Luận văn thạc sỹ đẳng thức tổ hợp và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGỌC LINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ NGỌC LINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng khớp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Quy Nhơn, tháng năm 2021 Học viên NGUYỄN THỊ NGỌC LINH Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Hữu Trọn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, người giúp đỡ bảo cách tận tình suốt trình thực luận văn Xin cảm ơn thầy cô khoa Toán Thống kê - Đại học Quy Nhơn ân cần dạy tơi suốt q trình học tập Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành biết ơn vô tận gia đình tơi, người ln sát cánh tạo động lực để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, kiến thức thân cịn hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn nhiều thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hồn chỉnh Quy Nhơn, tháng năm 2021 Học viên Nguyễn Thị Ngọc Linh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.3 Hoán vị tổ hợp 1.1.4 Hoán vị tổ hợp suy rộng 1.2 Một số kiến thức số nguyên phép chia 1.3 Một số kiến thức số phức 13 ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 2.1 2.2 15 Hệ số nhị thức, định lý nhị thức 15 2.1.1 Hệ số nhị thức 15 2.1.2 Định lý nhị thức 16 2.1.3 Lũy thừa giảm, lũy thừa tăng 17 2.1.4 Khai triển nhị thức suy rộng với số mũ thực 18 Các đẳng thức tổ hợp 19 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 3.1 25 Ứng dụng đẳng thức tổ hợp số học 25 3.1.1 25 Định lý 3.2 3.1.2 Một số hệ thức 27 3.1.3 Các toán 27 Chứng minh đẳng thức tổ hợp hai cách 32 3.2.1 Phương pháp cân hệ số chứng minh đẳng thức tổ hợp 33 3.2.2 Kỹ thuật đếm hai cách chứng minh đẳng thức Tổ hợp 51 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Một số kí hiệu • N: Tập số tự nhiên • Z: Tập số nguyên • R: Tập số thực • C: Tập số phức • |Ai |: Số phần tử tập Ai • Pnk : Số chỉnh hợp chập k tập hợp n phần tử • Cnk : Số tổ hợp chập k tập hợp n phần tử • Pnn : Hốn vị n phần tử • xn : Lũy thừa giảm n x • (x)n : Lũy thừa tăng n x •   •   n k s k : Số tổ hợp n chập k (còn gọi hệ số nhị thức) : Hệ số nhị thức mở rộng • n!: Hàm n giai thừa • < xm > f (x): Hệ số xm khai triển f (x) • |z| : Module số phức z • (p, k): Ước số chung lớn p k • Re(z): Phần thực số phức z • Im(z): Phần ảo số phức z Lời nói đầu Tốn học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) ngành toán học rời rạc, nghiên cứu cấu hình kết hợp phần tử tập hợp có hữu hạn phần tử Các cấu hình hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, phần tử tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học, đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergodic hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vật lý thống kê Tốn học tổ hợp liên quan đến khía cạnh giải vấn đề lẫn xây dựng sở lý thuyết, nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh xây dựng, tập trung vào cuối kỷ XX Một mảng lâu đời toán học tổ hợp lý thuyết đồ thị, mà thân lý thuyết lại có nhiều kết nối tự nhiên đến lĩnh vực khác Toán học tổ hợp dùng nhiều khoa học máy tính để có cơng thức ước lượng phân tích thuật toán Đại số tổ hợp ngày trở thành mơn học khơng thể thiếu chương trình trung học phổ thơng Khi nói tốn Tổ hợp, không nhắc tới dạng tốn hay quen thuộc Đẳng thức tổ hợp Đẳng thức tổ hợp đẳng thức có chứa hệ số nhị thức thường phát biểu dạng tính tổng, thiết lập mối liên hệ cấu hình tổ hợp Có thể nói Đẳng thức tổ hợp đề tài khó thú vị Đại số tổ hợp Trong năm gần đây, Đẳng thức tổ hợp xuất thường xuyên kỳ thi Đại học, học sinh giỏi cấp nước quốc tế, cho thấy vai trị vấn đề tốn học việc giảng dạy giáo viên, học tập học sinh cấp Việc nghiên cứu vấn đề áp dụng vào việc giải toán thu hút nhận quan tâm nhiều nhà tốn học Để tìm hiểu vấn đề cách hệ thống, dựa tài liệu tham khảo [1]-[6], luận văn chúng tơi tìm hiểu đẳng thức tổ hợp, chứng minh đẳng thức tổ hợp nhiều cách, ứng dụng đẳng thức tổ hợp vào toán tổ hợp thường gặp Luận văn tập trung nghiên cứu đẳng thức tổ hợp, chứng minh đẳng thức tổ hợp công cụ khác nhau, ứng dụng đẳng thức tổ hợp việc giải tốn tổ hợp thường gặp Ngồi mục lục, danh mục ký hiệu, phần mở đầu phần kết luận, nội dung luận văn chúng tơi trình bày chương Chuơng Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở để chuẩn bị cho chương sau luận văn Chương Nội dung chương giới thiệu trình bày đẳng thức tổ hợp Chương Trình bày số vấn đề liên quan ứng dụng đẳng thức tổ hợp chứng minh đẳng thức tổ hợp hai cách Mặc dù thân đầu tư nhiều thời gian, cố gắng thực luận văn cách nghiêm túc, nhiên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì mong quý thầy cô, bạn đồng nghiệp góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, tháng năm 2021 Học viên Nguyễn Thị Ngọc Linh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc trình bày kiến thức sở cần thiết phục vụ cho chương sau liên quan đến toán đẳng thức tổ hợp số kiến thức lý thuyết tổ hợp (các tắc đếm, hoán vị tổ hợp), số nguyên phép chia số học, số phức Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [5] 1.1 Một số kiến thức lý thuyết tổ hợp 1.1.1 Quy tắc cộng Quy tắc cộng 1.1 Giả sử có hai cơng việc Cơng việc thứ làm n1 cách, cơng việc thứ hai làm n2 cách hai việc khơng thể làm đồng thời, có n1 + n2 cách làm hai việc Ví dụ 1.1 Giả sử cần chọn cán khoa toán sinh viên toán làm đại biểu hội đồng trường đại học Hỏi có cách chọn vị đại biểu khoa tốn có 37 cán 83 sinh viên? Ta gọi việc thứ việc chọn cán khoa tốn Nó làm 37 cách Việc thứ hai, chọn sinh viên tốn, làm 83 cách Theo quy tắc cộng có 37 + 83 = 120 cách chọn vị đại diện 47 Giải Khoảng cách hai số liên tiếp nên xét số phức ε = cos 2π 2π π π + i sin = cos + i sin 6 3 Ta thấy εk = k bội với k không chia hết cho − ε6k + εk + ε2k + ε3k + ε4k + ε5k = = − εk n n n n Ta có (1 + 1)n + (1 + ε)n + (1 + ε2 ) + (1 + ε3 ) + (1 + ε4 ) + (1 + ε5 ) = 6S π π Rõ ràng ε = cos − i sin , ε3 = −1 ε6 = = εε nên ε6−p = εp 3 Do  + ε5 n  = (1 + ε)n , √ π π + ε = cos + i sin , 6 π π + ε2 = cos + i sin , 3  + ε4 n  = + ε2 n ,  √ π π + ε = cos − i sin , 6 π π + ε2 = cos − i sin 3   Suy  6S = 2n + (1 + ε)n + + ε2 n  + (1 − 1)n + ε2  = 2n + (1 + ε)n + (1 + ε)n + + ε2 √ n nπ nπ + cos = 2n + cos   n−1 √ n nπ nπ Vậy ta có S = + cos + cos n n  + + ε2 + (1 + ε)n n Bài tốn 3.23 Cho n ∈ N Tính tổng ! ! ! 8n 8n 8n T2 = −3 + − (8n − 1) 8n − Giải Trước tiên ta phải đạo hàm để có hệ số đứng trước tổ hợp Xét đa thức 8n X 8n 8n k = + x k k=1 ! 8n f (x) = (1 + x) ⇒ 8n−1 f (x) = 8n (1 + x) ! 8n X ! 8n k−1 = k x k k=0 Lại nhân với x ta g(x) = 8nx (1 + x)8n−1 = 8n P k=0 k   8n k xk Nhận thấy T2 phần ảo g(i) = 8ni (1 + i)8n−1 = 4n16n + 4n16n i 48 ⇒ T2 = 4n16n Tương tự ta dùng đạo hàm lần để tính tổng ! ! ! ! 8n 8n 8n 8n − 42 + 62 − − (8n)2 8n 2 8n X 8n 8n k = + x k k=1 ! 8n (1 + x) 8n−1 ⇒ 8n (1 + x) ⇒ h 8nx (1 + x) 8n−1 8n (1 + x) 8n X ! 8n k−1 = k x k k=1 8n−1 ⇔ ! 8n X ! 8n k = k x k k=1 + x(8n − 1) (1 + x) 8n−2 i = 8n X ! k k=1 8n−2 ⇔ 8n (1 + x) (1 + 8nx) = 8n X ! k k=1 8n−2 ⇔ 8nx (1 + x) (1 + 8nx) = 8n X k=1 8n k−1 x k 8n k−1 x k ! k 8n k x = f (x) k Tổng cần tìm phần thực f (i) = 8ni (1 + i)8n−2 (1 + 8ni) = 16n−1 + 128n2 16n−2 i Bài toán 3.24 Chứng minh đẳng thức sau với n ∈ Z+ , !2  X  !2  X n n   = 2n (−1)k + 2k + 2k 062k+16n (−1)k 062k6n Giải Xét số phức z = + i, sử dụng khai triển nhị thức Newton ta có n n z = (1 + i) = n X ! k i k=0 ! ! X X n n n = +i (−1)k (−1)k k 2k 2k + 062k6n 062k+16n Lấy module hai vế, ta có |z n | = v u u X u t !2 (−1)k 062k6n n  n  + (−1)k 2k 2k + 062k+16n X    π π n √ n nπ nπ Mặt khác z = cos + i sin = cos + i sin 4 4 Từ ta có |z n |2 = 2n (Điều phải chứng minh) n √  !2  49 Chú ý: Nếu số phức z = cos ϕ+i sin ϕ z n = (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ+i sin nϕ ! n X (cos ϕ + i sin ϕ) = (−1) n cosn−2k ϕ sin2k ϕ 2k k 062k6n ! +i n cosn−2k−1 ϕ sin2k+1 ϕ 2k + (−1)k X 062k+16n Do lấy module hai vế ta có  2  ! X  (−1)k 062k6n 2 ! X n n (−1)k cosn−2k−1 ϕ sin2k+1 ϕ = cosn−2k ϕ sin2k ϕ + 2k + 2k 062k+16n π ta có kết cần chứng minh √ π π π nên ta có đẳng thức Xét ϕ = cos = , sin = 3 Xét ϕ = !2   !2  n n   = 4n (−3)k + 2k + 2k 062k+16n (−3)k X X 062k6n Bài toán 3.25 Cho n ∈ N Chứng minh n X   n X k=0 n k !2 coskx = n 2k k=0 Giải Đặt An = n  2 P n k=0 k ! 2k k cos kx, Bn = ! x cos n  2 P n k=0 k n−2k cos nx với x ∈ [0; π] sin kx Ta có An + iBn = n X k=0 !2 n k (cos kx + i sin kx) = n X k=0 !2 n k (cos x + i sin x)k n Xét hệ số y n từ đẳng thức (1 + y)n (1 + zy)n = [1 + (1 + z)y + zy ] Ta có ! X k+l=n,06k,l6n n k ! X n l n! z = (z + 1)l z s l k!l!s! k+l+s=n,06k,l,s6n n  n 2k P   Hay viết lại dạng n  2 P n zk k=0 k = k=0 2k k (z + 1)n−2k z k x x x Xét z = cos x + i sin x + z = + cos x + i sin x = cos cos + i sin 2 x ∈ [0; π], ta có   nên với 50 An + iBn = = n X k=0 n X k=0 n k !2 n k !2 n X (cos x + i sin x)k zk   = k=0 n X n 2k ! 2k (z + 1)n−2k z k k ! n 2k ! 2k k   = k=0 ! x cos n−2k " cos x(n − 2k) # x(n − 2k) +i sin (cos kx + i sin kx)   n ! !    X n 2k x n−2k nx nx = cos + i sin cos 2k k 2 k=0 Vì n X   An = n 2k k=0 n X ! 2k k ! x cos n−2k cos nx , sin nx   Bn = n 2k k=0 ! 2k k ! cos x n−2k Suy điều phải chứng minh Theo kết n X   n X n k k=0 !2 sin kx = k=0 n  n 2k P n 2k ! 2k k ! x cos n−2k cos nx   Nếu x = n  2 P n k=0 k = k=0 2k k 2n−2k =   2n n Nếu x = π n X !2 (−1) k=0 k n k =                0, n = 2m +   n m ∈ N  n   , n = 2m (−1)   n  51 3.2.2 Kỹ thuật đếm hai cách chứng minh đẳng thức Tổ hợp Kỹ thuật đếm hai cách phương pháp phổ biến nhiều nhà Tốn học viết Trong khn khổ luận văn thạc sĩ, chúng tơi trình bày ý tưởng phương pháp này, cách xây dựng bước giải cho toán sử dụng kĩ thuật đếm hai cách Nguyên lí đếm hai cách: "Cùng số lượng kết đếm theo hai cách nhau" Nguyên lí tưởng chừng đơn giản lại khởi nguồn nhiều ý tưởng để giải toán tổ hợp hay khó Chương phân tích số ý tưởng cho việc sử dụng nguyên lí Để chứng minh đẳng thức tổ hợp có dạng A = B, thực bước dự đoán sau để sử dụng phương pháp đếm hai cách Các bước thực •Bước 1: Phát biểu lại toán đếm kiện quen thuộc •Bước 2: Đếm theo vế trái đẳng thức •Bước 3: Đếm theo vế phải đẳng thức Chú ý Nếu vế trái (hoặc vế phải) tổng biểu thức cách đếm vế trái (hoặc vế phải) ta chia thành trường hợp riêng để dùng quy tắc cộng Nếu vế trái (hoặc vế phải) tích biểu thức cách đếm vế trái (hoặc vế phải) ta chia thành cơng đoạn hồn thành để đếm dùng quy tắc nhân Trong phần này, minh họa kỹ thuật đếm hai cách thơng qua tốn tiếng đa phần toán, định lý có tên nhằm minh họa cho ý tưởng phần Bài toán 3.26 (Chứng minh đẳng thức Pascal) Với số nguyên dương n ≥ k ≥ 1, ta có ! ! ! n n−1 n−1 = + k k−1 k 52 Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Trại hè tốn học có n học sinh tham dự, ban tổ chức cần chọn k học sinh làm thi mơn tổ hợp Như ban tổ chức có hai cách đếm số cách chọn." • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Nếu chọn k học sinh n học sinh ban tổ chức có   n k cách chọn • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Quan sát vế phải ta thấy vế phải "tổng" hai biểu thức tổ hợp nên điều gợi cho nhớ tới xét khả để dùng quy tắc cộng Giả sử Linh n học sinh Phương án Nếu Linh chọn tham dự mơn thi tổ hợp cần chọn k − người số n − người cịn lại Khi ban tổ chức có   n−1 k−1 cách chọn Phương án Nếu Linh khơng chọn thi mơn tổ hợp cần chọn k người số n − người lại Khi ban tổ chức có   n−1 k cách chọn Như theo nguyên lí đếm hai cách ta có đẳng thức chứng minh Bài toán 3.27 Cho n ∈ N Chứng minh ! ! ! n n n + + + = 2n n Giải • Bước 1: Phát biểu lại toán dạng toán đếm quen thuộc "Tìm số cách chọn số số từ n số cho trước." • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) + Nếu chọn số có   n cách + Nếu chọn số có   cách n + + Nếu chọn n số có Vậy tổng cộng có     n n n cách +   n + +   n n cách 53 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Một số có trạng thái (được chọn khơng chọn), mà có n số nên có 2n cách chọn Như ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.28 Chứng minh đẳng thức Vandermonde n ! ! m n + k ! ! ! m n + + k−1 k ! ! m m+n = , với k n m k Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Công ty X gồm n nhân viên nam m nhân viên nữ, cần chọn k người để lập thành đội tình nguyện." • Bước 2: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 1) Chọn ngẫu nhiên k người cơng ty gồm n + m người có   m+n k cách chọn • Bước 3: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 2) Quan sát vế trái ta thấy vế trái số hạng thành phần "tích" hai biểu thức tổ hợp nên điều gợi cho nhớ tới xét khả để dùng quy tắc nhân   n i Chọn i nhân viên nam k − i nhân viên nữ ta có m k−i  cách Vì số người chọn tùy ý giới hạn cho phép k người nên cho i chạy từ đến k, ta có tổng tất cách chọn n ! ! ! m n + k ! ! m n + + k−1 k ! m Vậy đẳng thức chứng minh Nhận xét Đẳng thức Vandermonde viết gọn sau k X i=0 n i ! ! ! m n+m = k−i k Khi a) Với m = n ta có đẳng thức quen thuộc n X i=0 !2 n i ! 2n = n 54 b) Với (0 ki ni ) , i = 1, r X k1 +k2 + +kr =k n1 k1 ! ! ! ! n2 nr n1 + n2 + + nr = k2 kr k Bài toán 3.29 Chứng minh với n ≥ m ! X k≥0 n k ! ! k n n−m = m m Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Giả sử từ n học sinh lớp học, giáo viên chủ nhiệm cần chọn đội văn nghệ số lượng người tùy ý, có m học sinh cầm micro Khi giáo viên chủ nhiệm có hai phương án thực hiện." • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Trước hết giáo viên chủ nhiệm cần chọn k người từ n người Khi có   n k cách chọn Sau từ k người chọn lấy m người cầm micro Cho k chạy từ đến n có P n k  k≥0 k m • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Chọn m học sinh cầm micro từ n học sinh lớp, sau chọn bổ sung thêm nhóm tùy ý n − m học sinh cịn lại Trong n − m học sinh em chọn khơng chọn nên có 2n−m cách chọn Vậy có tất   n m 2n−m cách chọn Do ta có điều phải chứng minh ! X k≥0 n k ! ! k n n−m = m m Bài toán 3.30 Với n nguyên dương cho trước, chứng minh n X k=0 Giải 2k k ! ! 2n − 2k = 4n n−k 55 • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Một đoạn thẳng có độ dài n tơ màu D, X, V, T." • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ta chọn tập cách tô màu D X cho D + X = k số cách chọn  k   P k k i=0 i k−i =   2k k Khi số cách chọn đoạn màu V, T Do với k cố định ta có số cách tô Cho k chạy từ đến n ta có số cách tơ màu là:   k  P n−k n−k  j=0  2k k n P j 2n−2k n−k   k=0 n−k−j 2k k  =  2n−2k n−k  2n−2k n−k  • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Rõ ràng ta có 4n cách Từ ta có điều phải chứng minh n X 2k k k=0 ! ! 2n − 2k = 4n n−k Bài toán 3.31 Chứng minh 1k + 2k + + nk = k−1 X i=0 ! Ak−i k n+1 , với k = 1, 2, 3, k−i+1 Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Từ tập số nguyên dương A = {1, 2, , n + 1}, ta chọn thứ tự (x1 , x2 , , xk+1 ) thỏa điều kiện xk+1 > max {x1 , x2 , , xk } Hỏi có cách chọn?" • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Ứng với xk+1 = i + (1 i n), ta có i cách chọn x1 , i cách chọn x2 , , i cách chọn xk Do đó, số cách chọn S = 1k + 2k + + nk • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Ta chọn k + số từ n + số, số lớn ta chọn làm xk+1 , số lại, ta xếp thứ tự xong 56 Gọi i (1 i n) số phần tử nhóm (x1 , x2 , , xk ) Chọn k−i+1 số khác từ n + số, ta có   n+1 k−i+1 cách Xếp thứ tự k − i số khác vào chỗ trống (các chỗ trống lại hiển nhiên dành cho i số nhau), ta có Ak−1 k Vậy số cách chọn S = k−1 P i=0 Akk−i   n+1 k−i+1 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.32 Cho n ∈ N Chứng minh n X k=0 k   n  jn − kk  2n + = n−k k n     Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Thầy giáo chủ nhiệm lớp 10A gồm n học sinh nam, n học sinh nữ Tối rạp chiếu phim có chiếu phim hay, thầy định tổ chức cho lớp xem Cuối thầy mua n vé Thầy suy nghĩ:" • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Thầy ghép n học sinh nam n học sinh nữ thành n đôi (việc làm coi thực từ đầu khơng ảnh hưởng đến cách chia vé thầy) Chọn k đôi chia cho đơi vé, có 2k   n k cách chọn (vì đơi có vé nên k đơi có 2k kết cục khác nhau), lại n − k vé n −k đơi cịn  lại % $ $n − k % n−k  đôi chia cho đôi vé, có  Thấy tiếp tục chọn  n − k  cách 2 % $ n−k Bây thầy S = n − k − vé S = n − k số chẵn (khi n vé chia hết) S = n − k số lẻ (khi vé cịn lại dành cho thầy) Dễ thấy k nhận giá trị từ đến n    n − k % n n  P $ Suy số cách chia có 2k n −k    k k=0 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Nếu n vé chia ngẫu nhiên cho 2n học sinh (nam nữ) thầy có   2n+1 n 57 cách chia cho 2n + người Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.33 Tính n X ! n (k − 2) (k − 1) k k k=3 Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Giả sử có n bạn tham gia hội khỏe Phù Đổng vòng sơ tuyển, cần chọn số bạn vào vịng chung kết." • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) Sau chọn bạn cho vị trí nhất, nhì, ba, ., bét tổng cần tính số cách chọn n X ! n (k − 2) (k − 1) k k k=3 • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Chọn ln hạng nhất, nhì, , bét từ n bạn bổ sung thêm số bạn n − bạn lại để thi vòng chung kết Nếu chọn kiểu có n (n − 1) (n − 2) 2n−3 cách chọn số bạn chọn theo cách tập n − bạn cịn lại Từ kết cần tìm n X ! n (k − 2) (k − 1) k = n (n − 1) (n − 2) 2n−3 k k=3 Bài toán 3.34 Cho n ∈ N Chứng minh n X k=0 ! n k = 3n k Giải • Bước 1: Phát biểu lại thành toán đếm quen thuộc "Có n gia đình cơng ty, gia đình có người Nhân ngày trung thu, công ty tổ chức phát quà cho cháu có kết học tập cao, gia đình khơng có cháu nhận quà Hỏi có cách phát quà ?" 58 • Bước 2: Xét biểu thức vế trái (Đếm theo cách 1) ◦ Nếu khơng có gia đình có nhận q có ◦ Nếu có gia đình có nhận q có   n   n 20 cách phát quà 21 cách phát quà ◦ ◦ Nếu tất gia đình có nhận q có n   P n k Vậy tổng cộng có k=0 k   n n 2n cách phát quà cách phát quà • Bước 3: Xét biểu thức vế phải (Đếm theo cách 2) Mỗi gia đình có cách (cả khơng có quà, có quà, đứa có q đứa khơng có q) Như vật có tất 3n cách phát quà Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.35 Cho k1 , k2 , , kn số nguyên dương lớn Chứng minh ki X 16i