TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN d Định nghĩa đường trung trục: Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vuông gó với đoạn thẳng trung điểm Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng với B qua d M A H B Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng Định lí 2: Điểm cách mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng thuộc đường trung trực AB Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng II BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho Chứng minh AD vng góc với BE ^ Bài 2: Tam giác ABC vng A có C=30 ° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho ^ AD= AC Tính số đo góc DBC Bài 3: Cho tam giác cân MAB , NAB , PABcó chung đáy AB Chứng minh M , N , P thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC có ^ A=6 00, M điểm nằm B C Vẽ điểm E cho AB đường trung trực ME, điểm F cho AC đường trung trực MF a) Chứng minh trung trực EF qua A b) Chứng minh BE +CF=BC c) Tính góc tam giác AEF d) EF cắt AB, AC I, K Chứng minh MA phân giác góc IMK e) Phải cho góc A tam giác ABC độ để A trung điểm EF Bài 5: Cho Δ ABC góc A nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB , AC a) Chứng minh AP= AQ b) Cho ^ BAC=60 ° Tính số đo góc ^ PAQ ^ ^ ^ c) Chứng minh API= AHI AHK= ^ AQK d) Gọi I , K giao điểm PQ với AB , AC Chứng minh HA tia phân giác ^ IHK Bài 6: Cho tam giác ABC có ^ A=9 Trên tia BA lấy điểm M cho BM =BC Phân giác góc ABC cắt AC I, MC K Tia MI cắt BC H a) Chứng minh BI trung trực AH AH // MC b) Chứng minh AK+ KH =CM 0 c) Nếu ^ K A H=6 , tính ^ ABC=6 Bài 7: Cho tam giác ABC có ^ A=9 , AB< AC , AH đường cao HM, HN đường phân giác tam giác ABH ACH Gọi I trung điểm MN Tia AI cắt BC K a) Chứng minh MN =AK I trung điểm AK b) Chứng minh tam giác MAN tam giác vuông Hết HDG Bài 1: Δ ABD=Δ AED (c.g.c) ⇒ DB= DE (1) A E B D C Theo giả thiết: AB= AE (2) Từ (1) (2), ta chứng minh AD đường trung trực BE Suy AD ⊥ BE Bài 2: AB đường trung trực AC ⇒ BD=BC ⇒ Δ DBC cân B ^ ⇒^ BDA=C=30 ° ⇒ ^ DBC=180 °−60 °=120 ° Bài 3: 30o A D Vì Δ MAB cân M ⇒ MA =MB ⇒ M ∈đường trung trực đoạn thẳng AB Δ NAB cân N ⇒ NA=NB ⇒ N ∈đường trung trực đoạn thẳng AB Δ PAB cân P ⇒ PA=PB ⇒ P ∈đường trung trực đoạn thẳng AB ⇒ C thẳng hàng Bài 4: a) Vì AB trung trực EM Vì AC trung trực MF ⇒ AF= AM đường trung trực EF hay đường trung trực EF qua A E b) Vì AB trung trực EM Vì AC trung trực MF ⇒CF =CM Có BC=BM + CM=BE+CF ⇒ BC =BE+ CF c) Xét Δ AEM cân A có AB đường trung trực ⇒ AB phân giác ^ E AM ⇒^ E A B= ^ MAB Xét Δ AFM cân A có AC đường trung trực ^ ⇒AC phân giác FA M ⇒^ FAC= ^ MAC Có: ^ BAC= ^ BAM + ^ MAC B M I A C K F ΔAEF Vì cân A d) Vì K ∈ trung trực MF ⇒ KM =KF ⇒ △ KMF cân K ⇒ ^ KMF= ^ KFM Δ AFM cân A ⇒ ^ AMF= ^ AFM ^ ⇒^ AMK =^ AFK Vì I ∈ trung trực ME ⇒ ℑ=IE ⇒ △ IEM cân I ⇒ ^ IEM =ℑ E ^ ^ Δ AEM cân A ⇒ AME= AEM ^ Mà ^ ^⇒^ ⇒^ AEI = AMI A E I = AFK AMK= ^ AMI ⇒ MA phân giác ^ IMK ^ e) Để A trung điểm EF ⇒ EAF =18 mà ^ EAF =2 ^ BAC ⇒ ^ BAC=9 0 Bài 5: a) Từ giả thiết suy AP= AH AQ= AH nên AP= AQ b) Ta có: A Q K I P c) Δ API =Δ AHI (c.c.c) ⇒ ^ API = ^ AHI ( ) Δ AHK =Δ AQK (c.c.c) ⇒ ^ AHK = ^ AQK ( ) d) Có AP= AQ ⇒ Δ PAQ cân ⇒ ^ API =^ AQK ( ) Từ ( ) , ( ) ( ) suy ^ AHI= ^ AHK ⇒ HA tia phân giác ^ IHK Bài 6: Δ MBI = ΔCBI (c g c ) ⇒ ^ BMI = ^ BCI Δ BHM= ΔBAC ( g−c−g) ⇒ BA=BH hay Δ BAH B H C B cân B có phân giác BI nên BI đồng thời đường trung trực AH ⇒ BI ⊥ AH H A BK phân giác tam giác cân MBC cân B nên BK đường trung trực đoạn MC ⇒ BK ⊥ MC mà B , I , K thẳng hàng C I K M ⇒ BI ⊥ MC Từ suy AH // MC b) Tam giác AMC vuông A, trung tuyến AK nên AK =KC =KM= MC Δ BHM= ΔBAC (cmt ) ⇒ ^ BHM =90 ° ⇒ ^ CHM =90° Tam giác CHM vuông H, đường trung tuyến KC nên HK =KC =KM= MC Từ suy AK + KH =CM [ Lưu ý: Xem lại – Phiếu C304: Tính chất đường trung ến c tam giác] c) Nếu ^ K A H=6 Δ AHK (vì AK =HK ) ^ AKM= ^ HKC=60 ° ⇒ Δ AKM ; Δ HKC tam giác ^ =60 ° ⇒^ AMK =^ HCK=60 ° ⇒ ^ BMC=BCM Suy tam giác BMC hay ^ ABC=6