PHÒNG GDĐT THANH OAI KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, Năm học 2022 - 2023 Mơn: Tốn – Lớp: ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12 tháng năm 2022 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I TRẮC NGHIỆM (5 điểm): Chọn 01 đáp án cho câu hỏi 2 Cho x 3 y Tính x y 2022 x y 2023 kết là: A -2 B C D 2 Giá trị biểu thức x 1001x 1001x 1001x 1001 x 1000 bằng: A 1000000000 B 1000 C D Cho x y 26 xy , giá trị ( x y )2 là: A B 16 C 21 D 36 Một xí nghiệp dự định sản xuất 2000 sản phẩm 40 ngày Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế xí nghiệp sản xuất ngày vượt mức 10 sản phẩm Do xí nghiệp sản xuất vượt mức dự định 100 sản phẩm mà cịn hồn thành trước thời hạn Xí nghiệp rút ngắn số ngày hồn thành cơng việc là: A 20 ngày B 15 ngày C 10 ngày D ngày Cho tam giác cân ABC có AM đường trung tuyến, biết AB = 15 cm, BC = 18 cm Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Diện tích tứ giác ABCD là: A 108 cm B 216 cm C 270 cm D 66 cm Cho biểu thức C x( y z ) y ( z x) z ( x y ) Chọn khẳng định khẳng định sau : A Giá trị biểu thức C không phụ thuộc vào x, y, z B Giá trị biểu thức C phụ thuộc vào x, y z C Giá trị biểu thức C phụ thuộc vào y D Giá trị biểu thức C phụ thuộc vào x Cho tứ giác ABCD Gọi M,N trung điểm AD BC Đáp án ? AB CD AB CD C MN A MN AB BC CD DA AB CD D MN B MN Số nghiệm phương trình: x3 x ? A B C Phương trình x 3x có tập nghiệm S là: D A S 1 B S 1;2; 2 C S 2; 2 D S 1; 2 10 Tính độ dài hộp hình lập phương, biết độ dài cạnh hộp tăng thêm cm diện tích phải sơn mặt bên ngồi hộp tăng thêm 216 cm2 A cm B cm C cm D cm PHẦN II TỰ LUẬN (15 điểm) Câu (6 điểm) a 2a 2a a 4a Cho biểu thức M : a3 a 1 4a 4a a) Tìm điều kiện xác định chứng minh M = a 4 b) Tìm a để M c) Tìm giá trị a để biểu thức M đạt giá trị lớn Tìm a, b cho f ( x) ax3 bx 10 x chia hết cho đa thức g ( x) x x Câu (3 điểm) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x y xy x y Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a b c b a c Tính giá trị biểu thức b c a a c b sau: P a b b c c a a 2b 3c 2022 2023 Câu (5 điểm) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC hai điểm M, N 1) Chứng minh DM = AF tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh CBH AEH AC EF 1 3) Chứng minh : AD AM AN Câu (1 điểm) Cho số tự nhiên n > Chứng minh 2n = 10a + b (a, b N , < b < 10) tích ab chia hết cho - Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Học sinh không sử dụng tài liệu Họ tên: …………………………………………………… Số báo danh: ………… Học sinh Trường THCS: ……………………………………………………………… HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN PHẦN I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5đ) Mỗi câu trả lời x 0,5đ B D B D B A C C PHẦN II TỰ LUẬN (15đ) Câ Nội dung u a) Điều kiện: a 0; a D 10 B Điểm 0,5 a 2a 2a a 4a Ta có: M : a a 4a a 4a 4a a3 a a b) M 4a a Kết hợp với điều kiện suy M a a a a 4a a 2 4a c) Ta có: M 1 a 4 a2 a 4 Vì a 2 a2 a 2 với a nên Dấu " " xảy 0,25 với a 0,25 a2 Vậy MaxM a 1.2 1,5 a2 a 2 0,25 0a2 0,25 0,5 *g ( x) x x x 1 x * f ( x) ax bx 10 x 4 g ( x) f ( x) ax3 bx 10 x x 1 x Q x (1) x 0,5 Thay x1 1; x2 vào 1 ta có: a b 8a 4b 16 a b 8 a Vậy f x ax bx 10 x 4 g x b 8 0,75 x y xy x y x y 1 y 2.1 Do y 4; x y 1 0;4 y x, y; x y 1 ,4 y 2 4 y số phương nên x y 1 y 1 y y x 2 + TH1: x y 1 x 1 (t/m) x 2 +) TH2: y 1 y 1 y 1 x 2 (t/m) x y 1 x 3 x 0,5 Vậy cặp số nguyên x; y 0;1 ; 2;1 ; 2; 1 ; 4; 1 0,25 Với a, b, c , ta có: 0,25 a b c b a c b c a a c b a b c b a c a c a2 c2 b a c 0 0 b c a a c b b ac ac 1 ac b (a c) ac ab bc b 2.2 a c ac ac b 0,5 0,25 a c a c b b c b a c c b a b 0,25 P a b b c c a a 2b 3c 2022 2023 0,25 2023 2023 E A B H F D M C N ) 1) Ta có: DAM ABF (cùng phụ với BAH ( gt ); BAF ADM 900 (ABCD hình vng) AB AD ADM BAF g.c.g 1,5 DM AF , mà AF AE ( gt ) nên AE DM Lại có: AE / / DM (vì AB / / DC ) Suy tứ giác AEMD hình bình hành 900 ( gt ) Mặt khác DAE 1,5 Vậy tứ giác AEMD hình chữ nhật 2) Ta có ABH FAH ( g g ) AB BH BC BH hay AB BC; AE AF AF AH AE AH HBC (cùng phụ với ABH ) Lại có: HAB 0,5 CBH AEH (c.g c) S BC CBH , mà S EAH AE SCBH BC 4( gt ) BC AE S EAH AE BC AE E trung điểm AB, F trung điểm AD Do đó: BD EF hay AC EF (dfcm) 0,5 3) Do AD / / CN ( gt ) Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: AD AM AD CN CN MN AM MN Lại có: MC / / AB gt Áp dụng hệ định lý Ta let ta có: 0,25 MN MC AB MC AD MC hay AN AB AN MN AN MN 0,25 2 AD AD CN CM AM AN MN MN CN CM MN 1 MN MN ( Pytago) 0,25 1 AD AD (dfcm) 1 2 AM AN AD AM AN Ta có 2n = 10a + b nên b suy ab (1) Ta chứng minh ab (2) Thật vậy, từ đẳng thức 2n = 10a + b suy 2n có chữ số tận 0,25 0,25 b Đặt n = 4k + r (k, r thuộc N, r 3) ta có: 2n = 16k2r Nếu r = 2n = 16k tận suy b = nên ab Nếu r 2n - 2r = 2r(16k - 1) 10 suy 2n tận 2r suy b = 2r dẫn đến 10a = 2n - 2r = 2r(16k - 1) suy a nên ab Từ (1) (2) suy ab (Học sinh có cách giải khác, cho điểm tối đa) 0,25 0,25 0,25