Bài tập giải sẵn giải tích i (in lần thứ tư) phần 1

TRẨN BÌNH BÀI TẬP GIẢI SẴN GIẢI TÍCH I T Ó M TẮ T LÝ T H U Y Ế T V À C H Ọ N LỌC P H Ụ C H Ư Ơ N G : C Á C Đ Ề THI H Ọ C K Ỳ I C Á C N Ă M 0 - 0 In lần thứ tư có sửa chữa b ổ sung N H À X U Ấ T BẢN K H O A H Ọ C VÀ KỸ T H U Ậ T HÀ NỘI LỜI NĨI ĐẦU Sau giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) rác giả N hà xuất Khoa học K ỹ thuật ấn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đ ã đề nghị viết tiếp Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết m ộ t s ổ tay tốn học giải tích cho sinh viên kỹ tlìiiật kỹ sư, dựa giáo trình GIẢI TÍCH Đ ể đáp ứng yêu cầu nhằm nâng cao chất lượng đào tạo tương lai, tác giả dã soạn tập n \ (Tập (II): Gidi I (II, III), ứng với nội dung học học kỳ I (II, III) Plìần tập, tác giá chọn lọc từ dề, trung bình đến khó, đại diện clìo loại rương ứng với phần lý thuyết theo chương trình tốn giải tích Những khó có đánh dấu * nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất sinh viên khá, giỏi) Cuối sách có phần phụ chương: Các đề thi Giải tícli học ký I năm 2003 - 2007 cùa Đại học Bách khoa đ ể sinh viên tham khảo T ác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp, PGS TS Dương Quốc Việt đ ã đọc kỹ tháo cho nhiều ý kiến quý báu Vì sách xuất bán, khơng tránli kliịi thiếu sót, mong bạn đọc cho lìliững V kiến giáo Xin chân thành cảm ƠI1 Hà Nội tháng năm 2005 TÁC GIẢ MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU C h n g I SỐ THỰC - G IỚ I HẠN C Ủ A DÀY SỐ THỰC § l ằ Khái niệm 11 11 1 K ý h i ệ u l o g i q u e 11 T ậ p h ợ p 12 Á n h xạ 12 P h n g p h p q u y n p T o n h ọ c 12 N h ị t h ứ c Nevvton 13 Đ ả n g t h ứ c b ấ t đ ả n g t h ứ c c ầ n d ù n g 13 BÀI TẬP 14 §2 Tập hợp số thực B ÀI TẬP §3 D ãy số thực - Giới hạn 18 20 25 3.1 Đ ịn h n g h ĩ a 25 T í n h c h ấ t p h é p t o n 26 T i ê u c h u ẩ n t n t ại g i i h a n 26 BÀI TẬP 27 C h n g HÀM s ố MỘT BIẾN s ố 46 § K h i n i ệ m c b ản 46 1.1 Đ ị n h n g h ĩ a 46 ệ C c h m s ố sơ c ấ p c b ả n 47 B À I TẬP 49 § G i i h n c ủ a h m số 2.1 Đ ịn h ngh ĩa 63 T í n h c h ấ t p h é p t o n 64 V ô c ù n g b é ( V C B ) , vô c ù n g l ớn ( V C L ) 65 C c gi ới h n c ô n g t c t ơn g đ ơn g t h ô n g d ụ n g 66 2.5 C ác tiêu ch u ẩ n tồn giới hạn 67 B À I TẬP 67 §3 H m liên tục 3.1 Đ ịn h n g h ĩ a 89 C c p h é p t o n h m l i ê n t ụ c - Sự l i ên t ục c ủ a h m sơ c ấ p 90 C c đ ị n h lý h m l i ê n t ụ c t r o n g m ộ t đ o n 90 3.4 H àm liên tục 91 B À I TẬP 91 C h n g Đ Ạ O H À M - VI P H Â N - Á P D Ụ N G §1 Đ ị n h n g h ĩ a - Tính chấ t - Q uy tắc tính 89 105 105 1 Đ o h m 105 1.2 Vi p h â n 105 T í n h c h ấ t 106 1.4 Q u y t c t í n h 106 B ả n g đ o h m vi p h n c b ả n lOk Đ o h m v vi p h â n c ấ p c a o C ô n g t h ứ c t h ô n g d ụ n g 108 B À I TẬP 109 § C c đ ị n h lý h m k h ả vi 146 2.1 C ác định lý t ru n g b ì n h 146 2.2 C ng thức T a y l o r M a c la u ri n 147 B À I TẬP 149 § K h ả o s t h m sô' y = f ( x ) 3.1 C h iề u b iế n th iên 168 C ự c t rị 168 Bề l i ( l õ m ) - Đ i ể m u ố n 169 T iệ m c ậ n c ủ a đổ thị h m số 170 Sơ đ k h ả o s t v vẽ d t h ị c ù a y = f ( x ) 171 B ÀI TẬP 171 § K h ả o s t h m s ố c h o t h e o t h a m sô' v t r o n g t o đ ộ đ ộc cực 218 H m s ố c h o t h e o t h a m sô 218 H àm sô ch o t h e o toạ độ độc cực 218 B a T t ÄP 220 C h n g §1 168 TÍC H PH Â N BẤT ĐỊNH K hái niệ m c 245 245 1 N g u y ê n h m 245 T í c h p h â n b ấ t đ ị n h 245 T í n h c h ấ t 245 B ả n a t í c h p h â n c b ả n 246 H a i p h n a p h p t í n h c b ả n 248 B À I TẬP 248 § T í c h p h â n h m hữ u tỳ 270 2.1 Phương pháp c h u n g 270 2.2 Phương pháp O s t r o g r a d s k i 27 B À I TẬP 271 § T í c h p h â n c c h m v ô tỷ l ợ n g g i c m r „ , _ _ r fax + b V , D n g I = Í R X, -— J l^cx + d j D n g I = J x m(a + b x n)pdx 286 fax + b V — dx ^cx + d j (vi phân nhị thứ c) 286 3.3 D ng I = |R(x,Vax2 +bx +c)dx D n g I = | R ( s i n x c o s x)dx 288 D a g I = j sinv Xcos“ xdx 288 BÀI TẬP 289 C h n g TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 314 §1 Khái niệm 314 1.1 Đ ị n h n g h ĩ a 14 Đ i ề u k i ệ n k h ả t í c h 314 1.3 Ý n g h ĩ a h ì n h h ọ c c h ọ c 315 T í n h c h ấ t B À I TẬP 316 §2 Đ o h àm theo cậ n - C ô n g thức N e w to n - L e ib n iz C ác phương pháp tính 2.1 Đạo hàm theo cận Ị5 329 329 2.2 C ô n g thức N e w to n - L e ib n iz 329 2.3 Phư ơng ph áp tích phân phần 330 P h n g p h p d ổ i b i ế n sơ 330 BÀI TẬP 331 § Áp d ụ n g c ủ a tích phân §4 3.1 Tính diên tích phảng 351 3.2 T ính dộ dài đường cong 352 3.3 T ín h thể tích 353 3.4 T ín h diện tích m ạt trịn xoay 354 BÀI TẬP 55 T ích p h â n suy rộ n g 390 4.1 Đ ịnh n g h ĩa 390 T iê u c h u ẩ n hội tụ c ủ a tích p hân suy rộn g lo i 391 4.3 T iê u c h u ẩ n hội tụ c ủ a tích phân suy rộ ng loại 392 BÀI TẬP 393 C h n g HÀM s ố N H IỀU BIẾN 410 §1 K hơng gian v e c te u r n chiều R n 410 §2 1 Đ ị n h n g h ĩ a 410 T ậ p h ợ p i n v đ ó n g t r o n g R n 410 K h i n i ệ m c b ả n - Đ o h m v vi p h â n c ủ a h m nhiều biến 411 2.1 Đ ịn h n g h ĩa 41 ệ G i i h n v l i ê n t ục 412 2.3 Đạo hàm riêng 412 Sự k h ả vi - vi p h â n t o n p h ầ n 413 Đ o h m c ủ a h àm hợp 413 ♦ \) 2.6 Đạo hàm hàm ẩn 414 Đ o h m v vi p h â n c ấ p c a o 414 B À I TẬP 415 § C ô n g t h ứ c T a y l o r - C ự c t rị 3.1 C ôn g thức T a y lo r 444 Đ ị n h n g h ĩ a c ự c trị - Đ i ề u k i ệ n c ầ n 445 C ự c trị c ủ a h m ẩ n 446 C ự c trị c ó đ i ề u k i ệ n 446 Bài t o n t ì m g i t rị l n ( b é ) n h ấ t 447 BÀI TẬP 447 Phụ ch n g C Á C ĐỀ THI G IẢ I T ÍC H HỌC KỲ I 2002 - 0 C Ủ A Đ Ạ I H Ọ C B Á C H K H O A T ài liệ u tham kh d o 10 480 535 CHUONG SỐ THỰC • - GII HN ã CA DY s THC Đ1 KHÁI NIỆM C BẢN 1.1 Ký hiệu logique X é t A , B, c , l c c m ệ n h d ề t o n h ọ c : A ( k h ô n g A ) ( m ệ n h để p h ủ đ ị n h c ủ a A) A & B ( A v B) ( m ệ n h dề h ộ i ) A V B ( A h o ặ c B) ( m ệ n h đ ề t u y ể n ) A => B ( A k é o t h e o B, n ế u A t h ì B, ) ( m ệ n h đ ể k é o t h e o , đ iể u k iệ n đề) A B (A t n g d n g với B: A => B & B => A ) ( m ệ n h d ề tương đương) Vx P ( x ) ( v i m ọ i X, P ( x ) ) ( m ệ n h để k h i q u t ) x P ( x ) ( t n t i h a y c ó m ộ t X, P ( x ) ) ( m ệ n h để t n t i ) A « A (qu y luật phủ đ ịn h phủ định) ( A => B B => C ) => ( A => C ) ( q u y l u ậ t b c c ầ u ) A => B c=> B => A ( q u y l u ậ t p h ả n đ ả o ) Vx p(x) 3x p(x) (quy luật đối ngẫu) 3x p(x) Vx p(x) 11 1.2 Tập họp: A , B , X e A (x e A ) (x t h u ộ c A (X k h ô n g t h u ộ c A ) ) x: p h ầ n t c ủ a A A c B ( A b a o h m t i On g B: X e A => X e B) A = B (A b n g B: A c B & B c A ) A ^ B (A h ợ p B : x e A ^ B c = > x e A v x e B ) A r> B (A g i a o B : x e A o B < = > x e A & x e B ) A \ B (A t r B: X e A & X e B) A c = X \ A ( p h ầ n bù c ủ a A ) , X: t ập c ố đ ị n h A = A, A A n ( t ậ p h ợ p t í c h : ( x , , x 2, e A , , X, e A , , x n e A n) A: t í c h D e c a r t e s x n) € A X, : tập hợp trống (rỗng) 1.3 Ánh xạ f : X —» Y ( q u y l u ậ t t n g ứ n g: Vx e X , ứ n g v ó i m ộ t p h ầ n t d u y n h ấ t y e Y) y = f ( x ) ( ả n h c ủ a X £ X q u a n h x f) f : đ n n h ( t o n n h ) ( p h n g t r ì n h f ( x ) = y, Vy Y c ó n h i ề u n h ấ t m ộ t n g h i ệ m ( c ó n g h i ệ m ) t r o n g X f : s o n g n h ( v a đ n n h v ừa t o n n h ) f ' : X = f ‘( y ) (á nh xạ n g ượ c) f g : z = g [f (x )] (ánh xạ hợp) 1.4 Phưong pháp quy nạp toán học C h o m ệ n h dề p p h ụ t h u ộ c n : n e N = { 1, , 3, n, N ế u P ( l ) đ ú n g v từ g i ả t h i ế t P ( n ) đ ú n g ta c h ứ n g m i n h đươc P ( n + ) đ ú n g t h ì P ( n ) đ ú n g Vn € N 12 H ì n h 27 * C h o h m r = r(cp) ( ) , a < cp < p t r o n g t o đ ộ đ ộ c c ự c C h ứ n g m i n h r n g n ế u lim r(cp) = 00 v t n t i lim r(cp)sin(cp - +CC' >— »+ 00 +00 , r ^ a h e * ’11’ > 0, Vcp e R r a e1^ tgV = — = — — - — - const t a i m o i đ i e m r'cp abe^ b Đ n g c o n g gọi l đ n g x o n ốc L o g a r i t h m e ( H ) 3) r = — , r x c đ ị n h Vcp * T h a y cp -cp t h ì r t h n h - r , d o đ ó đ n g c o n g d ô i x ứ n g q u a t r ụ c O y n ê n c h ỉ x é t < cp < + 00 232 K h i cp - » t hì r —» oo n ê n đ n g c o n g c ó t h ể c ó t i ệ m c ậ n T h e o (4) v ( ) ( ) , đây: d = lim OH' = lim r sin cp 0 0 = l i m —sin cp = a 0 (p phương tr ì n h tiệm c ậ n đư ờng th ản g song s o n g v i O x c c h o m ộ t đ o n bàn g a ( H 2) Ta có : Hình 31 r

t h ì r - » t n g t ự n h 3) t ì m: a = lim r sin (p = (p —> 00 , liên d n g c o n g c ó t h ê c ó t i ệ m c ậ n , cos(P sin cp = lim —— —= ) ( l - c o s ọ ) (-psinq)) sincp Lập bảng: T h eo b ả n g tính d i x ứ n g , tu ần ho àn r ta vẽ đuợc dường cong (H.40) H i n h 40 240 b) < e < T n g t ự n h a) t a x é t < cp < n pesincp Tính r \ = (1 y _ 1' r'^ Tại = k h i c p = 0,(p = i -ecoscp) _ p (l-ecoscp)2 _ ( -ecoscp) cp = (p = 71 t hì ( -ecoscp) (-pesiiKp) tgV = 00 esincp 71 V = — t a i cp = — t h ì t g V = — v V = arctg e Lập bảng: T h e o b ả n g t í n h đố i x ứ n g , t u ầ n h o n c ủ a r t a vẽ d ợ c d n g c o n g ( H 1) 241 p - c ) r = - r x c đ ị n h v

t n g t ợ n h u b ) x é t o < (p < TL v i q>3É — K hi — t h ì r - » 30 th e o ( ) , ( ) Ở ( ) la x é t: x cosfip ) d = l i m - s i n í ! p -—) = p l i m — = —= ,* l - co s