồntạiítnhấtmộthìnhvngnhỏ,chẳnghạn hìnhvng a ch ứt nhấtba trongs ố201điểmđó.Đ ườ ngtrịnngo ạiti ếphình vnga c ó bánkính 102  14 Vậybađiểmnóitrênnằmtronghìnhtrịnđồngtâmvớihìnhvng a vàcóbán kính 14