Đáp Án Phương Trình Mũ.pdf

GV Trần Văn Nam THPT Quảng Xương 1 ĐT 0916368689 Chuyên đề mũ và lôgarit https //www facebook com/nam tranngoc 779 Page 9 ĐÁP ÁN PHƯƠNG TRÌNH MŨ I PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn Câu 1 ([.]

GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lơgarit ĐÁP ÁN PHƯƠNG TRÌNH MŨ I.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1.Đặt ẩn phụ hoàn toàn Câu (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình 4x 2 x 1  m.2x A 1;   2 x 2  3m   có nghiệm phân biệt B  ;1   2;   C  2;   Lời giải D  2;   Chọn C Đặt t  x  x 1  2 x 1 2  m.2x 2 x   3m   1 Do đó, ta có  x  1  log t Điều kiện  t  1 Xét phương trình: x  x 1  2 Ta có phương trình: (1) trở thành: t  2mt  3m   Ta nhận thấy giá trị t  cho hai giá trị x tương ứng Như phương trình (1) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm thỏa:  t1  t2     2t  3 m  t  , không nghiệm phương trình t2  t2  3 Xét t  ,    m  Xét hàm g  t   1;   \   2t  2t  2 t  2t  6t  ; g 't     g 't   t   2t  3 Nhận xét: t  Dựa vào bảng biến thiên, ta cần m  Câu (THPT Ba Đình -2019) Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x  x2  4.3 x  x2 A 27  m   có nghiệm? B 25 C 23 Lời giải D 24 ĐKXĐ: x   0; 4 Đặt t  x  x với x   0; 4 t   0;2 Đặt u  3t với t   0; 2 u  1;9 Khi đó, tìm m đề phương trình u  4u  2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;9  2m  u  4u  , với u  1;9 Xét hàm số f  u   u  4u  f   u   2u    u  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chun đề mũ lơgarit Ta có, f 1  , f  2  , f    44 Do đó, phương trình có nghiệm 44  2m   22  m  Vậy có 25 số nguyên tham số m Câu Có bao 91 1 x nhiêu giá 1 x   m  3 31 A trị nguyên tham số m để phương trình  2m   có nghiệm thực? B D C Vô số Lời giải Chọn B Ta có   x      x    31 Đặt t  31 1 x 1 x 9 phương trình trở thành t   m  3 t  2m   Phương trình 91 nghiệm t 3;9 1 x   m  3 31 1 x 1  2m   có nghiệm thực  phương trình t  3t  1 t    m  t 1 t2 t2 1 Xét f  t   t   liên tục đoạn 3;9 có f   t    0 t 2 t  2 1 có 1  m  đồng biến đoạn 3;9 Có f    1; f    Vậy phương trình 91 1 x   m  3 31 1 x t  3;9  f  t  55  55   2m   có nghiệm thực  m  1;   7 m   Có giá trị nguyên PP  đặt t  a f  x   b f  x   2.Loại 2: a f  x   b f  x   c với a b   t Câu  Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình  B A x    Ta có:    x x   2  3 x  Khi x12  x22 C Lời giải   D x   Đặt t   , t     x  t Phương trình trở thành: t    t  4t    t   t    2   Với t     Với t   x    x  x x   2  2   2  3 1  x  1 2 Vậy x  x  Câu  Cho phương trình  15  x    2m  1  15  x   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Ta có m thuộc khoảng nào? A  3;5 B  1;1 C 1;3 D  ; 1 Lời giải https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 10 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689  Đặt  x t  t   15 , Khi Chun đề mũ lơgarit phương trình ban đầu trở thành:  2m  1    t  6t  2m   0, t  (*) t Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  phương trình  (*)   (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 thỏa mãn t1   t2    S     m  P    t  t  t1  t2    Theo Viet, ta có: t1.t2  2m   t2  2m    2 t1  2m  t1   t2    2m   2m    2m    m    3;5  t   Câu   (Liên Trường 2   x Thpt   1  a   Tp x  Vinh Nghệ An có nghiệm phân biệt 40 Phương 2019) x1 , x2 trình thỏa mãn x1  x2  log2 3 Khi a thuộc khoảng A   ;   2  C  ;    2  Lời giải B  0;    D   ;      x Đặt t   , t  Phương trình trở thành t   2a    t  4t   a  (1) t  GT: Phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  log  3    x1  x2 3 Khi t1  3t2 YCBT phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1  3t2    3  a   t   t1  0; t2   1 a    t1  t2      a  1 t t   a t2   a  1 1 t1t2   2a t1  3t2 Câu (Chuyên Thái Bình - 2019) Tìm số giá trị nguyên tham số m  10;10 để phương trình   10  x2 m   x2 10   2.3 x B 15 A 14 1 có hai nghiệm phân biệt C 13 Lời giải D 16 Chọn B Ta có:   10  x2 m   10  x2 x2  2.3 x2 1 x2  10    10       m    (1)     x2  10   m Đặt t    , t  Phương trình (1) trở thành: t    t  6t  m (2) t   https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 11 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 C m  1 m  Chuyên đề mũ lôgarit 1 D 1  m  1 Lời giải Chọn D 2 4.4 x  x   2m   x  x 1   6m  3 32 x  x   (1)  4x  x 1   2m   x  x 1 4   9 x  x 1 2  Đặt t    3   6m   x  x 1 0 2   2m     3 x2  x 1 x  x 1   6m  3  ( x 1)2 (2) 2 2       Suy  t  3 3 Pt (2) trở thành: t  (2m  2)t  6m   (3) t  (loai)  t  2m   Để phương trình (1) có nghiệm x phân biệt  Phương trình t  (2m  2)t  6m   có nghiệm t thuộc khoảng  0;1   2m   1  1  m  2 Chú ý: Nếu t  phương trình   3 ( x1)2  có nghiệm x   Câu 10 Gọi x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện log x  log y  log  x  y  x a  b  , với a, b hai số nguyên dương Tính T  a  b2 y A T  26 B T  29 C T  20 D T  25 Lời giải Chọn A   x  9t   t  9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  , ta có  y    t   x  y   t 1    ( loai ) 2t t       t    1        1    t            1         x     1       y     t Suy t x a  b 1    a  1; b  y 2 Vậy T  a  b2  12  52  26 Mà Câu 11 Cho số thực dương a , b thỏa mãn log a  log6 b  log9 4a  5b 1 Đặt T  b a Khẳng định sau đúng? https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 13 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 C m  1 m  Chuyên đề mũ lôgarit 1 D 1  m  1 Lời giải Chọn D 2 4.4 x  x   2m   x  x 1   6m  3 32 x  x   (1)  4x  x 1   2m   x  x 1 4   9 x  x 1 2  Đặt t    3   6m   x  x 1 0 2   2m     3 x2  x 1 x  x 1   6m  3  ( x 1)2 (2) 2 2       Suy  t  3 3 Pt (2) trở thành: t  (2m  2)t  6m   (3) t  (loai)  t  2m   Để phương trình (1) có nghiệm x phân biệt  Phương trình t  (2m  2)t  6m   có nghiệm t thuộc khoảng  0;1   2m   1  1  m  2 Chú ý: Nếu t  phương trình   3 ( x1)2  có nghiệm x   Câu 10 Gọi x , y số thực dương thỏa mãn điều kiện log x  log y  log  x  y  x a  b  , với a, b hai số nguyên dương Tính T  a  b2 y A T  26 B T  29 C T  20 D T  25 Lời giải Chọn A   x  9t   t  9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  , ta có  y    t   x  y   t 1    ( loai ) 2t t       t    1        1    t            1         x     1       y     t Suy t x a  b 1    a  1; b  y 2 Vậy T  a  b2  12  52  26 Mà Câu 11 Cho số thực dương a , b thỏa mãn log a  log6 b  log9 4a  5b 1 Đặt T  b a Khẳng định sau đúng? https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 13 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit    3  f  x    f  x    3; Vơt t   f  x     f x      f  x   f  x   f  x    1  Đặt y  f  x  , f  x    3;  y   0;3 Khi phương trình 1 trở thành: y  y  Xét hàm số g  y    y, y   0;3 y g   y   y.ln    g  y  đồng biến  0;3  phương trình y  y  có nghiệm nghiệm nhất, suy phương trình y  y  có nghiệm y   f  x   1 Dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình f  x   1 có nghiệm (**) Từ (*) (**) suy phương trình cho có nghiệm Câu 20 (VDC&HSG mức độ 4) Cho hệ phương trình sau:  22 x  y 1  22 x  y 1  32 x  y 1  32 x  y 1  52 x  y 1  52 x  y 1 1   2  y  x  x  3   Biết hpt có nghiệm  x0 ; y0  , giá trị x0  y0 gần với giá trị sau đây: B 3, A 3, C 3,5 Lời giải D 3,5 Chọn B Đặt 2x  y  a , phương trình (1) hệ trở thành  2a  2 a    3a  3 a    5a  5 a  Nếu a nghiệm  a nghiệm nên cần xét a  Xét hàm số f  x   x t  x  t , x  với số thực t dương tùy ý   t 1 2t Ta có: f '  x   tx  x , x  nên  x 2 t  suy hàm số đồng biến 1;  Do đó, ta bất đẳng thức sau: a   a  3a  3 a  5a  5 a dấu đẳng thức xảy a   a Suy 2  a   3 a  3 a    5a  5 a  Đẳng thức phải xảy nên a  hay x  y   x  y   Thay vào phương trình (2) ta có: x x  3x     x  3x  3x    x  x  x  x   x   x  1  2x  x 1  x  Suy y  x  1 1 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 19 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit 1  ;    x0 ; y0  1 1   Suy hệ phương trình có nghiệm là:  Như vậy, x0  y0  1   3, 404 1 1 II.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VÀ ĐÁNH GIÁ 1.Xét hàm trực tiếp Câu 21 Hỏi phương trình 3.2x  4.3x  5.4x  6.5x có tất nghiệm thực ? A B C D Lời giải Chọn B x x x 2 3 4 Ta có : 3.2  4.3  5.4  6.5            5 5 5 x x x x x x x 2 3 4 Xét hàm số f  x            ,  x   5 5 5 x x x 4 2 3 Có f   x     ln    ln    ln  ,  x   nên hàm số f  x  nghịch biến 5 5 5 5  suy phương trình f  x   có nhiều nghiệm 1 22 176 Mặt khác f 1 f          nên phương trình có nghiệm thuộc  25  125 khoảng 1;   2 Từ 1  2 suy phương trình cho có nghiệm Câu 22 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất giá trị x thỏa mãn phương trình 2  x     x     x  x   A B C Lời giải Phương trình   x  x   x  x  1   x  x    2.4 x    3x  x   2.4 x      x x 3    Xét phương trình 1 : 1  x   x  D 1  2 Xét phương trình  2 : Xét hàm f  x   3x  x   Hàm f  x  liên tục f   x   3x.ln  4x.ln  x   nên f  x  hàm đồng biến  Khi đó,  2  f  x   f 1  x  Vậy tích nghiệm phương trình Câu 23 Phương trình x  x 1    x 1  x có tổng nghiệm B A Chọn C Lời giải: D A https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 20 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit x  x 1    x 1  x  x.2 x 1  4.2 x 1  x  x  x 1 x 1 Ta có  ( x  4)  x( x  4)   ( x  4)(2  x)  x   x   x () Giải phương trình (*): Xét hàm số f ( x)  2x  x có f '( x)  x ln  2; f ''( x)  x ln 2  Suy phương trình f '( x)  có nghiệm, suy phương trình f ( x)  có nhiều hai nghiệm Mà ta thấy f (1)  f (2)  nên phương trình (*) có nghiệm x  1; x  Vậy tổng nghiệm phương trình (SGD Nam Định 2019) Tổng tất nghiệm thực phương trình 15 x.5x  5x 1  27 x  23 A 1 B C D Lời giải Chọn D Ta có 15x.5x  5x 1  27 x  23  5x 1  3x  1  27 x  23 (1) Câu 24 không thỏa mãn phương trình nên ta có 27 x  23 (2) x 1  x  1  27 x  23  x 1  3x  Hàm số y  f  x   5x 1  5.5x đồng biến  Dễ thấy x  Hàm số y  g  x   96 27 x  23 , có đạo hàm g   x     , nên nghịch biến 3x   3x  1 1 khoảng  ;   ;   3  3  1 Do khoảng  ;   ;   , phương trình (2) có nhiều nghiệm 3  3  1 Ta thấy x   x  nghiệm thuộc khoảng  ;   ;     3  Do (2) (1) có hai nghiệm x   x  Tổng hai nghiệm Câu 25 (VDC&HSG mức độ 3) Tính tổng tất nghiệm phương trình sau: x  x   3( x  2) A C Lời giải B D Chọn A; Ta có x  x   3( x  2)  x  x  x   Xét hàm số f  x   3x  2x  3x   Ta có f   x   3x ln  x ln  2 Khi f   x   3x. ln3  2x. ln   0, x    f   x  hàm đồng biến, liên tục   f   x   có nhiều nghiệm  Suy f  x   có nhiều hai nghiệm Mà ta thấy f 1  f     x  0; x  hai nghiệm phương trình Vậy phương trình có tập nghiệm S  0;1 Do tổng nghiệm https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 21 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit (Sở Hà Tĩnh - 2020) Gọi S tập nghiệm phương trình  x  x  Câu 26  3 2x  m  (với m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m  2020; 2020 để tập hợp S có hai phần tử? A 2094 B 2092 C 2093 Lời giải D 2095 Chọn A Gọi D tập xác định phương trình cho x Nếu m  32  m  0x   nên D   Nếu m  D   log  log m  ;   2 x  2x  3 2x  x  x  1  m    2x    m    Xét hàm số f  x   x  x có f   x   x ln  2; f   x    x  phương trình ln f  x   có khơng q nghiệm x 1 Mặt khác f 1  0; f    nên 1   x  Lại có với m  ,    x  log  log3 m  Nếu m  S  1; 2 (thỏa mãn u cầu tốn) Nếu m  S có hai phần tử  log  log3 m     m  81 m  Vậy S có hai phần tử  * Số giá trị nguyên m  2020; 2020 9  m  81 thỏa mãn *  2020   81   2094 Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương trình 6x    m  2x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 A 3; 4 B  2; 4 C  2;  D  3;  Lời giải Chọn C Phương trình x    m  x  m   m  x  3.2 x  2x x  3.2 x liên tục  0;1  2x x  3.2 x 12 x ln  x ln  3.2 x ln Ta có f '  x   Suy hàm số đồng f x   0,  x  0;1      2x 1  x  Xét hàm số f  x   biến  0;1 Do phương trình 6x    m  2x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 f    m  f 1 , tức  m  Câu 28 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm phương trình  x  1 e A B https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 C Lời giải x 1  log  D Page 22 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689  5t  t    3t   5t  t   5t   3t   trình có:    3t   5t  Chuyên đề mũ lôgarit * (coi phương trình bậc hai ẩn t ) Phương   5t   5t   3t     3t  5t   t  1  t  1   t t       t  t  2        5 1 t 3 Phương trình (1) có nghiệm t  Hàm số g  t     nghịch biến  hàm số 5 t2 đồng biến  nên phương trình (1) có nghiệm t  h t   Vậy phương trình * có nghiệm t  1 , t  Với t  1  f  x   1 , dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình f  x   1 có nghiệm phân biệt Với t   f  x   , dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình f  x   có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 19 (VDC&HSG mức độ 4) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ y O Phương trình f  x A   f  x  7 f  x  12  f  x   có nghiệm? C Lời giải B x D Chọn B f2 x Đặt t     , phương trình cho trở thành t  f  x   t  12  f  x       f  x  f  x 1 4 t  2 2 2     f  x     12  f  x     f  x   1     f  x   f  x  1   f  x t   Với t   f  x   f  x    f  x    Dựa vào đồ thị hàm số suy phương trình f  x    có nghiệm (*) https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 18 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit 1  x  1024   x  x  1034   t  1034 0  x  10 x Ta có t   x mà  x  10   Xét hàm số f  t   t  t , t  1;1034  f   t   3t   0, t  1;1034  hay f  t   t  t đồng biến 1;1034  Suy    x  x  mx  2x  x m x 2x  1, t   0;10  x x x.2 x ln  x  x.ln  1  g  x    x2 x2 g x    x   log e ln Xét hàm số g  x   BBT ycbt  e.ln 1  m  104,4 mà m  Z nên m  3,104 Có tất 102 số nguyên m thoả mãn Câu 47 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  e3 m  e m  x   x A  0; ln    1  x  x2 C  0;   e Lời giải t 1 Đặt t  x   x  t   x  x  x  x  Ta có t '  B  ; ln     có nghiệm  x2  x 1 x ,t '   x  D  ln 2;   2  Vậy t    1;     t 1  3m m m Phương trình trở thành e3m  em  2t 1    e  e  t  t  e  t (sử dụng hàm đặc   trưng) Phương trình có nghiệm chi 1  e m   m  ln  m  (; ln 2] https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 33 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình e x  e nghiệm khoảng nào?  5 3   3 A  2;  B  ;  C 1;   2 2   2 Lời giải Chọn A ĐK: x   x x 1 e e   x2  2 x  Câu 48  ex  e x 1    x  1   e x   x  1  e x 1     Chuyên đề mũ lôgarit x 1   x  2 x  có 1  D  ;1 2  2x    2x 1 1 2  * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t   2   Suy hàm số đồng biến  ;     f '  t   et   t  1  với t   *  f  x   f   2x   x  2x 1 x   x  x      x    x  1 x  2x 1 x  2x 1     x   (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Tổng tất giá trị nguyên m để phương trình Câu 49 3x3 m3 x   x3  x2  24x  m 3x3  3x  có nghiệm phân biệt A 34 B C 38 Lời giải D Chọn B 3x 3 m 3 x  x 3 3 3   x  x  24 x  m  3x 3  3x  m 3 x m 3 x   x  3  27  m  3x  3x 3  3x      x  3  m  3x  27  33  33 x 1 a   x; b  m  3x 1  3b  27  b3  a3  27  3a  3b  b3  3a  a3 Xét f  t   3t  t  f '  t   3t ln  3t  0t  R https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 34 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit  f  a   f  b   a  b   x  m  3x  m    x   x   x  x  24 x  27 f  x    x  x  24 x  27  f '  x   3 x  18 x  24 f ' x   x   x  Dựa vào đồ thị:  m  11  m  8,9,10 Câu 50 Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 x  x  y  y A 2020 B 1010 C Lời giải D Chọn D Ta có x  x  y  y  x  x  y   y  (1) Xét hàm f (t )  t  t ,  t  0 Ta có: f ' (t )   2t  0, t   f (t ) hàm đồng biến  0;   Vì vậy, (1)  f ( x )  f  y   x  y Theo giả thiết,  x  2020   y  2020   y  log 2020 Vì y nguyên nên y  0;1; 2;3; 4;5;6  x  1;3;9; 27;81; 243;729 Vậy có cặp  x ; y  thỏa mãn Câu 51 Có số nguyên dương x thỏa mãn 2.2x  x  sin y  2cos y A B C D Lời giải Có 2.2 x  x  sin y  2cos 2 y  x 1  x   2cos y  cos2 x (3) Đặt f (t )  2t  t  f '(t )  2t.ln   0, t   Hàm số y  f  t  đồng biến  0;   Vì phương trình (3)  f  x  1  f  cos x   x   cos x  x   sin x  x  Mà x số ngun dương Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Câu 52 Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  2020 3x 1  x   3y  y A 2020 B 2021 C 2022 Lời giải D 2023 Chọn B Ta có: 3x 1  x   3y  y  f  x  1  f  y  Xét hàm số f  t   3t  t  f   t   3t.ln   0, t  R Do f  x  1  f  y   x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021 Mà y   nên y 1;2;3; ;2021 Vậy có 2021 cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 53 Có giá trị ngun dương tham số m nhỏ 2018 để phương trình   log m  m  x  x có nghiệm thực? A 2017 B 2018 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 C 2016 D 2015 Page 35 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lơgarit Lời giải Chọn A Phương trình cho tương đương với phương trình : m  m  2x  22 x   m  x   m  x  2 x  x 1 Ta có m  x  , 2x  Xét hàm đặc trưng f  t   t  t  0;   f   t   2t   0, t   0;     f  t  đồng biến khoảng  0;   1  f   x x m  2x  f 2x   m    m  22 x  x Đặt a  x , a  Ta có  m  g  a   a  a Phương trình cho có nghiệm  m   mà m nguyên dương nhỏ 2018 nên m 1; 2;3; ;2017 Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn Câu 54 Có cặp số ngun  x; y  thỏa mãn  x  2020 3  y  y   x  log  x  1  ? A B C Lời giải D Chọn D Ta có:  y  y   x  log  x  1   3.9 y  y  x  3log3  x  1   32 y 1   y  1   x  1  3log3  x  1 * Xét hàm số f  t   3t  3t Ta có: f   t   3t.ln   0, t Suy hàm số f  t  liên tục đồng biến  Do *  f  y  1  f  log3  x  1   y   log3  x  1  x  32 y 1  log 2021  1 Vì  x  2020 nên  32 y1 1  2020    y  2 Do y nguyên nên y  0;1;2   x; y    2;0  ;  26;1 ;  242;  có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 36 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lơgarit Câu 55 Có giá trị nguyên y thỏa mãn 5x  log5  x  y   y Biết y  2020 A B C D Lời giải Chọn A Điều kiện x  y  Đặt log5  x  y   t  x  y  5t 5 x  t  y Khi đó:  t  5t  t  x  x 5  x  y Xét hàm số f  u   5u  u  f   u   5u.ln    hàm số đồng biến với u   Ta có: f  t   f  x   t  x Khi đó: 5x  x  y  y  5x  x Đặt g  x   5x  x  g   x   5x.ln    x   log5  ln 5  log  ln   0,917 ln Mà y  2020 nên có 2020 giá trị nguyên y thỏa mãn u cầu đề Để phương trình có nghiệm y  Câu 56 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Gọi S tập hợp giá trị tham số m cho hai phương trình x   3m m  3x  x  x 1 có nghiệm chung Tính tổng phần tử S A B C D Lời giải Chọn B Vì hai phương trình cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm m  m  log x   x   3   log3 x   3x  x  x    x x m   x  x  m   x  x      log3 x   x   x  x        log x   x  x  3 log3 x 1 Xét hàm số f  t   3t  t xác định   f '  t   3t ln   suy hàm f  t   t  t   đồng biến  suy log x   x  x   x Xét hàm số g  x   x   xác định liên tục  x Ta có g '  x   x  x ln  g ''  x    x ln  g '''  x    x ln 3  Suy hàm số g ''  x  nghịch biến  Do g  x   có nhiều nghiệm  x  m    Ta lại có g    g 1  g    Suy phương trình x     x    m   x  m    https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 x Page 37 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Câu 72 Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có bảng biến thiên sau Giá trị lớn m để phương trình e A e4 f ( x ) 13 f ( x )7 f ( x ) 2 15 13 B e3 C e Lời giải  m có nghiệm đoạn 0;2 D e5 Chọn A 3 15 x  x  x 26 13 26 13 Xét hàm số f ( x) đoạn 0;2 Khi hàm số f ( x)    x 1 3 ( x  x  3), f '( x)     x   0; 2 26  15 14 15 Ta có: f (0)  , f (1)  1, f (2)  nên  f ( x)  13 13 13 Đặt f ( x)  t  15  13 Xét hàm số g (t )  2t  t  7t  đoạn 1;   13  2  t 1  g '(t )  6t 13t  7, g '(t )      t   1; 15    13   15 8778 Ta có: g (1)  4, g ( )  13 2197 f '( x)   15  Suy GTLN g ( x) đoạn 1;  Theo u cầu tốn m  e4  13  (Sở Bắc Ninh - 2020) Gọi S tập tất giá trị m để phương trình 16x  6.8x  8.4x  m.2x1  m2  có hai nghiệm phân biệt Khi S có A tập B Vô số tập C tập D 16 tập Lời giải Chọn D Đặt t  x ,  t   , phương trình cho trở thành t  6t  8t  2mt  m2  * , t  Câu 73 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình * có hai nghiệm dương phân biệt  m  t  4t 1 *   t  6t  9t    t  2mt  m      m  t  2t   Xét hai hàm số f  t   t  4t; g  t   t  2t khoảng  0;  có đồ thị sau 2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 46 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 1   2 4cos x Chuyên đề mũ lôgarit 3cos x 1  4cos x    2  3cos x 1 t t 1 1 Xét f  t      t , ta có f   t     ln   0, t   2 2 Suy hàm số nghịch biến R Từ 1 : f 4cos3 x  f  3cos x     cos x  3cos x  cos x  3cos x   cos x   x  x     k ,  k    k ,k   k  2021    k  1929, 41284 Vì k   nên có 1930 nghiệm Câu 59 (VDC&HSG mức độ 4) Tổng nghiệm phương trình Theo ta có:    3 x2   x   x2 4 x  9.3x6   x  4  x  x 8 27 5.5 A 37 B 6 C D 3 Lời giải Chọn D 3   x   x2 4 x  9.3x6   x  4  x   Ta có: x8  27 5.5 x2  5 x 8  3x 8  x   5 x 4 x 1  3x  Xét hàm số: f  t   5t  3t  t  x 1  x  x   Có: f   t   5t.ln  3t.ln   với t    Suy f  t  hàm số nghịch biến     Khi f  x  8  f x  x   x   x  x   x  3x    x  3  37 ( a.c  7  suy phương trình có nghiệm phân biệt trái dấu)  Tổng nghiệm x1  x2   b  3 a Phương pháp đánh giá Câu 60 (VDC&HSG mức độ 3) Cho phương trình 9x   6  3x cos( x), số nghiệm thực phương trình A B C D vô nghiệm Lời giải Chọn A Ta có phương trình x   6  3x cos( x)  3x  x  6 cos( x) ( *) Mà 3x  x  6;  cos( x)  6, x  R https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 39 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit  x 3  x  Phương trình (*) có nghiệm   x 1 cos  x  1 Câu 61 (VDC&HSG mức độ 4) Cho y  f  x  hàm số chẵn xác định  , cho f    phương trình x  4 x  f  x  có 10 nghiệm thực phân biệt Số nghiệm thực phương x trình x   x  f    2 A 10 B 20 C D 15 Lời giải Chọn B Từ giả thiết f    ta suy x  khơng phải nghiệm hai phương trình x x  4 x  f  x  x   x  f    2 x Ta có x   x  f    (*) 2  x  x  2 x  f   1  2  x   x  2 x   f      x 2 x x 2    f     2  x Từ     x  x  f        x Xét phương trình (1) đặt t  Khi ta có: 4t  4t  f  t    Theo giả thiết phương trình x  4 x  f  x  có 10 nghiệm phân biệt nên phương trình (4) có 10 nghiệm t Suy phương trình (1) có 10 nghiệm x phân biệt Giả sử 10 nghiệm x1 ; x2 ; ; x10 Chứng minh tương tự ta có phương trình (3) có 10 nghiệm phân biệt  x1 ;  x2 ; ;  x10 Dễ thấy số nghiệm phương trình (*) tổng số nghiệm phương trình 1  3 (nghiệm trùng tính lần) Vậy ta kết luận phương trình (*) có 20 nghiệm Câu 62 (VDC&HSG mức độ 4) Cho tham số thực a Biết phương trình e x  e x  2cos ax có nghiệm thực phân biệt Hỏi phương trình e x  e x  2cos ax  có nghiệm thực phân biệt? A 10 B 20 C D 15 Lời giải Chọn A  x x  Ta có e  e  2cos ax    e  e    cos ax  1   x x   ax (1) e  e  2cos  x x   ax e  e  2cos (2)   Giả sử x0 nghiệm phương trình e x  e x  2cos ax (*), x0  2x0 nghiệm x x (1), 2x0 nghiệm (2); ngược lại Phương trình (*) có nghiệm nên hai phương trình (1), (2) có nghiệm phân biệt https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 40 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Vậy phương trình e x  e x  2cos ax  có 10 nghiệm phân biệt Câu 63 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Có số nguyên 2x   để phương trình m x 9.3  m x  x   3m  3   có nghiệm thực phân biệt? C Lời giải B A Vô số D Chọn C   Ta có: 9.32 x  m 4 x  x   3m  3 x     x 1    m x   3m  3x   1  m x 1  3m  3x1 1 t Đặt x   t PT trở thành  t  m t  3m  * 3 Vậy tốn trở thành tìm m để phương trình * có nghiệm thực phân biệt  3x1      Nhận thấy, to nghiệm * to nghiệm * Suy ra, điều kiện cần để phương trình * có nghiệm thực phân biệt * có nghiệm t   m  2    m  3m  3  m2  m     m  Thử lại: 2 t t 3  Với m  2 * trở thành  t  3 Cauchy 2 t Nhận thấy, VT   t  , VP   3   PT có nghiệm t  nên m  2 3 không thỏa mãn 1 t t  Với m  * trở thành  t  t    t  t   ** 3 3 t Xét hàm số f  t    t  t  với t  3 ln ln  với t  Ta có, f   t   3t ln  t  ; f   t   3t ln  t  3 t t3  f   t  đồng biến  0;    f   t   có nhiều nghiệm t           f  t   có nhiều nghiệm t  Lại có, f 1  f     Phương trình ** có nghiệm t  , t  1 Vậy m  thỏa mãn Câu 64 (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Số 2 x 5 x 8 x  x  x    x  x  3   x   A nghiệm phương trình B C D Lời giải Đặt u  x2  x  , v  x  , phương trình cho viết lại u  v  u.8v  v.8u  u  8v  v 8u  *     Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình * https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 41 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Với u  v  ta có  *   8v 8u   v u Chuyên đề mũ lôgarit ** Ta thấy: 8u  8u   u   Do VP **  0, u  u u  8v  8v Nếu v   v   Do VT **  0, v  v v Từ suy ** vơ nghiệm Nếu u  Như vậy, phương trình cho tương đương với   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình cho có nghiệm Câu 65 Cho số thực  cho phương trình x  2 x  2cos  x có nghiệm thực Số nghiệm phương trình x  2 x   2cos  x A B C Lời giải D Chọn D x Ta có:  x x  x     2   cos  x   2    2.2 cos     x    x  x     2  2  cos  x  (1)      x x    x  2  2  2 cos   (2)      Ta thấy, phương trình x  2 x  2cos  x có 2019 nghiệm thực phương trình (1) có 2019 nghiệm thực Nhận xét: + x0 nghiệm phương trình (1)  x0 nghiệm phương trình (2) + x0  không nghiệm hai phương trình 1 , 2 Do đó, tổng số nghiệm hai phương trình 1 , 2 4038 Vậy phương trình x  2 x   cos  x có 4038 nghiệm thực Câu 66 Phương trình 4x   2x.m.cos( x) có nghiệm Số giá trị tham số m thỏa mãn A Vô số B C D Lời giải Chọn B Ta có x   x m cos  x   x   x  m cos  x  Ta thấy x  x nghiệm phương trình x   x0 nghiệm phương trình nên để phương trình có nghiệm x  Với x0  nghiệm phương trình m  Thử lại: Với m  ta phương trình x  2  cos  x   *  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 42 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689  Chuyên đề mũ lôgarit 2 x  2   cos x   x  thỏa mãn Vậy m     VT  2; VP  nên *  Câu 67 (Sở Hà Nội 2019) Cho phương trình x  m.2 x.cos  x   , với m tham số Gọi m0 giá trị m cho phương trình có nghiệm thực Khẳng định sau đúng? A m0   5; 1 B m0  5 C m0  1;0 D m0  Lời giải Phương trình x  m.2x.cos  x    2x  22x  m.cos  x  Điều kiện cần: x0 nghiệm phương trình  x0 nghiệm Vì phương trình có nghiệm nên x0  Thay vào phương trình ta có: m   Điều kiện đủ: Với m   ta có x  4.2 x cos  x      x  cos  x    sin  x    x  2 cos  x   x  2 cos  x    x      cos  x      x  sin  x    cos  x   1   cos  x   1 Vậy m   thỏa mãn x y y   2   x  y Câu 68 (THPT Thăng Long 2019) Cho hệ phương trình  x 1 , m    m  2.2 y 1 y    tham số Gọi S tập giá trị m nguyên để hệ 1 có nghiệm Tập S có phần tử? A B C Lời giải D Chọn B Điều kiện y   y  1;1 Từ phương trình thứ hệ 1 ta có x y   x  y   y  y 2 Xét hàm số y  f t   2t  t với t   Dễ thấy y   2t.ln 1  với t   nên hàm số y  f t  đồng biến  Do phương trình 2 tương đương với x  y  y  x  y Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ 1 ta y   m  .2 y  y 3 Để hệ cho có nghiệm phương trình 3 phải có nghiệm y  1;1 Giả sử y0  1;1 nghiệm 3 y   m  .2 y  y02 0 Khi 4 y0 1  m2  2.2 y0 1 y0   y0 1  m2  2.2 y0 1 y02 nên y0 nghiệm 3 Suy y0   y0  y0  Thay y  vào 3 ta m  Thử lại: với m  3 viết thành y   2.2 y 1 y  y    y  4 y  y  ; VP 4  , dấu y  2y Suy phương trình 4 có nghiệm y  Vậy m  thỏa mãn Ta có VT 4  , dấu y  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 43 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Câu 69 Chuyên đề mũ lôgarit (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Có giá trị nguyên m   2019;2020 cho hệ phương trình sau có nghiệm 4  9.3x2  y   x2  y 72 y  x2   ?  2 x   y  x  m A 2017 B 2021 C 2019 Lời giải Chọn A  Xét phương trình:  9.3x 2 y    9x 2 y   y  x2  D 2020 Đặt t  x  y , phương trình trở thành:  9.3t    t   t  4.7 t  9.3t t  4.49  49.3 t     *   t   3t 3t  t 32 t 3 3 Giả sử 3t  7t 32         t  7 7 VT *  Nếu t     * vô nghiệm VP *  VT *  Nếu t     * vô nghiệm VP *  Nếu t   VT *  VP *  * có nghiệm t   x2  y   y  x2  3 x  x   m 1  Ta được: x   x  x   m   x   1  Xét hàm số f  x   3x  x  , với x   ;     f   x   x   0, x  , suy hàm 2  1 11  1 có nghiệm số f  x  đồng biến khoảng  ;     f  x   f    2  2 11 1  11  x   ;    m   m   ; 2020  Vì m nguyên nên m  3; 4;5; ; 2019 2  4  Vậy có 2017 giá trị m III.BÀI TỐN KẾT HỢP ĐỒ THỊ VÀ BBT Câu 70 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục  có đồ thị hình vẽ   Tập hợp tất giá trị thực m để phương trình f e x  m có nghiệm thực A  0;4 B 0; 4 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 C 0  4;  D  4; Page 44 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Lời giải Chọn C Đặt t  e x Ta có x   t 1, t  x  t  x   ln t   Phương trình f e x  m 1 trở thành phương trình f t   m 2 Sử dụng nhận xét đồ thị hàm số y  f  x ta có 1 có nghiệm  2 có nghiệm thuộc 1; nghiệm lớn m    m  Vậy tập hợp giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán 0  4;  Câu 71 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số thực m hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Phương trình f  x   x   m có nhiều nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2 ? A B C Lời giải D Chọn B Đặt t  t  x   x  2 x , với x   1; 2 Hàm số t  t  x  liên tục  1; 2 t '  x   x.ln  2 x.ln 2, t '  x    x  Bảng biến thiên: 17 Vậy với x   1;   t   2;   4 Với t   2;  có giá trị x thỏa mãn t  2x  2 x  2 17 Với t  2   ;  có giá trị x thỏa mãn t  2x  2 x 2  17 Xét phương trình f  t   m với t   2;   4 Từ đồ thị ta thấy phương trình f  x   x   m có số nghiệm nhiều 5 17 phương trình f  t   m có nghiệm t1, t2 , có t1   2;  , t2   ;  Do  2 2  phương trình f  x   x   m có nhiều nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 45 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Câu 72 Cho hàm số bậc ba y  f ( x) có bảng biến thiên sau Giá trị lớn m để phương trình e A e4 f ( x ) 13 f ( x )7 f ( x ) 2 15 13 B e3 C e Lời giải  m có nghiệm đoạn 0;2 D e5 Chọn A 3 15 x  x  x 26 13 26 13 Xét hàm số f ( x) đoạn 0;2 Khi hàm số f ( x)    x 1 3 ( x  x  3), f '( x)     x   0; 2 26  15 14 15 Ta có: f (0)  , f (1)  1, f (2)  nên  f ( x)  13 13 13 Đặt f ( x)  t  15  13 Xét hàm số g (t )  2t  t  7t  đoạn 1;   13  2  t 1  g '(t )  6t 13t  7, g '(t )      t   1; 15    13   15 8778 Ta có: g (1)  4, g ( )  13 2197 f '( x)   15  Suy GTLN g ( x) đoạn 1;  Theo u cầu tốn m  e4  13  (Sở Bắc Ninh - 2020) Gọi S tập tất giá trị m để phương trình 16x  6.8x  8.4x  m.2x1  m2  có hai nghiệm phân biệt Khi S có A tập B Vơ số tập C tập D 16 tập Lời giải Chọn D Đặt t  x ,  t   , phương trình cho trở thành t  6t  8t  2mt  m2  * , t  Câu 73 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình * có hai nghiệm dương phân biệt  m  t  4t 1 *   t  6t  9t    t  2mt  m      m  t  2t   Xét hai hàm số f  t   t  4t; g  t   t  2t khoảng  0;  có đồ thị sau 2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 46 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Dựa vào đồ thị hai hàm số ta suy phương trình * có hai nghiệm dương phân biệt m  0;1; 3; 4 hay S có phần tử https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Vậy S có 24  16 tập Page 47