Đang tải... (xem toàn văn)
Trong lĩnh vực Công Nghệ Thông Tin nói riêng, yêu cầu quan trọng nhất của người học đó chính là thực hành. Có thực hành thì người học mới có thể tự mình lĩnh hội và hiểu biết sâu sắc với lý thuyết. Với ngành mạng máy tính, nhu cầu thực hành được đặt lên hàng đầu. Tuy nhiên, trong điều kiện còn thiếu thốn về trang bị như hiện nay, người học đặc biệt là sinh viên ít có điều kiện thực hành. Đặc biệt là với các thiết bị đắt tiền như Router, Switch chuyên dụng
ww | > đốNa |, NGUYEN PHU KHANH 510.76 C123T CAP TOC GIẢI 10 CHUYEN DE 10 DIEM THI CAC DANG TOAN TRONG NHUNG Ki THI TUYEN SINH VAO DAI HOC HIEN NAY (Tái bản, sửu chữa bổ sung) / ›ể % = Ê_ BIIIIIIIIIII _ DVL.013391 “8S = NHÀ : _ - oc im —` XUẤT BẢN TỔNG HỢP TP HỒ CHÍ MINH 540 16 CHET NGUYEN PHU KHANH GẤP TỐC GIẢI đồ CHUYÊN DE Ồ ĐIỂM THI MON TOAN CAC DANG TOAN TRONG NHUNG Ki THI TUYEN SINH VAO DAI HOC HIEN NAY (Tai ban, situ chữa bổ sung) = MIEN THR ĐÌNH sae CÐVL 244921 _] K8 NHÀ XUẤT BẢN TỔNG HỢP TP HỒ CHÍ MINH Lai nbidéiw te ` Các em học sinh thân mến! Giảng đường Đại học nơi gần em muốn bước vào sau rời THPT, dù biết khơng phải tất có khả năng, điều kiện để thực ước mơ Nhằm góp phần giúp em học sinh thực mơ ước đó, tác giả biên soạn “ Cấp tốc giải 10 chuyên đề 10 điểm thi môn Toán” Cuốn sách biên soạn theo nội dung chuẩn kiến thức, kỹ Trong sách trình bày vấn đề, theo cấu trúc đề thi Bộ Giáo dục Đào tạo để bạn đọc tiện tham khảo Mỗi vấn đề có: - Tom tat kiến thức lý thuyết -_ Lời giải tiết dạng tốn thường gặp ví dụ minh họa - Cac tập rèn luyện kỹ năng, có hướng dẫn tiết Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách phần lý thuyết nặng nề sử dụng Mỗi ví dụ, lời giải lại có nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình khiến người đọc tâm đắc có tư sáng tạo riêng gặp câu hỏi khó, tốn khó lạ khác Phần tập tự luyện tác giả biên soạn công phu tập hợp nhiều dạng tốn hay, mẻ Giúp người học khơng thử sức toán rèn luyện tư duy, mà cịn giải cách dễ dàng tốn hóc búa, tưởng chừng khơng thể giải Một số tập khó cách giải dựa tảng kiến thức kỹ Tác giả hi vọng, gặp đề thi khó, lạ người học khơng cịn ngại ngùng việc đưa lời giải cho toán Cuốn sách kế thừa hiểu biết chuyên môn kinh nghiệm tác giả q trình trực tiếp đứng lớp bồi dưỡng Tác giả hi vọng, người học cần phải nắm vững kiến thức trước làm tập tự luyện Để đạt hiệu cao kì thi Đại học tới, tác giả hi vọng em sử dụng “Cấp tốc giải 10 chun đề 10 điểm thi mơn Tốn” song song với “Ơn luyện thi cấp tốc Mơn Tốn theo chuyên đề" mà tác giả ấn hành, phần có nhiều tốn lạ có nhiều cách giải hay đẹp Các em học sinh đón đọc Hai sách ví cá thể tìm nửa trái tim, mong muốn kết tỉnh tình yêu thật đẹp Mỗi sách, phong cách, nét đẹp! Với “sáng tác độc đáo đầy tư ngẫu hứng” này, tác giả tin tưởng em học sinh vững tin bước vào kỳ thi Đại học tới Sinh viên sư phạm q thầy có thêm nhiều tài liệu để tham khảo Mặc dù tác giả dành nhiều tâm huyết cho sách, song sai sót điều khó tránh khỏi Chúng tơi mong nhận phản biện góp ý quý báu quý độc giả để lần tái sau sách hoàn thiện Tác giả Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Chuyên đề I MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ Tiếp tuyến đỏ thị %$ Chủ đẻ I: ĐỎ THỊ hàm số Viét phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M(xạ;yạ), hoành - độ xạ, tung độ yọ -_ Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A(xạ;ya ) cho trước - _ Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc L1 Phương pháp: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) M(xạ;yạ) điểm (C) Tiếp tuyến với đồ thị (C) M(xạ;yo) có: -_ Hệ số góc: k=f'(xạ) -_ Phương trình: y—yạ =k(x—xạ), hay y—Yạ = f'(xg)(x—*ạ) -_ - Vậy, để viết phương trình tiếp tuyến M(xạ;yạ) cần đủ ba yếu tỐ sau: Hoành độ tiếp điểm: xạ Tung độ tiếp điểm: yọ (Nếu đề chưa cho, ta phải tính cách thay xạ vào )) hàm số yọ = f(xạ -_ Hệ số góc k=f(xạ) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M(xạ;yạ), hoành độ xạ, tung độ vụ Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =f(x) điểm M(xg;f(xo)) Giải Tiếp tuyến đồ thị hàm số y =f(x) M(xạ;yg) là: y=f'(so)(x~X)+Yo Bài toán Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =f(x) biết hồnh độ tiếp điểm x= xạ Giải: Tính yọ =f(xo), y'(xạ)=> phương trình tiếp tuyến: y=ff(o)(x~Xo)+Yo Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y =f(x) biết tung độ tiếp điểm yọ Giải Gọi M(xạ;yạ) tiếp điểm Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Giải phương trình f(x)=yp ta tìm nghiệm xụ Tính y'(xọ) = phương trình tiếp tuyến: y =f'(xạ)(x~Xo)+Yo Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = x3 -3x2 42 Tại điểm (2;-2) Tại điểm có hồnh độ x=—1 Tại điểm có tung độ y =-2 Tại giao điểm đồ thị với y=x—1 Lời giải Hàm số cho xác định với VxelR Goi Mg (Xq;¥q) tọa độ tiếp điểm yạ = y(xạ) = xộ -3x§ +2 y'=3x? 6x, tiếp tuyến điểm Mạ có hệ số góc: y'(xạ) = 3x) —6xy Tac6: x9 =2 =>y'(2)=0 Phương trình tiếp tuyến tai diém M(2;-2): y =0(x-2)-2=-2 Ta c6: X9 =-1=> Yo =-2,y'(-1)=9 Phương trình tiếp tuyén: y =9(x+1)-2=9x+7 Ta có: yọ = -2=> x3 —3x? +2=-2 x} ~ 3x4 +4=0 = (Xp +1)(xp sg =0xụ =~1 xạ =2 Phương trình tiếp tuyến điểm (—1;-2) : y=9x+7 Phương trình tiếp tuyến điểm (2;-2) : y =—2 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y=-2, y=9x+7 Phương trình hồnh độ giao diém: x? —3x*+2=x-1 c>x! ~3x?~x+3=0(x~3)(x? ~1)=0csx=3 x=+1 ì Phương trình tiếp tuyến điểm (—1;-2): y=9x+7 Phương trình tiếp tuyến điểm (1;0): y==3x+ Phương trình tiếp tuyến diém (3;2): y=9x-25 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y=9x+7, y=-3x+3, y=9x—25 Ví dụ Cho hàm số: y=xỶ-(m—1)x°+(3m+1)x+m-2 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ qua điểm A(2;~1) Lời giải Hàm số cho xác định với Vxe R Ta có: y'=3x?~2(m-~1)x+3m+1 Với x=1=y(1)=3m+1=y'(1)=m+6 Phương trình tiếp tuyến điểm có x=1: y =(m+6)(x-1)+3m+1 Tiếp tuyến qua A(2;-1) nên có: -1=m+6+3m+1>m=-~2 ¿ậy, m=-~2 giá trị cần tìm Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Dạng Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm cho trước Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm A(xạ;yạ) cho trước Giải: Gọi M(xạ;yọ) tọa độ tiếp điểm Khi tiếp tuyến có đạng: y =f'(%o)(x—xạ)+Yọ Vì tiếp tuyến qua A nên có: yạ =f'(Xạ)(Xạ — Xọ))+ yọ , giải phương trình ta tìm xạ, suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1 Cho ham sé y=x? -3x?-9x+11 có đồ thị (C) Lap phwong trinh tiép tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm ( a8) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y = ^ Thiết SE A(-6;5) đới qua điểm Lời giải Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị (C) điểm có hồnh độ xạ phương trình tiếp tuyến (A) có dạng: y.=Y'(o)(x=xo)+y(xo)=| 3ụ ~ÕXg-9](x~sa)*xo ~3xã ~9xụ +11 Vì (A) qua điểm (Sam) nên: 18t |ọ ~6Xy |ơs)*~ ~3@ 9xg +11 â 2x 32x0 +58x +260 =0 © xạ =13 xạ =5 xụ =~2 - Với xạ =13 phương trình tiếp tuyến y =420x—3876 - Với xạ =5 phương trình tiếp tuyến y =36x— 164 - Với xạ =-2 phương trình tiếp tuyến y =15x+39 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y =420x-3876; y=36x- 164; y =15x+39 Cách 1: Gọi (xạ;y(xạ)) tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến d (C), voi y(xọ)= ^, tiếpax tuyến“ d có hệSahsố gócxà y i (xe)=—=, Xo~ phương trình: y tt (Xo -2) d qua điểm (Xo -2 Xọ #2 d có: —Xg)+ xp #2 A(-6;5) nên có Xo -2 SN ta Xg— tương đương với xã — 6X9 =0> Xp =0 xạ =6 phương trình Cấp tốc giải 10 chun để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh * Với xạ =0, ta có phương trình: y=—x—1 *- Với xạ =6, ta có phương trình: y=-T t2 ¬ xế: Z Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề y=—x—1, yer x ti» Cách 2: Phương trình d qua A(-6;5) có hệ số góc k, d có phương trình là: y =k(x+6)+5 d tiếp xúc (C) điểm có hồnh độ xạ hệ: Xạ+2 k(x +6)+5=—° 4 koe (xo =2) ° 4x ~24xạ =0 có nghiệm xạ hay Xp =0, k=-1l=>d:y=-x-1 Xp =6, % k=-—>d:y=-—+=— sg ed Em aS có nghiệm xạ bạ~2Ÿ NI Vậy, có tiếp tuyến thỏa đề y=—x—1, i * Nhận xét 1: Qua cách ta thấy đường thẳng d: y=-x—1 tiếp xúc với (C) tiếp điểm M(0;~1) đường thẳng d ln vng góc với đường thẳng IM với I giao điểm đường tiệm cận Qua ta có tốn sau: Tìm đồ thị y = a điểm M cho tiếp tuyến M vng góc với xđường thẳng IM, với 1(2;1) Gợi ý Gọi (xạ;y(xạ)) tọa độ tiếp điểm cần tìm với y(xạ)=1+ M có hệ số góc ¥'(%)=——— (xo ~2) : : va tiép tuyén Xo - Xp #2 Đường thẳng IM có hệ số góc k k= y(Œo)-y(x)_— Xọ ~Xị (xo 2)" Tiếp tuyến M vng góc IM y'(xạ).k=~—1 tức -4 2° (Xo -2)° (xo -2) Vậy, M;(0;—1), =-1 hay (Xp -2)* =16 xq =0 hodc xg =4 M;(4;3) tọa độ cần tìm Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt * Nhận xét 2: Dễ thấy, tiếp tuyến M;, M; song song với nhau, đường thẳng qua điểm Mạ, M; song song với đường phân giác thứ mặt phẳng tọa độ tức tiếp tuyến Mạ, M; có hệ số góc y'(0)= y'(4)=—1 * Qua đó, ta có tốn sau: Giả sử đường thẳng A: x— y—m =0 cắt đồ thị y = = x— điểm phân biệt M„, M2 Goi ky, ky hệ số góc dị, d; tiếp tuyến đồ thị Mạ, Mạ Tim toa dé M,, Mz cho k, +k, =-2 Tim gid tri me để tiếp tuyến Mị, M; song song với Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C): y = oe ¬ biết d cách x+ điểm A(2;4) B(-4;-2) Lời giải Gọi M(xạ;y(x)) , xạ #~1 tọa độ tiếp điểm d (C) Khi d có hệ số góc y'(x))=—— có phương trình : (xp +1)" I (xy +1)" Xg +1 y =——, (x- xp ) +2Vì d cách A, B nên d qua trung điểm I(-1;1) AB phương với AB THI: d qua trung điểm I(-1;1), ta ln có: 1=——zÍ4-xj##- (xo +1) : „ phương trình có nghiệm xạ =1 Xg+1 Với xạ =1ta có phương trình tiếp tuyến d: y y= ay ee+= TH2: d phương với AB, tức d AB y'(xo)= kạp =" wa B~XA =1 hay (xo+1) có hệ số góc, =1 xọ =-2 xạ =0 Với xạ =~2 ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+5 Với xạ =0ta có phương trình tiếp tuyến d: y=x+1 Vậy, có tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: yaaeee, y=x+5, y=x+1 Vi du Cho ham s6 y=x*—4x? +3, cé dd thi (C) Viét phwong trinh tiép tuyén cia (C) qua điểm A(0;4) có hệ số góc m, biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) bốn điểm phân biệt Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Cho hàm số y=—x”+3x-2, có đồ thị (C) " Tìm tọa độ điểm đường thẳng y=-4 mà từ kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến Lời giải Phương trình đường thẳng d qua A có hệ số góc m có dạng: y=mx+4 d tiếp xúc đồ thị (C) điểm có hồnh độ xọ hệ : —4xp +3 =mxy) +4 3x9 —4xp +1=0 *0 xố 4x3 —8x =m ° có nghiệm xạ m=4 3-5 => m= 4x3 —8xy Với m=-4, Đụ lệ m = 4x5 —8Xọ m=-4 xá =1 hay © có nghiệm xạ © wee _ 20/3 amd tiếp tuyến y=-4x+4, tiép diém M, (1;0) Với m=4, tiếp tuyến y=4x+4, tiếp điểm M;(-1;0) Với —- Với m=208 tiếp tuyến y =— 208 oa isp tuyén y-298 tiếp điểm MŠ: ‘| yg, tiép diém m(- r7 Ae) Vậy, qua A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C): y=-4x+4, y=4x+4,y= 25 vá,y= 205 x+4 q Mở rộng: Dạng toán qua điểm kẻ tiếp tuyến đến đồ thị dạng tốn gặp Để hiểu kĩ đạng tốn này, ta giải toán sau: “Biện luận theo m số tiếp tuyến (C): y=x' -6x” vẽ từ điểm M(3;m) ” Gợi ý: Phương trình tiếp tuyến (đ) (C) vẽ từ M(3;m) có dạng: y=k{x-3)+m (d) (C) tiếp xúc điểm có hồnh độ xạ, từ suy ra: m=x§ -6xã - (4x9 - 12xo Ì(Xọ ~3)=g(xo) Ta có: g'(xạ)=0 AM Ta có Sai =SAncp ~ (Sanh +ŠcHM +SApM) _ Nen HK =2Saum - 3⁄21, _ N JN AM 28 Za 3V3 age HR? _ Ta, 33 v2, Suy SAMN =2NK .AM= 32, d(D, (AMN))=~= Vậy khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (AMN) a, : t cầu Khái niệm mặt cầu Mặt cầu tâm O bán kính R ( ta kí hiệu S(O,R)) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn S(0,R)={M|OM=R} Nếu AB đường kính mặt cầu S(O,R) với điểm M thuộc mặt cầu ( trừ A B) AMB=900, Ngược lại với điểm M nằm không gian thỏa man điểm M thuộc mặt cầu đường kính AB AMB=90° thi 205 Gấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Il Vi trí tương đối điểm với mặt cầu Cho mặt cầu S(O,R) điểm A khơng gian Nếu OA >R Nếu OA=R Nếu OAR (P) khơng cắt mặt cầu Nếu OH=R (P) (S) có điểm chúng H Khi ta nói: (P) tiếp xúc với mặt cầu (P) gọi mặt phẳng tiếp diện, H gọi tiếp điểm Nếu OHR d mặt cầu khơng có điểm chung Nếu OH=R d mặt cầu (S) có điểm chung H Khi ta nói d tiếp xúc với mặt cầu d gọi tiếp tuyến cảu mặt cầu, H gọi tiếp điểm Nếu OH Gọi O trọng tâm tam giác ABC, ta ln có: 50-5 (SA +88 +5C)—2(a+b-+-40) = 50-2 | a+b+4¢) => /48+96c0s Vậy, Vs pc = 1| v3 l8 sp = 558 , [abl =|b-s[ =Z ( đvtt) 209 Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh Cho hình chóp giác cạnh S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB tam avà nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng (SAC) va (SCD) tao với đáy góc 602 302 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB— SH L AB Ma (SAB) | (ABCD) => SH (ABCD) = Vs.ancp = sSHSancp Vẽ HK | AC=> AC.L(SHK)= SKH góc hai mặt phẳng (SAC) mặt đáy nên SKH =600 Vẽ HE LCD=>CD (SHE) => SEH góc hai mặt phẳng (SCD) mặt đáy nên SEH=300, Đặt AB=x, tam giác SHE ta cé: SH =HE.tan30° =—— Ta có AAKH KH= = AC Trong tam giác SHK 2va? +x? ta có: SH= HKtan600 = axv3 2Va”+xˆ Từ (1) (2), suy ra: we 2Va? +x? es x? +a? -3¬x- Đố Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: V =3SH AB.AD= ; 28 ay 28 = Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD =600, G trọng tâm AABD SG L (ABCD), so=2¥6 Gọi M trung điểm CD Tính thể tích — khối chóp S.ABMD; khoảng cách AB SM theo a Hướng dẫn giải Dễ thấy, SG đường cao khối chóp S.ABMD SG =, Vi ABCD hình thoi cạnh a, BAD=60° nên AABD ABCD tam giác cạnh a, M trung điểm CD 1a2v3 _a”v3 =5 ABCM Eals 2ABCD =—=2 210 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt “>SABMD =SABCD —SABCM a Vay, Vs aBMp = = a^J3 a2V3 3a2vJ3 aa: ( đvtt) Vi AB||CD=> AB — = d(AB.SM) = d[ AB,(SCD) |=d[B,(SCD) ]=h Hơn av3 AG =2Ao=2:lac alae 32 3 aac = 248 2 =62— _- Lại có: GD= ca = —, sp? -=$6” +GDẺ —'~ + T—=aP Suy y — =2a? P (22275 =>§C? =SG? +GC2 sc? ata? 0? 2a2+a2-a2 1= cosSCD=~——————=“——_——=-~—SCD-=4ø0 2SC.CD aes a) Khi đó:iat Sascw ASCM = SCCM.sin459 =2 sin 2=1a/2.32 v2 _a Š ( dvdt ) 3VbscM Mặt khác: Vẹ acm = Vasco == hSascm suy h=—=*—” SASCM V =v, Suy h=—2A4 24 BSCM =VW S.BCM 3a3/2 a? S.ABCD —W — *S.ABMD _lavo a’ 313 _a j22 _a rer _av2_a ab V2 “244 av2 a2 — Vậy, d(AB,SM)=~— 4 Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có chiều cao h đường thẳng AB, BC' vng góc với Tính thể tích lăng tru theo h Hướng dẫn giải Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC, I trung điểm BC => AILBC, cl=1B=5 * Tacé: AILBC, AIL BB' (vi BB’ L(ABC)) => Al L(BB'C'C)= AIL BC’ + Hơn nữa: BC'.L AB'=> BC’1 (AIB') = BC’ LIB’ tai K 211 Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi mơn Tốn - Nguyễn Phú Khánh + ABBI vng, có: IB'2=BB'2+IB?=h2+2_= 24h? +a’) IK IB * IB||B'C'=> —=——=-> B'K= IB’ Cc BC KB' * ye * ABB'I vudng co dung cao BK: BB’? =B'K.B'] ‘ +a? >a? oye =2h * VapcA'gc: =hSapc =Ìh vf nh 1V3 _ — Cho hình chóp tam giác An S.ABC T “⁄ ch?= 218 ap? =2 (4h? +2? ) 6h?sẽ=4h? Z ý cm a a C ( đvtt) | + ~ I có cạnh đáy Gọi M,N trung điểm SB,SC Tính diện tích AAMN, biết (AMN) L (SBC) Gọi K trung điểm BC Ta có: AAMN Hướng dẫn giải va I trung điểm MN, O trọng tâm AABC cân A nên AI LMN giả thiết (AMN) | (SBC) suy AI (SBC) = AI L SI Hon niva MN SI suy SI.L(AMN) Stay S080 SM SN Lại có: WSAMN_ SM SN _1 Vs Apc ~ SB “sc Ta thấy, AASK —— 150 OY agree SS =——S “=s0=ˆ> vis cân A nên AK=AS=- v2 Sl=-=SK=—->S Fi AMN = Cho lăng trụ đứng ies I ABC.A' : €C' có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a, cạnh bên AA'=ax2 Gọi M trung điểm cạnh BC: Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Hướng dẫn giải Gọi E trung điểm BB', ta có: ME||B'C— B'C||(AME) Suy d(B'C,AM) = d[B'C,(AME) |= d[C,(AME) ] Gọi H hình chiếu vng góc B lên AE = BH L AE (1) Hon nita BM | (ABE)=> BM AE (2) Từ (1) (2) suy AE L (BMH)= AE.LMH Ta có: AABE 212 TH BH? + apt AB? mg B,nên ual EB? oe a B =BH=®Ẻ Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt _a/21 suy Same = ABHM =3 = Mặt khác : YcAr _MC _1 VcApp BC a /2 > VCAEM = YCAEB Tỉ ba Và@ V, "C.AEM ==-S v7 AEM d| [ C,(AME) ( )] | = dị [ C,(AME) ( )] |=——— a - Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA =a; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) đoạn AC,AH -< Goi CM điểm H thuộc đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Hướng dẫn giải Cách 1: Chứng minh M trung điểm SA Ta có: AH= = SH= =s§c= rata Suy SC=AC= AACS sa? - AH? = ae pac =23v2 can tai C nén M trung điểm SA Tinh Vo yiBc Vi M trung diém SC nên S, SCM —ais 29SAC , Suy 1 VsMpc = VSAnc =SHŠaApc =¬ a3J14 ue, Tam giác SAC can tai € nên M md diém SA V14, cụ-38V2, sc 2g, 4 Ta có: Vsmac _ SM _1 Vsapc SA A 1⁄1 => V SMBC = > YS.ABC ==.=5HS =5°3 ABC aia? avi4 _ 62° ì 273 Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Tốn — Nguyễn Phú Khánh Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA =a, SB=av3 mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM, DN Hướngdẫngiải Cách 1: Gọi H hình chiếu S tính c trén AB, suy SH (ABCD) Do SH đường cao hình chóp S.BMDN Ta có: SA? +SB? =a? +3a? = AB? = ASAB vng S -=§M=“ =a Do tam giác đều, suy SH sa « B Diện tích tứ giác BMDN là: Sgwpy =2SAscp =2a2 Thể tích khối chóp S.BMDN : V = SH Snwx = a V3 Kẻ ME|IDN (EcAD)= AE== (dvtt) Đặt Ø góc hai đường thẳng SM DN Ta có: (SM,ME)=ọ Theo định lý ba đường vng góc, ta có: SA L AE =SE= SA” AB? 8, ME= Do ASME cân E nên SME=9 a+ ag? 28 va cope Zou, aj5_ Cách 2: Tính tích: 'SBCM _SM_1 > Vscun_ SM SN _1 Vspca SA 27 Wcap SA SD Vs pMDN = VspcM + VSCNM = 2Wsuca +2 Wcp Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M,N,P trung điểm cạnh SB,BC,CD Chứng minh AM tích khối tứ diện CMNP Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi H trung điểm AD Ta có tam giác SAD nên SH L AD 214 vng góc với BP tính thể Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Do (SAD) (ABCD) => SH (ABCD) =SHLBP (1) Ta có ABCD hình vuông nên: ACDH=ABCP =BPLCH (2) Từ (1) (2) suy ra: BP.L(SHC) Mặt khac: MN // SC; AN // HC => (AMN) // (SHC) > BP AM Goi K=BHMAN Ta cé’ MK trung bình tam giác SBH 1a dong Suy MK ||SH=> MK (CMN), MK =2SH = me Diện tích tam giác CMN:Scuy =2CMCN =— v3a3 (đt, Thể tích khối tứ diện CMNP: Voyyp =2.MKScy =S— CN CP Vomep _ Vwcsp Cách 2: NiVem aes (a), TH Vempp cs8p Wscgp : V Lấy (a)x(b), ta a S.BCD BM_ b) Vemnp = Vs.eco Gọi H trung điểm AD =› SH L AD (SAD) L (ABCD) nên SH L (ABCD) Cho nên, Vẹ pcp =3§HSscp = a’ 3/8v3 v3a3 ¿ 3a Veynp = = 10 Cho hình chóp S.ABCD đáy hinh thang, ABC=BAD=90° , BA = BC =a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA =ax2 Gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vng tính (theo ø ) khoảng cách từ H đến mp(SCD) Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi | trung điểm AD Ta có CI=IA =ID -= suy AACD vuông € =CD AC.Mà SA L (ABCD) = SA LCD nên ta có CD L SD hay ASCD vng Gọi dị;d; khoảng cách từ B,H đến mp(SCD) Ta c6: ASAB © ASHA=> =~ = 5B _, SH_SA™_2 SH_da 234 24 SH SA SB sp? Thể tích khối tứ diện S.BCD: Vsgep = 75A.> ABBC sc ` SB d, 3 Ta cé: SC= SA? + AC? =2a,CD=VCI? +1D? =V2a = Seep =2SCCD =V2a? 215 Cấp tốc giải 10 chuyên để 10 điểm thi môn Toán - Nguyễn Phú Khánh a ca 4/242 Vậy khoảng cách từ H đến mp(SCD) d; == ii s Cách 2: Ta có: đường cao AH „SH SA? ASAB 2a? vuông SH nên —=———=—->=2>——=-~ HB AB? a2 SB nne sa Mr Vspcp = ủi Sscp = dị = A, _2 B Cc Vsucp _ SH 21 a oa = —SP > V S.HCD ~=-V, Vsgcp YS.BCD ==.-av2.—= ~3°3 Mặt khác: ASCD vuông C, nên có Sscp =20DCS = 2a2.2a =a22 Hơn nữa: Ws cp = 28sco d[H(SCD)] => d[H,(SCD) ]= a =ã 11 Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O', bán kính chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A Trên đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB=2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB Hướng dẫn giải Kẻ đường sinh AA', gọi D điểm đối xứng với A' 4“ qua tâm O' H hình chiếu B A'D / Ta có BH L (AO0O'A') nên V=2BHSapg Mat khac Sago: = 2a thể tích tứ diện OO'AB Vooag = D l Ta có A'B=/3a,BD =a, tam giác BO'D suy BH -a OH ý nên suy V3a3 A 18 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC tam giác vuông A Biết AB=a; AA'=av3; ÁBC=600 Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ w L⁄ oO ag Cc et | Hướng dẫn giải Gọi I,I' trung điểm BC, BC” Ta có I,I lần3ượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, A'B'C' Gọi O trung điểm II' ta có O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Bán kính R=0C 216 € Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt poc-BC ^B ạ=â, oi-2v3 2cos60 =R= 0l? +IC? = av7 13 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB=a, góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 60° Goi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC Hướng dẫn giải theo a Gọi H trung điểm BC, theo giả thuyết ta có: A'HA=600, Ta có: An=®Ê Ai =2AH= a3 AA'~` Vậy thể tích sais lang tru _a?V3 3a_3a°V3 42 (dvtt) Goi I 1a tam ca tam gidc ABC, suy GI|| AA'= G1 L (ABC) Gọi J tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC suy J giao điểm GI với đường trung trực đoạn GA ; M trung điểm GA, ta có: GM.GA =GJ.GI=> R =GI= GMGA _ GA” _7a Gr Gr 12 12 Cho hình chóp SABCD cé day ABCD AC=a3 hình thoi cạnh a⁄13 đường chéo Các cạnh bên SA = 2a, SB = 3a, SC=a.Tính thể tích khối chóp cosin góc hai đường thẳng SA CD Hướng dẫn giải SA; CD=SA;AB, cosSAB et Bul Ap dung dinh lý hàm cơsin, tính được: 13 ASC = 60°, ASB = 90°, BSC = 120° Lấy MeSA,NeSB cho SM=SN =a => CM=a,MN =aV2,CN =avV3 Suy ACMN vng M Mà SM=SN=SC=a nên hình chiếu H S$ trén a’ /2 (CMN) trung điểm CN, SH “5° Vscun = 55HS acu i 217