tài liệu ôn tập chương 1 đại số 11

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m1.. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có hoành độ dương.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C.. T

CHƯƠNG I

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Phần 1 Bổ sung một số công thức tính đạo hàm

   1



n nx





 1

 

x

x

2

1





 

u

u u

2







2

1

1

x

x 















2

1

u

u u





















sinx cosx sinuu cosu

cosx  sinx cosu u sinu

x

cos

1

u

u

cos tan  

x

sin

1

u

u

sin cot  

Một số đạo hàm hữu tỉ

 2

d cx

cb ad y d

cx

b ax

y

















 2

2

e dx

cd be aex adx

y e

dx

c bx ax

y























2 2

r qx px

cq br x cp ar x

bp aq y r

qx px

c bx ax

y































Phần 2 Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm

Chủ đề 1 Tính đơn điệu của hàm số y  f x

Một vài kiến thức cần nhớ:

Với mọi x1,x2a;b

 Nếu x1x2 f x1  f x2 thì y  f x là hàm số đồng biến

 Nếu x1x2 f x1  f x2 thì y  f x là hàm số nghịch biến

 Nếu f x 0, xa;b hàm số đồng biến

 Nếu f x 0, xa;b hàm số đồng biến

 Nếu f x 0 hàm số không đổi dấu trên TXĐ

 Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

 Bài tập áp dụng

Khảo sát tính đơn điệu của các hàm số sau:





x x







 x x y

c

2

2







x

x

1

3 2

2











x

x x y





 x x







y

g

1

3

2 





x

x

 Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định

 Bài tập áp dụng









2 Định m để hàm số

m x

m mx x

y

2

3

2





















 2

2

đồng biến khi x1 và x1

 Bài tập áp dụng

1 Định m để hàm số yx2m x đồng biến trên khoảng 1 ; 2











a Đồng biến khi x2

b Đồng biến khi x1

c Nghịch biến trên 0 ; 1

d Đồng biến trên 0 ; 1

Chủ đề 2 Cực trị của hàm số y  f x

Một vài kiến thức cần nhớ

 x0 đgl điểm cực đại  a;bx0:a;bD và f x  f x0 ,xa;b  \ x0

 x0 đgl điểm cực tiểu  a;bx0:a;bD và f x  f x0 ,xa;b  \ x0

Một số dạng toán cơ bản

 Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y  f x

 Bài tập áp dụng

Tìm cực trị của các hàm số sau:





x x

3 5

3 5





y









x x

1

x

x





y

 Dạng 2: Bài toán có tham số m

 Bài tập áp dụng







mx x x

2 Định m để hàm số

m x

mx x y







3 Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f x ax3bx2cxd sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0, f 0  0 và đạt cực đại tại điểm x 1 , f 1  1

4 Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số f x x3ax2 bxc đạt cực trị bằng 0 tại điểm x2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A1 ; 0

m x

m x m m x y











Chủ đề 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm y  f x

Một vài kiến thức cần nhớ:

Cho hàm số y  f x xác định trên D  R

Nếu tồn tại x 0 D sao cho f x f x0 xD thì số M  f x0 đgl giá trị lớn nhất

D x

max Nếu tồn tại x 0 D sao cho f x f x0 xD thì số m  f x0 đgl giá trị lớn nhất

của hàm số f trên D , kí hiệu m f x

D x

min

Một số dạng toán cơ bản:

 Dạng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của y  f x trên đoạn a; b

 Bài tập áp dụng:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:







x x x

b

2

4 5

2 2









x

x x

c

x

x

y 1 trên khoảng 0 ; 

d y sin 4 x cos 4 x

e y sin 2x x trên đoạn  

2

; 2









y

Phần 3 Khảo sát hàm số

A – Hàm đa thức

1 Hàm số bậc 3 3 2  0









ax bx cx d a y

 Bài tập áp dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:





x x







 x x y

3

















 x x x y

2 Hàm số trùng phương 4 2  0







ax bx c a y

 Bài tập áp dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a

2

3 3

2











 x x y





x x

B – Hàm phân thức

1 Hàm số   0 ,   0





d cx

b ax y

 Bài tập áp dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a

1

2

2







x

x

x

x y

3 1

1 2







2





























b x a

r q px b

x a

c bx ax y

 Bài tập áp dụng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a

1

6 3

2









x

x

x

x

x x y







 1

1

2 2

c

2

3 3

2 2









x

x x











x x

y

Phần 4 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.

 Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị

 Bài tập

1 Cho hàm số

1

2









x

m x mx

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m1

b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có hoành độ dương

x

x y

1

1





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).

b Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.

c Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác

nhau của đồ thị

d Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt cùng thuộc một nhánh

của đồ thị









a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi

3

1



b Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

c Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1

x

mx x y

1

1

2







a Đường thẳng ymx 2 cắt đường cong tại 2 điểm phân biệt

b Tiệm cận xiên của hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 8

5 Cho hàm số yx4  3m 4x2 m2  C Tìm m để:

a Đồ thị hàm số có ba điểm chung với trục hoành

b Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

6 Cho hàm số  C

x

x x y

1

1 3

2







phân biệt E, F sao cho đoạn EF ngắn nhất

3

1 3





a Tìm m để d tiếp xúc với (C).

b Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm A, B, C với A3 ; 0 và OB  OC







x x

Tìm m để đường thẳng y  cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho m OA  OB

9 Cho hàm số

1

1 2

2









x

x x y

a Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng

3



x

y

b Tìm k sao cho trên đồ thị có hai điểm khác nhau thỏa 











k y x

k y x

P P Q Q

10 Cho hàm số

1

2





x

x

qua đường thẳng yx 1

11 Cho hàm số yx3  3mx2  2mm 4x 9m2  m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ tạo thành 1 cấp số cộng

 Chủ đề 2 Tiếp tuyến

 Bài tập:

1 Cho hàm số

1

2







x

x

(C) và trục tung





x x

a Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

b Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

3 Cho hàm số

5

5 10

2









x

x x

a Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Ox

b Chứng minh hai tiếp tuyến này vuông góc nhau





x x

a Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng

x y

9

1



đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.

5 Cho hàm số

1

1 2









x

x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y  x

6 Cho hàm số y 3x 4x3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm M1 ; 3

7 Cho hàm số

1

2









x

m mx x

đồ thị kẻ từ gốc tạo độ O là vuông góc với nhau







y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m1

b Tìm trên đồ thị (C) ( với m1 ) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất



được 3 tiếp tuyến của đồ thị hàm số

10 Cho hàm số

x

x x

2





đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

11 Cho hàm số

1

1 1









x x

hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

12 Cho hàm số

2

2

2









x

x x

2 ; 2

13 Cho hàm số y1x3  2x2  3x  1 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng 

là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

 Chủ đề 3 Vấn đề cố định của hàm số

 Bài tập:















thay đổi họ đường cong luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

2 Cho hàm số yx3 m2m 1xm2m Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số

3 Cho hàm số ymx3 mx2 x

a Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định

b Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị hàm số nào đi qua

4 Cho hàm số y 2x3  3m 3x2  18mx 8 Tìm trên đường y  x2 những điểm mà

đồ thị hàm số không đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào

5 Cho hàm số yx3 m 2x2  2mxm

a Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định, tại một điểm cố định

bất kì giá trị nào

2

















m x

m x

m x

với 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định

m x

m x m x

m y











Chứng minh rằng tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabol cố định

2

2 6

2 2











mx

a x m x

định với mọi m

1

1 2











mx

mx m x

m

xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với 1 parabol cố định Tìm phương trình của parabol đó

 Chủ đề 4 Biến đổi đồ thị

 Bài tập

1 Cho hàm số

1

3 3











x x

y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên

c Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:

2









x

x x

x x x





x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị đã vẽ hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:











y

3 Cho hàm số

1

2

2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2









x

x x y

 Chủ đề 5 Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình fx,m 0

 Bài tập





x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số





c Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong đó

có đùng 2 nghiệm nhỏ hơn 1

2 Cho hàm số

1

4 5

2 2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dựa vào đồ thị hãy biện luận số nghiệm của phương trình

5  4 0

2 2









x

3 Cho hàm số

1

1

2









x

x x y

b Biện luận theo m số nghiệm t0 ;  của phương trình

 1cos 2 3 0 2

2

4 Cho hàm số

1

2 2

2 2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm trên đồ thị những điểm có tọa độ nguyên

2

; 2





 2sin 2 0 sin









t







 x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số







x







x x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số







 2 ; 0



x





x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số









x





x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số





 x k x

9 Cho hàm số y x3  3mx2 1  m2xm3  m2  1 ( m là tham số )

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1









10 Cho hàm số

 1

2

3 4

2 2









x

x x y

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số









 Chủ đề 6 Cực trị

 Bài tập

1 Cho hàm số

a bx

ab bx ax y









2

Tìm a, b để hàm số đạt cực trị tại x0 và x4

2 Cho hàm số yx3 ax2 bxc Xác định a, b, c để đồ thị có tam đối xứng là I0 ; 1

và đồ thị hàm số đạt cực trị tại x1

3 Cho hàm số

2

2









x

c bx ax

cận xiên vuông góc với đường thẳng

2

1 x

y 













2

1, x

3

1 2 3 1 3











hoành độ thỏa x1 2x2  1













đại và cực tiểu nằm về 2 phía khác nhau của trục tung







x x mx

độ x1, x2 thỏa x12 x22 6

8 Cho hàm số

m x

m x x y







 2 2 3

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa

8



 CT

CĐ y

m x

m m x m x y











Tìm m để hàm số có 2 cực trị và 2 giá trị cực trị trái dấu nhau

10 Cho hàm số y x3  3mx2 1  m2xm3  m2 Viết phương trình đường thẳng di qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

11 Cho hàm số ymx3  3mx2 2m 1x 3  m Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm cực đại và cực tiểu luôn đi qua một điểm cố định









cực đại

13 Cho hàm số

2

3 4





14 Cho hàm số 4  2 9 2 10





