(Skkn 2023) phương pháp giải một số dạng toán về sự tương giao của đường thẳng và parabol

ỦY BAN NHÂN DÂN HUYỆN ĐAN PHƯỢNG TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH –––––––––––––––––––– SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL” Mơn: Tốn Cấp học: Trung học sở Tác giả: Nguyễn Thị Ngọc Đơn vị công tác: Trường THCS Lương Thế Vinh Thị trấn Phùng - Huyện Đan Phượng Chức vụ : Giáo viên NĂM HỌC: 2022 – 2023 1/15 PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI “ Hàm số đồ thị” dạng toán quan trọng, dạng tốn “sự tương giao đường thẳng Parabol” dạng toán thường gặp hay xuất đề thi vào lớp 10 THPT, thành phố Hà Nội thường có số điểm từ đến 1,5 điểm, số điểm cao Việc nắm vững phương pháp giải dạng tốn khơng giúp học sinh học tốt mơn Tốn mà cịn hỗ trợ cho nhiều mơn học khác Qua thúc đẩy thêm lịng u thích, đam mê Tốn học “Sự tương giao đường thẳng Parabol” dạng tốn có liên quan chặt chẽ đến tốn phương trình bậc hai, dạng toán phong phú đa dạng Đây dạng toán mà nhiều em học sinh đánh giá khó Thực tế qua q trình giải tập thuộc dạng tập học sinh cho thấy vấn đề khó khăn học sinh giải loại tập việc hiểu đề tìm mối liên hệ yêu cầu toán với toán tương ứng phương trình bậc hai Ngồi dạy giáo viên truyền đạt cho học sinh kiến thức theo sách giáo khoa mà chưa ý đến việc phân loại dạng toán khái quát nên phương pháp giải cho dạng Với giáo viên việc nắm vững hệ thống phương pháp giải dạng tập tiền đề để có giảng hay, làm cho kho kiến thức ngày phong phú đa dạng Đối với em học sinh việc hiểu rõ phương pháp giải dạng tập giúp em khắc phục hạn chế trước đây, giúp em có thêm tự tin, lịng ham mê học toán đặc biệt giúp em học sinh lớp nâng cao kết thi tuyển sinh vào THPT Chính lý nêu trên, chọn đề tài sáng kiến: “ Phương pháp giải số dạng toán tương giao đường thẳng Parabol” II Thời gian nghiên cứu: Thời gian: năm học 2020 – 2021; năm học 2021 – 2022 III Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối trường THCS Lương Thế Vinh: + Lớp 9C - Năm học 2020 -2021 + Lớp 9D - Năm học 2021 -2022 IV Phạm vi nghiên cứu: Kiến thức Đại số 9, chương IV V Số liệu khảo sát trước thực đề tài: 2/15 - Lớp 9C Năm học 2020 -2021 Tổng số học sinh: 45 Trước thực đề tài Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 2,2 Khá 11,2 Trung bình 25 55,6 Dưới trung bình 14 31 - Lớp 9D Năm học 2021 -2022 Tổng số học sinh: 43 Trước thực đề tài Số lượng Tỉ lệ % Giỏi 0 Khá 13,9 Trung bình 23 53,5 Dưới trung bình 14 32,6 PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Tên sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải số dạng toán tương giao đường thẳng Parabol” Giới thiệu - Bài toán “sự tương giao đường thẳng Parabol” toán thuộc phần hàm số đồ thị Đây loại tập học sinh đánh giá khó tập hàm số đồ thị Bài tập dạng khó giải khó tìm mối quan hệ tương ứng toán “sự tương giao đường thẳng Parabol” với toán phương trình bậc hai - Để giải tốt dạng tốn q trình thực cần ý số vấn đề sau: + Cần phải đọc kĩ hiểu rõ đề + Cần hiểu rõ số lượng giao điểm đường thẳng Parabol số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng Parabol 3/15 Tính chất hai nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm định đến đặc điểm tọa độ giao điểm đường thẳng Parabol + Cần phải xác định rõ toán “ tương giao đường thẳng Parabol” tương ứng với tốn phương trình bậc hai + Khi kết luận cần ý so sánh với điều kiện có - Bài tốn “sự tương giao đường thẳng Parabol” có nhiều dạng khác nhau, nhiên phân loại thành dạng hay gặp sau: Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng Parabol Tìm điều kiện tham số để đường thẳng Parabol cắt hai điểm phân biệt, tiếp xúc với khơng giao Tìm điều kiện tham số để đường thẳng Parabol cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm thỏa mãn điều kiện dấu Tìm điều kiện tham số để đường thẳng Parabol cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ tung độ giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài tốn có liên quan đến độ dài đoạn thẳng, diện tích tam giác Phương pháp giải * Đây loại tập khó có nhiều dạng khác nhau, để giải tập thuộc dạng toán “sự tương giao đường thẳng Parabol” cần ý điều sau: - Cần ý đến cách xác định tọa độ giao điểm đường thẳng Parabol: + Bước 1.Xác định hoành độ giao điểm: Cho đường thẳng (d): Parabol (P): hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình: 2 ax =bx+ c ⇔ ax −bx−c=0 (1) ( Phương trình hồnh độ giao điểm) Giải phương trình (1) tìm hồnh độ giao điểm + Bước Xác định tung độ giao điểm: Thay giá trị hồnh độ giao điểm tìm bước vào (d) (P) tìm tung độ giao điểm tương ứng - Sự tương giao đường thẳng (d): 2 Parabol (P): Xét phương trình: ax =bx+ c ⇔ ax −bx−c=0 (1)  (d) (P) khơng có điểm chung ( khơng giao nhau) Phương trình (1) vô nghiệm  (d) (P) tiếp xúc Phương trình (1) có nghiệm kép  (d) (P) có hai điểm chung phân biệt (cắt hai điểm phân biệt) 4/15 Phương trình (1) có hai điểm phân biệt - Đọc kỹ đề xác đinh toán “sự tương giao đường thẳng Parabol” đề cho tương ứng với toán phương trình bậc hai ẩn - Khi kết luận toán cần ý đến việc so sánh với điều kiện có * Muốn giải toán “sự tương giao đường thẳng Parabol” cần ý đến kiến thức phương trình bậc hai ẩn như: - Cách giải phương trình bậc hai ẩn: Công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, nhẩm nghiệm - Điều kiện để phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt - Định lý Vi – ét Các toán hệ thức Vi ét Một số dạng tập “sự tương giao đường thẳng Parabol” 3.1 Dạng Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng Parabol a Phương pháp giải Tọa độ giao điểm đường thẳng (d): Parabol (P): xác định sau: - Bước Xác định hoành độ giao điểm: + Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm 2 phương trình: ax =bx+ c ⇔ ax −bx−c=0 (1) ( PT hoành độ giao điểm) + Giải phương trình tìm hồnh độ giao điểm - Bước Xác định tung độ giao điểm: Thay giá trị hồnh độ giao điểm tìm bước vào (d) (P) tìm tung độ giao điểm tương ứng - Bước 3: Kết luận tọa độ giao điểm tìm b Ví dụ minh họa Ví dụ Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) trường hợp sau: a Đường thẳng (d): parabol (P): b Cho đường thẳng (d): parabol (P): c Cho đường thẳng (d): parabol (P): Giải: a Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm 2 phương trình: x =−2 x +3 ⇔ x +2 x−3=0 (1) Ta có Phương trình (1) có hai nghiệm: x 1=1 ; x =−3 5/15 + Với + Với Vậy đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm có tọa độ là: b Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm 2 phương trình: x =4 x−4 ⇔ x −4 x + 4=0 (1) ' Ta có: Δ =(−2 ) −1 4=0 ⇒ phương trình (1) có nghiệm kép x 1=x =2 Thay vào (P) ta được: Vậy đường thẳng (d) tiếp xúc Parabol (P) điểm có tọa độ: c Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm 2 phương trình: x =−x−5 ⇔2 x + x +5=0 (1) Ta có: phương trình (1) vơ nghiệm Vậy đường thẳng (d) Parabol (P) không cắt c Bài tập tự luyện Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) trường hợp sau: a Cho đường thẳng (d): b Cho đường thẳng (d): parabol (P): parabol (P): c Cho đường thẳng (d): parabol (P): 3.2 Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng Parabol cắt hai điểm phân biệt, tiếp xúc với nhau, không giao a Phương pháp giải: Giả sử đường thẳng (d): Parabol (P): Bước 1: Xét PT hoành độ giao điểm (d) (P): ax =bx+ c ⇔ ax −bx−c=0 (1) xác định hệ số Bước 2: Tính Bước 3: Dựa vào đề để lập lập luận:  (d) (P) có hai điểm chung phân biệt (cắt hai điểm phân biệt) Phương trình (1) có hai điểm phân biệt  (d) (P) tiếp xúc Phương trình (1) có nghiệm kép 6/15  (d) (P) khơng có điểm chung ( khơng giao nhau) Phương trình (1) vơ nghiệm Bước 4: Kết luận b Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Cho Parabol (P) đường thẳng (d) Tìm m để: a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (d) tiếp xúc (P) điểm c) (d) (P) khơng giao Giải: Hồnh độ giao điểm đường thẳng Parabol nghiệm phương trình: (1) Có a) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt PT (1) có hai nghiệm phân biệt Vậy với (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) Để (d) Tiếp xúc (P) Phương trình (1) có nghiệm kép Vậy với (d) tiếp xúc (P) điểm c) (d) khơng cắt (P) Phương trình (1) vơ nghiệm Vậy với (d) khơng cắt (P) c Bài tập tự luyện Cho Cho parapol (P): đường thẳng (d): a) Tìm m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt b) Tìm m để (P) (d) tiếp xúc Xác định tọa độ tiếp điểm c) Tìm m để (P) (d) khơng giao 3.3 Dạng Tìm điều kiện tham số để đường thẳng Parabol cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ giao điểm thỏa mãn điều kiện dấu a Phương pháp giải: Giả sử đường thẳng (d): Parabol (P): - Bước 1: Xét PT hoành độ giao điểm (d) (P): 2 ax =bx+ c ⇔ ax −bx−c=0 (1) Và xác định hệ số a, b, c 7/15 - Bước 2: Tính - Bước 3: Tìm điều kiện tham số để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt PT (1) có hai nghiệm phân biệt điều kiện (*) - Bước 4: Viết hệ thức Viet - Bước 5: Tìm điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện đề bài: + (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dấu ( hai điểm nằm phía so với trục tung) PT (1) có hai nghiệm phân biệt dấu + (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương ( hai điểm nằm bên phải so với trục tung) ⇔ PT (1) có hai nghiệm phân biệt dương + (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ âm ( hai điểm nằm bên trái so với trục tung) ⇔ PT (1) có hai nghiệm phân biệt âm + (d) (P) cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu ( hai điểm nằm hai phía khác so với trục tung) PT (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu + Bước 6: Đối chiếu điều kiện (*) kết luận b Ví dụ minh họa: Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): parabol (P): Tìm m để: a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm phía so với trục tung Khi hai giao điểm nằm phía so với trục tung b) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm hai phía khác so với trục tung Giải: Hoành độ giao điểm đường thẳng (d) Parabol (P) nghiệm phương trình: (1) 8/15 Có Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (*) Theo định lý Vi – ét có: a) Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm phía so với trục tung PT (1) có hai nghiệm phân biệt dấu Kết hợp điều kiện (*) ta có Ta thấy x + x =3>0 nên hai giao điểm (d) (P) nằm phía bên phải Oy −5 < m