Chuyên đề 19 phương trình mũ logarit chứa tham số đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 9-10 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tìm m để f  x, m   có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D ? — Bước Tách m khỏi biến số đưa dạng f  x   A  m  — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f  x  D — Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  để đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  — Bước Kết luận giá trị cần tìm A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) D  Lưu ý — Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn giá trị nhỏ D giá trị A  m  cần tìm m thỏa mãn: f  x   A  m   max f  x  xD xD — Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Dạng Phương trình logarit chứa tham số Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình log 22  x    m   log x  m   ( m tham số thực) Tập hợp tất giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 B 1;  A 1;  C 1;  D  2;   Lời giải Chọn C log 22  x    m   log x  m    1  log  x     m   log x  m   * Đặt t  log x  g  x    t  giá trị x cho giá trị t * trở thành 1  t    m   t  m    t  2t   mt  2t  m    t   m  t  1   t  1 t   m   t  m  1   2 t  Với t  phương trình có nghiệm x  Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt phương trình 1 phải có nghiệm t 1  m 1    m  Vậy m  1;  để thoả mãn yêu cầu toán Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số 2   3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x   3m   Số giá trị nguyên m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  15 là: A 14 B 11 C 12 Lời giải D 13 Chọn D Ta có: 3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x   3m    2  log3  x   m  3 x   m   log3 x  x   3m   x  x   3m   2 2 x   m  3 x   m  x  x   3m  x  x   3m  *  x  x   3m  *     x  m  x   m   x  2m  1   x  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân m2  m   3m   m  4m     m  2 biệt thỏa mãn (*)  22    3m    4  3m  m   Theo giả thiết x1  x2  15   x1  x2   x1 x2  225  m  4m  221   13  m  17 Do 13  m   Vậy số giá trị nguyên m thỏa mãn 13 Câu (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m với m  64 để phương trình log  x  m   log   x   có nghiệm Tính tổng tất phần tử S A 2018 B 2016 C 2015 Lời giải D 2013 Chọn C x   Ta có: log  x  m   log5   x    log  x  m   log   x    2m  x  2m Vì x  nên   m  2 Kết hợp với m  64 Khi 2  m  64 Vì m   nên m  1; 0;1 63 có 65 giá trị Vậy tổng S giá trị m để phương trình có nghiệm là: S  Câu  1  63 65  2015 (Mã 102 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C Lời giải Chọn C Xét phương trình log x  log  x  1   log m D Vô số Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  Điều kiện:  m  Khi log x  log  x  1   log m  log x  log m  log  x  1  mx  x   x   m   1 +) Với m  , phương trình (1) trở thành  (vơ lý) +) Với m  , phương trình (1) có nghiệm x  6m 1 1 m     0     m  6m 6m 6m Vậy  m  Mà m    m  1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu (Mã 103 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vơ số D Lời giải Chọn A  x  Điều kiện:  m  Xét phương trình: log x  log  x  1   log m 1 Cách 1  log x  log  x  1   log m  log 5x  5x  1  log m   m  5  m x x x  2 1  khoảng  ;    x 5  1 1   Có f   x    0, x   ;    lim f  x   lim     x  x  x x 5   Ta có bảng biến thiên hàm số f  x  : Xét f  x    Phương trình 1 có nghiệm phương trình   có nghiệm x  Từ bảng biến thiên suy phương trình 1 có nghiệm  m  Mà m   m  nên m  1;2;3;4 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm Cách Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  Với  , ta có: m  5x  5x   log m   m  5  m  x  x x Với m  , phương trình   thành 0.x  (vơ nghiệm) 1  log x  log  x  1   log m  log  2 5m m 1 0  0 m5 Xét x     5.  m  5m Với m  ,    x  Mà m   m  nên m  1;2;3;4 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm Câu (Mã 101 - 2019) Cho phương trình log9 x  log3  3x  1   log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm? A B C D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện: x  m  Phương trình cho tương đương: log x  log  x  1  log3 x   m 3x  m x với x  3x  1  0, x  Có f   x     3x  1 Xét hàm số f  x   Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm Do m    m  1,2 Câu 1  0m3 m (Mã 104 2019) Cho phương trình log9 x  4log3  4x 1   log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải Chọn C Điều kiện: x  Phương trình cho  log3 x  4log3  4x 1   log3 m 4  x  1  f x x 1  log  log  m   log x  log  x  1  log   m x m  x  1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm số f  x   x  1  x 16 x  x  1   x  1  x  1 12 x  1  0, x  có f   x    x x2 Suy bảng biến thiên: Do phương trình có nghiệm m  Vậy có vơ số giá trị nguyên m Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho phương trình log mx 5  x  x  12   log mx5 x  , gọi S tập hợp tất giá trị tham số m   để phương trình cho có nghiệm Tìm số phần tử S A B C Lời giải x    x  2 + Điều kiện   0  mx   5  mx  Với điều kiện trên, phương trình log mx 5  x  x  12   log mx 5 D x2  *  log mx5  x  x  12   log mx 5  x   x   x  x  12  x    x  m   m  , m  Z   m  Z m  x  nghiệm phương trình  *  5m    m  , m  Z   m  Z x  nghiệm phương trình *  2m   + Phương trình log mx 5  x  x  12   log Thử lại m  : log x 5  x  x  12   log mx  x  có nghiệm m  m  x 5 x   log x 5  x  x  12   log x 5  x   x 5 x   log3 x 5  x  x  12   log x 5  x    x  x  12  x    x    x 5 0  x      m  : log x 5 x  x  12  log  x  x  12  x    x    x 5 0  x    Vậy có hai giá trị m  Z thỏa mãn ycbt Câu Cho phương trình log 2  2x  x  4m2  2m   log 2 x  mx  2m2  Hỏi có giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x12  x22  ? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình cho tương đương với phương trình: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  x  4m  2m   log  x  mx  2m    log  x  x  4m  2m   log  x  mx  2m   log 2 2 5 2 2 2 2  x  2mx  2m   x  2mx  2m     2 2  x   m  1 x  2m  2m  2 x  x  2m  4m  x  mx  2m  x  mx  2m2      x1  2m  x   m  Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12  x22   2m 2  m  2m   2m  4m      1  m   m 1  m   2m   2m  m     2 5m  2m    2m   1  m    m   1  11   1  m  m    11  11 ;m  m  5  Vậy khơng có giá trị ngun m thỏa u cầu đề Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình  log x   log x  m  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 A  m  B  m  C m  D  m0 Lời giải Ta có:  log x    log x  m   log x  2  log x  m    log x   log x  m 1 Đặt t  log x với t   ;  1  t  t  m Xét f  t   t  t f '  t   2t  f ' t    t   Bảng biến thiên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Dựa vào bảng biến thiên    m    m  4 m Tìm để 5  trình :  m  1 log 21  x     m   log  4m   có nghiệm  ,  2  2 x2 7 A m   B 3  m  C m   D 3  m  3 Lời giải Điều kiện: x  Phương trình cho Câu 11 (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) phương  2   m  1 log  x      m  5 log  x    4m       m  1  2 log  x      m   log  x    4m     m  1 log 22  x     m  5 log  x    4m     m  1 log 22  x  2   m  5 log  x  2  m   (1) 5  Đặt t  log  x   Vì x   ;   t   1;1 2  Phương trình (1) trở thành  m  1 t   m  5 t  m   , t  1;1 (2) t  5t   f  t  , t   1;1 t2  t 1 t  4t  Ta có f '  t   0 2 t    t  t    m Bảng biến thiên 5  Phương trình cho có nghiệm x   ;  phương trình (2) có nghiệm t   1;1 2  Từ bảng biến thiên suy 3  m  Câu 12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm m để phương trình log 2 x  log x   m có nghiệm x  [1;8] A  m  B  m  C  m  D  m  Lời giải Chọn C log 2 x  log x   m (1)  Điều kiện: x  (*) pt (1)   log x   log x   m Cách 1: (Tự luận)  Đặt t  log x , với x  [1;8] t  [0;3] Phương trình trở thành: t  2t   m (2)  Để phương trình (1) có nghiệm x  [1;8] Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  phương trình (2) có nghiệm t  [0;3]  f (t )  m  max f (t ) , f (t )  t  2t  [0;3] [0;3]   m  (bấm máy tính) Câu 13 (HSG Bắc Ninh-2019) Cho phương trình log 2 x  log x  m  log x  m * Có giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để phương trình (*) có nghiệm? A 2021 B 2019 C 4038 Lời giải D 2020 x  Điều kiện:  m  log x  log 2 x  2log x  m  log x  m  4log 2 x  8log x  m  log x  4m  4log 2 x  4log x   m  log x   m  log x    m  log x   log x  2   log x  1  m  log x     m  log x   2 log x   m  log x  log x    m  log x   log x log x  0  x  * TH1 : m  log x   log x     2 m  log x  log x log x  log x  m  1 Đặt: t  log x  t   , phương trình (1) trở thành: t  t  m   t  t  m     Đặt: g (t )  t  t (t   ;0 Bài tốn trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình   có nghiệm t  Ta có: g (t )  t  t  g (t )  2t   0t  Ta có BBT: Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình   có nghiệm t  m  (*) log x  m  log x  log x    m  log x  log x  log x  log x   log x  3log x   m   3 Đặt: t  log x  t  1 , phương trình (1) trở thành: t  3t   m   m  t  3t  1  * TH : Đặt: g (t )  t  t  1, t  1;   Ta có: g (t )  t  3t   g (t )  2t  3 g (t )   2t    t   1;   Bài tốn trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình   có nghiệm t  Ta có BBT: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình   có nghiệm t  m   (**) Kết hợp (*) (**), m   2019; 2019  m  1;0;1; 2; ; 2019 Vậy có tất 2021 giá trị m thỏa mãn ycbt Câu 14 (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có giá trị m nguyên  2017; 2017  để phương trình log  mx   log  x  1 có nghiệm nhất? A 4014 B 2018 C 4015 Lời giải D 2017 Chọn B Điều kiện x  1, mx  log  mx   log  x  1  mx   x  1 Xét hàm f  x    x  1 x  x  1 m x  x  1, x   ; f  x  x 1 x2 1 0 x  x  1  l  Lập bảng biến thiên m  Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm   m  Vì m   2017; 2017 m   nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu m  2017; 2016; ; 1; 4 Chú ý: Trong lời giải, ta bỏ qua điều kiện mx  với phương trình log a f  x   log a g  x  với  a  ta cần điều kiện f  x   Câu 15 (THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình mx  ln x  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2;3  ln ln  A  ;     ln  C  ;   e ln   ln   B  ; ;         ln  D  ;   e Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D mx  ln x   m  ln x , x   2;3 x ln x , x   2;3 x  ln x ; f  x   x  e f  x  x2 BBT Đặt f  x    ln  ;  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt m    e Câu 16 (THPT Dơng Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất giá trị tham số m cho phương trình: 2 x 1 log x  x     A B xm log  x  m   có ba nghiệm phân biệt là: C D Lời giải Tập xác định D   2 x 1  2   log x  x   x 1   xm log  x  m   log ( x  1)   2 xm log  x  m   (*) Đặt f (t )  2t log (t  2), t  ; f '(t )  2t ln 2.log (t  2)  2t  0, t  (t  2) ln Vậy hàm số f (t )  2t log (t  2) đồng biến (0;  )  2( x  m)  ( x  1)2 Từ (*) ta có f ( x  1)2   f  x  m   ( x  1)2  x  m    2( x  m)  ( x  1)  g ( x)  x  x   2m  ( a )   x  2m  (b) Do phương trình ( a ) (b ) phương trình bậc hai nên để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt ta có trường hợp sau: TH1: m  , (b) có nghiệm kép (a) có nghiệm phân biệt khác (thỏa mãn) TH2: m  , (b) có nghiệm phân biệt x   2m  (a) có nghiệm phân biệt có nghiệm  2m    '   '  m        m  (thỏa mãn)  g ( 2m  1)   g ( 2m  1)  m  + TH3: m  , (b) có nghiệm phân biệt x   2m  (a) có nghiệm kép khác  2m  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  m   m  1    Phương trình có nghiệm  2m    2m    m    2m    2m    m   Cả giá trị thoả mãn, nên tổng chúng Câu 13 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Có giá trị nguyên tham số a đoạn  10;10 để phương trình e x  a  e x  ln 1  x  a   ln 1  x  có nghiệm B 10 A C Lời giải D 20 Chọn D x 1 a  Điều kiện xác định  (*)  x 1  Phương trình tương đương với e x  a  e x   ln 1  x  a   ln 1  x    Đặt f  x   e x  a  e x , g  x   ln 1  x  a   ln 1  x  , Q  x   f  x   g  x  Phương trình cho viết lại thành Q  x   +) Với a  Q  x   (luôn với x thoả mãn (*)) +) Với a  có (*) tương đương với x  1 , f  x  đồng biến g  x  nghịch biến với x  1 Khi đó, Q  x  đồng biến với x  1 (1)   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   x lim       x  1   x  x 1    x    1 Ta có  (2)  lim Q x  lim e x e a   ln 1  a        x    x    x   Kết hợp (1), (2) phương trình Q  x   có nghiệm   +) Với a  có (*) tương đương với x  1  a , g  x  đồng biến f  x  nghịch biến với x  1  a Khi đó, Q  x  nghịch biến với x  1  a (3) Ta có:   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   x lim       x  1 a    x  x 1a     x    1a  (4)   lim Q x  lim e x e a   ln 1  a        x    x    x   Kết hợp (3), (4) suy Q  x   có nghiệm   Do a số nguyên đoạn  10;10 nên kết hợp trường hợp thấy có 20 giá trị a thoả mãn điều kiện Câu 14 (Chuyên Sơn La - 2020) Có giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình e x  ln  x  2m   2m có nghiệm? A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 4039 Chọn A Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ln x  m   ln  x  2m  (*) Ta có e x  ln  x  2m   2m  e x  x  ln  x  2m   x  2m  e x  x  e  Xét hàm số f  t   et  t với t    f   t   et   0, t Suy hàm số f  t  đồng biến  Do *  f  x   f  ln  x  2m    x  ln  x  2m   x  2m  e x  2m  e x  x Xét hàm số g  x   e x  x  g   x   e x   g   x    x  Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm 2m   m  Mà m  , m   2020; 2020  nên m1;2;3; ;2019 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình x e  ln  x  2m   2m có nghiệm Dạng Phương trình mũ – logarit chứa nhiều ẩn Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 log 3 x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 Lời giải D Chọn D Cách 1: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y 1 Đặt log  x  1  t  x   3t Phương trình 1 trở thành: t  3t  y  32 y 2 Xét hàm số f u   u  3u  f  u    3u ln  , u   nên hàm số f u  đồng biến  Do 2  f t   f 2 y   t  y  log  x  1  y  x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021   y  log 2021 log 2021  3, 464 Do y    y  0;1; 2;3 , có giá trị y nên có giá trị x Vậy có cặp số nguyên  x ; y  Cách 2: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y Xét hàm số f  x   log  x  1  x  với x  0; 2020   0, x  x  0;2020  Hàm số f  x đồng biến đoạn Ta có f   x   x  1 ln 0; 2020 Suy f 0  f  x  log  x  1  x   f  2020   f  x  log 2021  2021   y  y  log 2021  2021  2028 Nếu y   y  y  y  90   y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi y    2 y  y     y  y  2027  y  2027  y  2027  y  log 2027  3, 465  y    y   y  0;1; 2;3 Do f  x  hàm số đồng biến nên với giá trị y cho giá trị x +) y   log  x  1  x    x  +) y   log  x  1  x   11  log  x  1  x  10  x  +) y   log  x  1  x   85  log  x  1  x  84  x  80 +) y   log  x  1  x   735  log  x  1  x  734  x  729 Câu Vậy có cặp số nguyên  x ; y  (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log  x  y  ? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Cách 1:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 9t 9t   x  y    x  y   4t  t   t  log Như vậy, x  y  t  x  4t  log  1,89  x  1; 0;1 t t   y   Trường hợp 1: x     t y 1  y   y  3t  t   Trường hợp 2: x      t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với  t t  y     y    log x  y  suy loại x  1 Vậy có hai giá trị x  0;1 Cách 2:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Suy x, y tọa độ điểm M với M thuộc đường thẳng d : x  y  3t đường tròn  C  : x2  y  4t Để tồn y tức tồn M nên d ,  C  có điểm chung, suy d  O, d   R t O  0;0  , R  nên 3t  2t  t  log Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log  0  x  y  Khi 1   log  x  y  32  Minh họa quỹ tích điểm M hình vẽ sau Ta thấy có giá trị x   thỏa mãn x  1; x  0; x  Thử lại:  y  3t t   Trường hợp 1: x      t  y  y 1 t t   y    Trường hợp 2: x     t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với t t y     y     log Câu x  y  suy loại x  1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương  m; n  cho m  n  10 ứng với   cặp  m; n  tồn số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A B C 10 Lời giải D Chọn D 2a m  ln a  a  n 2 Xét hai hàm số f  x   ln x  x  g  x   x m  1;1 n f  x  0 Ta có nên ln đồng biến f  x x2    f   x   ln  x  x   ln     ln x  x    f  x  nên f  x  hàm số lẻ  x  x 1  + Nếu m chẵn g  x  hàm số chẵn có bảng biến thiên dạng        Ta có 2a m  n ln a  a      Suy phương trình có nhiều nghiệm, m lẻ + Nếu m lẻ hàm số g  x  hàm số lẻ đồng biến Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta thấy phương trình ln có nghiệm x  Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy phương trình cho có nghiệm  1;1 có nghiệm  0;1 , hay   f 1  g 1  ln   2 n  2,26  n  1;2 n ln    Đối chiếu điều kiện, với n  suy m  1;3;5;7;9 , có cặp số thỏa mãn Với n  m  1;3;5;7 có cặp số thỏa mãn Vậy có cặp số thỏa mãn toán Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Có cắp số nguyên dương  m, n  cho m  n  14 ứng với   cặp  m, n  tồn ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? B 12 A 14 C 11 Lời giải D 13 Chọn C Xét f  x   x m  ln x  x   1;1 n 2m m1 x  0 Đạo hàm f   x   n x2    Theo đề f  x   có ba nghiệm nên Xét đồ thị hàm y  x m 1; y  x2  2m m1 x  n x2  có hai nghiệm , suy m  chẵn m   x  Suy m3;5;7;9;11;13 Khi f   x   có nghiệm   x2   f 1  Phương trình có nghiệm    f  1  2  n  ln    n   n  1; 2   ln   n n1; 2 m3;5;7;9;11;13 , m  n  14 nên ta có 11 cặp  m ; n  thỏa yêu cầu     toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 ứng với cặp (m, n) tồn số thực a  (1,1) thỏa mãn a m  n ln( a  a  1) ? A 12 B 10 C 11 D Lời giải Chọn D Ta có 2a m  n ln( a  a  1)  a m  ln( a  a  1) (*) n Xét hàm f ( a )  ln( a  a  1) (1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến R ), có BBT: Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm g ( a)  a m (1,1) n Với m chẵn, g (a ) hàm chẵn g ( a )  0, a  R , (*) khơng thể có nghiệm Với m lẻ, g (a ) hàm lẻ, đồng biến R tiếp tuyến đồ thị điểm a  đường thẳng y  Dễ thấy (*) có nghiệm a   ( 1;1) Để (*) có nghiệm tức cịn có nghiệm  a0 với  a0  2  2, 26  n  1; n  Muốn vậy, g (1)  1m   f (1)  ln(1  2)  n  n n ln(1  2) Cụ thể: + m  3;5;7;9 n  1; 2 : Có cặp (m, n) + m  11 n  1 : Có cặp (m, n) + m  : Đồ thị hàm số g ( a ) đường thẳng ( g ( a )  a; g (a )  2a ) cắt đồ thị hàm số f (a ) giao điểm a0  tiếp tuyến hàm số f (a ) điểm có hồnh độ a  đường thẳng y  a Vậy có thảy cặp ( m, n ) Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất giá trị thực tham số m   1;1 cho phương trình log m 1  x  y   log  x  y   có nghiệm nguyên  x; y  nhất? A B D C Lời giải Chọn B  x2  y2  Điều kiện:  x  y 1  Nhận xét: Vì x, y có vai trị nên phương trình có nghiệm  x0 ; y0   y0 ; x0  nghiệm phương trình *) Điều kiện cần: Phương trình cho có nghiệm  x0  y0 Thay vào phương trình ta log m 1  x02   log  x0   Vì x0    x0   Lại có x02  x0   log  x0    log m 1  x02   log m 1  x0    log x0  2  log x0   m  1  log x0   m  1  log x0  2  m    m  mà m   1;1  m  1 *) Điều kiện đủ: Với m  1 phương trình cho trở thành 2 x  y 1 2 log  x  y   log  x  y    x  y  x  y    x  1   y  1    Suy phương trình cho có nghiệm 1;1 Vậy có hai giá trị m cần tìm m  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 81 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có số nguyên y để tồn số thực  x thỏa mãn log11  3x  y   log x  y A ? B D vô số C Lời giải Chọn B 3x  y  11t Đặt log11  3x  y   log  x  y   t   (*) t  x  y  Hệ có nghiệm  đường thẳng  : 3x  y  11t đường tròn  C  : x  y  4t có điểm chung 2 t 11t  11   d  O,    R   2t      t  log11 2 2 log11 t t Do x  y  nên y   2  1.9239767 Vì y   nên y 1;0;1 Thử lại: 3x   11t  11t   t t t t  - Với y  1 , hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 (**) t  x      11t   Nếu t       1   121t  4t Nếu t     121t  4t  11t  4t  25  t t 8.11  8.4 Vậy (**) vô nghiệm t t   log 11 3x  11t 121t 11 t - Với y  hệ (*) trở thành     t  log  x  11 t  x  2 3x   11t  11t   t t t t  - Với y  hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 t  x     1  1 Xét hàm số f (t )  121t  8.11t  25  9.4t , liên tục  ;1 có f   f 1  nên phương 2  2 1  trình f (t )  ln có nghiệm thuộc đoạn  ;1 Khi hiển nhiên tồn x thỏa mãn 2  Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn y  0, y  Câu (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện x  x 3  log3 B A  5 y  4 y  y    y  3  ? C D Lời giải Chọn D Ta có: Vì x  x 3 log3 x  x 3 5  30   y  4  y 3  y  3 5 3 x  x 3 (*)   y    y  3 2 Với y  3 ta có: y  y    y  3   4 y   y  1   y  3   y  y   3  y  Kết hợp với y  3 suy y  3 Trang 82 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thế y  3 vào (*) ta được: x2  x 3  x  1   x2  x     x  Vậy cặp số thực  x; y  thỏa mãn  1; 3 ;  3; 3 Câu (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử  x0 ; y0  nghiệm phương trình x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1 Mệnh đề sau đúng? A x0  B 2  x0  C  x0  Lời giải D 5  x0  2 Chọn B Ta có x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1  x  4.2 x   x   sin  x 1  y  1      x     x   sin  x 1  y  1  sin  x 1  y  1  cos  x 1  y  1   2   x     x   2sin  x 1  y  1   2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1    x    2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1   x   2sin  x 1  y  1    cos  x 1  y  1   Vì cos  x 1  y  1   sin  x 1  y  1  1 sin  x 1  y  1   x  (vô nghiệm) sin  x 1  y  1  1  x   x  x0    2;  Câu 10 (Chuyên Lào Cai - 2020) Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  4000 5  25 y  y   x  log5  x  1  ? A B C Lời giải D Chọn A Đặt log  x  1  t  x  5t  Phương trình trở thành:  52 y  y   5t   5t   52 y  y  5t 1   t  1 Xét hàm số f  u   5u  u  f   u   5u.ln   nên hàm số đồng biến Vậy để f  y   f  t  1  y  t   y   t  log  x  1   y   log 4001   y    y  0;1; 2 Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có ( x; y ) với x , y nguyên  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x 3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017.2020 Lời giải Chọn B Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ bất phương trình ta có:  y  2020;  x  2020; x, y  Z ,(1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 83 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2y   2x 1  Ta có:  xy  x  y   log     x  y  xy   log    x 3   y2  2y   2x 1    x   (y  2) log     x   (y  2) log    (*)  x3   y2   2x 1   Xét f ( x)  log    log     0, x   4; 2020 (2) x 3  x 3   + Với y  thay vào (*) ta được: 2  2x   3( x  4) log    ( x  3) log    (  x   4; 2020  (1) (2) ) 3  x3  Suy có 2017 ( x; y ) + Với y  thay vào (*) ta thấy  x   4; 2020  Suy có 2017 ( x; y ) + Với  y  2020  y    2y   y y  y2 Xét g(y)  log    log    log    0, y  (3)  y2  y2  y2 Suy (*) vô nghiệm ( Do (2) (3) ) Vậy có 4034 ( x; y ) Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x số thực dương y số thực thỏa mãn x x  log 14  ( y  2) y   Giá trị biểu thức P  x  y  xy  2020 A 2022 B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x   x  2, x   x  x x Đặt y   t , t  thu 14  ( y  2) y   14  (t  3)t  t  3t  14  16  (t  1) (t  2)  16, t  Dẫn đến log 14  ( y  2) y    log 16    Như hai vế dấu đẳng thức xảy tức t    2  x   x  1; y   P  x  y  xy  2020  2021 x   x  Câu 13   (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log3 3x  x   y  y  x  x  Hỏi có cặp số  x; y   x  2020 ; y   thỏa mãn phương trình cho? A B C Lời giải D Chọn D 2 log3 3x  x   y  y  x  x   log3 x  x   y  y  x  x        log3  x  x    y  y  x  x   log3  x  x     x  x    y  y (1) Đặt log  x  x    z  x  x   3z (1) trở thành: Trang 84 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y2 z   z   y (2) Xét hàm số f  t   3t  t  f   t   3t ln   0, t   Suy hàm số f  t  đồng biến  (2)  f  z   f  y   z  y   Thay trở lại cách đặt ta có: log3 x  x   y  x  x   y Xét hàm số: g  x   x  x  2, x   0; 2020   g   x   x  g  x   x  Bảng biến thiên: Suy ra:   g  x   4076362   y  4076362   y  log 4076362 Do y     y  log 4076362  3,  y  0;1; 2;3 g  x   g  x   g x      g  x   39  Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  ta thấy phương trình có nghiệm  x  2020 Vậy có cặp số  x; y  thỏa mãn đề Câu 14 (Sở Phú Thọ - 2020) Có cặp số nguyên   x; y  thỏa mãn  x  2021  y  log x  y 1  x  y ? A 2020 B C 2019 Lời giải D 10 Chọn D Đặt log  x  y 1   t Suy x  y 1  2t , x  2t  y 1 Phương trình cho trở thành: y  t   2t  y 1   y  2.2 y  y  2.2t  t Xét hàm số g  x   2.2 x  x có g   x   2.2 x ln   0, x nên hàm số y  g  x  ln đồng biến Khi 2.2 y  y  2.2t  t  y  t hay y  log  x  y 1  Suy x  y 1  y  x  y  y 1  y 1 Mà  x  2021 nên  y 1  2021   y   log 2021 hay  y   log 2021  Lại có y số nguyên nên y  2,3, ,11 tức 10 giá trị thỏa mãn Xét biểu thức x  y 1 , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10 cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 85 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Sở Bắc Ninh - 2020) Có cặp số nguyên dương  x; y  thảo mãn x  y  x  3x  1   x  1 y  x , với x  2020 ? A 13 B 15 C D Lời giải Chọn D Ta có 3x  y  x  3x  1   x  1 y  x  y  3x  x  1  x  3x  x  1   3x  x  1 y  x   Ta thấy x  x   0, x    x  x  1 y  x    y  x  y  log x  x  3k Vì x  2020  3k  2020  3k  36  k  0;1; 2;3; 4;5;6 Câu 16 (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b số thực cho x  y  a.103 z  b.10 z , đồng thời x , y, z số số thực dương thỏa mãn log  x  y   z log  x  y   z  Giá trị 1  thuộc khoảng a b A (1;2) B (2;3) C (3; 4) Lời giải D (4;5) Chọn D     x  y  10 z log  x  y   z Ta có:    x  y  10  x  y   2 2 z 1 z   log  x  y   z   x  y  10  10.10   Khi x  y  a.10 z  b.10 z   x  y  x  xy  y   a.10 z   b.10 z    x  y  x  xy  y   a. x  y   b. x  y   x  xy  y  a. x  y   b. x  y  2  b b x  y   x  y  xy  a   x  y   2a.xy   10  10  b   a  1  a  1  Đồng hệ số ta   4,008  4;5  10   4   a b 225  b  15 a      x  xy  y  a. x  xy  y   Câu 17 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có cặp số nguyên x  x; y  thỏa mãn  y  2020  3x   y  log y A 2020 B C Lời giải D Chọn C Ta có: 3x  3x   y  log y  3x   x    y  3log y  3x   x    32 log3 y  3log y * Xét hàm số: f  t   3t   t   Ta có: f   t   3t.ln   0, t   Suy hàm số y  f  t  đồng biến  Khi đó: *  f  x   f   log y   x   log y  y  3x   y  2020 Do x2 nên:   2020   x   log 2020  x  2;3; 4;5;6;7;8 x, y nguyên Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  x; y  nguyên thỏa mãn u cầu tốn Câu 18 (Đơ Lương - Nghệ An - 2020) Giả sử a, b số thực cho x3  y  a.103 z  b.102 z với số thực dương x, y, z thỏa mãn log( x  y )  z log( x  y )  z  Giá trị a  b Trang 86 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 25 A  31 B  31 C Lời giải D 29 Chọn D  x  y  10 z  x  y  10 z  log( x  y )  z      2 2 z 1 z log( x  y )  z   x  y  10 ( x  y )  xy  10.10  x  y  10 z  x  y  10 z    2z  102 z  10.10 z z 10  xy  10.10 xy      102 z  10.10 z  z Khi x3  y  ( x  y )3  xy ( x  y )  103 z    10   1   2.103 z  3.103 z  30.102 z    103 z  30.102 z    103 z  15.102 z 2 3 3z 2z Lại có x  y  a.10  b.10  29 a   Suy   ab   b  15 Câu 19 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có số hữu tỉ a thuộc đoạn  1;1 cho tồn số thực b thỏa mãn 2a 4a 1   a  a a a 1 1  C D Vô số Lời giải log 1  a  b2  2b   A B Chọn C Ta có:  2x 8x  1 2x 4x  2x  1      x  x 1  x  x  2x 2x 4x   x 2x 4x     2  x   4x  2x x  4.2 x  2x 4x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x  1  4.2 x    1 3 x  3 x 1   3 x Lại có   x      x       0 4  4  4 2x  Từ 1 ;   suy  2 2x 4x 1   x  1 x x x 1 1  2  log 1  a  b  2b     a  b  2b   a  b  2b    a   b  1  a   b  a  0 1;1 nên chọn phương án C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 87 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 20 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có cặp số nguyên x  y  0;  20  x  20 2 log  x  y   x  y  xy  x  y  ? A 19 B C 10 D 41 Lờigiải Chọn C + Điều kiện: x  y  + Ta có: x  y  nên log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x ; y  thoả mãn  x  y  x  y   x  y  3xy  x  y  x y  log  x  y  3xy   log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  3xy   x  y  xy  log  x  y   x  y Xét hàm số: f  t   log t  t , ta có: f 't   (1)   t  0;  nên hàm số f  t  đồng t ln biến  ;    Do đó: 1  f  x  y  xy   f  x  y   x  y  xy  x  y   x  y  x  y  1   x   y x  y  nên x  y  1 y  19  y 1 + Do y   nên y  9; 8; ; 1;0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT + Do 20  x  20 suy  Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn YCBT Câu 21 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho số thực x , y thỏa mãn x  , y  log x log y  log x log y   log xy   Giá trị biểu thức P  x  y gần với số số sau A B C 10 D Lời giải Chọn B Đặt a  log x , b  log y Do x  , y  nên a  , b  log 9 Theo giả thiết ta có: a  b  1  2ab   a  b    2a 2b  a  2b  7b  1   1 2 Coi 1 phương trình bậc hai ẩn a , b tham số Để phương trình 1 có nghiệm a     2b  7b  12  36b  4b  28b3  45b2  22b      thì:  2b2  7b   2b  7b   2b  7b     2b  b   b  12  4b  20b  1      4b  20b    2b  7b   2b  7b    Với b   2a  6a    a  Khi P  x  y    8,1 2 4b  20b   Với  : hệ vô nghiệm b  log 2b  7b   Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy giá trị biểu thức P  x  y gần với Câu 22 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Có cặp số nguyên dương  x; y  với x  2020 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 A 1010 B 2020 C Lời giải D Chọn C Đặt log3  x  1  t  x  3t  1, ta  3t  1  y  1  32 y   t  3.3t  t  3.32 y  y (*) Xét hàm số f  u   3.3u  u  f   u   3.3u ln   0, u    f  u  đồng biến  Do (*)  t  y , nên x  32 y   y  x  Vì x  2020  y  4039  y  log 4039 Vì y nguyên dương nên y  1; 2;3 Ta thấy với giá trị nguyên y tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA1-7QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Trang 90 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm Câu (Mã 101 - 2 019) Cho phương trình log9 x  log3  3x  1   log3 m ( m tham số thực) Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có nghiệm?... 2 019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m tham số thực) Có tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải Chọn A  x  Điều kiện:  m  Xét phương trình: ... Câu 13 (HSG Bắc Ninh-2 019) Cho phương trình log 2 x  log x  m  log x  m * Có giá trị nguyên tham số m   2 019; 2 019? ?? để phương trình (*) có nghiệm? A 2021 B 2 019 C 4038 Lời giải D