Một số tính chất mới của tứ giác và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGƠ THANH HUYỀN MỘT SỐ TÍNH CHẤT MỚI CỦA TỨ GIÁC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2022 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 X, Y chia điều hòa chung cặp (A, B) cặp (C, D) Hình bình hành OIGJ 11 12 13 14 14 15 16 17 18 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 v−bình hành V1V2V3B4 N1N2N3N4 hình bình hành Varignon V Các đường cao ứng với v−bình hành Các đường cao đồng quy ⇔ Q nội tiếp M1H3H1M3, M2H4H2M4 tứ giác nội tiếp Đường thẳng Euler tứ giác Q Q có hai đường chéo vng góc v−trục ứng với V Các hi đồng quy K , ki đồng quy K ′ Các tứ giác Qh Qk △AiAi+1K ∼ CiCi+3K ′, (i = 1, 2, 3, 4) ∠Ci Ci+1 Ci+2 = ∠Ai−1 Ai Ai+1 21 22 24 25 26 27 28 28 29 30 31 32 Hình bình hành liên kết với đỉnh đối diện Các đường thẳng chia điều hoà chung Hình bình hành liên kết tứ giác lồi Cặp hình bình hành liên kết hai hình thoi Cặp hình bình hành liên kết hai hình chữ nhật Cặp chia điều hồ vng góc (OX, OY )) Trường hợp hình vng Quỹ tích G diện tích OBGC khơng đổi A′B ′C ′D′ tương đương affine với ABCD ii 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 Các đường chéo tương ứng tứ giác song song Tứ giác v−trục có tâm ngoại tiếp trùng với O Các tứ giác v−trục có chung đường thẳng Euler Tứ giác v−đường cao đối tâm với Q h−đường thẳng k−đường thẳng Q 33 35 36 37 37 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 Các đường tròn bàng tiếp tứ giác a) Tứ giác ngoại tiếp; b) Tứ giác ngoại tiếp kéo dài Định lý Pithot Một bất đẳng thức hình học Tứ giác lõm AECF có "đường trịn nội tiếp" Tính chất đặc trưng liên quan đến bán kính Ri Đường cao h1 , h2 , h3 , h4 bốn tam giác nhỏ Các góc đặc trưng Iosifescu Ra Rc = Rb Rd Giao điểm bốn phân giác Diện tích ABCD theo bốn tam giác 40 40 43 44 45 48 49 53 55 58 60 iii Mục lục Lời cảm ơn Tứ 1.1 1.2 1.3 giác lồi cặp điểm chia điều Cặp điểm chia điều hòa chung Cặp hình bình hành liên kết Cung Hyperbol iv hòa chung 5 11 16 Tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục 20 2.1 Định nghĩa tính chất 20 2.2 Tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục 27 Tứ giác ngoại tiếp kéo dài 3.1 Đặc trưng tứ giác ngoại tiếp kéo dài 3.1.1 Đặc trưng liên quan đến bán kính 3.1.2 Đặc trưng liên quan đến đường chéo 3.1.3 Đặc trưng liên quan đến đường cao tam giác 3.1.4 Đặc trưng Iosifescu 3.1.5 Đặc trưng liên quan đến đường tròn bàng tiếp 39 47 47 48 50 52 54 Tài liệu tham khảo 63 iv Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn Tin, q thầy cô giảng dạy lớp Cao học K14 (2020 - 2022) Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, BGH trường THPT Đồ Sơn - Hải Phòng hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phịng, tháng năm 2022 Người viết Luận văn Ngơ Thanh Huyền MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu 10 Nội dung ký hiệu Trang XA (ABX) Tỷ số đơn, XB (ABXY ) Cặp điểm chia điều hòa đoạn thẳng AB Q Tứ giác lồi 10 V Hình bình hành Varignon tứ giác ABCD 20 H Tứ giác trực tâm Q 23 hi Đường cao Vi Hi 24 ki v−trục ứng với cạnh Ai Ai+1 26 Qh Tứ giác v−đường cao 29 Qk Tứ giác v−trục 29 q Tứ giác nội tiếp 55 Giới thiệu luận văn Mục đích đề tài luận văn Về đề tài tứ giác gần có số luận văn nghiên cứu bảo vệ năm 2019 chẳng hạn đề tài "Tứ giác ngoại tiếp toán liên quan" Bùi Đức Huy, đề tài "Một số vấn đề tứ giác ứng dụng " Hoàng Diệu Thu, Tuy nhiên, tam giác, tứ giác đối tượng hình học chứa đựng nhiều vấn đề khó chưa đề cập đến Chẳng hạn tứ giác kết hợp với cặp điểm chia điều hòa, tứ giác với đường cao nó, Tập trung xem xét lại vấn đề trình bày chúng dạng đề tài khoa học lý nghiên cứu thời gian vừa qua Đề tài mang tên Một số tính chất tứ giác ứng dụng Mục đích đề tài là: - Đưa khái niệm hàng điểm điều hòa chùm đường thẳng điều hòa vào tứ giác nhằm giải tốn "quỹ tích điểm Hyperbol nhận cặp đường thẳng chia điều hòa chung bốn đường thẳng cho trước làm hai đường tiệm cận" Ngoài ra, đề tài nhằm mở rộng khái niệm đường cao tam giác sang tứ giác để từ xuất tứ giác mới: Tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục - Một nội dung quan trọng đề tài xét toán tương tự tứ giác ngoại tiếp Đó tìm điều kiện cần đủ để tứ giác tiếp xúc đường trịn với phần kéo dài cạnh tứ giác Đường tròn giống đường tròn bàng tiếp tam giác Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Tứ giác cho trước kết hợp với yếu tố hình học khác để làm chủ đề xuyên suốt nội dung đề tài Tài liệu tham khảo luận văn báo: [6], [8] Nhiệm vụ tác giả luận văn xếp, chi tiết hóa phép chứng minh Mệnh đề, hệ quả, tính chất, chúng đề cập sơ lược báo nói Nội dung luận văn chia làm chương: Chương Tứ giác lồi cặp điểm chia điều hòa chung Nội dung chương chủ yếu tìm hiểu số tính chất tứ giác lồi liên quan tới cặp điểm chia điều hòa chung hai cặp điểm cho trước Phát hai hình bình hành có đường chéo song song với đường chéo tứ giác cho, thỏa mãn diện tích tứ giác trung bình nhân diện tích chúng Sau ta áp dụng kết vào việc nghiên cứu biến thiên diện tích tứ giác với điều kiện góc tứ giác ln khơng đổi Chương tham khảo [8], bao gồm mục sau: 2.1 Cặp điểm chia điều hịa chung 2.2 Cặp hình bình hành liên kết 2.3 Một số ứng dụng Chương Tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục Chương dành cho việc khảo sát tính chất đường thẳng v−đường cao v−trục tứ giác nội tiếp Chúng tơi phát biểu chứng minh tính chất hai loại tứ giác: tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục Nội dung chương chia thành phần: 3.1 Định nghĩa tính chất 3.2 Tứ giác v−đường cao tứ giác v−trục Chương Tứ giác ngoại tiếp kéo dài Đã có nhiều điều kiện nhận biết tứ giác ngoại tiếp đường tròn phát biểu dạng điều kiện cần đủ Mở rộng khái niệm tứ giác có đường trịn nội tiếp (tức tứ giác ngoại tiếp) sang kiểu tứ giác có bốn cạnh kéo dài tiếp xúc đường tròn mà ta gọi tứ giác ngoại tiếp kéo dài Từ cách so sánh kiểm tra ta tìm số đặc trưng loại tứ giác tiếp xúc Nội dung đề tài tham khảo chủ yếu [3], [4] Nội dung chương chia thành phần: 3.1 Tứ giác ngoại tiếp tứ giác ngoại tiếp kéo dài 3.2 Các đặc trưng tứ giác ngoại tiếp kéo dài Chương Tứ giác lồi cặp điểm chia điều hòa chung Chúng ta tìm hiểu số tính chất tứ giác lồi liên quan tới cặp điểm chia điều hòa chung hai cặp điểm cho trước phát hai hình bình hành có đường chéo song song với đường chéo tứ giác cho, thỏa mãn diện tích tứ giác trung bình nhân diện tích chúng Sau ta áp dụng kết vào việc nghiên cứu biến thiên diện tích tứ giác với điều kiện góc tứ giác ln khơng đổi 1.1 Cặp điểm chia điều hòa chung Cho điểm A, B, C, D nằm đường thẳng d, ta định nghĩa Định nghĩa 1.1 [8], Hai điểm X, Y gọi cặp điểm chia điều hòa chung cặp điểm thẳng hàng (A, B) (C, D) X, Y ∈ d thỏa mãn : (CDX) (ABX) XA Y A XC Y C = −1 = hay : = −1 = : (1.1) (ABY ) (CDY ) XB Y B XD Y D Ta thường viết: (ABXY ) = (CDXY ) = −1 Về mặt hình học, cặp điểm chia điều hịa chung coi điểm giới hạn chùm 49 a, b, c, d có đẳng thức: ef gh(a+c+b+d)(a+c−b−d) = (agh+cef +beh+df g)(agh+cef −beh−df g) e, f, g, h khoảng cách từ đỉnh A, B, C, D tương ứng đến Hình 3.7: Đường cao h1 , h2 , h3 , h4 bốn tam giác nhỏ giao điểm hai đường chéo (xem Hình 3.7) Sử dụng định lý Pithot a + c = b + d, nhận ABCD tứ giác ngoại tiếp agh + cef = beh + df g (3.7) Bây ta chứng minh có tính chất đặc trưng tương tự tứ giác ngoại tiếp kéo dài Tính chất 3.2 Cho tứ giác lồi ABCD với cạnh a, b, c, d, P giao điểm hai đường chéo Gọi e, f, g, h khoảng cách từ P đến đỉnh A, B, C, D Khi ABCD tứ giác ngoại tiếp kéo dài góc A C chi agh + beh = cef + df g (3.8) 50 Q = ABCD tứ giác ngoại tiếp kéo dài góc B D chi (3.9) agh + df g = beh + cef Chứng minh Trong [4] Larry Hoehn chứng minh tứ giác lồi, ef gha2 + c2 − b2 − d2 = a2 g h2 + c2 e2 f − b2 e2 h2 − d2 f g Bây thêm lượng ef gh(−2ac + 2bd) vào hai vế ta đẳng thức tương đương: ef gh(a − c)2 − (b − d)2 = (agh − cef )2 − (beh − df g)2 mà phân tích thành ef gh(a−c+b−d)(a−c−b+d) = (agh−cef +beh−df g)(agh−cef −beh+df g) Vế trái a+b = c+d a+d = b+c vế phải agh+beh = cef +df g agh+df g = beh+cef Thực chất đẳng thức thứ vế hệ đẳng thức thứ hai đẳng thức thứ hai vế hệ đẳng thức thứ Để khẳng định điều ta xét tứ giác đặc biệt: Hình cánh diều Trong hình cánh diều, a = d b = c, từ suy f = h Các đẳng thức sau a+b = c+d agh + beh = cef + df g thỏa mãn không thu hình Cũng cách vậy, sử dụng hình cánh diều khác, ta có a + b = c + d ⇔ agh + beh = cef + df g a + d = b + c ⇔ agh + df g = bef + cef Ta hoàn thành phép chứng minh theo (3.1) (3.2) 3.1.3 Đặc trưng liên quan đến đường cao tam giác Năm 2009, [6] Minculete đưa Mệnh đề sau với hai phép chứng minh khác nhau: Gọi h1 , h2 , h3 , h4 đường cao hạ từ giao điểm P 51 đường chéo ABCD xuống cạnh AB, BC, CD, DA tam giác ABP, BCP, CDP, DAP Khi đó, tứ giác lồi ABCD tứ giác ngoại tiếp h1 , h2 , h3 , h4 thỏa mãn 1 1 + = + h1 h3 h2 h4 (3.10) Tính chất tứ giác ngoại tiếp chứng minh từ năm 1995 Nga Vasilyev Senderov Một chứng minh khác Nga đưa năm 2004 Zaslavsky Để chứng minh (3.10) tứ giác ngoại tiếp (tức chưa có điều ngược lại) toán thi Olympic toán học năm 2009 Đức Ở đây, đưa chứng minh thứ năm ngắn gọn (3.10) điều kiện cần đủ để tứ giác lồi có đường trịn nội tiếp cách sử dụng đẳng thức (3.7): ah1 = ef sin θ bh2 = f g sin θ ch3 = gh sin θ (3.11) dh4 = he sin θ θ góc hai đường chéo Do đó,   1 a c b d agh + cef − beh − df g + − − sin θ = + − − = h1 h3 h2 h4 ef gh f g he ef gh Vì sin θ ̸= nên ta có 1 1 + = + ⇔ agh + cef = beh + df g, h1 h3 h1 h3 theo (3.7) ta có (3.10) tính chất đặc trưng tứ giác ngoại tiếp Bây chứng minh tính chất đặc trưng tương tự tứ giác ngoại tiếp kéo dài Tính chất 3.3 Cho ABCD tứ giác lồi với P giao hai đường chéo Gọi h1 , h2 , h3 , h4 đường cao hạ từ P xuống cạnh AB, BC, CD, DA thuộc tam giác ABP, BCP, CDP, DAP Khi đó, 52 ABCD có đường trịn tiếp xúc kéo dài góc A C 1 1 + = + h1 h2 h2 h4 đường tròn tiếp xúc kéo dài góc B D chi 1 1 + = + h1 h4 h2 h3 Chứng minh Bốn phương trình (3.11) kéo theo   a 1 b c d agh + beh − cef − df g + − − sin θ = + − − = h1 h2 h3 h4 ef f g gh he ef gh Vì sin θ ̸= nên ta có 1 1 + = + ⇔ agh + beh = cef + df g, h1 h2 h3 h4 theo đẳng thức (3.8) tính chất 3.2, ta có phần đầu tính chất 3.3 chứng minh Phần thứ hai chứng minh tương tự 3.1.4 Đặc trưng Iosifescu Theo [6], Marius Iosifesscu chứng minh (1954) tứ giác lồi ABCD có đường trịn nội tiếp x z y w tan tan = tan tan 2 2 đó, x = ∠ABD, y = ∠ADB, z = ∠BDC w = ∠DBC , Hình 3.8 Hiện nay, đẳng thức mang tên đặc trưng Iosifescu tứ giác ngoại tiếp Sau ta phát biểu Tính chất đặc trưng tương tự tứ giác ngoại tiếp kéo dài Tính chất 3.4 Đặt x = ∠ABD, y = ∠ADB, z = ∠BDC w = ∠DBC tứ giác lồi ABCD Tứ giác có đuờng trịn tiếp xúc kéo dài đỉnh A C x w y z (3.12) tan tan = tan tan 2 2 53 Hình 3.8: Các góc đặc trưng Iosifescu đuờng tròn tiếp xúc kéo dài đỉnh B D y z w x (3.13) tan tan = tan tan 2 2 Chứng minh Trong [1], Định lý 7, M Josefsson chứng minh cách sử dụng Định lý cô sin sau: (d + a − q)(d − a + q) ; 2aq (a + d − q)(a − d + q) − cos y = 2dq (b + c − q)(b − c + q) − cos z = ; 2cq (c + b − q)(c − b + q) ; − cos w = 2bq − cos x = (a + q + d)(a + q − d) 2aq (d + q + a)(d + q − a) + cos y = , 2dq (c + q + b)(c + q − b) + cos z = , 2cq (b + q + c)(b + q − c) + cos w = 2bq + cos x = đó, a = AB, b = BC, c = CD, d = DA q = BD tứ giác ABCD Sử dụng đẳng thức đồng thức lượng giác 54 tan2 u − cos u = , đẳng thức (3.13) tương đương với + cos u (d + a − q)2 (d − a + q)(a − d + q)(c + q + b)2 (c + q − b)(b + q − c) 16abcdq (b + c − q)2 (b − c + q)(c − b + q)(a + q + d)2 (a + q − d)(d + q − a) = 16abcdq Đó nhân tử   4qQ1 (a + d − b − c) (a + d)(b + c) − q = (3.14) (a − d + q)(d − a + q)(b − c + q)(c − b + q) 16abcdq biểu thức dương bất đẳng thức tam giác Ta có a + d > q b + c > q nên (a + d)(b + c) > q Do ta chứng minh x y z w tan tan = tan tan ⇔ a + d = b + c 2 2 đó, Q1 = Mặt khác, từ (3.2) ta (3.13) điều kiện cần đủ để có đường trịn tiếp xúc kéo dài B D Lý luận tương tự cho đẳng thức (3.12) dẫn đến   4qQ2 (a + b − c − d) (a + b)(c + d) − q = (3.15) đó, (a + b)(c + d) > q Q2 = (a − b + q)(b − a + q)(d − c + q)(c − d + q) > 16abcdq Do đó, x w y z tan = tan tan ⇐⇒ a + b = c + d 2 2 Từ (3.1) ta thấy (3.12) điều kiện cần đủ để có đường trịn tiếp xúc kéo dài A C tan 3.1.5 Đặc trưng liên quan đến đường tròn bàng tiếp Tứ giác lồi Q = ABCD có bốn đường trịn bàng tiếp, đường tròn tiếp xúc với cạnh phần kéo dài hai cạnh bên liền kề 55 Hình 3.9: Ra Rc = Rb Rd Bốn đường tròn bàng tiếp có đặc tính thú vị tâm chúng đỉnh tứ giác nội tiếp q Nếu Q có đường trịn nội tiếp tâm Q giao điểm hai đường chéo tứ giác nội tiếp q Trước hết, ta chứng minh tính chất tứ giác ngoại tiếp liên hệ với đường tròn bàng tiếp Mệnh đề 3.1 Một tứ giác lồi với đường tròn bàng tiếp liên tiếp có bán kính Ra , Rb , Rc Rd , tứ giác ngoại tiếp chi Ra Rc = Rb Rd , Hình 3.9 Chứng minh Xét tứ giác lồi ABCD với phân giác cắt Ia , Ib , Ic Id Gọi khoảng cách thứ tự từ Ia , Ib , Ic , Id đến cạnh AB, BC, CD, DA , rb , rc rd Khi ta có, Hình 3.9     A A B B cot + cot = a = Ra tan + tan 2 2     B C C B = b = Rb tan + tan rb cot + cot 2 2 56    C D D C = c = Rc tan + tan rc cot + cot 2 2     D A A D = d = Rd tan + tan rd cot + cot 2 2  Từ hai đẳng thức ta có    B C D A rb rd cot + cot cot + cot 2 2    C D A B tan + tan = Rb Rd tan + tan 2 2 Biến đổi lượng giác thu đẳng thức tương đương:    B D A D C B C A cos sin + sin cos cos sin + sin cos   2 2 2 2 rb rd    D A C B sin cos sin sin 2    B C B C D A D A sin cos + cos sin sin cos + cos sin   2 2 2 2 = Rb Rd    C D B A cos cos cos cos 2 2 hay       A+D B+C B+C A+D sin sin sin sin       2 2 rb rd    = Rb Rd   D C C D A B B A sin cos sin sin cos cos cos cos 2 2 2 2 Rút gọn nhận A B C D rb rd = tan tan tan tan Rb Rd 2 2 (3.16) Do tính đối xứng nên ta có Bởi vậy, rc A B C D = tan tan tan tan Ra Rc 2 2 (3.17) rb rd rc = Ra Rc Rb Rd (3.18) 57 ABCD tứ giác ngoại tiếp phân giác đồng quy, tương đương với Ia ≡ Ib ≡ Ic ≡ Id Điều nghĩa = rb = rc = rd Do đó, từ (3.18) ta có Ra Rc = Rb Rd điều kiện cần đủ để ABCD thành tứ giác ngoại tiếp Chúng ta có cơng thức sau Chúng khơng phải dễ dàng chứng minh nhờ sử dụng tam giác đồng dạng Ở coi Hệ Mệnh đề vừa chứng minh: Mệnh đề 3.2 Trong tứ giác song tâm hình thang ngoại tiếp với đường trịn ngoại tiếp liên tiếp có bán kính Ra , Rb , Rc Rd bán kính đường trịn nội tiếp chúng tính theo cơng thức √ √ r = Ra Rc = Rb Rd Chứng minh Trong tứ giác (tứ giác song tâm hình thang ngoại tiếp), A + C = π = B + D A + D = π = B + C (nếu ta giả sử AB ∥ DC) Như vậy, tan C B D A D B C A tan = tan tan = tan tan = tan tan = 2 2 2 2 Trong hai trường hợp, cơng thức bán kính đường tròn nội tiếp suy trực tiếp từ (3.17) (3.16), r = = rb = rc = rd tứ giác có đường trịn nội tiếp Có thể coi Mệnh đề 3.1 Tính chất đặc trưng tứ giác ngoại tiếp ta đưa Tính chất sau Tính chất đặc trưng tứ giác ngoại tiếp kéo dài Tính chất 3.5 Cho tứ giác lồi Q = ABCD có đường trịn bàng tiếp liên tiếp với bán kính Ra , Rb , Rc Rd Khi Q tứ giác có đường trịn tiếp xúc kéo dài đỉnh A C Ra Rb = Rc Rd đường tròn tiếp xúc kéo dài dỉnh B hoạcc D Ra Rd = Rb Rc Chứng minh Ta xét tứ giác lồi ABCD có hai phân giác đối diện hai phân giác góc ngồi đối diện cắt Ea , Ec , Eb Ed 58 Hình 3.10: Giao điểm bốn phân giác Gọi khoảng cách từ bốn giao điểm Ea , Ec , Eb , Ed thứ tự đến cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác ρa , ρc , ρb , ρd tương ứng, Hình 3.10 Khi đó, ta có     A B B A = a = Ra tan + tan ρa cot − tan 2 2     B B C C ρb − cot + tan = b = Rb tan + tan 2 2     C D D C = c = Rc tan + tan ρc − cot + tan 2 2     A D D A ρd cot − tan = d = Rd tan + tan 2 2 Sử dụng đẳng thức đầu ta có    B C B A tan − cot ρa ρb cot − tan 2 2    A B C B = Ra Rb tan + tan tan + tan 2 2 59 Biến đổi lượng giác nhận    A B A B C B C B sin sin − cos cos cos cos − sin sin   2 2 2 2 ρa ρb    B C A B sin cos cos sin 2 2    A B B A B C B C sin cos + cos sin sin cos + cos sin   2 2 2 2 = Ra Rb    C A B B cos cos cos cos 2 Điều lại tương đương với   B+C A+B A+B B+C − cos cos sin sin 2 2 = Ra Rb ρa ρ b B C B C A A sin cos2 sin cos cos2 cos 2 2 2 hay A+B B+C A C ρa ρb = − tan tan tan tan (3.19) Ra Rb 2 2 Do tính đối xứng, đổi B D ta nhận được: A+D ρc ρd D+C A C = − tan tan tan tan (3.20) Rc Rd 2 2 Tiếp theo sử dụng tổng góc tứ giác, A+B D+C B+C A+D tan = − tan tan = − tan 2 2 Do đó, B+C A+D D+C A+B tan = tan tan tan 2 2 Từ đó, theo (3.19) (3.20) ta có ρ a ρb ρc ρd = (3.21) Ra Rb Rc Rd ABCD tứ giác ngoại tiếp kéo dài phân giác góc A, C phân giác góc ngồi B, D đồng quy Điều tương đương với Ea ≡ Eb ≡ Ec ≡ Ed Nghĩa ρa = ρb = ρc = ρd Do từ (3.21), Q = ABCD tứ giác ngoại tiếp kéo dài Ra Rb = Rc Rd Điều kiện thứ hai Ra Rd = Rb Rc chứng minh tương tự 60 Hình 3.11: Diện tích ABCD theo bốn tam giác Chúng ta chưa tìm cách để tính bán kính đường trịn tiếp xúc kéo dài Thay vào đó, ta có cơng thức sau, chúng đơn giản chưa có kết khác Chúng giống với công thức K K = biểu diễn bán kính nội tiếp tứ tiếng r = a+c b+d giác ngoại tiếp tính theo cạnh a, b, c, d diện tích K Tính chất 3.6 Trong tứ giác ngoại tiếp kéo dài với cạnh a, b, c d, đường tròn tiếp xúc kéo dài có bán kính bằng: ρ= K K = |a − c| |b − d| K diện tích tứ giác Q = ABCD Chứng minh Hình 3.10 Diện tích tứ giác ngoại tiếp kéo dài ABCD diện tích tam giác ABE ADE trừ diện tích BCE CDE Như 1 1 K = aρ + dρ − bρ − cρ = ρ(a + d − b − c) 2 2 61 bán kính ρ đường cao tam giác Do đó, ρ= K K 2K = = a−c+d−b a−c d−b ta có a + b = c + d (đường tròn C ), tức a − c = d − b Để bao gồm tất trường hợp, đặt giá trị tuyệt đối mẫu số Kết bán kính đường tròn ngoại tiếp kéo dài tất hình bình hành (và tất hình thoi, hình chữ nhật hình vng) số lớn vơ tận, tất trường hợp a = c b = d Rõ ràng tứ giác ngoại tiếp kéo dài khái niệm hoàn toàn Dựa vào đặc trưng tứ giác ngoại tiếp ta tìm đặc trưng nhận biết tứ giác Q = ABCD có tứ giác ngoại tiếp kéo dài hay không? Năm đặc trưng vừa phát biểu chứng minh chương là kết có ích nghiên cứu tứ giác 62 Kết luận luận văn Luận văn tham khảo kết báo [2],[5] [7] Chúng tơi tổng hợp thành chương với cách trình bày chi tiết phép chứng minh cặn kẽ, đặc biệt bổ sung thêm diễn giải cần thiết làm rõ kết mà tác giả báo nêu Luận văn trình bày nội dung sau: Xác định cặp điểm chia điều hòa chung cặp điểm cho trước Gắn khái niệm với tứ giác lồi, xây dựng cặp hình bình hành liên kết tứ giác cho trước Từ tứ giác lồi cho trước xây dựng thêm số tứ giác mới: tứ giác v -đường cao, tứ giác v -trục Cac loại tứ giác có tính chất hồn tồn Tứ giác ngoại tiếp kéo dài mở rộng khái niệm tứ giác ngoại tiếp nghiên cứu trước Năm đặc trưng tứ giác ngoại tiếp kéo dài điều kiện cần đủ để nhận biết loại tứ giác đặc biệt Tác giả chân thành cảm ơn góp ý, bổ sung thầy cô giáo đồng nghiệp nhằm làm cho kết nghiên cứu hoàn chỉnh có ích 63 Tài liệu tham khảo [1] Bataille, M., (2007), Cyclic Quadrilaterals with Prescribed Varignon Parallelogram, Forum Geometricorum Volume 7, 199–206 [2] A Bogomolny, Inscriptible and exscriptible quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles [3] Josefsson, M., (2011), More characterizations of tangential quadrilaterals, Forum Geom., 11, 65–82 [4] Josefsson, M., (2012), Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals, Forum Geometricorum Volume 12, 63–77 [5] Hoehn, L., (2011) A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral, Forum Geom., 11 (2011) 211–212 [6] Mammana, M., F., Micale, B., Pennisi, M., (2012), Properties of Valtitudes and Vaxes of a Convex Quadrilateral, Forum Geometricorum, Volume 12 (2012) 47–61 [7] N Minculete, Characterizations of a tangential quadrilateral, Forum Geom., 9, 113-118 [8] Pamfilos, P., (2017), On Some Elementary Properties of Quadrilaterals, Forum Geometricorum Volume 17, 473–482