On thi môn toán thptqg dành cho các học sinh đạt 9+, đề hay, sáng tạo, bám sát cấu trúc giúp các bạn hs ôn tập tốt nhất. Chuyên đề số phức là một chuyên đề khó, nắm vững kiến thức giúp các bạn học sinh tự tin làm bài, đạt điểm cao.
GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức ĐÁP ÁN CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC I.Thiết lập hệ phương trình Câu Có số phức z thỏa mãn 1 i z i z 13 2i ? A C Hướng dẫn giải B D Chọn B Gọi z a bi , a , b 1 i z i z 13 2i 1 i a bi i a bi 13 2i a b a b i 2a b 2b a i 13 2i Câu Câu 3a 2b 13 a z 2i b b 2 Vậy có số phức thỏa mãn yêu cầu toán Cho số phức z a bi a, b thỏa mãn điều kiện 1 2i z 3i z 30i Tính tổng S a b A S 2 B S C S D S 8 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 2i z 3i z 30i 1 2i a bi 3i a bi 30i a b a a b 5a 3b i 30i 5a 3b 30 b Khi S a b [Mức độ 3] Có số phức z thỏa mãn z i 2 z 1 số ảo? A B Đặt z x yi C Lời giải D x, y Từ z i 2 x y 1 i 2 2 x y 1 2 2 x y 1 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn C có tâm I 2;1 , bán kính R2 2 2 Ta có z 1 x 1 yi x 1 y x 1 yi x 1 y x y 1 2 Để z 1 số ảo x 1 y x 1 y x y 1 Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z hai đường thẳng d1 : x y d2 : x y Ta có d I , d1 2 12 1 2 R nên đường 2 R d I , d 12 12 thẳng d1 tiếp xúc với C A , đường thẳng d cắt C hai điểm phân biệt B, C Dễ thấy d1 cắt d2 điểm M 1;0 C nên ba điểm A, B, C không trùng Vậy có số phức thỏa mãn tốn https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Câu Chuyên đề số phức (Mã105 2017) Có số phức z thỏa mãn z 3i 13 A B C Vô số Lời giải z số ảo? z2 D Chọn D Gọi số phức z a bi , a , b Ta có z 3i 13 a bi 3i 13 a b 13 a b 6b a b 6b 1 a bi z 2 1 1 1 z2 z2 a bi a b2 a 2 b a 2 2a b 2b a 2 b i a b2 a a 2 b 2b a b2 i a b2 a z a b 2a Do số ảo nên a 2 z2 b a b2 Thay vào ta có 6b 2a a 3b thay vào ta có 2 b 0( L) 3b b 6b 10b 6b 1 b a 5 Vậy có số phức cần tìm 2 II.Phương pháp lấy môđun hai vế: Câu 10 i Mệnh đề đúng? z 1 3 B z C z D z 2 2 Hướng dẫn giải Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z A z Chọn C Ta có z 1 z z 10 10 i z 2 z 1 i z z z 10 10 2 z z 1 z Đặt z a z z a2 2 10 a 2a 1 a a a z a a 2 Vậy 1 2i z Câu (Mã 102 2018) Có số phức z thỏa mãn z z i 2i i z ? A B C Lời giải D Chọn B z z i 2i i z z i z z z i (*) https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức z1 3iz2 z1 3iz2 OM OP OM OP PM 2OI PM OI 60 OM OP nên MOP suy PM OI 3 Vậy Do MON T 2PM OI 2.6.3 36 Câu Trong mặt phẳng tọa độ, điểm A , B , C điểm biểu diễn cho số phức 1 i 1 2i , 2i3 Khi tam giác ABC có tính chất là: B Vuông A C Vuông C Hướng dẫn giải A Tam giác 4i , i 1 D Vuông B Chọn D 4i 2i A 2; 2 ; 1 i 1 2i i B 3;1 ; 2i 2i C 0; i 1 Suy ra: AB 1;3 ; BC 3;1 AB.BC Vậy tam giác ABC vng B Ta có: Câu 10 Cho điểm A , B , C biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 Biết z1 z2 z3 z1 z2 Khi tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C C Tam giác ABC cân C D Tam giác ABC vuông cân C Hướng dẫn giải Chọn B Vì z1 z2 nên z1 , z2 hai số phức đối nhau, hai điểm A, B đối xứng qua gốc O ( tức O trung điểm đoạn thẳng AB ) AB Lại có z1 z2 z3 OA OB OC CO Vậy ABC có độ dài đường trung tuyến nửa cạnh huyền nên vuông C IV.BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC Câu 11 [Mức độ 2] Cho z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z 27 Giá trị z1 z2 z2 z1 A B C Lời giải D 11 i z1 6 Ta có z z 27 11 i z2 6 Do ta có z1 z2 z2 z1 z1 z1 z2 m +) Để phương trình có hai nghiệm phức 3m m 2 +) Ta có AB z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 3m AB 3m https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức z1 3iz2 z1 3iz2 OM OP OM OP PM 2OI PM OI 60 OM OP nên MOP suy PM OI 3 Vậy Do MON T 2PM OI 2.6.3 36 Câu Trong mặt phẳng tọa độ, điểm A , B , C điểm biểu diễn cho số phức 1 i 1 2i , 2i3 Khi tam giác ABC có tính chất là: B Vng A C Vuông C Hướng dẫn giải A Tam giác 4i , i 1 D Vuông B Chọn D 4i 2i A 2; 2 ; 1 i 1 2i i B 3;1 ; 2i 2i C 0; i 1 Suy ra: AB 1;3 ; BC 3;1 AB.BC Vậy tam giác ABC vuông B Ta có: Câu 10 Cho điểm A , B , C biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 Biết z1 z2 z3 z1 z2 Khi tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C C Tam giác ABC cân C D Tam giác ABC vuông cân C Hướng dẫn giải Chọn B Vì z1 z2 nên z1 , z2 hai số phức đối nhau, hai điểm A, B đối xứng qua gốc O ( tức O trung điểm đoạn thẳng AB ) AB Lại có z1 z2 z3 OA OB OC CO Vậy ABC có độ dài đường trung tuyến nửa cạnh huyền nên vng C IV.BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC Câu 11 [Mức độ 2] Cho z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z z 27 Giá trị z1 z2 z2 z1 A B C Lời giải D 11 i z1 6 Ta có z z 27 11 i z2 6 Do ta có z1 z2 z2 z1 z1 z1 z2 m +) Để phương trình có hai nghiệm phức 3m m 2 +) Ta có AB z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 3m AB 3m https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Lại có d C , AB d O, AB +) SABC Chuyên đề số phức z1 z2 m m SABC d C, AB AB 3m2 2 m (TM ) m 3m m2 3m2 8 16 m 2 (TM ) Vậy có hai giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 12 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2mz 6m ( m tham số thực) Có giá trị ngun m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 z2 z2 A B C D Lời giải Từ z1 z1 z2 z2 suy z1 z2 hay z1 z2 Ta có m 6m Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt * m ;2 4; Khi phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1 , z2 z1 z2 z1 z2 (do z1 z2 ) z1 z2 2m m (thỏa mãn) * m 2; Khi phương trình có hai nghiệm phức z1 , z2 hai số phức liên hợp nên z1 z2 Suy m * Vậy có giá trị nguyên m Câu 13 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z mz 8m 12 ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 ? A B C Lời giải D Chọn D Ta có m 8m 12 m Trường hợp 1: m 8m 12 m Khi z1 , z2 nghiệm thực phân biệt nên ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 2m m (nhận) Trường hợp 2: m m 12 m Khi nghiệm phức z1 , z2 liên hợp nên thỏa z1 z2 Vậy ta có giá trị nguyên m 0,3, 4,5 Câu 14 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z m 1 z m2 ( m tham số thực) Có giá trị m để phương trình có nghiệm zo thỏa mãn zo ? A C B D Lời giải https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức Phương trình z m 1 z m2 1 có 2m 1 +Trường hợp 1: m Phương trình 1 có nghiệm zo thỏa mãn zo suy zo zo 7 m 14 Nếu zo suy 49 14 m 1 m m 14 m 35 , (chọn) m 14 Nếu zo 7 suy 49 14 m 1 m2 m2 14m 63 vô nghiệm + Trường hợp 2: m Khi phương trình 1 có hai nghiệm phức z1; z2 thỏa mãn zo z1 z2 Suy zo zo zo 49 z1.z2 49 m 49 m 7 Kết hợp điều kiện m suy m 7 Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 15 [2D4-4.1-3] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z az b ( a , b tham số thực) Có cặp số thực a; b cho phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z1 2iz2 3i ? A B C D Lời giải Phương trình z 4az b2 * phương trình bậc hai có a b + Trường hợp 4a b2 1 Khi phương trình * có hai nghiệm phức z1 , z2 hai số phức liên hợp Giả sử z1 x yi với x, y , suy z2 x yi Ta có z1 2iz2 3i x yi 2i x yi 3i x y x 2 x y y x y x y i 3i Suy z1 i z2 i hai nghiệm * Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 i 1 i 4a z1 z2 4a 2 4a a (thỏa mãn (1)) 2 z z b 2 b i i b b + Trường hợp 4a b Khi phương trình * có hai nghiệm thực z1 , z2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức z1 Ta có z1 2iz2 3i z2 Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 9 9 a 4a 4a z1 z2 4a (thỏa mãn (2)) z z b 10 2 b 2 b b 1 Vậy có ba cặp số thực a; b thỏa mãn toán ;0 , 2 Câu 16 9 10 10 ; ; 8 8 [ Mức độ 3] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2mz 8m 12 ( m tham số thực) Có giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 ? A D C Lời giải B Ta có m m 12 m Nếu m 8m 12 phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt m z1 z2 2m 1 Theo định lý viet ta có 2 z1 z2 8m 12 m Với z1 0, z2 z1 z2 z1 z2 2m m (không thỏa mãn) m2 2 Với m hai nghiệm z1 z2 z1 z2 1 Từ z1, z2 trái dấu Khơng tính chất tổng quát giả xử z1 0, z2 3 suy z1 m z2 m vào ta m 2 m 2 m 2 8m 12 m2 8m 12 m 2 Đối chiếu điều kiện m 2 thỏa mãn Nếu m m 12 m phương trình cho có hai nghiệm phức phân biệt Khi ta có z1 m m 8m 12 i ; z2 m m 8m 12 i z1 z m m m 12 m 12 z1 z2 8m 12 8m 12 8m 12 m (không thỏa mãn) Vậy có giá trị m 2 thỏa mãn yêu cầu toán Câu 17 [Mức độ 3] Cho số phức w hai số thực a , b Biết z1 w 2i z2 2w hai nghiệm phức phương trình z az b Tính giá trị T z1 z https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 10 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 A T 13 Chuyên đề số phức C T B T 13 97 D T 85 Lời giải z z2 Vì z1 , z2 nghiệm phức phương trình z2 z1 w 2i w 2 w 4i w w 3 i 2 w w 2i 2 w w 2i 97 4 z1 i z1 32 3 3 Mà z1 , z2 nghiệm phức phương trình nên z1 z2 97 97 Vậy T 3 Câu 18 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2mz m 12 ( m tham số thực) Có giá trị ngun m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z2 z1 z2 ? A C B D Lời giải Chọn B Phương trình cho có m2 m 12 m 4 Trường hợp 1: m2 m 12 m Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm thực z1 , z2 phân biệt Do đó, z1 z2 z1 z2 z1 z z1 z z12 z22 z1 z2 z12 z22 z1 z2 2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 4m2 m 12 m 12 m 6 Nếu m 4 m 12 4m2 m 12 m2 2m 24 m Nếu m 12 4m2 m 12 m2 m 12 (không thỏa mãn) Trường hợp 2: m2 m 12 4 m Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 hai số phức liên hợp: m i m2 m 12 m i m2 m 12 Do đó, z1 z2 z1 z2 m2 m2 m 12 2 m2 m 12 m 12 2m2 2m 24 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 11 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức Ta có: 5t 2t 2 1 t w 2 w t t t t 2 Khi đó: T w i w i 3 w k 1 i k , k 2 1 Dấu đẳng thức xảy w k 2 k w i 3 3 z 2 Và z Vậy T z 3w i Câu 24 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i iz2 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 Hướng dẫn giải D 313 Chọn A Ta có z1 3i 2iz1 10i 1 ; iz2 2i 3z2 3i 12 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ 1 suy điểm A nằm đường tròn tâm I1 6; 10 bán kính R1 ; điểm B nằm đường tròn tâm I 6;3 bán kính R2 12 A I2 I1 B Ta có T 2iz1 3z2 AB I1 I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 Câu 25 Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1 5i z2 z 4i z 4i Tính M z1 z2 P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ A B C Hướng dẫn giải D 41 Chọn B https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 15 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức c 1 z1 i c c d Nếu Khi * d d z i c 1 d c c Suy A 1; B 1; nên tam giác OAB cân O d d Gọi I trung điểm đoạn AB , tam giác OAB OI Theo giả thiết c, d phân số AB c c 1 d d c tối giản nên c d Vậy P c 4d 4.3 16 d Câu 21 Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2az b2 20 1 với a, b tham số nguyên dương Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn: z1 3iz2 5i giá trị biểu thức a 5b A 19 B 17 C 32 D 40 Lời giải Nhận xét: Nếu a b 20 z1 Giả thiết z1 3iz2 5i Suy z1 z2 2a (vô lý) z2 Suy ra: a b 20 z a a b 20 i Giải phương trình 1 ta có hai nghiệm 2 z a a b 20 i TH1: z a a b 20 i z1 3iz2 5i a a b 20 3a 2 z2 a a b 20 i a a b 20 a 2 VN 3a a b 20 a b 20 2 a b 20 i 5i TH2: z a a b2 20 i z1 3iz2 5i a a b 20 3a a b 20 i 5i z2 a a b 20 i a a a a b 20 a a 2 b 25 b a b 20 b 3a a b 20 b 5(l ) b 17( l ) Suy a 5b 32 Cách Nhận xét: Nếu a b 20 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 13 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức z1 Giả thiết z1 3iz2 5i Suy z1 z2 2a (vô lý) z2 Suy ra: a b 20 z 3iz2 5i z1 2i z1 3i 5i 3iz1 5i Giả thiết ta có: z2 3iz1 5i z2 2i z2 3iz1 5i a 7a 5b 32 Áp dụng viet suy b V BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MIN -MAX Câu 22 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình 3i iz z 9i , thỏa mãn z1 z2 Giá trị lớn z1 z2 A 56 Hướng dẫn giải B C D 31 Chọn C Đặt z a bi , a , b Ta có 3i iz z 9i a b 6a 8b 24 z1 4i 2 a 3 b z 4i z2 4i hbh 2 2 Ta lại có: z1 4i z2 4i z1 z2 z1 z2 8i 64 1 1 z1 z2 8i z1 z2 8i 25 56 Ta có: z1 z2 z1 z2 8i 8i z1 z2 8i 8i 10 5 Câu 23 Cho số phức z w thỏa mãn i z z i Khi w i đạt giá trị lớn giá w trị T z 3w A B C 2 D Lời giải Chọn D Ta có: i z z z i z 1 z 1 i w w z 1 z 1 i z w z 1 z 1 Vì z z z z Đặt t z https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 z z z 2 z 2 w w t 0 Page 14 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức Ta có: 5t 2t 2 1 t w 2 w t t t t 2 Khi đó: T w i w i 3 w k 1 i k , k 2 1 Dấu đẳng thức xảy w k 2 k w i 3 3 z 2 Và z Vậy T z 3w i Câu 24 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 3i iz2 2i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz1 3z2 A 313 16 B 313 C 313 Hướng dẫn giải D 313 Chọn A Ta có z1 3i 2iz1 10i 1 ; iz2 2i 3z2 3i 12 Gọi A điểm biểu diễn số phức 2iz1 , B điểm biểu diễn số phức 3z2 Từ 1 suy điểm A nằm đường tròn tâm I1 6; 10 bán kính R1 ; điểm B nằm đường tròn tâm I 6;3 bán kính R2 12 A I2 I1 B Ta có T 2iz1 3z2 AB I1 I R1 R2 122 132 12 313 16 Vậy max T 313 16 Câu 25 Cho số phức z , z1 , z2 thỏa mãn z1 5i z2 z 4i z 4i Tính M z1 z2 P z z1 z z2 đạt giá trị nhỏ A B C Hướng dẫn giải D 41 Chọn B https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 15 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức Gọi I 4;5 , J 1;0 Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Khi A nằm đường trịn tâm I bán kính R , B nằm đường trịn tâm J bán kính R Đặt z x yi , x, y Ta có: z 4i z 4i x yi 4i x yi 4i 2 x y x y 16 x 16 y 64 :x y40 Gọi C điểm biểu diễn số phức z C Ta có: P z z1 z z2 CA CB d I , 454 12 1 1 R , d J, 1 R 2 12 1 xI yI xJ yJ 1 hai đường trịn khơng cắt nằm phía với Gọi A1 điểm đối xứng với A qua , suy A1 nằm đường tròn tâm I1 bán kính R (với I1 điểm đối xứng với I qua ) Ta có I1 9;0 A1 A Khi đó: P CA CB CA1 CB A1B nên Pmin A1 Bmin B B Khi đó: I1 A I1 J A 8;0 ; I1 B I1 J B 2;0 8 A 4; Như vậy: Pmin A đối xứng A qua B B Vậy B 2;0 M z1 z2 AB 20 Câu 26 Tìm số phức z thỏa mãn z i biểu thức T z 9i z 8i đạt giá trị nhỏ A z 6i z 2i C z 2i B z 5i D z 6i Hướng dẫn giải Chọn D https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 16 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức M I K A M0 B Từ giả thiết z i suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I 1;1 , bán kính R Xét điểm A 7;9 B 0;8 Ta thấy IA 10 2.IM Gọi K điểm tia IA cho IK 5 IA K ;3 2 IM IK chung IKM ∽ IMA c.g.c , góc MIK IA IM MK IK MA 2.MK MA IM Lại có: T z 9i z 8i MA 2.MB MK MB 2.BK 5 Do Tmin 5 M BK C , M nằm B K xM Ta có: phương trình đường thẳng BK là: 2x+y-8=0 x y 2 x y Tọa độ điểm M nghiệm hệ: M 1; 2 x x 1 y 1 25 y 2 Vậy z 6i số phức cần tìm Câu 27 [2D4-5.1-4] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1 2i ; z2 8i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P z1 2i z2 8i z1 z2 A 30 B 25 C 35 Lời giải D 20 Gọi điểm M x1 ; y1 ; N x2 ; y2 biểu diễn số phức z1 ; z2 Gọi A 5; ; B 6;8 Từ gt M thuộc đường tròn tâm I1 1; , bán kính R1 1; N thuộc đường trịn tâm I 2;8 , bán kính R2 Mà I1 A 4R1 ; I B 2R2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 17 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức 5 Lấy điểm G ; K cho I1G I1 A ; I K I B G ; ; K 3;8 16 4 AM IA Dễ thấy I1MG I1 AM AM 4GM MG I1M BN I B I NK I BN NB NK KN I N Do P AM BN 4MN 4GM 4MN NK GM MN NK 4GK 25 Vậy P 25 Câu 28 [Mức độ 4] Xét số phức z w thỏa mãn z w , z w Giá trị nhỏ biểu thức P zw 2i z w A B 1 C 2 D Lời giải Ta có P zw 2i z w zw 2i z w 4i z w 2i 2i w 2i z 2i w 2i z 2i w 2i Trong hệ tọa độ Oxy , gọi A 0; 2 , M , N điểm biểu diễn số phức z , w Khi đó, z 2i MA w 2i NA Suy P MA.NA 2 Ta có z w z w z w 2 2 z w 12 12 z w Suy MN Lại có z w , suy OM ON Do tam giác OMN vng cân O Vì OM ON nên gọi M sin a; cos a N sin b; cos b https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 18 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề số phức Ta có OM ON sin a.sin b cos a.cos b cos a b a b k k Không tính tổng quát, giả sử a b Khi đó, xN sin b sin a cos a yN cos b cos a sin a 2 2 Suy N cos a; sin a 2 Ta có P MA2 NA2 sin a cos a cos2 a sin a cos a 4sin a 25 20 sin a cos a 16sin a.cos a Đặt t sin a cos a sin a t 2; 4 Ta có t 2sin a.cos a 16sin a.cos a t 1 5 9 Khi đó, P 25 20t t 1 8t 20t 17 t 4 2 Suy P Đẳng thức xảy t 2; Vậy giá trị nhỏ biểu thức P https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 19