Bài tập giải sẵn giải tích i (in lần thứ tư) phần 2

I>: ft: r = - - lã T i ' ỉ t ' m r Sã p h w a g m * t t e r r a i to a ể õ «fơc cm : c i a c c fu ni Ị - n x i ü le h aca! H im -C s —¡rrrr C : Y Y = — +— + x2 + x + ln|x - l| + c 9)Je'''*2+ẻxdx= ợ-Je",xS+"d(-(x2+1))= ợc"'x5+õ'+c 10) j(cosax + sinax): dx = J(cos: ax + siirax + 2sinaxcosax)dx = |(1 + sin2ax)dx = X — — cos2ax + f dx _ r ( c o s X+ si n x)dx _ f J COS6 X J = COS6 X COS r tg: x ^ J COS4 X f (cos X + sill x)dx f A — + J dx X J ■> J COS4 ,, ‘2 x(1 c ■> V + *6 *) COS X = f - — + f t g 2xd(tgx) + f ( t g : x + t g 4x)d (tgx) J COS X J J t g 3X t g 3X tg 5X 3 _ = tgx + —— + - s— + - 5— + c tg 3x t g 5x = tsx + — — + - E — + c 12) +xln(1+xlltldx = J (l + x ; ) = arctgx f x l n ( l + x 2) f dx - - T X-) e arc,gx Xét dx 1+XJ i ylĩ7 Đạt u = thì: , dv = f í 1+x2 J du = , ’ a rctg x l+ x2 V = (l + x 2) arctg x I = ■ Do dó: _ ! _ ^ a r c tg x f _x e ( l + x 2) 3'" dx dx e arctgx e a r« g x 10) f I = Je 2j 2, j cos 3xdx = J e + c i l + COSÓX , — -dx = —| j e 2ldx + j e 2x cosóxdx] e 2* e 2* = —— — - ( c o s x + si n x) + C 2 +6 ( T h e o 2 ° b ả n g 1.4) = — e x ( + cos x + sin x) + c 40 ễ D ùng phương pháp đổi biến số, tính tích phân: 1) J x ( x + 5)10dx x-y/l + x 258 dx 8) J- dx 9) J ( + Ỵ ) Ỉ 10) J V a + x 2dx (a > ) B ài giải 1) Đ ậ t 2x + = t => X = - d x = - d t t —5 10 dt I = J x ( x + 5)10dx = J - ——t 2 / t 12 = - f ( t " —5 t !0)dt = — 4J 5t l O +c 12 11 T r l ại b i ế n c ũ: ( x + ) 12 _ S(2x + 5)‘ I = 12 + c 11 2) Đ ặ t : Vx" = t , t > k h i đ ó X = t dx = t d t )dt = f - i l ỉ - t d t = 1*2-—ü - d t = í ( t - + ■ + • J l+ t J t+1 J ,3 = 2(— - — + t - 21n|t + l|) + c 1 T r lại b i ế n c ũ: 259 DAP AN Câu I (2,5 đ) 71 COS — J 1) A = l i m ( l - x ) X—> r (n ^ InA = lim cos — X l n ( l - x ) u x -» r (n } lnA = lim sin ■7- t lnt l->0 + ()+ (— »()* / (0,5d) t2J V InA = => A = e° = (0,5d) 2) lim f(x) = VÌ — - > +00 cịn sin —-— bi chăn X-»1+ X- X-1 (0,5d) lim f(x) khơng tồn x -l X— ► 1~ -*■ - 0 cịn sin — — khơng có giới han X - (0,5đ) không tổn a C u II (2,5 đ) I ) y = V (x - ) 4x y’ = X , y ’ = o X = 0, y ’ không xác định X = ±1 —00 - y’ y -1 +00 + CĐ (0,5đ) +x + +00 ■yCT = y ( ± l ) = yCĐ = y ( ) = i (Chú ý: chi kết luận y đạt cực đại điểm X = trù 0.5đ) 522 (Ìđ ) Cách 2: y đạt cực trị o f(x) = (x2 - l) đạt cực trị ^ T _ “r xsinx ) = J AaằIế^- d x Ó1 + COS X Đổi biến x = n - t= > I = - Í——{) s*nt dt - n Ị— sint 7inf Suy I = £ J sint , ¿ + cos t dt = dt - I (0,5đ) + COS t „ + COS t n*rd(cost) ,, + cos t * n2 (0,5đ ) Càu III (2,5đ) y2 1) 7’ L X z = — + arctg— 3x - y2 y _ I 3x y2 ’ X2 + y¿ ’ y = o _ 3x X xz + y (0,5đ ) y2 x2y 2 2_ n A = - i - + -± — - w - - yx2y - T + y2 = X +y X +y 2) f(x,y) = - ^ T , (0,5đ ) f(0;0) = X +y f \( x ,y ) = 2^ ệ —ệ ị , (X2 + y2 * 0) (0.5đ ) f \ ( ; ) = lim f ( x , ) ~ f(0:0) = (0,5đ ) (x +y ) X-H.0 X- F \ y( ;0 ) = l i m — — ——— - = l i m - V = *->() Câu IV (2,5đ) y —0 y-* y +00 = > í f”„ ( ;0 ) (0 5đ) Đặt t = V x - (t > 0) => J = íte 'dt = lim íte~'dt 0 = - b e 'h - e"l|h = - b e 'h - e"b + lo J = lim Jh = 2) (0,5đ) b-*~°ỏ (0,5đ) (0,5đ) f có đạo hàm [0; 1] => f Hên tục [0; 1] => f đạt giá trị lớn bé đoạn Vì f ’( ) f ( ) < > ( Ê, ỏ < nẽn với trường hợp f ’(0) < 0, f ’( l ) > => 36| > 0, B6 ) cho: f(0) > f(x) Vx € [0 , ÔJ f ( l) > f(0) Vx e [ ỗ , l ] => f đạt giá trị nhỏ điểm c e (0;1) (0,5đ) * Suy f đạt cực tiểu điểm c nên theo định lý Ferm at f ’(c) = Với trường hợp: f ’(0 ) > 0, f ’( l ) < chứng m inh tương tự (0,5đ) Cách 2: * Giả sù f ’(x) * với X [a,b] => Trường hợp 1: Nếu f đơn điêu ngặt [a,b] => f ’ dấu [a, b] => trái giả thiết ( , d) * Trường hợp: a,, bị e [a,b] cho a ( < bị, f(a, ) = f(bị) áp dụng định lý Rolle suy 3c [a ,,b Ẻ]: f ’(c) = vô lý ĐÊ (GIẢI TÍCH I - K50) (thời gian: 90 phút) Câu (2,5 đ) 524 (0,5đ) sin X ± X / -1 f ( - l ) = a Tìm a đế f(x) 2) Cho hàm số f(x) X+I +1 liên tục điểmx = - l Câu (2,5 đ) _ _ 1) Tim cực trị hàm số y = y (l - x)(x - )2 Câu (2,5 đ) V Õí l ) C h o h m s ố z = — + arctg— Tính A = y T - - x y 3y X ổy 2) Cho hàm số f(x,y) = -y X2 + y * f(0;0) = X +y Tính f’y(x,y) f ’yx(0;0) Câu IV (2,5 đ) + 00 1) Tính tích phân I e" -i - dx 2) Cho hàm sơ' f(x) có đạo hàm đoạn [0;1], f ’(0).f’( l ) < Chứng minh 3c € (0; 1) cho f ’(c) = ĐÁP ÁN Câu I (2,5đ) ')J = lim X —arctgx-1 x-»+® I 7t (0,5đ) 525 —arctgx - = , lim — - Ị X —»+CO v)J lim X —>+00 (0.5đ) = - — => A = e”2/,t (0,5đ) 71 ) lim f(x) = *_»(-!)♦ lim —-— x+1 +00 f(x) khơng tồn tai x -> < -!)- cịn sin- x + x+1 -00 bị chặn (0,5đ) cịn sinkhơng có giới X +1 hạn => không tồn a (0,5đ) C u I I (2,5 đ) l ) y = Ự (l-x )(x -2 )2 -3 x , y’ = y’ = Ự ( - x )2 ( x - ) o X = — , y ’ không xác định X = 1, X = 4/3 —00 (0,5đ) +00 +00 —00 yCĐ = y(2) = (Chú ý: tìm X = — điểm cực tiểu trừ 0,5đ) Cách 2: y đạt cực trị o it/2 2) I = J ln 526 ù ' 'ì1 +ằ COS? X> ’ l + sin^x f(x) = (1 - x)(x - )2 đạt cực trị (lđ ) UOI Dien X = I / , + sin X J ắn + cos3X It/2 It/2 I= - J In \ ^1 + c o s X Jt/2 dx = J In / + s in X (0.5d) dx + cos1 X Idx = - I => I = (0,5d) l + sin ^ x Câu III (2,5 đ) 1) X2 y z = — + arctg — 3y , X 2x ■Ỵ z ’V—— X2 + y ’ 3y A = —~ X + 3y2 y xy xy x2 + y f(x.y) = —ệ ~ X +y X2 + y , f( ;0 ) = y (0,5d) + X2 = 0 x - y- ) , (x + y ^ f ’y(x ,y )= x ( -(x + y ) u m (0,5d) X2 + y (0,5d) 0) (0,5d) l i m f(0 -y ) - f(0;0) - ộ y-*0 y —0 f ’ (0 ;0 ) = lim x X —»•() = lirn —— = X2 -0 +00 I f ’yx( ;0 ) (0,5d) C àu IV (2,5 đ) 1)J= j -Vx + dx -I Đãt t = Vx +1 (t > 0) => J = ite~‘dt = lim fte 'dt (0 ,5 d ) h h b J „ = jt e _ldt = - J t d ( e " ‘) = - te 0 h + j V 'd t 0 527 = - b e " - e T = - b e - - e ■’ + lo (0.5đ) (0,5đ) J = lim J b = h —>+oo 2) Xem đáp án đề 1, câu 4.2 (ld) ĐỀ (GIẢI TÍCH I - K 1) (thời gian: 90 phút) C â u I (2,5 đ) ( sin x \ )T im giới hạn lim — — x-> 11„ I (0,5đ) < - | f ( a ) | + | f( b ) | ]+ — J|f'(x)|d x Do f f ’ liên tục [a,b] => 3M > 0: I f(x) I < M, I f ’(x) I < M Vx e [a,b] => 11„ I < — [2M + M(b - a)] -> n -» 00 lim I n = n->cc (0,5đ) ĐỀ (GIẢI TÍCH I - K51) (thời gian: 90 phút) C â u I (2,5 đ) l ) T ì m giới hạn lim tg x X —>0 531 Vx" - C àu II (2,5 đ) 1) Tính tích phân f ■ x + dx V X +4x - 2) Tính độ dài đường cong X = — t6 , y = - t (0 < t < — il& ) C â u III (2,5 đ) 1) Tìm cực trị hàm sơ' z = 3xy - yJ - X4 2) Cho z = z(x,y) hàm sơ' ẩn xác định phương trình \ e y/' Tính dz(l;0 ) C â u IV (2,5 đ) +® ) Xét sư tu cùa tích phân suy rộng CJX Ị I Vx1 - 2) Cho hàm sỏ' f(x) có đạo hàm liên tục đoạn [a,b] h Tính lim íf(x )sin n x d x ố n —>00 J a ĐÁP ÁN C â u I (2,5đ) 1) A = lim At g x N x-»0 InA = lim x -» ■ X2 i n i i i ' = lim X X—> ’ X2 = lim VX sin X - X 532 2x + (0,5đ) X —» L’ c o s x - c o s x + x s in x X2 IM = l i m — T = lim —— = — => A = e ' x-iò 3x 3x 2)y = cos X (0.5đ) Tiệm cận đứng: X = ±1 Tiệm cận ngang: khơng có 11111 r— — — X-^±COx V x - 2x ] = lim - X->+ (0,5đ) X -> + o O = (0,5đ) [2ĩ!lỉ-2xl = Vx2 lim yJ\2 X —> + c O - .= - + lim lim x^ +*W x - l + x x^ +" Vx -1-2x+ 1= = - => Tiệrn cận xiên bên phải: y = 2x lim [y + x] = X— CO 2x2 + lim X —> —a xVx - = = => Tiệm cận xiên bên +2x trái: y = - x (0,5đ) * Chú ý: thiếu tiệm cận xiên trừ 0,5đ C âu II (2,5 đ) ) x+3 = I í X2 r I= í , X+ rdx + 4x - = r dx + J , Vx2 + x - •Ự(x + rdx 2)2 - =Vx2+4x-5 +lnx+2+Vx^+4x-5 +c )x = —t , y = - —t 4 (0 < t < = — (0,5đ) Vã) s = Ỹ V9t"’ + t6dt =3^1 f V t + ldt () (0,5đ) (0,5đ) B - AC = 36y2 + 72x2(x - y) (0,5d) Tại M ,: B - AC = 0, z(0,y) = - y đổi dấu lân cân M | nên z không đạt cực trị Mị (0,5đ) Tại M 2: B2 - AC = - < 0, A = - < o=5 M điệm cực đại zct) = 27 (0,5đ) 2) d z ( l;0 ) = z ’x(l;0 )d x + z ’y(l;0)d y, z (l;0 ) = (0,25đ) F(x,y,z) = xey/z - z => F ’x = ey/z, F y = - & y' Ỉ, F ’, = = > z ’x( l ; ) = -ặ - = , z ’y( l ; ) = e y/z - (0,5đ) -1 K d z ( l ; ) = dx - dy (0,25đ) C â u (2,5đ) dx £),’ Ì T _ 2r Vx£- 1ĩ t dx “ ỉ1VX' ñ - +7 dx + 21 Vx H = J| + Ji (0.25đ) -1 - — - =— ỉ— — (x - l ) 1/2 v (x - ) J, hội tụ f(x) = X - » 1, mà í - i hội tụ (0,5d) J hội tụ f ( x ) - JJY X -> + 00, mà X Suy J hội tụ 2) 534 Xem đáp án đê 3, câu 4.2 +co dx j hội tụ (0,5đ) X (0,25đ) (lđ ) TÀI L IỆ U TH A M KHẢO [1] I a S B u g r o v , S M N i k o l s k i , M a t e m t i c a p a r a E n g e n h a r i a (1987) [2] R ayinond C o u ty , A n a ly s e (1 ) [3] T B a s s , C o u r s de M a t h e m a t i q u e s ( ) [4] M N ic o c e sc u , A n a liz a m a m e m a tic a (1 ) [5] SzeT enshu, E ỉe m e n ts o f real a n a lysis (1978) [ J G L e f o r , T o n c a o c ấ p d ù n g c h o n liọ c s i n h ( ) [7] L e s i e u r , T o n c a o c p d ù n g clio d i h ọ c k ỹ t h u ậ t ( ) [ ] T r ầ n B ìn h , B i g i n g t o n c a o c ấ p ( ) [9] N g u y ễn Đ ìn h T rí, T o n cao cấ p (1 ) [10] H o n g T ụ y , G i ả i t í c h h i ệ n đ i ( 9 ) [11] B D e m id o v ilc h , P r o b le m a s M a te m tic a (1 7 ) e exercicio s de A n lize [1 2] V S m i r n o v , C o u r s d e m a t h é m a t i q u e s S u p é r i e u r e s ( ) [1 ] r M ễ