tài liệu ôn tập chương 1 đại số 11

Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích CHƯƠNG I KHẢO SÁT HÀM SỐ Phần Bổ sung số cơng thức tính đạo hàm ( x )′ = nx n ((u ) )′ = nu n− n u′ n− ( x )′ = x ( u )′ = 2u′u ′ 1    =− x x  ′ u′ 1    =− u u  ( sin x )′ = cos x ( sin u )′ = u ′cos u ( cos x )′ = −sin x ( cos u )′ = −u ′sin u ( tan x ) ′ = ( tan u ) ′ = cos x ( cot x ) ′ = − u′ cos u ( cot u ) ′ = − sin x u′ sin u Một số đạo hàm hữu tỉ • y= ax + b ⇒ cx + d • y= ax + bx + c ⇒ dx + e y′ = • y= ax + bx + c ⇒ px + qx + r y′ = y′ = ad − cb ( cx + d ) adx + 2aex + be − cd ( dx + e ) ( aq − bp ) x + 2( ar − cp ) x + br − cq ( px + qx + r ) Phần Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm Chủ đề Tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) Một vài kiến thức cần nhớ: Với x1 , x2 ∈ ( a; b ) • Nếu x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) y = f ( x ) hàm số đồng biến • Nếu x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) y = f ( x ) hàm số nghịch biến • Nếu f ′( x ) > , ∀x ∈( a; b ) hàm số đồng biến • Nếu f ′( x ) < , ∀x ∈( a; b ) hàm số đồng biến • Nếu f ′( x ) = hàm số không đổi dấu TXĐ Một số dạng toán bản: Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích  Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số  Bài tập áp dụng Khảo sát tính đơn điệu hàm số sau: a b y = x − 3x + y = −x + x + c y = x −2 x +2 d y = e y = x2 − 4x + f y = g y = x +3 h x2 +1 − x2 − 2x + x +1 − 3x + x − y = x −x  Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu tập xác định  Bài tập áp dụng Định m để hàm số y = x − 3mx + 3( 2m −1) x + đồng biến R Định m để hàm số y = x − 2mx + 3m đồng biến khoảng xác định x − 2m Định m để hàm số y = x − 3( 2m +1) x + 6m( m +1) x +1 đồng biến với x > Định m để hàm số y = mx + 2x + m đồng biến x < x >  Dạng 3: Hàm số đơn điệu khoảng (α; β )  Bài tập áp dụng Định m để hàm số y = x ( m − x ) đồng biến khoảng (1;2 ) Định m để hàm số y = x − 3( m −1) x + 3m( m − ) x +1 a Đồng biến x > b Đồng biến x < −1 c Nghịch biến (0;1) d Đồng biến (0;1) Chủ đề Cực trị hàm số y = f ( x ) Một vài kiến thức cần nhớ • x0 đgl điểm cực đại ⇔ ∃( a; b ) ⊃ x0 : ( a; b ) ⊂ D • x0 đgl điểm cực tiểu ⇔ ∃( a; b ) ⊃ x0 : ( a; b ) ⊂ D Trang f ( x) < f ( x0 ) , ∀ x ∈ ( a; b) \ { x0} f ( x ) > f ( x0 ) , ∀ x ∈ ( a ; b ) \ { x0 } Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích Một số dạng tốn  Dạng 1: Tìm cực trị hàm số y = f ( x )  Bài tập áp dụng Tìm cực trị hàm số sau: a c y = x + + e b y = x −2 x5 x3 − +2 d y = y = x + 3x + x −1 x2 f y = x − x2 y = x −4 x +3  Dạng 2: Bài tốn có tham số m  Bài tập áp dụng Định m để hàm số y = mx + x + x + đạt cực đại x = 2 Định m để hàm số y = x + mx + x+m Tìm hệ số a, b, c, d hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d cho hàm số f đạt cực tiểu điểm x = , f ( ) = đạt cực đại điểm x = 1, f (1) = Xác định hệ số a, b, c cho hàm số f ( x ) = x + ax + bx + c đạt cực trị điểm x = −2 đồ thị hàm số qua điểm A(1;0 ) x − m( m + 1) x + m + Chứng minh với giá trị m, hàm số y = x−m Chủ đề Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm y = f ( x ) Một vài kiến thức cần nhớ: Cho hàm số y = f ( x ) xác định D ⊂ R • Nếu tồn x0 ∈ D cho f ( x ) ≤ f ( x0 ) ∀x ∈ D số M = f ( x0 ) đgl giá trị lớn hàm số • f D , kí hiệu M = max f ( x ) x∈D Nếu tồn x0 ∈ D cho f ( x ) ≥ f ( x0 ) ∀x ∈ D số m = f ( x0 ) đgl giá trị lớn hàm số f D , kí hiệu m = f ( x ) x∈D Một số dạng toán bản:  Dạng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ y = f ( x ) đoạn [a; b]  Bài tập áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích a y = x − x − x + 35 b y = đoạn [ −4;4] x2 + 5x + đoạn [0;1] x−2 c y = x + x khoảng ( 0;+∞) d y = sin x + cos x e y = sin x − x f y = cos 2 x − sin x cos x + π π   đoạn − ;   2 Phần Khảo sát hàm số A – Hàm đa thức Hàm số bậc y = ax + bx + cx + d ( a ≠ )  Bài tập áp dụng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a b c y = − x − x − x − Hàm số trùng phương y = −x + x −1 d y = x + 3x − y = −x + x − x −1 y = ax + bx + c ( a ≠ )  Bài tập áp dụng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a y = x − 3x + c b d y = x − 3x + y = −x + x − y = 2x2 − x4 B – Hàm phân thức Hàm số y = ax + b cx + d ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)  Bài tập áp dụng Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a y = x −2 x +1 Hàm số y = b y = ax + bx + c r = px + q + a′x + b′ a′x + b′ x +1 − 3x ( a ≠ 0, a′ ≠ 0)  Bài tập áp dụng Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a y = x − 3x + x −1 b y = 2x − x +1 1− x c y = x + 3x − x +2 d y = −x + + x −1 Phần Một số toán liên quan đến khảo sát hàm số  Chủ đề 1: Sự tương giao hai đồ thị  Bài tập Cho hàm số y = mx + x + m ( m tham số ) (1) ( ĐH Khối A – 2003 ) x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = −1 b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ dương Cho hàm số y = x +1 x −1 ( C ) đường thẳng d : y = mx +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt c Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác đồ thị d Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị 3 Cho hàm số y = mx − x − x + 8m ( C ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) m = b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt c Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ -1 Cho hàm số y = x + mx − x −1 ( H m ) Tìm m cho: a Đường thẳng y = mx + cắt đường cong điểm phân biệt b Tiệm cận xiên hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích 2 Cho hàm số y = x − ( 3m + 4) x + m ( C ) Tìm m để: a Đồ thị hàm số có ba điểm chung với trục hoành b Đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích Cho hàm số y = x + 3x − x +1 ( C ) Định k để đường thẳng y =k cắt đồ thị hai điểm phân biệt E, F cho đoạn EF ngắn 3 Cho hàm số y = − x + 3x ( C ) d : y = mx − 3m a Tìm m để d tiếp xúc với (C) b Tìm m để d cắt (C) điểm A, B, C với A( 3;0 ) OB ⊥ OC Cho hàm số y = x − x −1 ( ĐHKT 2000 ) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hai điểm A, B cho OA ⊥ OB Cho hàm số y = x − x +1 x +1 a Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị cho chúng đối xứng qua đường thẳng y = x +3 b  xQ + yQ = k Tìm k cho đồ thị có hai điểm khác thỏa   xP + y P = k 10 Cho hàm số y = x2 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị cho chúng đối xứng x +1 qua đường thẳng y = x +1 11 Cho hàm số y = x − 3mx + 2m( m − ) x + 9m − m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng  Chủ đề Tiếp tuyến  Bài tập: Cho hàm số y = x −2 x +1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) trục tung Cho hàm số y = x + x −1 (C) a Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn b Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ Cho hàm số y = x −10 x + (C) x +5 a Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục Ox Trang Tài liệu luyện thi Đại học môn Giải tích b Chứng minh hai tiếp tuyến vng góc Cho hàm số y = x − 3x + (C) a Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) vng góc với đường thẳng y =− x b Tìm điểm đường thẳng y = cho từ kẻ tiếp tuyến đên đồ thị (C), có tiếp tuyến vng góc với Cho hàm số y = − x +1 x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −x Cho hàm số y = 3x − x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến qua điểm M (1;3) Cho hàm số y = x − mx + m Tìm tất giá trị m cho hai tiếp tuyến với đồ x −1 thị kẻ từ gốc tạo độ O vng góc với Cho hàm số y = x + 3mx − 2m +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số ứng với m = b Tìm đồ thị (C) ( với m = ) điểm mà hệ số góc tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ Cho hàm số y = x − x (C) Tìm đường thẳng x = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến đồ thị hàm số 10 Cho hàm số y = x − 3x + (C) Tìm đường thẳng x = điểm cho từ x kẻ tiếp tuyến vng góc 11 Cho hàm số y = x + + x −1 (C) Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ 12 Cho hàm số y = x2 − x + Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị xuất phát từ điểm x −2 A( 2;2 ) Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích 3 13 Cho hàm số y = x − x + 3x (1) có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến ∆ (C) điểm uốn chứng minh ∆ tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  Chủ đề Vấn đề cố định hàm số  Bài tập: Cho hàm số y = x − 3( m + 1) x + 2( m + 4m + 1) x − 4m( m + 1) Chứng minh m thay đổi họ đường cong qua điểm cố định với m Cho hàm số y = x − ( m + m + 1) x + m + m Tìm điểm cố định đồ thị hàm số Cho hàm số y = mx − mx − x a Chứng minh đồ thị hàm số qua hai điểm cố định b Tìm tất điểm mặt phẳng tọa độ cho khơng có đồ thị hàm số qua Cho hàm số y = x − 3( m + 3) x + 18mx − Tìm đường y = x điểm mà đồ thị hàm số không qua dù m lấy giá trị Cho hàm số y = x + ( m − ) x − 2mx + m a Chứng minh với m hàm số tiếp xúc với đường thẳng cố định, điểm cố định b Tìm đường y = x điểm mà đồ thị hàm số không qua dù m lấy giá trị Cho hàm số y = x + (1 − m ) x + + m ( m ≠ −1) Chứng minh đồ thị tiếp xúc −x+m với đường thẳng cố định điểm cố định Cho hàm số y = ( m + ) x + ( − 4m ) x − 2m x −m Chứng minh tiệm cận xiên đồ thị tiếp xúc với parabol cố định Cho hàm số y = x + ( − m ) x + 2a Tìm a để đồ thị hàm số ln qua điểm cố định mx + với m Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích Cho hàm số y = ( ) 2m x + − m ( mx + 1) Chứng minh với m ≠ , tiệm cận mx + xiên đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol cố định Tìm phương trình parabol  Chủ đề Biến đổi đồ thị  Bài tập Cho hàm số y = −x + + x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm đồ thị điểm có tọa độ nguyên c Dựa vào đồ thị vẽ vẽ đồ thị hàm số sau: y= − x2 + 4x x −1 ; y= − x2 +4x x −1 ; Cho hàm số y = x − 3x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị vẽ vẽ đồ thị hàm số sau: y = x −3 x +2 ; Cho hàm số y = y = x −3 x +2 x2 − x + x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị vẽ vẽ đồ thị hàm số y= x2 − x +2 x −1  Chủ đề Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f ( x, m ) =  Bài tập Cho hàm số y = x − 3x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình x − x − a = c Tìm tất giá trị a để phương trình có nghiệm phân biệt có đùng nghiệm nhỏ Cho hàm số y = 2x2 − 5x + x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Trang Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích b Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình x − ( + m) x + + m = Cho hàm số y = x − x +1 x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số t ∈[ 0; π ] nghiệm phương trình phương trình cos 2t − 2( m + 1) cos t + 2m + = Cho hàm số y = 2x2 − 2x + x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm đồ thị điểm có tọa độ nguyên c Biện luận theo m số nghiệm  π π t ∈ − ;   2 sin t − ( m + ) sin t + + m = Cho hàm số y = −x + x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình ( x −1) + 2m −1 = Cho hàm số y = x + x + x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Chứng minh phương trình x + 3x + 3x + sin α = ln có nghiệm x ∈[ − 2;0] Cho hàm số y = x − x −1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Với giá trị m phương trình x −2 x − =m −3m −5 Cho hàm số y = x − x +1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo k số nghiệm phương trình x −3 x +k =0 2 Cho hàm số y = − x + 3mx + (1 − m ) x + m − m (1) ( m tham số ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình − x + 3x + k − k = có nghiệm phân biệt 10 Cho hàm số y = 2x2 − 4x − 2( x −1) Trang 10 Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để phương trình x − x −3 + 2m x −1 = có hai nghiệm phân biệt  Chủ đề Cực trị  Bài tập Cho hàm số y = ax + bx + ab Tìm a, b để hàm số đạt cực trị x = x = bx + a Cho hàm số y = x − ax + bx + c Xác định a, b, c để đồ thị có tam đối xứng I (0;1) đồ thị hàm số đạt cực trị x = Cho hàm số y = ax + bx + c Tìm a, b, c để đồ thị hàm số đạt cực trị (1;1) tiệm x−2 cận xiên vng góc với đường thẳng y = 1−x Cho hàm số y = x − ( m + 2) x + (1 − m ) x + 3m + Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa x1 − x2 = 3 Cho hàm số y = x + ( m − 1) x + 3( m − ) x + Tìm m để hàm số có cực trị có hồnh độ thỏa x1 + x2 = Cho hàm số y = x − ( 2m + 1) x + ( m − 3m + 2) x + Tìm m để hàm số cho có cực đại cực tiểu nằm phía khác trục tung Cho hàm số y = x − x + 3mx + Xác định m để hàm số có điểm cực trị có hồnh 2 độ x1 , x2 thỏa x1 + x2 = Cho hàm số y = x − 3x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa x −m yCĐ − yCT > Cho hàm số y = x + ( m + 3) x + m + m Tìm m để hàm số có cực trị giá trị cực x+m trị trái dấu 10 Cho hàm số y = − x + 3mx + (1 − m ) x + m − m Viết phương trình đường thẳng di qua điểm cực trị đồ thị hàm số 11 Cho hàm số y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Chứng minh đường thẳng nối điểm cực đại cực tiểu qua điểm cố định Trang 11 Tài liệu luyện thi Đại học mơn Giải tích 12 Cho hàm số y = x + 8ax + 3(1 + 2a ) x − Tìm a để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 13 Cho hàm số y = x − mx + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 14 Cho hàm số y = mx + ( m − 9) x + 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị Trang 12 ... thị hàm số 11 Cho hàm số y = mx − 3mx + ( 2m + 1) x + − m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Chứng minh đường thẳng nối điểm cực đại cực tiểu qua điểm cố định Trang 11 Tài liệu luyện thi Đại học... Giải tích 12 Cho hàm số y = x + 8ax + 3 (1 + 2a ) x − Tìm a để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 13 Cho hàm số y = x − mx + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại 14 Cho hàm số y =... hàm số đạt cực trị (1; 1) tiệm x−2 cận xiên vng góc với đường thẳng y = 1? ??x Cho hàm số y = x − ( m + 2) x + (1 − m ) x + 3m + Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa x1 − x2 = 3 Cho hàm số y