Luận văn thạc sỹ về phương trình 3x4 − 2y2 = 1 và mở rộng của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– LƯƠNG THỊ MAI LY VỀ PHƯƠNG TRÌNH 3x4 − 2y = VÀ MỞ RỘNG CỦA NÓ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Nông Quốc Chinh Thái Nguyên - 2022 i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu 1 Định lý Bumby 1.1 1.2 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Số đại số, số nguyên đại số 1.1.2 Mở rộng trường 1.1.3 Thặng dư bậc hai ký hiệu Legendre Định lý Bumby 10 1.2.1 Phát biểu định lý Bumby 10 1.2.2 Chứng minh định lý Bumby 11 Mở rộng định lý Bumby 28 2.1 Mở rộng định lý Bumby 28 2.2 Ước lượng nghiệm phương trình Thue 29 2.3 Chứng minh Định lý 2.1.1 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 ii Danh mục ký hiệu A B F[X] Q(α) Q(α, β) L⊂F dimF L [L : F ] Aut(Q(α)/Q) (a/p) F1 (a, b; c; z) Γ(x) √ Q( m) √ Z( m) Xr (x) Xr∗ (x, y) α θ ω Yn Yn′ Φn Φ′n Ψn Ψ′n Tập số đại số Tập số nguyên đại số Vành đa thức biến X với hệ số F Trường đại số hay trường số Trường đại số lặp F mở rộng trường L Bậc mở rộng L F Bậc mở rộng L F Nhóm Galoa Q(α)/Q Ký hiệu Legendre Hàm siêu bội Hàm Gamma √ = {a + b m | a, b ∈ Q} √ = {a + b m | a, b ∈ Z} = F1 (−r, −r − 1r ; 43 ; x) = y r Xr (x/y) √ =5+2 √ √ = −2 + −3 √ = 12 (−1 + −3) θn + θ1−n = 1+θ n 1−n nθ − θ = (−1) 1−θ ω θn − ωθ1−n = ω − ωθ n 1−n n ωθ + ω θ = (−1) ω + ω2θ = ω θ2n−1 + ωθ1−2n = −(ωθ2n−1 + ω θ1−2n ) Mở đầu Trong số học, phương trình Diophantine hướng nghiên cứu quan trọng Từ xưa, nhà toán học dành nhiều thời gian công sức để nghiên cứu cách tìm nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyên, nhiều vấn đề tồn nghiệm phương trình nghiệm ngun thường xun có kết vấn đề công bố Mục tiêu luận văn trình bày định lý Bumby năm 1967 vài kết mở rộng Ngồi phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương Định lý Bumby Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị định lý Bumby việc chứng minh giả thiết nghiệm nguyên dương phương trình 3x4 − 2y = Chương Một vài mở rộng định lý Bumby Trong chương này, chúng tơi trình bày hai kết mở rộng định lý Bumby tương ứng cho phương trình ax4 − by = c với c = 1, cho phương trình (m2 + m + 1)x4 − (m2 + m)y = với m số nguyên dương Để hồn thành luận văn này, em xin kính gởi lời cám ơn sâu sắc chân thành tới PGS TS Nông Quốc Chinh - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ bảo thầy em thời gian làm luận văn Em xin gởi lời cám ơn đến quý thầy cô khoa Tốn - Tin, Phịng Đào tạo, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện cho em suốt khóa học Xin gởi lời cám ơn đến quý thầy, cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý phản biện cho em hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2022 Học viên Lương Thị Mai Ly Chương Định lý Bumby Trong chương này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết định lý Bumby số nghiệm phương trình 3x4 − 2y = Trước hết, hệ thống lại số khái niệm lý thuyết mở rộng trường thặng dư bậc hai phương pháp dùng chứng minh định lý 1.1 1.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Số đại số, số nguyên đại số Trong đại số, đa thức monic đa thức biến hệ tử cao 1: f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + c2 x2 + c1 x + c0 Định nghĩa 1.1.1 (i) Phần tử α ∈ C gọi số đại số f (α) = với f ∈ Q[X] đa thức monic (ii) Phần tử α ∈ C gọi số nguyên đại số f (α) = với f ∈ Z[X] đa thức monic Ký hiệu A tập số đại số B tập số nguyên đại số Dễ thấy B ⊆ A Bổ đề 1.1.1 Giả sử α ∈ A Khi đó, tồn β ∈ B m ∈ Z cho α = β/m Mệnh đề 1.1.1 Giả sử α ∈ A Khi đó, tồn đa thức monic f ∈ Q[X] có bậc nhỏ cho f (α) = Đa thức f có tính chất g ∈ Q[X] thỏa mãn g(α) = f | g Định nghĩa 1.1.2 Đa thức monic f có bậc nhỏ nhận α làm nghiệm gọi đa thức tối tiểu α gọi bậc f bậc α Ví dụ 1.1.1 √ (i) số ngun đại số nghiệm đa thức f (x) √ x2 − ∈ Z[X] Đa thức đa thức tối tiểu nên bậc √ (ii) −2 số ngun đại số nghiệm đa thức f (x) √ x2 + ∈ Z[X] Đa thức đa thức tối tiểu nên bậc −2 = = √ −6 số ngun đại số nghiệm đa thức f (x) = √ x2 + ∈ Z[X] Đa thức đa thức tối tiểu nên bậc −6 (iii) Định lý 1.1.1 (i) Cho α, β ∈ A Khi đó, α + β, α − β, αβ ∈ A α ̸= α−1 ∈ A (ii) Cho α, β ∈ B Khi đó, α + β, α − β, αβ ∈ B Giả sử α số đại số bậc n Định nghĩa Q(α) = {a0 + a1 α + a2 α2 + · · · + an−1 αn−1 : a0 , , an−1 ∈ Q} Mệnh đề 1.1.2 Với α ∈ A Q(α) trường A Định nghĩa 1.1.3 (i) Ta gọi trường Q(α) trường số đại số, hay đơn giản trường số (ii) Giả sử α β số đại số có bậc tương ứng m n, ta định nghĩa Q(α, β) =  m−1 n−1 XX j=0 k=0  cjk αj β k : cjk ∈ Q Người ta chứng minh Q(α, β) trường gọi trường đại số lặp Trường Q(α) tạo thành tập số có phần tử sinh α Trường Q(α, β) tạo thành tập số có phần tử sinh α β Tuy nhiên, ta biểu diễn trường Q(α, β) thông qua phần tử sinh Định lý 1.1.2 (Phần tử nguyên thủy) Giả sử α, β ∈ A Khi đó, tồn γ ∈ A cho Q(α, β) = Q(γ) Ví dụ 1.1.2 Trường bậc hai trường số có dạng √ √ Q( m) = {a + b m, a, b ∈ Q}, √ m∈ / Q Khi m > Q( m) ⊆ R nên ta gọi √ trường bậc hai thực Khi m < Q( m) ̸⊆ R nên ta gọi trường m ∈ Q √ bậc hai ảo 1.1.2 Mở rộng trường Định nghĩa 1.1.4 Trường vành giao hốn có đơn vị khác phần tử khác khả nghịch Định nghĩa 1.1.5 Cho R S hai vành tùy ý Một ánh xạ f :R→S gọi đồng cấu vành thỏa mãn điều kiện sau với phần tử x, y ∈ R: f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (y) Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ánh xạ f tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh Định nghĩa 1.1.6 Một đồng cấu trường đồng cấu vành biến đơn vị thành đơn vị Tương tự vành, ta có khái niệm đơn cấu, toàn cấu đẳng cấu trường Định nghĩa 1.1.7 Một vành A chứa phần tử trường F gọi trường A ổn định với phép lấy phần tử nghịch đảo Định nghĩa 1.1.8 Cho trường K F trường K Khi F ⊂ K gọi mở rộng trường ta nói K mở rộng trường F Ví dụ 1.1.3 Q ⊂ R, Q ⊂ C, R ⊂ C mở rộng trường Định nghĩa 1.1.9 Cho F ⊂ K F ⊂ L mở rộng trường F Một đồng cấu (đẳng cấu) trường φ : K → L thỏa mãn φ(a) = a, ∀a ∈ F gọi F -đồng cấu (F -đẳng cấu) Mở rộng F ⊂ K gọi F -đẳng cấu với mở rộng F ⊂ L tồn F -đẳng cấu từ K vào L, kí hiệu K∼ =F L Nếu K = L F -đồng cấu (F -đẳng cấu) gọi F -tự đồng cấu (F -tự đẳng cấu) Định nghĩa 1.1.10 Cho F ⊂ K mở rộng trường Phần tử u ∈ K gọi đại số F nghiệm đa thức f khác F [x] Một phần tử u ∈ K không đại số F gọi siêu việt F Định nghĩa 1.1.11 Mở rộng F ⊂ K gọi mở rộng đại số phần tử K đại số F √ √ √ Ví dụ 1.1.4 Các phần tử i, 2, + đại số Q Định nghĩa 1.1.12 Giả sử F ⊂ L mở rộng đại số trường F , ta coi L không gian véctơ F Số chiều không gian véctơ L (dim L) gọi bậc mở rộng L F ký hiệu [L : F ] dimF L Ví dụ 1.1.5 ◦ dimR C = α ∈ C, α = a + bi C có sở {1, i} √ √ √ ◦ [Q( 2) : Q] = 2, Q( 2) = {a + b | a, b ∈ Q} √ ◦ [Q( n α) : Q] = n, √ n √ √ √ n Q( n α) = {a0 + a1 n α + a2 α2 + · · · + an−1 αn−1 | a0 , , an−1 ∈ Q} √ √ ◦ [Q( 2, 3) : Qn ] = 4, o √ √ √ √ √ Q( 2, 3) = a + b + c + d | a, b, c, d ∈ Q Định nghĩa 1.1.13 Giả sử F ⊂ K mở rộng đại số Lấy α1 ∈ K Khi α1 có đa thức tối tiểu f (x) F Gọi α2 , , αk nghiệm lại f K , α2 , , αk gọi phần tử liên hợp α1 Định lý 1.1.3 Mọi mở rộng đại số có bậc hữu hạn Q mở rộng đơn Q với phần tử sinh γ Định lý 1.1.4 Hai phần tử u1 , u2 K liên hợp với u1 u2 có đa thức tối tiểu K Định nghĩa 1.1.14 Giả sử Q(α) mở rộng đại số có bậc n Q Khi đó, ký hiệu Aut(Q(α)/Q) tập hợp tất tự đẳng cấu Q(α) giữ nguyên phần tử Q Aut(Q(α)/Q) gọi nhóm Galoa Q(α)/Q Nếu [Q(α) : Q] = n Aut(Q(α)/Q) có n tự đẳng cấu Mệnh đề 1.1.3 Với β ∈ Q(α), ∀σj ∈ Aut(Q(α)/Q) Khi đó, ta có β σj (β) liên hợp với nhau, nghĩa β σj (β) có đa thức tối tiểu √ √ √ Ví dụ 1.1.6 Ta có Q( 3) = {a + b | a, b ∈ Q} [Q( 3) : Q] = √ nên Aut(Q( 3)/Q) = {σ1 , σ2 } với √ √ ❼ σ1 ( 3) = 3, ánh xạ đồng nhất, √ √ √ √ ❼ σ2 ( −3) = − − phần tử liên hợp √ √ √ √ √ Ví dụ 1.1.7 Q( −2, −3) = {a + b −2 + c −3 + d : a, b, c, d ∈ Q} có bốn tự đẳng cấu: ❼ σ1 ánh xạ đồng (cố định phần tử), 31 Thay Tn Un vào phương trình Tn2 − t(t + 1)Un2 = rút gọn, ta thu t21 G4 + 4tt1 G3 H − 6tG2 H − 4tt2 GH + t22 H = (2.6) Giả sử t1 = min{t1 , t2 } Nhân hai vế (2.6) với t21 , ta (t1 G)4 + 4t(t1 G)3 H − 6t(t1 G)2 H − 4tt1 t2 (t1 G)H + t21 t22 H = t21 Đặt x = t1 G y = H , phương trình trở thành x4 + 4tx3 y − 6tx2 y − 4t2 xy + t2 y = t21 Lưu ý t = t1 t2 Vậy (x, y) nghiệm phương trình (2.4) với √ t0 = t1 ≤ t Ngược lại, t2 = min{t1 , t2 } nhân hai vế (2.6) với t22 ta t21 t22 G4 + 4tt1 t2 G3 (t2 H) − 6tG2 (t2 H)2 − 4tG(t2 H)3 + (t2 H)4 = t22 Đặt x = −t2 H y = G, phương trình trở thành x4 + 4tx3 y − 6tx2 y − 4t2 xy + t2 y = t22 Vậy (x, y) nghiệm phương trình (2.4) với t0 = t2 ≤ √ t Giả sử phương trình (2.4) có nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.1, tức x4 + 4tx3 y − 6tx2 y − 4t2 xy + t2 y = t20 Chia hai vế cho y ta x4 x3 x2 t20 2x + 4t − 6t − 4t + t = y4 y y y y Suy x/y “xấp xỉ” với nghiệm đa thức bậc bốn pt (x) = x4 + 4tx3 − 6tx2 − 4t2 x + t2 (2.7) 32 Bốn nghiệm đa thức √ √ t t (2) (1) (1 + ρ), β = (1 − ρ), β = τ τ √ √ β (3) = (−τ + ρ) t, β (4) = −(τ + ρ) t, √ τ= t+1+ √ t ρ = √ τ + Các tác giả sử dụng phương pháp hàm siêu bội để chứng minh không tồn số hữu tỷ x/y trên, hay phương trình (2.4) khơng có nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 2.2.1 Từ sau, ta giả sử t = m2 + m, với m số nguyên dương Theo định lý giá trị trung bình, ta suy đánh giá sau nghiệm β (i) : 1 + < β (1) 8m 16m 1 + < β (2) −m − 8m 16m − + < β (3) 64m 16m 21 21 −4m2 − 4m − + − < β (4) m+1+ 64m 64m 1 + , 8m2 8m3 1 < −m − + , (2.8) 8m2 8m3 5 < − + , 64m2 64m3 21 < −4m2 − 4m − + − 33 Cho r số nguyên dương, đặt   Xr (x) = F1 − r, −r − ; ; x r Gọi Xr∗ đa thức xác định Xr∗ (x, y) = y r Xr (x/y) (2.9) Để vận dụng phương pháp siêu bội, ta cần bổ đề sau đây: Bổ đề 2.2.1 ([4]) Cho θ ∈ R Giả sử tồn k0 , l0 > E, Q > cho với r ∈ N, tồn số hữu tỉ pr qr với |qr | < k0 Qr |qr θ − pr | ≤ l0 E −r thỏa mãn pr qr+1 ̸= pr+1 qr Khi đó, với số hữu tỉ p q thỏa mãn |q| ≥ 2l10 , ta có log Q p κ , c = 2k Q(2l E) κ = θ − > 0 q c|q|κ+1 log E Kết tồn tập trù mật gồm phép xấp xỉ hữu tỉ đủ tốt tới số thực θ sinh cận phép xấp xỉ hữu tỉ θ Ta tìm cách áp dụng điều cho cận lớn θ = β (1) Phương pháp siêu bội dựa vào ý tưởng xây dựng tập trù mật phép xấp xỉ hữu tỉ cách đặc biệt hóa hàm hữu tỉ (xuất phát từ hàm siêu bội) giá trị hữu tỉ Chúng ta xác định hàm hữu tỉ cách dựa vào trường hợp đặc biệt sau kết [8] Bổ đề 2.2.2 ([8]) Cho số phức α1 , α2 , c1 c2 với α1 ̸= α2 định nghĩa đa thức sau 5 a(x) = (α1 − α2 )(x − α2 ), c(x) = α1 (α1 − α2 )(x − α2 ), 2 5 b(x) = (α2 − α1 )(x − α1 ), d(x) = α2 (α2 − α1 )(x − α1 ), 2 u(x) = u = −c2 (x − α2 ) , z(x) = z = c1 (x − α1 )4 √ Đặt λ = (α1 − α2 )/2, với r số nguyên dương, đặt √ ( λ)r Ar (x) = a(x)Xr∗ (z, u) + b(x)Xr∗ (u, z) 34 √ ( λ)r Br (x) = c(x)Xr∗ (z, u) + d(x)Xr∗ (u, z) Khi đó, với nghiệm β phương trình P (x) = z(x) − u(x), đa thức Cr (x) = βAr (x) − Br (x) chia hết cho (x − β)2r+1 Ta áp dụng bổ đề cách chọn α1 , α2 , c1 c2 cho P (x) = pt (x) (xem (2.7)) β = β (1) Vì β (1) gần m + 1, suy Br (m + 1) Ar (m + 1) tương ứng với phép xấp xỉ hữu tỉ tốt β (1) Để sử dụng Bổ đề 2.2.1, ta cần ước lượng |Ar (m + 1)|, |Br (m + 1)| |Cr (m + 1)| Bổ đề 2.2.3 ([4]) Với ký hiệu trên, đặt w(x) = z(x)/u(x) 1 iϕ viết w(x) = µeiϕ với µ ≥ −π < φ ≤ π , hay w(x) = µ e (i) Với x ∈ C khác không cho w = w(x) không số thực khơng, ta có √ 1 ( λ)r Cr (x) = [β(a(x)w(x) + b(x)) − (c(x)w(x) + d(x))]Xr∗ (u, z) − (βa(x) − c(x))u(x)r Rr (w), Γ(r + 45 ) Rr (w) = r!Γ( 41 ) (ii) Đặt w = eiϕ , < φ < π , hay Z w √ ((1 − t)(t − w))r t−r− dt iϕ w = e Khi √ 2r 4Γ(r + 54 ) |Rr (w)| ≤ φ|1 − w| r!Γ( 14 ) Bổ đề 2.2.4 ([4]) Giả sử u, w z xác định Bổ đề 2.2.3 Khi |Xr∗ (u, z)| √ 2r−2 Γ( 43 )r! w| |1 + ≤ 4|u| Γ(r + 43 ) r 35 Bổ đề 2.2.5 ([4]) Gọi Nr ước chung lớn tử số hệ số Xr (1 − 2x) gọi Dr bội chung nhỏ mẫu số hệ số Xr (x) Khi đó, đa thức Dr Nr Xr (1 ta có Nr = 2r − 2x) có hệ số ngun Ngồi ra, Γ( 43 )r! Γ(t + 45 ) r < 0.1924 · 5.342r Dr < 0.8397 · 5.342 , Dr Γ(r + ) Γ( )r! Bổ đề 2.2.6 ([7]) Cho α1 , α2 , Ar (x), Br (x) P (x) xác định Bổ đề 2.2.1 gọi a, b, c d số phức thỏa mãn ad − bc ̸= Đặt Kr (x) = aAr (x) + bBr (x) Lr (x) = cAr (x) + dBr (x) Nếu (x − α1 )(x − α2 )P (x) ̸= Kr+1 (x)Lr (x) ̸= Kr (x)Lr+1 (x), với r ≥ Chọn α1 = √ √ √ √ −t, α2 = − −t, c1 = (1 + −t)/2, c2 = (1 − −t)/2, λ = −t P (x) = pt (x) (2.7) Bây ta sử dụng bổ đề để tìm độ đo hữu hạn phép xấp xỉ β (1) Chọn x = m + đặt √ η = + i m2 + m(4m2 + 4m + 3) Suy √ −1 + i(4m2 + 4m + 3) m2 + m η √ w = w(m + 1) = =− , η + i(4m2 + 4m + 3) m2 + m √ + iτ m + − i m2 + m √ w = · ρ m + + i m2 + m Vì ρ2 = τ + nên √ a(m + 1) = −5(m + 1)[m − i m2 + m] = b(m + 1) (2.10) 36 √ c(m + 1) = −5m(m + 1)[m + + i m2 + m] = d(m + 1), β (1) c(m + 1)w + d(m + 1) , = a(m + 1)w + b(m + 1) số hạng biểu thức (−t)r/2 Cr (m + 1) Bổ đề 2.2.3 bị triệt tiêu Do đó, theo Bổ đề 2.2.2 2.2.3, ta có (−t)r/2 Ar (m + 1) = a(m + 1)Xr∗ (z(m + 1), u(m + 1)) + b(m + 1)Xr∗ (u(m + 1), z(m + 1)), (−t)r/2 Br (m + 1) = c(m + 1)Xr∗ (z(m + 1), u(m + 1)) (2.11) + d(m + 1)Xr∗ (u(m + 1), z(m + 1)), (−t)r/2 Cr (m + 1) = −(β (1) a(m + 1) − c(m + 1))[u(m + 1)]r Rr (w) Các đại lượng tạo thành sở dãy phép xấp xỉ hữu tỉ β (1) Ta kiểm tra u(m + 1) = − (m + 1)2 η = −z(m + 1), z(m + 1) u(m + 1) = − , =1− u(m + 1) η z(m + 1) η (2.12) (2.13) Kết hợp (2.9), (2.12) (2.13) ta Xr∗ (z(m + 1), u(m + 1)) = (−1)r Xr∗ (u(m  2 2r r − (m + 1) η X r 2r η  2 2r r + 1), z(m + 1)) = r (m + 1) η Xr − η Từ (2.11) Bổ đề 2.2.5, qua tính tốn ta thu đại lượng Pr = m[(r−2)/2] Dr Ar (m + 1) m[(r−2)/2] Dr Br (m + 1) , Q = r 10(m + 1)[3r/2+1] 10(m + 1)[3r/2+1] (2.14) số hữu tỉ Chú ý ta có Qr β (1) − Pr = Sr , (2.15) 37 m[(r−2)/2] Dr Cr (m + 1) Sr = 10(m + 1)[3r/2+1] Thương Pr Qr (2.16) số hữu tỷ (2.14) phép xấp xỉ hữu tỉ β (1) Để chứng minh phép xấp xỉ tốt, ta ước lượng |Qr | |Sr | cơng thức bên Từ (2.10), ta viết w4 = √ √ [(1 + 2τ t) + i(τ − t)], (2m + 1)ρ hay w1/2 √ √ √ √ (1 + 2τ t)2 − (τ − t)2 + 2i(1 + 2τ t)(τ − t) = (2m + 1)2 ρ2 Thông qua tính tốn ta có 1.999 < |1 + √ tương tự |u(m + 1)(1 + w| < 2, √ với m ≥ 2, w)2 | < 23.266m5 , (2.17) (2.18) với m ≥ Từ biểu thức a(m + 1), b(m + 1), c(m + 1) d(m + 1), ta thấy q |a(m + 1)| = |b(m + 1)| = 5(m + 1) m(2m + 1) q |c(m + 1)| = |d(m + 1)| = 5m(m + 1) (m + 1)(2m + 1) (2.19) (2.20) Từ (2.11), (2.19), từ tính chất |z| = |u| Bổ đề 2.2.4, ta có t r/2 √ 2r−2 Γ( 43 )r! r |Ar (m + 1)| ≤ w| |a(m + 1)||u(m + 1)| |1 + Γ(r + ) đó, từ (2.17), (2.18) (2.19), ta có t r/2 q Γ( 43 )r! r |Ar (m + 1)| ≤ 10.011 (m + 1) m(2m + 1)(23.266m ) Γ(r + ) 38 Sử dụng (2.14) Bổ đề 2.2.5 ta thu q 0.841 |Qr | < m(2m + 1)(124.287m3 )r < 1.285(124.287m3 )r , m (2.21) với m ≥ Tiếp theo, ta tìm cận |Sr | Theo (2.11), ta có tr/2 |Cr (m + 1)| ≤ |β (1) a(m + 1) − c(m + 1)||u(m + 1)|r |Rr (w(m + 1))| đó, theo Bổ đề 2.2.3 từ kết t r/2 |Cr (m + 1)| < |a(m + 1)||β (1) c(m+1) a(m+1) √ = i t, ta có √ 4Γ(r + 45 ) √ 2r φ|u(m + 1)(1 − w) | , − i t| r!Γ( 41 ) với φ định nghĩa Bổ đề 2.2.3 Vì √ m2 + m(4m2 + 4m + 3) sin φ = Im w = , + (m2 + m)(4m2 + 4m + 3)2 nên ta có φ < 2m3 Do đó, từ cận β (1) (2.8) ta có √ 0.885 φ|β (1) − i m2 + m| < , m2 với m ≥ Như trên, tính tốn thơng thường ta q 0.136 |u(m + 1)(1 − w(m + 1))2 | ≤ , m với m ≥ Từ kết này, (2.16) Bổ đề 2.2.5, ta thấy |Sr | ≤ 0.934 (1.376m3 )−r m (2.22) Từ ta suy cận phép xấp xỉ hữu tỉ β (1) sau: Định lý 2.2.1 ([4]) Cho m ≥ Đặt κ= log(124.287m3 ) log(1.376m3 ) Nếu p q số nguyên dương