TỔNG QUAN Ngày nay khi ta dùng thuật ngữ “mạng lưới”, ta chắc chắn là ngh ĩ v ề mạng internet , nhưng ta dùng mạng lưới mỗi khi ta gọi điện thoại, gởi một thư điện tử hoặc thư “rùa b ò”, lái trên qu ốc lộ hay ngồi trên một máy bay. Trong chương này ta làm quen với những ý t ư ởng toán học gọi là mạch, chu trình, và cây, là một phần của môn hình học gọi là lý thuyết đồ thị. Khi được sử dụng trong ngữ cảnh của lý thuyêt đồ thị thì từ đồ thị có ngh ĩa khác so v ới cách ta hiểu đồ thị của hàm số vẽ trong mặt phẳng toạ độ hay đồ thị trong những dữ liệu thống kê. Cho dù những kiến thức này có vẽ trừu tượng, chúng có nhiều ứng dụng thú vị và thiết thực như t ìm chi phí đi du l ịch thấp nhất đến một số địa điểm (gọi là bài toán lộ trình của người đi chào hàng), thiết kế hệ thống tười tiêu, sử dụng cơ chế tìm kiếm trên mạng internet, hoặc tô màu những bản đồ hoặc làm cho những phong cảnh trông rất thật trong phim ảnh. Nhiều ứng dụng của chương này là một phần của một ngành toán học mới (mới theo ngh ĩa là nó b ắt đầu từ cuối thập niên 1930) và phát triển từ những bài toán trong chiến tranh thế giới II. Ngành toán học này, gọi là nghiên cứu chiến dịch, ứng dụng những phương pháp toán học vào việc ra quyết định điều hành, nhất là sự phân phối tài nguyên. Một số ví dụ trong đó phải kể đến dự báo ô nhiểm nguồn nước hay tầm lan truyền của dịch AIDS
Trang 1Người dịch Trần Quang Nghĩa (www.saosangsong.com.vn)
Bản Chất của
Trang 28 Bản chất của mạng lưới Và lý thuyết đồ thị 8.1 Mạch Euler và Chu trình
Hamilton Mạch Euler và ứng dụng của mạch Euler, chu trình Hamilton.
8.4 Tóm tắt Những thuật ngữ quan trọng, các dạng bài tập, bài tập ôn, báo cáo sách, dựa án nhóm và cá nhân.
8.2 Cây và Các Cây Tỏa Tối ThiểuCây, các cây tỏa tối thiểu.
8.3 Tô-pô và Fractal
Tô-pô, bài toán bốn-màu, hình học fractal, tessellations.
“ Cậu sống ở đâu, Fritz?” Lisel hỏi.
“ Mình sống ở 45 Heimelstrabe.
Mình đang mong gặp cậu vào chủ
nhật!” Fritz hồ hỡi “Mình sẽ giới
thiệu cậu với gia đình mình và một
số bạn của mình trên đảo Mình có
thể dẩn bạn đi dạo và mua cho bạn
một nón rơm tại cửa hàng ưa thích
của mình.”
“Đi dạo?!!” Lisel hét lên “Bạn BIẾT là mình không làm thế được
mà! Người nào cũng nghĩ là mình có
thể băng qua các cây cầu đó mà chỉ
một lần, nhưng mình thì không bao
giờ làm được.”
“Mình có bí quyết! Mình sẽ chỉ cho cậu nếu cậu đến mình chủ nhật
tới,” Fritz vừa nói vừa cười.
TỔNG QUAN
Ngày nay khi ta dùng thuật ngữ “mạng lưới”, ta chắc chắn là nghĩ về mạng internet , nhưng ta dùng mạng lưới mỗi khi ta gọi điện thoại, gởi một thư điện tử hoặc thư “rùa bò”, lái trên quốc lộ hay ngồi trên một máy bay
Trong chương này ta làm quen với những
ý tưởng toán học gọi là mạch, chu trình, và cây, là một phần của môn hình học gọi là lý thuyết đồ thị.
Khi được sử dụng trong ngữ cảnh của lý thuyêt
đồ thị thì từ đồ thị có nghĩa khác so với cách ta
hiểu đồ thị của hàm số vẽ trong mặt phẳng toạ độ hay đồ thị trong những dữ liệu thống kê
Cho dù những kiến thức này có vẽ trừu tượng, chúng có nhiều ứng dụng thú vị và thiết thực như tìm chi phí đi du lịch thấp nhất đến một
số địa điểm (gọi là bài toán lộ trình của người đi
chào hàng), thiết kế hệ thống tười tiêu, sử dụng
cơ chế tìm kiếm trên mạng internet, hoặc tô màu những bản đồ hoặc làm cho những phong cảnh trông rất thật trong phim ảnh
Nhiều ứng dụng của chương này là một phần của một ngành toán học mới (mới theo nghĩa là nó bắt đầu từ cuối thập niên 1930) và phát triển từ những bài toán trong chiến tranh thế giới II Ngành toán học này, gọi lànghiên cứu chiến dịch, ứng dụng những phương pháp toán
học vào việc ra quyết định điều hành, nhất là sự phân phối tài nguyên Một số ví dụ trong đó phải
kể đến dự báo ô nhiểm nguồn nước hay tầm lan truyền của dịch AIDS
HỌA CÓ TRỜI MỚI BIẾT
T
Ó
M
T
Ắ
T
Trang 3Giờ chúng ta quay về đến một trong những ngành hình học mới hơn có tên là lý thuyết đồ thị, trong đó có mạch, chu trình, và cây.
Mạch Euler
Vào thế kỷ 18, trong một thị trấn của Đức có tên Konicgsberg (giờ là thành phố Kalingraf của Nga), một thói quen của cư dân là đi tản bộ dọc theo bờ song Pregel và bước đi qua vài cây cầu trong số bảy chiếc nối hai cù lao giữa song, như trong hình 8.1
Hình 8.1 Những cây cầu ở Konigsberg
Một hôm một người dân hỏi một bạn láng giềng câu hỏi sau,” Làm sao bạn có thể đi một vòng qua tất cả bảy cây cầu mỗi cây cầu qua một lần và chỉ một lần và sau đó trở về đúng nơi
đã xuất phát?” Câu đố làm người bạn bối rối và ngay sau đó lan truyền đến mỗi cư dân ở Konigsberg Rất nhiều người đi thử và họ đều hoặc là không đi hết tất cả cây cầu hoặc là phải
đi qua một chiếc cầu nào đó đến hai lần Bài toán này đến tai nhà toàn học Thụy sĩ Leonard Euler, lúc ấy đang phục vụ dưới trướng của nữ hoàng Nga Catherine Vĩ Đại ở St Peterburg Phương pháp giải ta trình bày ở đây lần đầu tiên do Euler phát triển, và từ đó đưa đến sự phát
triển của hai chủ đề chủ yếu trong hình học Chủ đề đầu tiên là mạng lưới, mà ta sẽ trình bày trong bài này, và chủ đề thứ hai là tô-pô, sẽ được khai triển trong bài 8.3.
Ta dùng phương pháp giải toán của Polya để giải bài toán 7 cây cầu ở Konigsberg
Trong thế giới không có gì ngoài vũ trụ trống rỗng Hình học uốn cong
cách này ở đây sẽ mô tả trọng lực Gợn sóng theo cách khác nơi khác
biểu thị tất cả chất lượng của một trường sóng điện tử Lại phấn khích
với một mặt khác, chất liệu kỳ diệu mà không gian trình diễn dưới
dạng các hạt, Không có gì xa lạ hoặc “có tính vật chất” ẩn mình rong
không gian Mọi vật đều là cái tạo ra từ hình học. John A Wheeler
Xem bạn có thể điển gì vào
dấu hỏi
THỬ THÁCH CHƯƠNG
Trang 4Tìm hiểu bài toán. Để hiểu rõ bài toán, Euledr bắt đầu vẽ hình
a Lộ trình qua cầu b Đặt tên mạng lưới
Hình 8.2 Bài toán cầu Konigsberg
Sau Sau đó, Euler dùng một trong các phương pháp giải toán quan trọng-cụ thể, thay đổi đổi khái niệm Đó là, biểu thị các khu đất bằng những điểm (đôi khi gọi là đỉnh hay nút) nút), và biểu thị các cây cầu bằng các cung hoặc đoạn (đôi khi gọi là cạnh) nối các
điểm cho trước Với khái niệm này, ta vẽ được giãn đồ trong hình 8.2b
Thiết kế cách giải Để giải bài toán này, ta cần vẽ hỉnh mà không cần được
nhấc viết chì lên khỏi mặt tờ giấy.Những hình tương tự như trong Hình 8,2b được gọi là
l mạng lưới hay đồ thị Trong một mạng lưới, những điểm mà các đoạn nối lại được
gọi là đỉnh, và những đường biểu thị các cây cầu được gọi là cạnh hay cung Mỗi
phần của mặt phẳng giới hạn bởi mạng lưới được gọi làmiền Ta nói một đồ thị là liên thông nếu tồn tại ít nhất một lộ trình giữa mỗi cặp đỉnh.
Đếm số cạnh, đỉnh, và miền của mạng lưới
Một mạng gọi làđi qua được nếu ta có thể vẽ nó bằng một nét bút mà không phải nhấc
đầu bút lên khỏi mặt giấy và không được vẽ một cạnh nhiều hơn một lần Các đỉnh có thể đi qua nhiều lần.Bậc của một đỉnh là số cạnh xuất phát từ đỉnh ấy.
Hoàn tất bảng dưới cho mỗi mạng lưới đã cho
Giải
Đồ thị Cạnh (E) Đỉnh (V) Miền (R) V + R – 2
a. 3 3 2 3
b. 4 3 3 4
c. 5 3 4 5
d. 4 4 2 4
e. 5 4 3 5
f. 6 4 4 6 Nhận xét rằng ta luôn có V + R – 2 = E Bạn có nghĩ là điều này luôn đúng với mọi mạng hay không?
Nữ hoàng Catherine II của
Nga mời Leonhard Euier làm
thành viên của Học Viện
Khoa Học ở St.Peterburg Vì
Euler là nhà khoa học được
ngưỡng mộ và trọng vọng
nhất ở Nga, nên trong ngày
khai mạc, ông được mời ngồi
vào chiếc ghế vinh dự đặc
biệt Tuy nhiên,
Trang 5Kiểm tra tính đi qua được
Trước tiên, nhận xét rằng tổng các bậc của các đỉnh trong Ví dụ 2 gấp hai lần số cạnh.
Bạ n có thấy tại sao điều này luôn đúng? Hãy xét bất kỳ đồ thị nào Mỗi cạnh phải được nối ở hai đầu, vì thế tổng của tất cả đầu này phải bằng hai lần số đỉnh
Giờ , quan sát lần thứ hai đến tính đi qua được Giả sử bạn giải Ví dụ 2 bằng ca1h thức
sự vẽ ra các mạng lưới Tuy nhiên, một mạng lưới phức tạp hơn như bài toán cầu Konigsberg, phải cần một số phân tích Mục tiêu là hãy bắt đầu từ một đỉnh nào đó, đi qua mỗi cạnh đúngmot lần, rồi quay về điểm xuất phát Một lộ trình như thế gọi làmạch Euler Giờ ta có thể
phát biểu bài toán cầu Konigsgerg thành: “Mạng lưới trong hình 8.2 có một mạch Euler nào không?”
Để trả lời câu hỏi này, ta sẽ đi theo chỉ dẫn của Euler và phân loại đỉnh Đỉnh A trong Hình 8.2 có bậc 3, cho nên đỉnh A được gọi làđỉnh lẻ Tương tự, đỉnh D là một đỉnh lẻ khác, có
bậc bằng 5 Một đỉnh có bậc chẵn được gọi là đỉnh chẵn Euler khám phá ra rằng chỉ một số
nào đó các đỉnh lẻ có thể hiện diện trong mạng lưới, nếu bạn muốn đi khắp mạng bằng một nét
vẽ duy nhất và không đi lại trên bất kỳ cạnh nào Bạn có thể bắt đầu từ bất kỳ đỉnh nào và kết thúc tại một đỉnh khác sau khji đã đi khắp mạng lưới
Hãy khảo sát mạng lưới cẩn thận hơn và tìm ra một mô thức, như trong Bảng 8.1
Số
cung Mô tả Khả năng
1 1 đi (điểm xuất phát)
1 đến (điểm kết thúc)
2 1 đến (đến rồi đi) và
1 đi (đi rồi đến)
2 đến, 1 đi
5 2 đến, 3 đi (điểm xuất phát)
3 đến, 2 đi (điểm kết thúc)
Liệt kê số cạnh và bậc của mỗi đỉnh trong mỗi đồ thị của Ví dụ 1 Tìm tổng các bậc của đỉnh , và cho biết đồ thị nào đi qua được
Giải
Đồ thị Số cạnh Bậc của mổi đỉnh Tổng Đi qua được
a. 3 2; 2; 2 6 có
b. 4 3; 2; 3 8 có
c. 5 4; 3; 3 10 có
d. 4 2; 2; 2; 2 8 có
e. 5 2; 3; 2; 3 10 có
f. 6 3; 3; 3; 3 12 không
Bảng 8.1 Đến và Đi của một Đỉnh trong Mạng lưới
Trang 6Ta thấy rằng, nếu đỉnh lẻ, thì nó phải là điểm xuất phát hay một điểm kết thúc Có bao
nhiêu số điểm xuất phát và điểm kết thúc trong bất kỳ mạng nào? [Trả lời Hai-một điểm xuất
phát và một điểm kết thúc.] Lý luận này cho phép ta đến đây có thể công thức hóa bước giải mà
ta gọi làthiết kế cách giải, được phát biểu mà không chứng minh như dưới đây
Thực hiện bài giải. Phân loại các đỉnh, có bốn đỉnh lẻ, vì thế mạng lưới không đi qua được
Xem lại Ta đã giải bài toán cầu Konigsberg, nhưng bạn lưu ý là nói bài toán không giải được
không có nghĩa là nói “tôi không gi ải được bài toán.” Ta có thể giải được bài toán, và lời giải là xác đáng
Ta tóm tắt phần khảo sát này
Tìm một mạch Euler
Mạng lưới nào dưới đây có mạch Euler? Trả lời bằng cách phân tích số đỉnh lẻ
Giải
a Có bốn đỉnh chẵn (B, C, D và E) và hai đỉnh lẻ (A và F), và mạng lưới này đi qua được Để qua nó, ta phải xuất phát từ A hay F(là điểm lẻ) Lộ trình cho bởi hình sau
Đếm số đỉnh lẻ
Nếu không có đỉnh lẻ, mạng lưới có thể đi qua được và bất kỳ điểm nào cũng có thể
là điểm xuất phát Điểm đó cũng là điểm kết thúc
Nếu có một đỉnh lẻ, mạng lưới không đi qua được Một mạng lưới không thể chỉ có một điểm xuất phát hay một điểm kết thúc mà không có điểm kia
Nếu có hai đỉnh lẻ, mạng lưới đi qua được; một đỉnh lẻ phải là điểm xuất phát và đỉnh
lẻ kia là điểm kết thúc
Nếu có nhiều hơn hai điểm lẻ, mạng lưới không đi qua được Một mạng lưới không thể có nhiều hơn một điểm xuất phát và một điểm kết thúc
Định Lý Mạch Euler
Mỗi đỉnh trên đồ thị có mạch Euler cò một bậc chẵn, và đảo lại, nếu trong một đồ thị liên thông mỗi đỉnh có một bậc chẵn, thì đồ thị có một mạch Euler
Đây là ý tưởng
chủ đạo của
bài này
Trang 7Ứng dụng của Mạch Euler
Mạch Euler có ứng dụng rộng rãi Ta sẽ đề cập qua một ít
Bài toán siêu thị Sắp đặt các kệ đựng hàng trong một siêu thị sao cho có thể đi vào siêu
thị qua một cửa và dạo khắp các kệ hàng đúng một lần (một lần và chỉ một lần) và rời siêu thị cũng bằng lối cửa ấy
Bài toán cảnh sát tuần tra Giả sử một xe cảnh sát cần đi tuần tra một khu vực có cửa,
và muốn đi vào qua cửa và tuần tra mọi đường phố đúng một lần, và sau đó ra khỏi cũng bằng lối cửa đó
Bài toán thiết kế sàn Gỉả sử bạn có một bản thiết kế sàn của một tòa nhà với đội bảo vệ
cần phải đi tuần khắp tòa nhà và khóa cửa các gian phòng sau một ngày làm việc
Bài toán đường ống Giả sử bạn có bản thiết kế đường ống, và bạn muốn thanh tra
đường ống Bạn có thể nào lướt bàn tay qua mỗi đường ống đúng một lần mà không cần nhấc bàn tay lên hay không?
Ta sẽ nghiên cứu một trong những ứng dụng này và để những ứng dụng khác vào phần
bài tập Hãy nhìn vào bài toán thiết kế sàn Bài toán này, có liên hệ với bài toán cầu
Konigsberg, yêu cầu ta đi một vòng qua tất cả các phòng và qua mỗi cửa đúng một lần Tuy nhiên, có sự khác biệt quan trọng giữa hai bài toán này Bài toán cầu Konigsberg yêu cầu một mạch Euler, nhưng bài toán thiết kế sàn không yêu cầu như thế Nói cách khác, đối với các cây cầu ta phải kết thúc tại nơi xuất phát, nhưng bài toán thiết kế sàn chỉ cần đi qua được hãy vẽ bài toán thiết kế sàn như trong Hình 8.3a
a Sáu phòng, 7 cửa b Sáu phòng, 16 cửa
Hình 8.3 Bài toán thiết kế phòng
Hãy đặt tên các phòng là A, B, C, D, E và F Trong Hình 8.3a, các phòng A, C, E và F có hai cửa, và phòng B và D có ba cửa; trong Hình 8.3b, hình như là có năm phòng, nhưng vì có những cửa dẫn ra “bên ngoài”, ta phải kể phần bên ngoài là một phòng Vì thế hình này cũng có sáu phòng, đặt tên là A, B, C, D, E và F các phòng A, B, và C mỗi phòng có 5 cửa, các phòng
D và E mỗi phòng có 4 cửa, còn phòng F có 9 cửa
Hãy ức đoán cách giải cho bài toán thiết kế sàn.Nếu không có phòng nào có số cửa lẻ, thì tòa nhà có thể đi qua được Nếu có hai phòng có số cửa lẻ, thì tòa nhà có thể đi qua được Xuất phát từ trong một phòng, và kết thúc trong một phòng khác
Chú ý là ta không kết thúc tại điểm xuất phát, vì thế mạng lưới này không có mạch Euler (mặc dù có thể đi qua được)
b Mạng lưới này có một đỉnh chẵn và bốn đỉnh lẻ, vì thế nó không thể đi qua được và
không có mạch Euler
Trang 8Câu đố thiết kế sàn
Chu Trình Hamilton
Một ứng dụng không thể giải được bằng cách dùng những mạch Euler làbài toán của người chào hàng: Một người chào hàng xuất phát từ nhà và muốn đi đến vài thành phố để chào hàng
mà không muốn đi qua thành phố nào quá một lần, và sau đó trở lại thành phố xuất phát Bài toán quá nổi tiếng đến nổi có nhiều người tìm ra cách giải Người chào hàng muốn làm việc này theo cách tiết kiệm nhất (nghĩa là, quảng đường đi nhắn nhất, mất ít thời gian nhất, chi phí thấp nhất ) Để trả lời câu hỏi này, ta đảo ngược vai trò của đỉnh và cạnh của mạch Euler Giờ, ta
tự hỏi liệu ta có thể đến mỗi đỉnh chỉ đúng một lần và kết thúc tại đỉnh đã xuất phát Những lộ trình như thế được gọi là chu trình Hamilton
Giải bài toán thiết kế sàn
Giải Ta dùng phương pháp giải toán Polya để giải bài toán này
Tìm hiểu bài toán. Bài toán thiết kế yêu cầu, “Ta có thể đi vào mỗi phòng và qua mỗi khung cửa đúng một lần?
Thiết kế cách giải. Phân loại mỗi phỏng là chẵn hay lẻ, tùy theo số cửa có trong phòng đó Bài toán sẽ giải được nếu không có phòng nào có số cửa lẻ, hay có đúng hai phòng có số cửa lẻ
Thực hiện bài giải.
a Có sáu phòng, và các phòng B và D là lẻ, vì thế sàn này có thể đi qua được Lời giải
yêu cầu ta bắt đầu từ trong phòng B hay phòng D, và kết thúc ở phòng còn lại
b Có sáu phòng.và các phòng A, B, C, và F là lẻ (với D và E chẵn).Vì có nhiều hơn hai
phòng lẻ, nên sàn này không thể đi qua được Nếu một trong những cánh cửa nối hai trong số phòng lẻ
Xem lại Ta có thể kiểm tra công việc của mình bằng cách thực sự vẽ ra những lộ trình hợp
lý, như trong phần b ở trên
Rào chắn
Trang 9Tìm chu trình Hamilton
Nhận diện những chu trình
≜
Hình như bài toán xác định xem một mạng lưới có chu trình Hamilton hay không cũng có chưa có lời giải nào được biết đến, và đây là một trong những bài toán lớn chưa giải được Nếu bạn quan tâm đến những nỗ lực khác nhau nhằm đột phá để tìm ra lời giải cho bài toán, bạn có thể vào trang web được cho ở lề giấy
Tìm đường đi ngắn nhất
Dùng Hình 8.5 để xác định nếu chu trình đã cho có phải là chu trình Hamilton hay không Nếu không, giải thích tại sao
Hình 8.5 Mạng lưới có 6 đỉnh
a A -> B -> C -> D -> A b C -> D -> A -> B -> F -> E -> A
b D -> C -> B -> A -> E -> F d B -> C -> D -> A -> E -> F -> B
GIẢI
a Đây không phải là chu trình Hamilton vì nó không đến mỗi đỉnh, mà lại lặp lại cùng đỉnh,
lộ trình này thường được gọi là vòng lặp
b Đây không phải là chu trình Hamilton vì nó không trở lại điểm xuất phát.
c Đây không phải là chu trình Hamilton vì nó không trở lại điểm xuất phát.
d Đây mới là chu trình Hamilton.
Giải Ta có thói quen biểu thị tập hợp phổ quát bằng một hình chữ nhật (tên U) và tập hợp những lá cơ (tên H) bằng một đường tròn, như hình dưới Chú ý là
H =
Hình 2.1
Trong giãn đồ Venn, tập hợp đang xét quá lớn thành ra không thể liệt kê tất cả phần tử trong
H hay U, nhưng ta có thể nói rằng 2 cơ thuộc H trong khi 2 rô không thuộc H Ta viết
Tìm chu trình Hamilton cho mạng lưới trong Hình 8.4
Hình 8.4
GIẢI Chú ý mạng lưới này là mạng lưới đã cho trong Ví dụ 1f Ta đã tìm trong Ví dụ 2f là mạng lưới này không có mạch Euler Trái lại, ta dễ dàng tìm một chu trình Hamilton:
A -> C -> B -> D -> A
5
Một người chào hàng muốn thăm bốn thành phố ở California là San Francisco, Sacramento, San Jose, và Fresno Những khoảng cách giữa các thành phố được cho trong Hình 8.6
Tìm đường đi ngắn nhất xuất phát và kết thúc ở San Francisco và đi đến tất cả thành phố này
5
Trang 10Ta tóm tắtphương pháp sắp xếp cạnh để tỉm ra lời giải xấp xỉ cho một bài toàn người
chào hàng như sau
GIẢI Vì điều tốt nhất ta có thể làm là đưa ra một vài phương pháp bắt tay vào việc giải, ta
sẽ dùng ví dụ này để giúp bạn củng cố kỹ năng giải toán Ta dùng chỉ dẫn giải toán của Polya cho ví dụ này
Tìm hiểu bài toán Một phần trong việc tìm hiểu bài toán là xem khi nói cách giải “tốt nhất”.,
ý ta muốn nói gì Đối với bài toán này, ta hãy cho rằng đó là đường đi ngắn nhất Ta cũng nhận xét rằng, tính theo dặm, mỗi tuyền đường và chiều ngược lại là tương đương Đó là
SF -> San Jose -> Fresno -> Sacramento -> SF
cũng là giống nhứ
SF -> Sacramento -> Fresno -> San Jose -> SF
Thiết kế cách giải Có vài phương pháp tấn công vào bài toán này: ví dụ dùng cách cưỡng chế (liệt kê tất cả tuyến đường khả dĩ) và láng giềng gần nhất (tại mỗi thị trấn, đi đến người
láng giềng gần nhất mà trước đây chưa đi đến) Đôi khi, kế hoạch người láng giềng gần nhất sẽ tạo ra một vòng lặp mà không đi tới một thành phố nào đó, do đó ta sửa chữa bài
toán này dùng phương pháp gọi là phương pháp sắp xếp cạnh Trong phương pháp này, ta
chọn ra người láng giềng gần nhất không tạo ra một vòng lặp.
Thực hiện bài giải.
CƯỠNG BÁCH:
96 173 151 51
SF -> S -> F -> SJ -> SF Tổng cộng: 471 dặm
96 129 151 189
SF -> S -> SJ -> F -> SF Tổng cộng: 565
SF -> SJ -> S -> F -> SF Tổng cộng: 542 dặm
Đây là những lộ trình ngược lạ với những lộ trình trên (vì thế ta không cần tính chiều dài)
SF -> SJ -> F -> S -> SF
SF -> F -> SJ -> S -> SF
SF -> F -> S -> SJ -> SF
Ta thấy rằng 471 số dặm tối thiểu
NGƯỜI LÁNG GIỀNG GẦN NHẤT:
51 129 96
SF -> SJ -> S -> SF Vòng lặp xuất hiện; Fresno không có mặt trong lộ trình
vì nó không bao giờ là người láng giềng gần nhất nếu
ta xuất phát từ San Francisco
SẮP XẾP CẠNH:
Trong phương pháp này, ta sắp xếp những khoảng cách (cạnh của đồ thị) từ nhỏ nhất đến lớn nhất: 5, 96, 129, 151, 173, và 189 Việc này cho ta lộ trình sau đây (bỏ qua 96 và 151 vì những chọn lựa này sẽ tạo ra vòng lặp):
51 129 173 189
SF -> SJ -> S -> F -> SF Tổng cộng: 542 dặm
Xem lại. Với bài toán đơn giản này, ta dễ thấy là lời giải toán bộ tốt nhất là một lộ trình dài
471 dặm, nhưng bạn có thể nhận ran gay, la2dvoi trường hợp có một số lớn thành phố phải
đi qua thì lời giải có thể không dễ nhận ra chút nào
Phương pháp Sắp Xếp Cạnh
Vẽ một đồ thị cho thấy các thành phố và khoảng cách; nhận diện đỉnh xuất phát.
Bước 1 Chọn cạnh nối với điểm xuất phát có khoảng cách nhỏ nhất hoặc chi phí ít
nhất Đi theo cạnh này đến đỉnh tiếp theo
Bước 2 Tại đỉnh thứ hai, đi theo cạnh có khoảng cách nhỏi nhất hay chi phí ít nhất Không
