Ôn tập chương VI- đại số 10 nâng cao
Trang 1Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Góc và cung lượng giác:
* Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2R và có số đo bằng 3600
* Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ
dài bằng 180R và có số đo 10
* Cung tròn bán kính R có số đo a0 (0 a 360) thì có độ dài bằng 180aR
* Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
* Cung có số đo bằng a0 ứng với radian công thức đổi đơn vị là:
0
0
180
a
* Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R. y
* Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều ngược kim đồng hồ
* Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là
cung vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến C
* Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a0 + k3600 hoặc sđ(Ox, Oy) = + k2
sđAM = a0 + k3600
hoặc sđAM = + k2
y
B S
M
P T
A’ O Q A x
B’
* Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz)
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK
2 Các công thức lượng giác cơ bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng giác với sđAM = + k2 (k Z).)
Trang 2Ta có: cos OQx, sin OPy, tan AT, cot BS.
Nhận xét: - 1 cos 1, - 1 cos 1
cos( + k2) = cos, sin( + k2) = sin, tan( + k) = tan, cot( + k) = cot
tan =
cos
sin
xác định khi ,
2
k
cot =
sin
cos
xác định khi k
sin = tancos, cos = cotsin, tancot = 1, sin2 + cos2 + 1
sin
1 cot
1 , cos
1 tan
2 2
* Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800
6
4
2
3
2
4
3
6
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau: - và :
cos(-) = cos, sin(-) = - sin, tan(-) = - tan, cot(-) = - cot
* Cung bù nhau: - và :
sin( - ) = sin, cos( - ) = - cos, tan( - ) = - tan, cot( - ) = - cot
* Cung hơn kém : + và :
sin( + ) = - sin, cos( ) = - cos, tan( + ) = tan, cot + ) = cot
* Cung phụ nhau: 2 - và :
2 = cos, cos
2 = sin, tan
2 = cot, cot
2 = tan
* Cung hơn kém
2
:
2
+ và :
2 = cos, cos
2 = - sin, tan
2 = - cot, cot
2 = - tan
Trang 34 Các công thứ lượng giác khác:
* Công thức cộng:
cos( + ) = coscos – sinsin, sin( + ) = sincos + cossin cos(– ) = coscos + sinsin, sin(– ) = sincos – cossin
tan( + ) = 1tan tantantan , tan(– ) = 1tantan tantan
* Công thức nhân đôi:
cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 – 2sin2;
sin2 = 2sincos; tan2 = .
tan 1
tan 2
2
* Công thức hạ bậc:
2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos 1 cos
; 2 sin 2
* Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
1 cos sin
; ) cos(
) cos(
2
1
sinsin = - cos( ) cos( ).
2
1
* Công thức biến đổi tổng thành tích:
2
cos 2 cos
2
sin 2 sin
2
2
cos 2 sin
2
sin 2 cos
2
B BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1 a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các
số do sau: - 450, 12000, - 8300
b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho
4 6
; 2 3
k k
c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b)
2 Xác định điểm cuối M của cung lượng giác biết cos 0,5 Tìm miền giá trị của sin, tan và cot
3 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2x cos2x; b) sin6x + cos6x = 1 – 3sin2xcos2x;
x;
tan tanx) -2x tanx)(sin
-(tan2x d)
; cosx 1
sinx sinx
cosx
-1
; cos4x -1
2cos4x 6
x cot
x tan g) x;
tan x sin
x sin
-x cos
x cos
x cos x sin
4 2
2
4 2
2
h) tan2x – sin2x = tan2xsin2x;
Trang 4i) x cosx.
3
2 cos 3 2x cos -6
x cos 3 2x
4 Rút gọn các biểu thức sau:
; 1 -cosx
x 2cos
1 cosx cos2x
cos3x C
; tanx) x(1
cos cotx) x(1
sin B
; sinx
1
-x 2cos
; cosx -1 cosx 1
cosx -1 cosx 1
E
; x sin
cosx) -(1 1 sinx
cosx 1
2
; cos4a cos3a
cos2a
a
cos
sin4a sin3a
sin2a
sina
F
cosb cosa
) -)sin(a sin(a
G
; cos98 2cos638
) cos(-188 2520
sin 2 tan368
1
0 0
0
2
x tan cosx -1
cosx 1
5 Tính tổng: S1 = sina + sin2a + sin3a + + sinna;
S2 = 1 + cosa + cos2a + cos3a + + cosna
6 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos2x + cos2(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2xcos4x + sin4x;
3
3
x cos 6
x cos 4
x cos 3
-x cos
sin x - cos x1 2 sin cos ;
x cos
-x sin E
; x -3
2 cos 3
2
x cos
x cos
8 8
2 2
2
x x
F = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x;
y xcot cot -y xsin
sin
y sin
-x
cos
2 2
2 2
7 CMR: sinxcosxcos2xcos4x = sin 8
8
1
x Áp dụng: Tính giá trị các biểu
thức:
A = sin60.sin420.sin660.sin780;
7
5 cos 7
3 cos 7 cos
8 a) Cho cosx = - và 108 x 270
5
Tính sinx, tanx và cotx
b) Biết tan .
2
a
m
Tính tanatana-sinasina
c) Biết tana + cota = m, ,
2 a
0 tính sin2a, sin4a Tìm điều kiện của m
d) Cho sina + cosa = m với - 2 m 2 Tính sin2a, sina, cosa
9 Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
24
11 sin 24
7 sin 24
5 sin 24 sin B
; 12
5 cos 12
11 sin
C = cos100.cos500.cos700; D = cos200.cos400.cos800
E = sin1600.cos1100 + sin2500.cos3400 + tan1100.tan3400
F = sin100.sin500.sin700; .
12
5 tan 12 tan
H = tan50tan550tan650
Trang 5; 7
3 cos 7
2 cos -7 cos
24
sin 24
5 sin 12
7 sin 12
5 cos
10 Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
2
A C tan 2
A -C tan a c
a -c
; 2
C B tan 2
C -B tan c b
c -b
; 2
B
A tan 2
B
-A tan b a
b -a
11 Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc = ;
cosc cosa.cosb.
c) b sin(a
b) tana.tan3 a;
a 2a.tan tan
-1
a tan -2a tan
2 2
2 2
b acos cos
b) -b)sin(a sin(a
b tan -a tan
cos4x 4
1 4
3
x cos
x sin f)
; sina cosa
sina -cosa sin2a
1
cos2a e)
0;
2
3 -cos4x 2
1 -2cos2x
-x 4cos
8
3 sin80 sin40
sin20 h) 0;
9
7 cos 9
5 cos 9 cos
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu cos(x cos(x -y)y)21 thì tanxtany = .
3
1
b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các điều kiện 3sin2x + 2sin2y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
2 2y
x
13 CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana
14 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
; 2
C sin 2
B sin 2
A 4sin 1
cosC cosB
cosA
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin2A + sin2B + sin2C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C cot 2
B cot 2
A
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B cot a) -(c 2
A cot c) -(b 2
C cot b)
-(a
2
C sin 2
B sin 2
A 4Rsin
r
m)
1;
2
A tan 2
C tan 2
C tan 2
B tan 2
B tan
2
A
tan
Trang 6; 2
C cos 2
B cos
2
A p.sin a
sinC
B) -sin(A c
b -a p) 2
2 2
; 2
C tan 2
B tan 2
A p.tan
r
q)
; 2
A sin
2
C sin 2
B asin
r
2
C cos 2
B cos 2
A 4cos
p R
s)
; 2
C sin 2
B sin 2
A
sin
4R
r
)
cosC;
cosB cosA
R
r 1
R
2pr
2
C tan 2
B tan 2
A tan p
r 4R
0;
)cotC b
-(a )cotB a
-(c )cotA
c
-(b
; B) -2sin(A
)sinAsinB b
-(a S
y) 2 2 a sin2B b sin 2 A
4
1 S
15 CMR: trong mọi ABC ta đều có:
; b) p p-a p-b p-c 3p;
abc
R c b a cotC cotB
cotA
a)
2 2 2
; c
1 b
1 a
1 2 c -p
1 b -p
1 a
-p
1
d) Nếu a4 = b4 + c4 thì 2sin2A = tanB.tanC
16 Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
c -b -a c -b a a
4 3 sinBsinC c) 1 3cosB C)
A cos(
a a -c b a -c b b) 2;
sinBcosC
sinA
2 2
3 3 3
; c -b a c -b -a a 4 cosBcosC e) a a
-c
b
a
-c
b
a 2bcosC
2 2
3 3
3
R sin A sin B sin C
3
2 S
8
1 sC cosAcosBco
i)
; 2
C 2cot tanB
tanA h)
; cosC cosB
sinC sinB
sinA
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15; 3
cosC cosB
cosA
sinC sinB
sinA
17 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC
18 Chứng minh ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA
c)
; b
c a 2
B cot b)
; sinBsinC
a cosC
c cosB
b
2
C sin 2
B sin 2 2p h f) sin2B;
a 4
1 S e)
; a
2bc C) -cos(B
19 Chứng minh rằng ABC là vuông hoặc cân khi:
a
c -b C) -sin(B b)
; 2
B -C tan b c
b -c
Trang 720 Chứng minh rằng ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC;
tan tanC 2tanB
b)
; 2
B
A b)tan (a
b.tanB a.tanA
B);
cot
A cot ( 2
1 B sin
A sin
B cos
A cos d) B);
tan(A 2
1 cosB cosA
sinB sinA
2 2
2 2
; sinC
2sinAsinB 2
C cot f)
; 2
C sinB)cot (sinA
cos
B sin cosA
A sin
e)
2 2
; 2
B ptan 2
C cot b) -(p h)
; 2
A cos 2
B sin 2
B cos 2
A sin
0 A) -bsin(C C)
-asin(B
l) btanB);
(atanA 2
C tan b a k)
; c -4a
c 2a sinB
cosB 1
i)
2
21 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu nó thỏa mãn biểu thức sau:
a) (b2 + c2)sin(C - B) = c2 – b2)sin(C + B); ;
tanC
tanB C
sin
B sin b) 2
2
cos2B
-1
C) -cos(B -1 2.
b
c) -(b d)
; sinA
sinB cosC
2cosB
cosC 2cosA
2
22 CMR: ABC là tam giác đều nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a) sinA + sinB + sinC = sin2A + sin2B + sin2C;
b) a(1 – 2cosA) + b(1 – 2cosB) c(1 – 2cosC) = 0;
c) 2(a3 + b3 + c3) = a(2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2); h 3
2
a c b d) a
23 Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) sin3A + sin3B + sin3C = 0; b) sin4A + sin4B + sin4C = 0;
c) a3 = 3 + c3; d) sin2A + sin2B + sin2C 2; e) c = c.cos2B + b.sin2B
2;
cotB) cotA)(1
(1
f) g) sin2A + sin2B = 5sin2C;
h) A, B, C là nghiệm của phương trình: .
3
3 2 2
x tan -tanx
24 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y sinx cosx cosx sinx
(ĐH An ninh 1998)
25 CMR: nếu ba góc A, B, C của ABC thỏa điều kiện:
sin2A + sin2B + sin2C thì A, , C đều là ba góc nhọn (ĐH An ninh 1998)
26 Cho ABC có các góc thỏa 1
2
B tan 2
A
2
C tan 4
3
(ĐH Bách khoa Hà nội 1998)
2
C cot 2
A cot (ĐH Cần thơ
1998)
29 CMR: trong tất cả các tam giác nội đường tròn cho trước thì tam giác
đều có diện tích lớn nhất (ĐH Công đoàn 1998)
30 Cho ABC CMR:
Trang 84S
c b a cotC cotB
cotA 2 2 2 (ĐH Dược hà nội 1998)
31 Cho ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = 3cosA + 2(cosB + cosC) (ĐH Luật Hà nội
1998)
c
b -a sinC
B) -sin(A
2
2 2
33 CMR: trong mọi AC ta đều có:
2
C cot 2
B cot 2
A cot 2
C tan 2
B tan 2
A tan 2
1 sinC
1 sinB
1 sinA
1
(ĐH Ngoại thương 1998)
2 sinC sinB sinA a c
b 2 2 2
Tính các góc của ABC
(ĐH Ngoại thương 1998)
35 CMR: trong mọi ABC ta luôn có:
3
C cos 3
B cos 3
A cos 4
3 8
3 3
C cos 3
B cos 3
A
(ĐH Quốc gia Hà nội 1998)
36 a) Cho tam giác nhọn ABC thỏa mãn hệ thức:
2
C sin
1 2
B sin
1 2
A sin
1 cosC
1 cosB
1 cosA
1
CMR: ABC đều
b) ABC có đặc điểm gì, nếu các góc thỏa mãn biểu thức: 2cosA
sinC
sinB
(ĐH An ninh 1999)
37 CMR: điều kiện cần và đủ để ABC đều là có hệ thức:
cotA cotB cotC 3
-sinC
1 sinB
1 sinA
1
38 CMR: Điều kiện cần và đủ để ABC vuông là:
1 + cos2A + cos2B + cos2C = 0 (ĐH Cảnh sát nhân dân 1999).
39 ABC thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2(acosA + bcosB + ccosC)
CMR: ABC là tam giác đều (ĐH Dược Hà nội 1999).
40 CMR: nếu ABC có: a.tanA + b.tanB = a + b)tanA 2B thì ABC cân
(ĐH Hàng hải 1999).
41 Tìm giá trị nhỏ nhất của iểu thức: P = cot4a + cot4b + 2tan2a.tan2b + 2
(ĐH Giao thông vận tải 1999).