5 bất phương trình mũ pt logarit bpt lôgarit đáp án

Đề tổng hợp các dạng bài khó nằm trong chuyên đề 9+ của các đề thi thptqg môn Toán, do một thầy giáo từng có học sinh là thủ khoa khối A toàn quốc biên soạn. Các dạng bài hay, bám sát, đa dạng giúp các bạn học sinh ôn tập một cách hiệu quả nhất.

GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit ĐÁP ÁN BPT MŨ -PT VÀ BPT LƠGARIT A.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I.KỸ THUẬT TRỤC SỐ Câu [DS12.C2.7.D01.c] Tập nghiệm bất phương trình 3x.x2  54 x  5.3x  x2  x.3x  45 là: A  ;1   2;   B  ;1   2;  C  ;1   5;   D 1;    5;   Bất phương trình 3x.x2  54 x  5.3x  x2  x.3x  45 tương đương với:  3x.x2  x2    6 x.3x  54 x    5.3x  45   x2  3x    x  3x  9  3x     x   3x      x  x    x  x    x     x  x          x    x  1  x   3    x     x  x      1  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho 1;    5;   Chọn D Câu (VDC&HSG mức độ 3) Tập nghiệm bất phương trình A  0;1 B  0;1 21 x  x   2x  C  1;0 D  0;2 Lời giải Chọn B Điều kiện: x    x  Xét hàm số f  x   21 x  x   2 x   2 x có f   x   2  x ln  , x Do hàm số nghịch biến  Vậy 21 x  x    f  x   f 1  x    x  Tức f  x  dấu với  x Xét hàm số g  x   x  có g   x   x.ln  ,  x Do hàm số đồng biến  Vậy x    g  x    x  Tức g  x  dấu với x Suy bất phương trình cho tương đương với 1 x x    x 1 Vậy tập nghiệm BPT S   0;1 Câu [2D2-6.1-3][ [Mức độ 3] Có số nguyên dương y cho ứng với y bất phương  x    x  y   trình có nghiệm ngun số nghiệm ngun không 7? A 59049 B 59025 C 59024 Lời giải x Ta có  x     y   với x  y  D 2 x  x  2 x    x  TH1: Nếu  x  x  log y 3  y 3  y  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Theo yêu cầu toán, ứng với y bất phương trình có khơng q nghiệm ngun , mà x  nên ta có 6  log3 y   36  y  Do y nguyên dương nên y  1; 2 Suy có giá trị y thỏa TH1 2 x  x  2 x   TH2:  x  x   x  log y 3  y  3  y Theo yêu cầu toán, ứng với y bất phương trình có khơng q nghiệm ngun, mà x   27  y  310  27  y  59049 Do y y  28; 29; ;59049 Suy có 59022 giá trị y thỏa yêu TH2 Vậy có 59024 giá trị nguyên dương y thỏa yêu cầu đề nên ta có  log3 y  10 Câu nguyên dương nên (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 3 x2  x    x  m  có nghiệm nguyên? A 65021 B 65024 C 65022 Lời giải D 65023 Chọn B 3 x2  x    x  m  (1) Th1: Xét 3x x Th2: Xét 3x x  x  1    x2  x    nghiệm bất phương trình (1) x   x  1    x2  x    x  2 Khi đó, (1)  x  m  x  log m (2) Nếu m  (2) vơ nghiệm Nếu m  (2)   log m  x  log m Do đó, (1) có nghiệm nguyên    ; 1   2;       log m ; log m  có giá trị nguyên log m   3;   512  m  65536 (thỏa đk m  ) Suy có 65024 giá trị m nguyên thỏa mãn Th3: Xét 3x x    x  x   1  x  Vì  1;  có hai số ngun nên khơng có giá trị m để bất phương trình (1) có nghiệm nguyên Vậy có tất 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt t  2t 3 1 t 7 7     t  2t   Câu [DS12.C2.7.D02.c] Tập nghiệm bất phương trình  t  2t   4 4   3    A  ;1   2;    B  ;      ;1   2;    2    3   3     C  ;      ;1   2;    D  ;      ;1    2;    2   2     Hướng dẫn giải Ta phân tích sau: 3 t  2t    t  2t  1    t  1   , t   4 4 Ta chia thành trường hợp:  t  TH1: t  2t    t  2t     4 t    https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 là: Page 10 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lơgarit Tập nghiệm bất phương trình x   x  f  x   1 x   x  1 f  x   * A  ; 0   2;   B  0;1 C  ; 1   2;   D  1; 2 Lời giải Chọn D Đặt t  x , t  Bất phương trình cho trở thành: t   x  f  x   1 t   x  1 f  x   Xét phương trình: t   x  f  x   1 t   x  1 f  x    x  f  x  1 t  f  x    x   x    t  x  + Nghiệm 1 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  2x đồ thị y  f  x   x  1 x  x Dựa vào đồ thị có  f  x    x   x  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 12 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lơgarit Tập nghiệm bất phương trình x   x  f  x   1 x   x  1 f  x   * A  ; 0   2;   B  0;1 C  ; 1   2;   D  1; 2 Lời giải Chọn D Đặt t  x , t  Bất phương trình cho trở thành: t   x  f  x   1 t   x  1 f  x   Xét phương trình: t   x  f  x   1 t   x  1 f  x    x  f  x  1 t  f  x    x   x    t  x  + Nghiệm 1 hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  2x đồ thị y  f  x   x  1 x  x Dựa vào đồ thị có  f  x    x   x  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 12 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689  x f  x f  x Chuyên đề mũ lôgarit x0    Dựa vào bảng biến thiên ta ) f  x   x   ; 0  1;   ) f  x   x 0; 1  x   x  3   x   x   2;    Từ ta   x   0;1 x2      3x   x  Tập nghiệm bất phương trình ban đầu S   0;1   2;   Vậy a  2b  c  Câu [2D2-6.5-3][Mức độ 3] Có giá trị nguyên m thuộc đoạn  0; 2022  để bất phương   trình  m  1 x  x  2m  1   x  41 x   nghiệm với x thuộc  0;1 ?   A 1011 B 2021 C 2022 D Lời giải Xét hàm số: f  x    x  41 x  f   x   1  41 x.ln  x   Do đó: x   0;1  f    f  x   f 1 hay   x  41 x  Bất phương trình cho tương đương với:  m  1 x  Biến đổi BPT dạng m  42 x  x  , x   0;1 4x  4x  2  2m   0, x   0;1 4x 1 Đặt t  x Với x   0;1  t  1;  Xét hàm số g  t   3t  4t  t2  t   t  1; , với  g t      2 t  2t t  t   t  Cho g   t     t    1;   Ta có bảng biến thiên sau: https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 14 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Vậy 1  m  Vì m thuộc đoạn  0; 2022  nên có giá trị m  thỏa mãn II.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Câu 10 [2D2-6.3-3]Tìm tất giá trị dương n thỏa mãn  3n  7n  A  n  2021 B  n  C n  2021 Lời giải Đặt a  32021  72021  ln a  ln  32021  2021   ln 2021 2021   32021  72021  n D  n  2021 Lấy logarit số a  32021  72021 ta có: 2021.loga  3n  7n   n  loga  3n  7n   n 0 2021 n với n  2021 2021 0 Suy f  2021  log 32021 72021  32021  72021     2021 Bất phương trình cho trở thành : f  n   f  2021   Xét hàm số f  n   log a 3n  7n  Mà ta có : f   n  3n ln  7n ln 3n ln  7n ln    0 n n n n 2021    ln a 2021    ln 2021 n hàm nghịch biến  0;   2021 Do ta n  2021 Vậy  n  2021 Câu 11 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 2 20212 x  x 9  2021x 5 x 1   x  1  x   A B C Lời giải 2 Ta có 20212 x  x 9  2021x 5 x 1   x  1  x   nên hàm số f  n   log a  3n  7n   D  20212 x 4 x9  2021x 5 x1  x2  x   2  20212 x  x 9  x  x   2021x 5 x 1  x  x   f  x  x    f  x  x  1 , với f  t   2021t  t f   t   2021t ln 2021   0, t   , suy hàm số f  t  đồng biến      Do f x  x   f x  x   x  x   x  x   x2  x     x  Vì x nguyên nên suy x  2,3, 4,5, 6, 7 Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên Câu 12 (VDC&HSG mức độ 3) Có cặp nghiệm nguyên  x; y  thỏa mãn bất phương trình  3x  y  A 310 x 8 xy  y    x  xy  y ? B https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 C D Page 15 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Vậy 1  m  Vì m thuộc đoạn  0; 2022  nên có giá trị m  thỏa mãn II.PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Câu 10 [2D2-6.3-3]Tìm tất giá trị dương n thỏa mãn  3n  7n  A  n  2021 B  n  C n  2021 Lời giải Đặt a  32021  72021  ln a  ln  32021  2021   ln 2021 2021   32021  72021  n D  n  2021 Lấy logarit số a  32021  72021 ta có: 2021.loga  3n  7n   n  loga  3n  7n   n 0 2021 n với n  2021 2021 0 Suy f  2021  log 32021 72021  32021  72021     2021 Bất phương trình cho trở thành : f  n   f  2021   Xét hàm số f  n   log a 3n  7n  Mà ta có : f   n  3n ln  7n ln 3n ln  7n ln    0 n n n n 2021    ln a 2021    ln 2021 n hàm nghịch biến  0;   2021 Do ta n  2021 Vậy  n  2021 Câu 11 Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình 2 20212 x  x 9  2021x 5 x 1   x  1  x   A B C Lời giải 2 Ta có 20212 x  x 9  2021x 5 x 1   x  1  x   nên hàm số f  n   log a  3n  7n   D  20212 x 4 x9  2021x 5 x1  x2  x   2  20212 x  x 9  x  x   2021x 5 x 1  x  x   f  x  x    f  x  x  1 , với f  t   2021t  t f   t   2021t ln 2021   0, t   , suy hàm số f  t  đồng biến      Do f x  x   f x  x   x  x   x  x   x2  x     x  Vì x nguyên nên suy x  2,3, 4,5, 6, 7 Vậy bất phương trình có nghiệm nguyên Câu 12 (VDC&HSG mức độ 3) Có cặp nghiệm nguyên  x; y  thỏa mãn bất phương trình  3x  y  A 310 x 8 xy  y    x  xy  y ? B https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 C D Page 15 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Lời giải Dễ thấy f  x    f   x  , x   , nên f  x  hàm số lẻ  2020  6063 x   x   , nên f  x  đồng biến  x2  Do f x  m  f  x  12    f x  m   f  x  12  , x   2;1 f   x   2019  2e x  2e 2 x          f x  m  f   x  12  , x   2;1  x  m   x  12, x   2;1 , 1 Mặt khác  x3  12    2;1 , nên 1  x  3x  12  m   x  3x  12 , x   2;1 Xét hàm số g  x   x3  3x  12, h  x    x  3x  12 Ta có: x   2;1  g  x    32;  12 , h  x   8;12 Từ suy  12  m  m  nên chọn đáp án A Câu 15 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét số thực không âm x y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 33 21 41 A B C D 8 Lời giải Chọn D x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  232 x (1) Ta có x  y.4 Xét TH:  x   x  (1) với giá trị  21 x  2 (2)  P  x  y  2x  y    y  Xét TH:  x    x  t f t  t t  Xét hàm số   với  f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x   y   x  y   x Khi đó: 2 33  41 41 3   P  x2  y  x  y  x2    x   x    x   x2  5x   2 x     (3) 4 8 2   41 So sánh (2) (3) ta thấy GTNN P x  , y  4 3.Ứng dụng cực trị hàm số Câu 16 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương     3 x 1 trình m x  x  m x  x  x  e  với x Số tập S A B C Lời giải D Chọn B     3 x 1 Xét hàm số f  x   m x  x  m x  x  x  e      2 x 1 Ta có f '  x   m x  3x  m 3x  x 1  e liên tục  Do f 1  nên từ giả thiết ta có f  x   f 1 , x   f  x   f 1  https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 17 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit m   f ' 1   m2  m     m  x 1 x 1 Với m  ta có f  x   e  x  f '  x   e  Cho f '  x    x  Bảng biến thiên f  x  : Trường hợp m  , yêu cầu toán thỏa mãn 3 x 1 x 1 Với m  ta có f  x   x  x  x  x  e   x 1 x  e  x  , x  Trường hợp m  yêu cầu toán thỏa mãn Câu 17 [2D2-6.5-4] Biết a số thực dương cho bất đẳng thức 3x  a x  6x  x với số thực x Mệnh đề sau đúng? A a  12;14  B a   ;12  C a  14;16  Lời giải D a  16;   Chọn D Ta có f ( x)  3x  a x  x  x   f ( x)  f (0)  Min f ( x)  f (0)  f '(0)   a  18 R x   x x  Thử lại : Với a  18     Câu 18 [2D2-6.5-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) Biết a số thực dương để bất phương trình a x  x  nghiệm với x   Mệnh đề sau đúng? A a  103 ;104  B a  102 ;103  C a  0;102  D 104 ;       Lời giải Chọn A Bất phương trình a x  x  với x   phải với x   a  10 Do a  nên hàm số y  a x đồng biến  ; Đồ thị hàm số y  a x có bề lõm quay lên (hay hàm số hàm số lõm  ) Do hai đồ thị hàm số y  a x y  x  qua điểm A  0;1 nên bất phương trình a x  x  nghiệm với đường thẳng y  x  tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  0;1  y     , với y  a x ln a  ln a   a  e9  Vậy a  103 ;104  ( Làm tương tự câu 25) Câu 19 (VDC&HSG mức độ 4) Với m tham số để bất phương trình x  x  mx  có tập nghiệm  , A m   ;0  B m 1;3 C m   3;    D m   0;1 Lời giải Chọn B +) Với m  , bất phương trình khơng nhận giá trị âm x làm nghiệm Thật vậy, x  x  mà mx   Suy m  loại +) Với m  , ta có x  x  mx   x  x  mx   Đặt f  x   2x  3x  mx  , x   https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 18 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit m   f ' 1   m2  m     m  x 1 x 1 Với m  ta có f  x   e  x  f '  x   e  Cho f '  x    x  Bảng biến thiên f  x  : Trường hợp m  , yêu cầu toán thỏa mãn 3 x 1 x 1 Với m  ta có f  x   x  x  x  x  e   x 1 x  e  x  , x  Trường hợp m  yêu cầu toán thỏa mãn Câu 17 [2D2-6.5-4] Biết a số thực dương cho bất đẳng thức 3x  a x  6x  x với số thực x Mệnh đề sau đúng? A a  12;14  B a   ;12  C a  14;16  Lời giải D a  16;   Chọn D Ta có f ( x)  3x  a x  x  x   f ( x)  f (0)  Min f ( x)  f (0)  f '(0)   a  18 R x   x x  Thử lại : Với a  18     Câu 18 [2D2-6.5-3] (THPT Chuyên ĐH Vinh – lần - năm 2017 – 2018) Biết a số thực dương để bất phương trình a x  x  nghiệm với x   Mệnh đề sau đúng? A a  103 ;104  B a  102 ;103  C a  0;102  D 104 ;       Lời giải Chọn A Bất phương trình a x  x  với x   phải với x   a  10 Do a  nên hàm số y  a x đồng biến  ; Đồ thị hàm số y  a x có bề lõm quay lên (hay hàm số hàm số lõm  ) Do hai đồ thị hàm số y  a x y  x  qua điểm A  0;1 nên bất phương trình a x  x  nghiệm với đường thẳng y  x  tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A  0;1  y     , với y  a x ln a  ln a   a  e9  Vậy a  103 ;104  ( Làm tương tự câu 25) Câu 19 (VDC&HSG mức độ 4) Với m tham số để bất phương trình x  x  mx  có tập nghiệm  , A m   ;0  B m 1;3 C m   3;    D m   0;1 Lời giải Chọn B +) Với m  , bất phương trình không nhận giá trị âm x làm nghiệm Thật vậy, x  x  mà mx   Suy m  loại +) Với m  , ta có x  x  mx   x  x  mx   Đặt f  x   2x  3x  mx  , x   https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 18 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit t t   y   Với x  1 ta có    x  y  Suy loại x  1 t y  y       y  3t t  Với x  ta có  Suy nhận x    t  y  y 1  y  3t  t  Với x  ta có  Suy nhận x   t  y    y  Vậy có hai giá trị nguyên x thỏa yêu cầu toán x  x      Câu 40 Cho số thực x , y , z thỏa mãn log x  y  log x  y  log z Có bao giá trị nguyên z để có hai cặp  x, y  thỏa mãn đẳng thức A C 9 Lời giải B 211    Ta có log x  y  log x  y  D 2 x  y  3t  1   log z  t   x  y  t    t  3  z  10 t + Nếu y     x  thay vào 1 ta 2.7 2t log t   t  log 3 49 z  10 3 49 + Nếu y   2x2  y2 Từ 1 & 2 suy   x3  y3       27 t  49t  x  2y    2x  y  3 2   x 3     2 t t  y    49     49  , *          27    x 2   27      12   y    u  u3  6u u3   u    x   f u    u  3 Đặt  u, u   Xét f  u     y 2u2  2u2  u           Ta có bảng biến thiên https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 33 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Nhận xét với giá trị u Chuyên đề mũ lôgarit tương ứng với cặp  x, y thỏa mãn tốn   49 t  log 49  81  log 49    4 10 27    z  10 27  27   Yêu cầu toán tương đương   t   log   49   33     49     z  10 27  27  33    Vì z số nguyên nên có 211 giá trị thỏa mãn Câu 41 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho phương trình m ln  x  1  x   Biết tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1    x2 khoảng  a;   Khi a thuộc khoảng đây? A  3,7;3,8 B  3, 6;3,  C  3,8;3,9 D  3,5;3,6  Lời giải Chọn A Xét khoảng  0;  phương trình: m ln  x  1  x    m  Đặt f  x   x2 ln  x  1 x2 , x   1;   \ 0 ln  x  1 Với yêu cầu đề ta xét f  x  khoảng  0;   4;   ln  x  1   x   f  x  x 1 ln  x  1 Đặt g  x   ln  x  1   x   g x  , x   0;2    4;   x 1 1   0, x   0;    4;   x   x  1   g  x   g    ln   0, x   0;   f   x   0, x   0;  Suy   g  x   g    ln   0, x   4;    f   x   0, x   4;    Từ ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình đề có nghiệm phân biệt thỏa  x1    x2 m   3,728 ln Câu 42 Cho phương trình m ln  x     x   m  ln  x    x   Tập tất giá trị tham số m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn  x1    x2 la khoảng  a;   Khi a thuộc khoảng https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 34 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 A  3, 5;3,  B  3, 6;3,  Chuyên đề mũ lôgarit C  3,8;3,  D  3, 7;3,8  Lời giải Theo đề điều kiện nghiệm: x   ln  x    TH1: m   pt: ln  x    1  L  ln  x    1 L  TH2: m    ln x   x   ln  x       m x3 m ln  x   Xét hàm số f  x   với x  x3 x3  ln  x   x3 f  x  x   f  x    ln  x    x2  x  3 x3  ln  x   x2  hàm số g  x  nghịch biến  0;   Xét hàm số: g  x    g  x   có tối đa nghiệm  0;   4   Ta có: g  x  liên tục 1;  g 1 g      ln    ln   3    g  x   có nghiệm  0;    x0  1;  : g  x0   Hay f   x0   với x0  1;  Bảng biến thiên: Để phương trình cho có ln 0  m  a  3, 728 m ln Câu 43 hai nghiệm thỏa mãn  x1    x2 [2D2-5.5-4][ Mức độ 4] Có giá trị thực y để với y tồn giá trị thực   x cho ln 4x2  xy  y ? A B C Lời giải D Vô số    ln  x    x  1 y (1) Ta có ln 4x2  xy  y (Điều kiện x  ) Xét x    x  1 Thay vào phương trình (1) ta ln  (Vơ lí) https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 35 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Xét x    x  1 Khi 1  y  Đặt f  x   ln  x  x 1 Chuyên đề mũ lôgarit 2   ln  x  x Suy f   x   x 1  x  1 ln  x  f   x      ln  x   x 2  x Đặt g  x     ln  x   g   x   x x2 g   x    x  1 Bảng biến thiên: Ta thấy phương trình g  x   có nghiệm a  Do f   x   có nghiệm a  Ta có bảng biến thiên sau Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với y  y  ln  4a  a 1 thỏa mãn u cầu tốn 2.Hàm đặc trưng Câu 44 (Liên  xm log  trường Nghệ An 2020) Cho phương trình 2 x  x2 x  2x   log  x  m    với m tham số Tổng tất giá trị  tham số m để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt A B C Lời giải Chọn D Có  x m log x  x  3  2 x D log  x  m    2 x 2  21 x  m log  x  1    21 x 1 log  x  m      2 21 x 1   log  x  m   log  x  1  2   1 x  m https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 36 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Câu 52 Chuyên đề mũ lơgarit [2D2-6.4-3][Mức độ 3] Có giá trị nguyên dương tham số m cho ứng với giá trị m có nghiệm nguyên dương x có khơng q 2021 số ngun x thỏa mãn ln 2 x  1  1ln x  m  B 2014 A C 2013 D Lời giải Xét bất phương trình ln 2 x  1  1ln x  m  1 Do x     x  Khi ln  x 1   ln  x 1 1  0, x  Bất phương trình 1 tương đương ln x  m   x  e m Kết hợp điều kiện, ta có  x  e m Để ứng với giá trị m có nghiệm nguyên dương x có khơng q 2021 số ngun x ta có:  em  2022   m  ln 2022 Kết hợp điều kiện m    m  1; 2;3; 4;5;6;7 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 53 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất giá trị thực số m để tồn cặp   số  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2 x  y   m2  x  y  x  y   A S  5; 1;1;5 B S  1;1 C S  5;5 D S  7  5; 1;1;5; 7 Lời giải Chọn A y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x  y   với x, y  nên: log x2  y2 2  4x  y   m2    x  y   m2  x  y  2  x  y  x  y   m2    x     y    m (*) x  Khi m  (*)   Cặp  2;  khơng nghiệm phương trình y  x2  y  x  y   Khi m  , tập hợp điểm  x; y  thỏa mãn (*) hình trịn tâm J  2;  , bán kính m Trường hợp này, yêu cầu tốn trở thành tìm m để đường trịn tâm I  1;  , bán kính hình trịn tâm J  2;  , bán kính m có điểm chung (hình vẽ)  m 1  m  1 Điều xảy  (thỏa mãn m  )   m   m  5 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 43 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Suy hàm f  t  đồng biến khoảng  0;     Phương trình  f  3x  y   f x  y  xy   x  y  xy   3x  y  x   y  3 x  y  y   Điều kiện y để phương trình có nghiệm  y  3   y  y    3 3  y 3 Do y  nên y  0 ; 1; 2  3 y  y    x  + Với y  , ta x  3x     x  x  + Với y  1, ta x  x    x  x  + Với y  , ta x  x    x  Vậy có cặp số thỏa mãn đề Câu 46 Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m f  x m   2021; 2021 để phương trình log  x  f  x   mx   mx  f  x  có hai nghiệm phân mx biệt dương ? A 2019 B 2021 C 2022 D 2020 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  ta thấy f  x   f   x   có ba nghiệm phân biệt  1; ;1 nên f '  x   ax  x  1  f  x   a a x  x b  f  0  b  a     f  x   x4  x2  Ta có  a  f 1    b  b   Mặt khác, từ phương trình suy m  PT  log f  x   log mx  xf  x   mx  mx3  f  x   log f  x   xf ( x)  f  x   log mx  x  mx   mx Cộng vào hai vế phương trình với log  x  1  x   ta : log   x  1 f  x     x  1 f ( x)  log   x  1 mx    x  1 mx  * https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 38 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Đặt g  t   log t  t , t  Dễ thấy hàm g  t  đồng biến t  Từ (*)   x  1 f  x    x  1 mx  f  x   mx  Xét hàm h  x   x  f  x  m  x2   m  x x  h '  x   x  , h  x    x   x2 x Vậy PT cho có hai nghiệm dương phân biệt  m    m  Vì m   2021; 2021 nên có 2019 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán Câu 47 [2D2-5.5-3](PHÁT TRIỂN CÁC CÂU VD – VDC TRONG ĐỀ MINH HỌA 2020 - 2021) Có số nguyên dương a  a  10  cho tồn hai số thực x phân biệt thoả mãn 10a  x  2 x  1 log10 a x   x   10a    A B 10 x 2  10a   x 2    ?  1   log a x 1  x  C Lời giải D Điều kiện: x  x Ta có: 10a   2 x  1 log10 a x   x   10a    x 2  10a   x 2     1   log a x 1  x    10a   x 2  1 log10 a x   x   10a    x 2   10a   x 2  1 log10 a x   x   10a    x 2  10a   x 2 x  1  x  1 log x  10a     10a   x 2 x 2  10a     x  1      1    x  1 log a  1 2 2 x 2  10a     x  1      1    x  1 log10a x  1  x  1 log 10a   x 2 x  1  x  1 log x  10a   1  10a      3 x 2  log x   log 10a   1 x2 2 x 1 10 a    Xét hàm số f  t   log t  f t   2 2  10a   x2 2    x  1   x  1  x  1 log 10a   2   x  1 khoảng  0;   t 1   0, t   0;   t.ln10  t  1  Hàm số f  t  đồng biến khoảng  0;   Ta có: 1  f  x   f 10a    x  10a  x 2 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 x 2  log10 a x  x  * Page 39 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 y P Chuyên đề mũ lôgarit C  O x Gọi  C  đồ thị hàm số y  log10 a x ,  P  đồ thị hàm số y  x  Phương trình * có nghiệm phân biệt   C  cắt  P  điểm phân biệt 10 Kết hợp điều kiện a số nguyên dương a  10  a  1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Vậy có 10 số nguyên a thoả mãn yêu cầu toán Câu 48 [2D2-5.5-4]Có số nguyên a  1;2021 cho tồn số thực x thỏa mãn  10a   a  a log x  1 log a  x 1 A 2018 B 2019 C 2020 Lời giải D Điều kiện xác định: x  a log x  1 log a    x  1    x log3 a  log a  x 1 Đặt log a  m m Vì a   m  Phương trình trở thành  x m  1  x  m   x m  1  x m  x m  x  m   x m  1   x m  1   x m  x  Ta xét hàm số f  t   t m  t  với m  0, t  f '  t   m.t m1   0, t   f '  t  hàm số đồng biến  0,    x m   x  xm  x    Ta thấy   có nghiệm x     có nghiệm  Đồ thị hàm số y  x m  m  0, x   Đồ thị hàm số y  x  có giao điểm https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 40 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Dựa vào loại đồ thị hàm số y  x m , ta thấy chúng có giao điểm m   log a   a  Mà  a  2021  a  4,5,6 , 2021 Vậy có 2018 số nguyên a thỏa mãn Câu 49 Có giá trị nguyên a thuộc  2020; 2021 cho tồn x thỏa mãn a ln  x  a   a  3e x ln  x  a   e3 x A 4042 B 2019 Lời giải C 2023 D 2021 Điều kiện x  a  a Ta có ln  x  a   a  3e x ln  x  a   e3 x  ln  x  a    e x   a  3ln  x  a   e x  a  (1) Đặt A  ln  x  a  , B   e x , C  a (1) trở thành A3  B3  C  ABC    A  B 2   B  C    C  A 2    A B C   (2)   x a a  e  a  ee  a  (*) +) Xét A  B  C  ln  x  a   a   e x   a  x  a  e Xét hàm số f  x   e x  x có f   x   e x  , f   x    x  Bảng biến thiên f  x   Từ suy f  x   x   hay e x  x x   a a Suy ee a  e a  a a   hay ee a  a  a   Do (*) vơ nghiệm +) Do (2)  A  B  C   ln  x  a   e x  a   e x  a  ln  x  a  (3) Đặt y  ln  x  a   e y  a  x Khi (3) trở thành e x  a  y e x  a  y  ex  e y  y  x  ex  x  e y  y Do ta có hệ phương trình  y e  a  x https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 41 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Hàm số g  t   et  t có g   t   et   0, t   nên g  t  đồng biến  Suy x  y hay ta phương trình e x  a  x  e x  x  a (**) Từ bảng biến thiên f  x   e x  x suy phương trình (**) có nghiệm  a  Vì a   a   2020; 2021 nên có tất 2021 giá trị a thỏa mãn C.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN   Câu 50 Có số nguyên x thỏa mãn 3x  x  log  x  25   3  ? A 24 B Vô số C 26 Lời giải D 25 Điều kiện: x  25 * Trường hợp 1:  x  2 3x  x  3x  32 x  x2  x x       x     x  x  log3  x  25    log3  x  25    x  25  27  Kết hợp với điều kiện *  ta x   25;0  2 Mà x    x  24; 23; ;1;0;2  có 26 giá trị nguyên x thỏa mãn Trường hợp 2: 2 3x  x  3x  32 x  x2  x 0  x      x   tm   x   x  25  27 log  x  25    log  x  25   Kết hợp trường hợp, ta có tất 26 giá trị nguyên của x thỏa mãn đề Câu 51     [2D2-6.2-3] Có số nguyên x thỏa mãn log x   log  x  31  32  x1  ? A 27 B Vô số C 26 D 28 Lời giải Ta có log  x  1  log  x  31   32  x 1       x  31   x  31   x  31     2    x  5  log  x  1  log  x  31   x  x  30     x   x 1  x 1   31  x  5  32          x    x  31  x    x  31 x  31       log x   log x  31   x  x  30    x   5;6  2    x      32  x 1    x    Do x nguyên nên x  30; 29; 28; ; 5; 6 Vậy có 27 giá trị nguyên x thỏa mãn bất phương trình cho https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 42 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Câu 52 Chuyên đề mũ lôgarit [2D2-6.4-3][Mức độ 3] Có giá trị nguyên dương tham số m cho ứng với giá trị m có nghiệm ngun dương x có khơng q 2021 số nguyên x thỏa mãn ln 2 x  1  1ln x  m  B 2014 A C 2013 D Lời giải Xét bất phương trình ln 2 x  1  1ln x  m  1 Do x     x  Khi ln  x 1   ln  x 1 1  0, x  Bất phương trình 1 tương đương ln x  m   x  e m Kết hợp điều kiện, ta có  x  e m Để ứng với giá trị m có nghiệm ngun dương x có khơng 2021 số nguyên x ta có:  em  2022   m  ln 2022 Kết hợp điều kiện m    m  1; 2;3; 4;5;6;7 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 53 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất giá trị thực số m để tồn cặp   số  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2 x  y   m2  x  y  x  y   A S  5; 1;1;5 B S  1;1 C S  5;5 D S  7  5; 1;1;5; 7 Lời giải Chọn A y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x  y   với x, y  nên: log x2  y2 2  4x  y   m2    x  y   m2  x  y  2  x  y  x  y   m2    x     y    m (*) x  Khi m  (*)   Cặp  2;  không nghiệm phương trình y  x2  y  x  y   Khi m  , tập hợp điểm  x; y  thỏa mãn (*) hình trịn tâm J  2;  , bán kính m Trường hợp này, yêu cầu toán trở thành tìm m để đường trịn tâm I  1;  , bán kính hình trịn tâm J  2;  , bán kính m có điểm chung (hình vẽ)  m 1  m  1 Điều xảy  (thỏa mãn m  )   m   m  5 https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 43 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Vậy S  5; 1;1;5 Câu 54 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có tất giá trị ngun m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A 36 B 34 C 35 Lời giải D Vô số Chọn A Ta có: log  x  x     log  x  x   m  , x  1;3  log  x  14 x  14   log  x  x   m  , x  1;3  x  x   m  0, x  1;3  m    x  x   , x  1;3 1    x  x   m, x  1;3 6 x  x   m, x  1;3   2 Xét g  x     x  x   , x  1;3 , có g  x     x      1     12, x  1;3 Do 1  m  12 2 Xét h  x   x  x  9, x  1;3 , có h  x   6.1  8.1   23, x  1;3 Do    m  23 Do m m   12; 23 nên ta tập giá trị m 12; 11; 10; ; 23 Vậy có tổng cộng 36 giá trị m thỏa yêu cầu tốn Câu 55 [2D2-6.5-3]Có số ngun y cho ứng với số nguyên y có tối đa 100 số nguyên   y 2 x  log5 x  y ? x thỏa mãn A 17 B 18 C 13 Lời giải D 20 Điều kiện: x  y  Do x, y    x  y * , đặt t  x  y  x  t  y , với giá trị t  * có giá trị x  ,   3y 2 x  log5 x  y trở thành log t  32 y Xét hàm số f  t   log5 t  32 y  y  2t có f   t    y 2t 0  2.32 y  y  2t ln  0, t  * t ln  f  t  đồng biến 1;   Ta có bảng biến thiên: YCBT  f 100   log5 100  32 y  y  200   y  y  200  log3  log 100    10.28  y  9.78  y  10; 9; ;9 Vậy có 20 số thỏa đề https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 44 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Chuyên đề mũ lôgarit Câu 56 yêu cầu đề https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 45 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 Câu 57 Chun đề mũ lơgarit [2D2-6.5-4] Có số nguyên dương a cho ứng với a số thực dương b 1     thỏa  b log a  log a     b   ? b b     A 100 B 900 C 99 D 899 Lời giải Xét hàm số g  x   b x  b  x  g   x   b x ln b  b  x ln b   b x  b  x  ln b Ta chứng minh g   x   b  0; x  Thật vậy: b x  b  x b x  b  x    g  x  + Với b   0;1 ; x    ln b  ln b  b x  b x b x  b  x    g  x  + Với b  1; x    ln b  ln b  Vậy g   x   b  0; x   g  x  hàm số đồng biến khoảng  0;    TH1: Nếu log a   VT  VP   g  log a   1  g     g     b  b  VT  VP    1 b2 b2  0, b  1      TH2: Nếu log a   VT  VP  b log a  log a  1   b    ,  b    (loại) b b     Vậy log a    a  100  a  1, 2, ,100 Câu 58 [2D2-5.5-4] Tìm số giá trị nguyên tham số thực m để tồn số thực x, y thỏa mãn ex  y2 m  e x  y  xy  m  x  y  x  y  xy  2m  A ex  y  ex B m C Lời giải D  ex y  xy m  x2  y2  x  y  xy  2m   y2 m   x  y  m     e x  y  xy m   x  y  xy  m   1 Xét hàm số f  t   et  t 1, có f  t  liên tục  f   t   et 1 f   t    t  f  t  đồng biến  ;  f  t   f  0  0, t   ;    et  t 1  0, t   ;   f  t  nghịch biến   ; 0  f  t   f  0  0, t    ; 0  et  t 1  0, t   ; 0 Ta có: f  0  Vậy f  t   0, t  Do ta có: e x  y2 m   x  y  m      e x  y  xy m   x  y  xy  m   1  x2  y2  m  Dấu đẳng thức xảy    x  y  xy  m  S  x  y Đặt  S  4P    P  xy https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 46 GV: Trần Văn Nam_THPT Quảng Xương 1_ĐT: 0916368689 S  2P  m  S  2P  m   S  S  3m   Hệ     P  m  S S  P  m  P  m  S 1 có nghiệm   3m   m     S  1   3m    P  m    3m Khi hệ     S  1   3m    P  m    3m  Xét  2 : S  P  1   3m  Chuyên đề mũ lôgarit 1  2  3  4m    3m   3m   3m  4m    3m   3m  m   (do m   ) (vơ lí.)  Xét  3 : S  P  1   3m   4m    3m   3m   3m  4m    3m   3m  m     12m  m  4m   m  8m    m  Kết hợp m   , ta  m  , có số nguyên m thỏa mãn đề https://www.facebook.com/nam.tranngoc.779 Page 47