Hình học lớp 12 Khối đa diện - khối tròn xoay tham khảo

CHỦ ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY Vấn đề 1: KHỐI ĐA DIỆN A/ KHỐI ĐA DIỆN Nhị diện • Hình hợp hai nửa mặt phẳng (α) (β) có chung bờ a gọi nhị diện Mỗi nửa mặt phẳng (α), (β) gọi mặt nhị diện Đường thẳng a gọi cạnh nhị diện Nhị diện có cạnh a hai mặt (α) (β) kí hiệu [ α ,a, β ] hoaëc [ α , β ] Nếu (α) (β) lấy điểm M N (M,N ∉ a) nhị diện kí hiệu [ M ,a, N ] β • Cắt nhị diện [ α ,a, β ] mặt phẳng (P) vuông góc với a điểm O Giao tuyến (P) với nửa mặt phẳng (α) (β) nửa đường thẳng Ox Oy Khi xOy gọi góc phẳng nhị diện [ α ,a, β ] Một nhị diện có nhiều góc phẳng, nhiên tất góc phẳng • Số đo góc phẳng nhị diện [ α ,a, β ] gọi số đo nhị diện [ α ,a, β ] kí hiệu sđ [ α , β ] hay viết tắt [ α , β ] α a y Ta coù ≤ [ α , β ] ≤ 180 o P O x o Khi [ α , β ] = 90o ta noùi [ α , β ] nhị diện vuông Diện tích hình lăng trụ – Thể tích khối lăng trụ 2.1 Diện tích xung quanh diện tích toàn phần: • Tổng diện tích tất mặt bên hình lăng trụ gọi diện tích xung quanh hình lăng trụ • Tổng diện tích hai đáy diện tích xung quanh hình lăng trụ diện tích toàn phần hình lăng trụ 2.2 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ là: V = Sđáy.h (h chiều cao khối lăng trụ) Diện tích hình chóp – Thể tích khối chóp 3.1 Diện tích xung quanh diện tích toàn phần: • Tổng diện tích tất mặt bên hình chóp gọi diện tích xung quanh hình chóp • Tổng diện tích đáy diện tích xung quanh hình chóp gọi diện tích toàn phần hình chóp 3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp là: V = Sđáy h (h chiều cao khối chóp) • Đặc biệt: Cho tứ diện SABC Trên- -các nửa đường thẳng SA, SB, SC lấy điểm A′, B′, C′ Gọi VSABC, VSA′B′C′ thể tích tứ diện V SA ' SB' SC' SABC SA′B′C′ Ta coù: SA ' B'C' = VSABC SA SB SC Diện tích hình chóp cụt – Thể tích khối chóp cụt 4.1 Diện tích xung quanh diện tích toàn phần: • Tổng diện tích tất mặt bên hình chóp cụt gọi diện tích xung quanh hình chóp cụt • Tổng diện tích hai đáy diện tích xung quanh hình chóp cụt diện tích toàn phần hình chóp cụt 4.2 Thể tích khối chóp cụt: ( ) S1 + S2 + S1.S2 h (h chiều cao; S1, S2 diện tích hai đáy khối chóp cụt) Thể tích khối chóp cụt là: V = B/ CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 60o Đường chéo BC′ mặt bên BB′C′C tạo với mặt phẳng (AA′C′C) góc 30o a) Tính độ dài đoạn AC′ b) Tính thể tích khối lăng trụ theo b Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có cạnh đáy a chiều cao 2a Một mặt phẳng (α) qua cạnh đáy BC hợp với mặt phẳng đáy góc 30o cắt AA′ điểm M a) Tính góc hợp BM mặt phẳng (BB′C′C) b) Gọi I trung điểm cạnh BC Tính góc hai mặt phẳng (A′MI) (B′MI) Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC tam giác cạnh a đỉnh A′ cách đỉnh A, B, C Cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy góc 60o a) Chứng minh mặt bên BCC′B′ hình chữ nhật b) Tính góc hợp mặt bên mặt đáy Tính thể tích khối lăng trụ theo a Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a a) Biết góc hợp mặt bên đáy α Tính thể tích khối chóp b) Biết góc hợp cạnh bên mặt phẳng đáy φ Tính thể tích khối chóp Bài 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = b a) Biết AB = a Tính thể tích khối chóp b) Biết góc mặt bên mặt đáy φ Tính thể tích khối chóp Bài 6: Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A′B′C′ có cạnh đáy AB = 2a, A′B′ = a, góc hợp đường cao mặt bên 30o a) Tính diện tích toàn phần hình chóp cụt b) Tính thể tích khối chóp cụt Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên a Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, I, K a) Tính theo a diện tích thiết diện AHIK b) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABCD) (BDI) Tính cosφ, suy số đo nhị diện [ A , BD , I] Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA = h vuông góc với mặt phẳng đáy -2- a) Tìm hệ thức a h để góc hai đường thẳng AC SC 60o b) Cho h = a , tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC c) Khi h = a Chứng minh góc phẳng nhị diện [ B,SC,D] góc tù a vuông góc với mặt phẳng đáy Trên cạnh SC lấy điểm M với SM = x (0 < x < a) Mặt phẳng (ABM) cắt SD N a) Chứng minh ABMN hình thang cân Tính theo a x diện tích hình thang Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, SO = b) Gọi I K trung điểm AB MN Chứng minh SKI góc phẳng nhị diện [ S,MN ,I ] Tính số đo nhị diện c) Định x để hai mặt phẳng (ABMN) (SCD) vuông góc với Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BAD = 60o , SO = 3a vaø SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) b) Mặt phẳng (α) qua AD vuông góc với mặt phẳng (SBC) cắt SB, SC M, N Tính thể tích khối chóp S.AMND theo a c) Tính góc mặt phẳng (α) mặt phẳng (ABCD) ************************************************* Vấn đề 2: HÌNH TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY I/ MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY -3- 1/ Khái niệm mặt tròn xoay: a) Cho đường thẳng ∆ điểm M Gọi O hình chiếu M đường thẳng ∆, đường tròn CM có tâm O bán kính OM nằm mặt phẳng vuông góc với ∆ O gọi đường tròn sinh điểm M M quay quanh ∆ b) Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng ∆ đường l Với điểm M nằm l ta lấy đường tròn CM sinh điểm M quay quanh ∆ Hình (T) gồm tất đường tròn CM với M ∈ l gọi mặt tròn xoay sinh đường l quay quanh ∆ Khi ∆ gọi trục mặt tròn xoay (T) l gọi đường sinh mặt tròn xoay (T) 2/ Mặt nón tròn xoay: a) Định nghóa: Cho hai đường thẳng ∆ l cắt O tạo thành góc α không đổi l quay quanh ∆ gọi mặt nón tròn xoay (gọi tắt mặt nón) Khi ∆ gọi trục, l gọi đường sinh điểm O gọi (0o < α < 90o) Mặt tròn xoay sinh đường thẳng đỉnh mặt nón • Mỗi mặt phẳng vuông góc với ∆ cắt mặt nón theo đường tròn có tâm nằm ∆, đường tròn có bán kính thay đổi mặt phẳng thiết diện thay đổi • Nếu điểm M nằm mặt nón toàn đường thẳng OM nằm mặt nón, đường thẳng OM coi đường sinh mặt nón • Mọi đường thẳng qua ∆ cắt mặt nón theo hai đường sinh tạo với góc 2α Góc 2α gọi góc đỉnh mặt nón b) Khối nón tròn xoay hình nón tròn xoay: Xét ∆OAB vuông A miền O Khi quay xung quanh đường thẳng OA, điểm miền tam giác sinh đường tròn Hình gồm tất đường tròn gọi khối nón tròn xoay (gọi tắt khối nón) • Đoạn OA sinh hình tròn tâm A bán kính AB gọi mặt đáy khối nón • O gọi đỉnh khối nón A B • Đoạn OB vạch nên mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh khối nón Hình gồm mặt đáy mặt xung quanh khối nón gọi hình nón tròn xoay (hình nón) c) Diện tích xung quanh hình nón – Thể tích khối nón: • Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l là: Sxq = π r l • Diện tích hình nón là: S = Sxq + Sđáy • Thể tích khối nón có chiều cao h bán kính đáy r là: V = π r h 3/ Mặt trụ tròn xoay: a) Định nghóa: Cho hai đường thẳng ∆ l song song với cách khoảng R Mặt tròn xoay sinh đường thẳng l quay quanh ∆ gọi mặt trụ tròn xoay (gọi tắt mặt trụ); ∆ gọi trục l gọi đường sinh mặt trụ vuông góc với ∆ thiết diện thu • Nếu cắt mặt trụ mặt phẳng -4- đường tròn có tâm ∆ bán kính R Ta nói R bán kính mặt trụ • Mặt trụ nói định nghóa tập hợp tất điểm M cách đường thẳng ∆ cố định đoạn R không đổi • Nếu M’ điểm nằm mặt trụ, đường thẳng l’ qua M’ song song với ∆ nằm mặt trụ Ta nói l’ đường sinh mặt trụ b) Khối trụ tròn xoay hình trụ tròn xoay: Xét hình chữ nhật ABCD với miền Khi quay quanh đường thẳng AB điểm miền hình chữ nhật A D sinh đường tròn Hình gồm tất đường tròn gọi khối trụ tròn xoay (gọi tắt khối trụ) • Hai đoạn thẳng AD BC vạch nên hai hình tròn gọi hai mặt đáy khối trụ • Cạnh CD vạch nên mặt tròn xoay gọi mặt xung quanh C B khối trụ Hình hợp hai mặt đáy mặt xung quanh khối trụ gọi hình trụ tròn xoay (hình trụ) c) Diện tích xung quanh hình trụ – Thể tích khối trụ: • Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy r độ dài đường sinh l là: Sxq = 2π r l • • Diện tích hình trụ là: S = Sxq + 2Sđáy Thể tích khối trụ có độ dài đường sinh l bán kính đáy r là: V = π r l 4/ Hình nón nội, ngoại tiếp hình chóp – Hình trụ nội, ngoại tiếp lăng trụ: a) Hình nón nội tiếp hình chóp (hình chóp ngoại tiếp hình nón) hình nón có đường tròn đáy nội tiếp đáy hình chóp đỉnh hình nón trùng với đỉnh hình chóp b) Hình nón ngoại tiếp hình chóp (hình chóp nội tiếp hình nón) hình nón có đường tròn đáy ngoại tiếp đáy hình chóp đỉnh hình nón trùng với đỉnh hình chóp • Chú ý: Hình chóp nội (ngoại) tiếp hình nón đáy hình chóp đa giác nội (ngoại) tiếp chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn nội (ngoại) tiếp đa giác đáy c) Hình trụ nội tiếp lăng trụ (lăng trụ ngoại tiếp hình trụ) hình trụ có hai đường tròn đáy nội tiếp hai đa giác đáy lăng trụ d) Hình trụ ngoại tiếp lăng trụ (lăng trụ nội tiếp hình trụ) hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai đa giác đáy lăng trụ • Chú ý: Hình lăng trụ nội (ngoại) tiếp hình trụ lăng trụ đứng đáy lăng trụ đa giác nội (ngoại) tiếp đường tròn 5/ Các toán: Bài 1: Cho hình nón (N) có bán kính đáy R, góc đường sinh đáy hình nón α Một mặt phẳng (P) song song với đáy hình nón cách đáy hình nón khoảng h cắt hình nón (N) theo đường tròn (C) a) Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h, α b) Tính thể tích diện tích phần hình nón nằm đáy hình nón (N) mặt phẳng (P) -5- Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, ABC = 60o Biết có hình nón nội tiếp hình chóp cho với bán kính đáy r, góc đường sinh đáy hình nón β a) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp Bài 3: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a, SAO = 30o SAB = 60o Tính diện tích xung quanh hình nón Bài 4: Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy R thiết diện qua trục hình nón tam giác Gọi A điểm cố định đường tròn đáy (O), M điểm di động đường tròn (O), H hình chiếu tâm O mặt phẳng (SAM) Đặt AOM = 2α (0o ≤ α ≤ 90o ) a) Tính độ dài OH theo R α b) Gọi β góc đáy mặt phẳng (SAM) Chứng minh rằng: cos α.tgβ = Xác định α cho tgβ = tgα c) Tìm tập hợp điểm H M chạy đường tròn (O) Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R, độ dài đường sinh R A B hai điểm hai đường tròn đáy cho góc hợp AB trục hình trụ 30o a) Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục hình trụ theo R b) Tính góc hai bán kính qua A B c) Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AB trục hình trụ Bài 6: Một hình trụ có hai đáy hình tròn tâm O O’ bán kính R, độ dài đường sinh R Gọi A điểm đường tròn (O), B điểm đường tròn (O’) cho OA vuông góc với O’B a) Mặt phẳng (P) qua AB song song với OO’ cắt mặt trụ theo thiết diện Tính diện tích thiết diện b) Chứng minh mặt tứ diện OABO’ tam giác vuông Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB Bài 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD hình thang cân đáy nhỏ AB = a, đáy 5a lớn CD = 4a, cạnh bên , chiều cao lăng trụ h a) Chứng minh có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ cho b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình trụ ****************************************************** II/ MẶT CẦU – KHỐI CẦU 1/ Mặt cầu: • Mặt cầu tâm O bán kính R laø: S(O;R) = {M / OM = R} + OA = R ⇔ A nằm mặt cầu S(O;R) + OA < R ⇔ A nằm mặt cầu S(O;R) + OA > R ⇔ A nằm mặt cầu S(O;R) • Nếu điểm A nằm mặt cầu S(O;R) đoạn OA gọi bán kính mặt cầu- -(S) Gọi B điểm B • O A đối xứng A qua tâm O, suy OB = R đoạn AB gọi đường kính mặt cầu (S) 2/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu S(O;R) mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu O mp(P) d = OH • O • • O • O • • • P H • ∆ (h -1) • H ∆ P (h -2) H P ∆ (h -3) + d > R ⇔ (P) ∩ (S) = Þ (h -1) + d = R ⇔ (P) tiếp xúc với (S) H, ta nói (P) tiếp diện mặt cầu (S) (h -2) + d < R ⇔ (P) caét (S) theo giao tuyến đường tròn tâm H, bán kính r = R − OH (h -3) Đặc biệt đường tròn giao tuyến có tâm trùng với tâm O mặt cầu đường tròn gọi đường tròn lớn mặt cầu 3/ Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng: Cho mặt cầu S(O;R) đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu tâm O đường thẳng ∆ + OH > R ⇔ ∆ ∩ (S) = Þ + OH = R ⇔ ∆ tiếp xúc với (S) điểm H, ta nói ∆ tiếp tuyến mặt cầu (S) + OH < R ⇔ ∆ cắt (S) hai điểm đối xứng với qua H • Các tính chất tiếp tuyến: a) Qua điểm A nằm mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến mặt cầu (S) Tất tiếp tuyến nằm tiếp diện (S) A b) Qua điểm A nằm mặt cầu S(O;R) có vô số tiếp tuyến mặt cầu (S) Độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm 4/ Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp lăng trụ: Mặt cầu (S) gọi ngoại tiếp hình chóp (hay hình lăng trụ) (S) qua tất đỉnh hình chóp (hay hình lăng trụ) 5/ Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu: • Diện tích mặt cầu bán kính r là: S = π r • Thể tích khối cầu bán kính r là: V = π r3 6/ Các toán: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên SAB vuông góc với đáy, hai mặt bên lại hợp với đáy góc α a) Xác định góc α b) Xác định tâm I tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp -7- c) Tính theo a α số đo góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Bài 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy tùy ý điểm S ( S ≠ A) Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ a) Chứng minh điểm A, B’, C’, D’ luôn nằm mặt cầu cố định b) Đặt AS = x Xác định tâm I tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AB’C’D’ Tính thể tích khối cầu theo a x c) Xác định vị trí điểm S Ax cho góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) có số đo 60o Bài 3: Cho hình cầu tâm O có đường kính SS’ = 2R Gọi H điểm đoạn SS’, đặt SH = x (0 < x < 2R) Mặt phẳng (P) vuông góc với SS’ H cắt mặt cầu theo giao tuyến đường tròn ABC tam giác nội tiếp đường tròn a) Tính theo R x độ dài cạnh tứ diện SABC b) Định x theo R để SABC tứ diện Trong trường hợp chứng tỏ tứ diện S’ABC tứ diện có ba mặt vuông c) Với x vừa tìm Tính khoảng cách cặp cạnh đối tứ diện S’ABC theo R Bài 4: Cho hình chóp S.ABC Biết có mặt cầu bán kính r tiếp xúc với cạnh hình chóp tâm I mặt cầu nằm đường cao SH hình chóp a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Tính đường cao hình chóp biết IS = r Bài 5: Cho hình chóp S.ABC Biết có mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác ABC trung điểm cạnh, đồng thời mặt cầu qua trung điểm cạnh bên SA, SB, SC a) Chứng minh S.ABC hình chóp b) Tính diện tích mặt cầu biết cạnh đáy chiều cao hình chóp a h ****************************************************** CHỦ ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Vấn đề 1: VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ – MẶT CẦU -8- 1) Hệ trục tọa độ Đêcac không gian: Ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với đôi một, với vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz e1 , e , e3 gọi hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc không gian 2) Tọa độ điểm tọa độ vectơ: • Định nghóa: Trong không gian Oxyz, ta có a) M ( x; y;z ) ⇔ OM = x e1 + y e2 + z e3 ; c) F trọng tâm  x F   khi: y F   z F  tứ diện ABCD xA + xB + xC + xD yA + yB + yC + yD = z + zB + zC + zD = A 3) Tích vô hướng hai vectơ: b) a = ( a1;a2 ;a3 ) ⇔ a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ; • Định nghóa: a b = a b cos a , b ( • Định lí 1: a = ( a1;a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) ) • Định lí 3: a = ( a1;a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 ) + a + b = ( a1 + b1; a2 + b2 ; a3 + b3 ) ; Ta coù a b = a1b1 + a2 b + a3 b3 + a − b = ( a1 − b1; a2 − b2 ; a3 − b3 ) ; • Hệ quả: + k a = ( ka1; ka2 ; ka3 ) , k ∈ R; AB = + a = b ⇔ a1 = b1 , a2 = b , a3 = b3 ; + Neáu a ≠ Ta có a phương với b ∃ k ∈ R cho a1 = k b1; a2 = k b2 ; a3 = k b3 2 a = a1 + a2 + a3 ; (x B − x A )2 + (y B − y A )2 + (z B − z A )2 4) Góc hai vectô: Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b ; b3 ) khác Gọi φ góc hai vectơ a b , ta có: cos φ = • Định lí 2: A (x A ; y A ; z A ), B(x B ; y B ; z B ) Ta coù AB = ( x B − x A ; y B − y A ; x B − z A ) a.b a b ; • Hệ quả: a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2 b2 + a3 b3 = • Hệ quả: 5) Tích có hướng hai vectơ: a) M trung điểm đoạn AB a) Định nghóa: Trong kg Oxyz cho hai  xA + xB vectô x M  a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b ; b3 ) y + yB  ; khi: y M = A Tích có hướng hai vectơ a b  vectơ, kí hiệu  a , b  Ta có: zA + zB    z M =   a a a a a a   a , b  =  ; − ;  b) G trọng tâm ∆ABC khi:    b b  b1 b3 b1 b2    xA + xB + xC x G  yA + yB + yC  a , b ;   y G = b  zA + zB + zC  a z G =  -9- b) Tính chất: +  a , b  = − b , a      + a , b phương ⇔  a , b  =   +  a , b  vuông góc với a b   +  a , b  = a b sin a , b   c) Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: Cho ba vectơ a , b , c Ta coù: ( ) a , b , c đồng phẳng ⇔  a , b  c =   6) Áp dụng: a) Diện tích tam giác: Diện tích ∆ABC là:  AB, AC ; SABC =   b) Thể tích hình hộp: Thể tích hình hộp ABCD.A' B' C' D' là: VH.hộp =  AB, AD  AA '   c) Thể tích tứ diện: Thể tích tứ diện ABDC là:  AB, AC  AD VT.diện =   7) Phương trình mặt cầu: a) Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 b) Trong không gian Oxyz, phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = a2 + b2 + c2 – d > phương trình mặt cầu (S) tâm I(–a; –b; –c) có bán kính r = a + b + c2 − d CÁC BÀI TOÁN • Bài 1: Cho ba điểm A(–1; 6; 6), B(3; –6; –2), C(x; y; 8) a) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng; b) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng Oxy cho MA + MB nhỏ • Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ Biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C′(4; 5; –5) a) Tìm toạ độ đỉnh lại; b) Gọi I giao điểm A′C′ B′D′ Tính thể tích khối chóp I.ABCD • Bài 3: Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a) Chứng minh A, B, C ba đỉnh tam giác Tìm điểm D cho ABCD hình bình hành; b) Tính diện tích ∆ABC, suy độ dài đường cao kẻ từ A tam giác; c) Tính góc ∆ABC; d) Xác định toạ độ trực tâm H ∆ABC; e) Xác định toạ độ tâm tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC • Bài 4: Cho tứ diện ABCD coù A(2; 1; –1), B(3; 0; 1), C(2; –1; 3) D thuộc trục Oy Biết thể tích tứ diện V = (đvtt) a) Tìm toạ độ đỉnh D; b) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD • Bài 5: Lập phương trình mặt cầu trường hợp sau a) Đi qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) có tâm nằm mặt phẳng Oxy; b) Đi qua hai điểm M(3; –1; 2), N(1; 1; –2) có tâm thuộc trục Oz; ************************************************* Vấn đề 1: MẶT PHẲNG - 10 - I/ Phương trình mặt phẳng: 1) Phương trình tổng quát: Trong không gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2 ≠ → gọi phương trình mặt phẳng (α) n = (A ; B; C) pháp vectơ mặt phẳng (α) → ⊕ Chú ý: a) Nếu mặt phẳng (α) qua điểm Mo(xo; yo; zo) có pháp vectơ n = (A ; B; C) (α): A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) =  →  → b) Nếu mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C hai vectơ AB , AC cặp vectơ phương mặt phẳng (α) → c) Nếu n = (0 ; B; C) mặt phẳng (α) song song chứa trục Ox → Nếu n = (0 ; ; C ) mặt phẳng (α) song song trùng với mặt phẳng Oxy 2) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Nếu mặt phẳng (α) cắt trục Ox, Oy, Oz taïi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) x y z với a.b.c ≠ 0, phương trình mặt phẳng (α): + + = a b c II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng: 1) Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0; (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = Ta coù: + A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 ⇔ (α1) cắt (α2) theo giao tuyến đường thẳng A1x + B1y + C1z + D1 = (d):  A x + B y + C z + D = A B C D + = = ≠ ⇔ (α1) // (α2) A B2 C D + A1 : B1 : C1 : D1 = A2 : B2 : C2 : D2 ⇔ (α1) ≡ (α2) 2) Chùm mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (α1): A1x + B1y + C1z + D1 = vaø (α2): A2x + B2y + C2z + D2 = A1x + B1y + C1z + D1 = caét theo giao tuyeán (d):  A x + B y + C z + D = Khi đó, mặt phẳng chứa đường thẳng (d) có phương trình là: µ(A1x + B1y + C1z + D1) + λ(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, với µ2 + λ2 ≠ II/ Các toán: Bài 1: Trong kgOxyz cho điểm A(1; –2; 1), B(2; 4; 1), C(–1; 4; 2), D(–1; 0; 1) 1) Viết phương trình mp(ABC) suy A, B, C, D đỉnh tứ diện 2) Tính thể tích tứ diện ABCD suy độ dài đường cao AH tứ diện 3) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng (BCD) Bài 2: Trong kgOxyz cho ∆ABC có A(3; –1; 4), B(1; 2; –4), C(–3; 2; 1) 1) Tính góc ∆ABC viết phương trình mp(ABC) 2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm A cạnh BC →  →  →  → 3) Viết phương trình mp(α) chứa B nhận vectơ v = AB − BC + AC laøm pháp vectơ Bài 3: Trong kgOxyz cho ba điểm A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) - 11 - 1) Chứng tỏ ABC tam giác cân Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình thoi 2) Chứng tỏ điểm S(1; 1; –3) không nằm mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích hình choùp S.ABCD →  →  →  → 3) Phân tích vectơ u = (2; − 3; 4) theo vectơ SA , SB , SC Bài 4: Cho điểm A(1; 1; – 2), B(4; 0; – 1), C(– 1; 7; 0), D(2; 2; 1) 1) Vieát phương trình mặt phẳng trung trực cạnh AB 2) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa cạnh AB song song với đường thẳng (CD) 3) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao AH tứ diện 4) Tìm hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng (BCD) Bài 5: Cho ∆ABC, bieát A(1; 2; – 1), B(2; – 1; 3), C(– 4; 7; – 5) 1) Tính diện tích ABC độ dài đường cao AH ABC 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) 3) Tìm cạnh BC điểm M cho ABM ACM có diện tích thỏa mãn: SABM = 3SACM Bài 6: Cho tứ diện ABCD, bieát A(1; 2; 1), B(5; 3; 4), C(8; – 3; 2), D(– 1; 2; – 3) 1) Xác định hình dạng ABC Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm D cạnh AB 2) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD Tính thể tích tứ diện ABCD 3) Viết phương trình mặt phẳng (α) nhận trọng tâm G hình chiếu vuông góc điểm C mặt phẳng Bài 7: Cho hai mặt phẳng (α1): 2x + y – 3z + = vaø (α2): 3x – 5y – 2z + = 1) Viết phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng (α1) 2) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua điểm M(4; – 2; 3) giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) 3) Viết phương trình mặt phẳng (γ) song song với trục Oz qua giao tuyến hai mặt phẳng (α1) (α2) Bài 8: Cho hai mặt phẳng (α1): 3x – 2y + 2z + = vaø (α2): 5x – 4y + 3z + = 1) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua hai điểm A(2; – 1; 4), B(3; 4; –2) vuông góc với mặt phẳng (α1) 2) Viết phương trình mặt phẳng (γ) qua điểm C(– 5; 1; 3) vuông góc với hai mặt phẳng (α1) (α2) 3) Viết phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng (ABC) Bài 9: Cho mặt phẳng (α): x + y – 2z – = điểm A(1; 1; 1) 1) Viết phương trình mặt phẳng (β) qua điểm A trục Oy 2) Tìm tọa độ điểm B cho (α) mặt phẳng trung trực đoạn AB 3) Viết phương trình mặt phẳng (γ) qua hai điểm A, B song song với trục Ox Bài 10: Cho điểm A(2; 1; 3), B(– 3; 4; – 1), C(0; – 2; 2), D(1; 5; – 5) 1) Tìm điểm E cho BCDE hình bình hành Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm D, E song song với đường thẳng (AB) 2) Chứng tỏ A, B, C, D đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD thể tích hình chóp A.BCDE 3) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua trung điểm hai cạnh AB CD tứ diện song song với đường thẳng (AE) ************************************************** Vấn đề 3: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I/ Phương trình đường thẳng: - 12 - Phương trình tham số: Trong kg Oxyz phương trình tham số đường thẳng qua điểm x = x o + a1 t →  (I.1) Mo(xo; yo; zo) có vectơ phương a = (a1; a2 ; a3 ) laø: y = y o + a2 t (t ∈ ℝ ) z = z + a t o  Phương trình tổng quát: Trong kg Oxyz phương trình tổng quát đường thẳng có dạng: A1x + B1y + C1z + D1 =  A 2x + B2y + C2z + D2 = ( A1 : B1 : C1 ≠ A : B2 : C2 ) (I.2) Phương trình tắc: Trong kg Oxyz phương trình tắc đường thẳng qua điểm → x − xo y − yo z − zo Mo(xo; yo; zo) có vectơ phương a = (a1; a2 ; a3 ) laø: (I.3) = = a1 a2 a3 Chú ý: • Nếu đường thẳng (D) cho phương trình dạng (2) vectơ phương đường → → → → →  thẳng (D) a =  n1 ; n  với n1 = ( A1; B1; C1 ) , n = ( A ; B2 ; C2 )   • Nếu muốn tìm phương trình tham số đường thẳng (D) từ dạng (2) ta tìm điểm thuộc (D) vectơ phương nó, chuyển trực tiếp việc cho ba biến x, y, z nhận biểu thức theo tham số t sau biểu diễn hai biến lại theo t • Nếu muốn tìm phương trình tổng quát đường thẳng (D) từ dạng (1) ta thông qua dạng (3) biến đổi II/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: x = x o + a1 t  (1) Để xét vị trí tương đối đường thẳng (D) a Nếu đường thẳng (D): y = y o + a2 t z = z + a t o  mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = ta x, y, z phương trình (1) vào phương trình mặt phẳng (P) thu phương trình: α t + β = (*) Tuỳ theo số nghiệm t (*) ta có kết luận vị trí tương đối (D) (P) A1x + B1y + C1z + D1 = b Neáu đường thẳng (D):  Để xét vị trí tương đối đường A 2x + B2y + C2z + D2 = A1x + B1y + C1z + D1 =  thẳng (D) mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = ta giaûi heä: A 2x + B2y + C2z + D2 = Ax + By + Cz + D =  Tuỳ theo số nghiệm hệ ta có kết luận vị trí tương đối (D) (P) Vị trí tương đối hai đường thẳng: → Cho đường thẳng (D1) qua điểm M1 có vectơ phương a , đường thẳng (D2) → qua điểm M2 có vectơ phương b Ta thấy xảy khả sau: - 13 -  → →  →  a ; b  ≠   ⇔ (D1) (D2) cắt nhau; •  →   → →     a ; b  M1M =    → →  →  a ; b  =   •  ⇔ (D1) →  →   →  a ; M M  =     → → →   •  a ; b  M1M ≠ ⇔ (D1), (D2) cheùo nhau;    → →  →  a ; b  =   •  ⇔ (D1) // (D2) →  →   →  a ; M M  ≠      (D2); III/ Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng: → Cho hai mặt phẳng (P1) (P2) có vectơ pháp tuyến n1 = ( A1; B1; C1 ) vaø → n = ( A ; B2 ; C2 ) Gọi góc hai mặt phẳng (P1) (P2) Ta coù: → → cos φ = n1 n → A1.A + B1.B2 + C1.C2 Hay: cos φ = → 2 2 2 A1 + B1 + C1 A + B2 + C2 n1 n (III.1) Góc hai đường thẳng: → Cho hai đường thẳng (D1) (D2) có vectơ phương a = ( a1; a2 ; a3 ) vaø → b = ( b1; b2 ; b3 ) Gọi góc hai đường thẳng (D1) (D2) Ta có: → → a.b cos φ = → → Hay: cos φ = a b a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 2 2 2 a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3 (III.2) Góc đường thẳng mặt phẳng: → Cho đường thẳng (D) có vectơ phương a = ( a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng (P) có vectơ → pháp tuyến n = ( A; B; C ) Gọi góc hợp (D) (P) Ta coù: → → a.n sin φ = → → a n Hay: sin φ = a1.A + a2 B + a3 C 2 a1 + a2 + a3 A + B2 + C2 (III.3) IV/ Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(xM; yM; zM) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = laø: - 14 - d ( M; (P) ) = Ax M + By M + Cz M A + B2 + C2 (IV.1) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: → Cho đường thẳng (D) qua điểm Mo có vectơ phương a Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) là: d ( M; (D) ) = →  →    a ;M o M      → (IV.2) a Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Cho hai đường thẳng chéo nhau: → (D1) qua điểm M1 có vectơ phương a , (D2) qua điểm M2 có vectơ → phương b Khoảng cách (D1) (D2) là: d ( (D1 ); (D2 ) ) = →  → →    a ; b  M1M   → → a ; b   (IV.3) V/ Caùc toán: Bài 1: Cho ABC có đỉnh A(3; 6; –7), B(–5; 2; 3), C(4; –7; –2) a) Vieát phương trình tham số đường trung tuyến AM, BN, CP tam giác b) Viết phương trình tổng quát đường cao AA′, BB′, CC′ tam giác c) Tính độ dài đường cao tam giác x = 3t  Bài 2: Cho đường thẳng (D) : y = −7 + 5t mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 23 = z = + t  a) Tìm toạ độ điểm M′ đối xứng với điểm M(2; –1; 3) qua đường thẳng (D) b) Tìm toạ độ điểm N′ đối xứng với điểm N(5; 2; –1) qua mặt phẳng (P) c) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng M′N′ mặt phẳng (P) x − 2y + 2z − = Bài 3: Cho điểm M(–1; 1; 2) đường thẳng (D) :  2x + 2y + z − = a) Tìm toạ độ điểm M′ hình chiếu điểm M đường thẳng (D) Tính độ dài MM′ b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm M đường thẳng (D) c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song cách mặt phẳng (P) x −1 y +1 z = = mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – = −2 a) Tìm giao điểm đường thẳng (D) mặt phẳng (P) Tính góc (D) (P) b) Viết phương trình tham số đường thẳng (D′) hình chiếu vuông góc (D) (P) c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng ( ) nằm mặt phẳng (P) cắt (D) vuông góc với (D) Bài 4: Cho đường thaúng (D) : - 15 - x +1 y + z − x − y +1 z −1 = = , (D2 ) : = = −2 −1 −5 a) Chứng tỏ (D1) (D2) chéo Tính khoảng cách hai đường thẳng b) Viết phương trình tổng quát dạng giao tuyến hai mặt phẳng song song với trục Ox trục Oz đường thẳng (D) qua điểm M(0; 1; –2) cắt (D1) vuông góc với (D2) c) Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) qua điểm N(2; –2; 3) cắt hai đường thẳng (D1), (D2) Bài 5: Cho hai đường thẳng (D1 ) : Bài 6: Cho mặt phaúng (P): 2x – 3y + 3z – 17 = hai điểm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17) a) Viết phương trình đường thẳng AB Chứng tỏ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (P) nằm đoạn AB b) Tìm mặt phẳng (P) điểm M cho tổng khoảng cách từ điểm đến hai điểm A B nhỏ x +1 y − z − hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) = = −2 a) Chứng tỏ đường thẳng (D) đường thẳng AB cắt Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng b) Tìm đường thẳng (D) điểm M cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai điểm A B nhỏ Bài 7: Cho đường thẳng (D) : Bài 8: Cho hai đường thẳng (D1 ) : 3x + y − 5z + = x y −1 z = = vaø (D2 ) :  2x + 3y − 8z + = a) Chứng tỏ (D1) (D2) chéo Tính góc hai đường thẳng b) Viết phương trình tổng quát đường vuông góc chung hai đường thẳng (D1) (D2) x+7 y−4 z−4 x − y + z + 12 vaø (D2 ) : = = = = 3 −1 −2 a) Viết phương trình tham số đường vuông góc chung hai đường thẳng (D1) (D2) b) Tìm toạ độ điểm M1, M2 chân đường vuông góc chung (D1) (D2) ****************************************************** Bài 9: Cho hai đường thẳng (D1 ) : - 16 - ... b) Khối trụ tròn xoay hình trụ tròn xoay: Xét hình chữ nhật ABCD với miền Khi quay quanh đường thẳng AB điểm miền hình chữ nhật A D sinh đường tròn Hình gồm tất đường tròn gọi khối trụ tròn xoay. .. Khối nón tròn xoay hình nón tròn xoay: Xét ∆OAB vuông A miền O Khi quay xung quanh đường thẳng OA, điểm miền tam giác sinh đường tròn Hình gồm tất đường tròn gọi khối nón tròn xoay (gọi tắt khối. .. tích khối chóp S.AMND theo a c) Tính góc mặt phẳng (α) mặt phẳng (ABCD) ************************************************* Vấn đề 2: HÌNH TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY I/ MẶT TRÒN XOAY – KHỐI TRÒN XOAY