Đang tải... (xem toàn văn)
Sáng kiến kinh nghiệm khai thác một bài tập hình học lớp 8 rất hay. Bài hình học: Tam giác có ba đường cao là bài toán gốc để ra rất nhiều bài toán khác, không chỉ áp dụng cho lớp 8 mà còn là cơ sở để làm rất nhiều bài toán lớp 9, các bài toán thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10.
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dạy toán hoạt động nghiên cứu toán học học sinh giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán , giải tốn cơng việc quan trọng Bởi giải tốn q trình suy luận nhằm khám phá quan hệ lôgic cho chưa biết (giữa giả thiết kết luận) Mỗi toán có nhiều cách giải, cách giải định hướng suy luận riêng nên đứng trước tốn học sinh thường khơng biết đâu? phải làm nào? Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán khó, khó dạy thầy khó học trị Mặt khác khơng thể dạy hết cho học sinh tất tập em làm hết tập Vì để tạo mối liên hệ tập, hướng dẫn cho học sinh giải toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết toán đơn giản khai thác toán gốc để xây dựng toán liên quan Điều giúp học sinh rèn luyện tư lơgic, óc sáng tạo, tự tìm tịi, suy nghĩ tốn có cách giải hay Vì thế, học sinh học sinh giỏi thường mang tâm lý xem nhẹ toán sách giáo khoa, thực đằng sau tốn có điều hấp dẫn, lý thú Quá trình phải toán đơn giản đến phức tạp để rèn luyện lực tư cho học sinh Từ giúp em có sở khoa học phân tích, định hướng tìm lời giải cho toán khác đặc biệt củng cố cho em lịng tin vào khả giải tốn Năm học 2022 - 2023 tơi phân cơng BDHSG mơn tốn lớp Tuy nhiên q trình dạy học tơi nhận thấy em thường xem nhẹ toán sgk, sau làm xong tập hình học thường em khơng nghiên cứu, khai thác tiếp tốn Để góp phần khắc phục tình trạng phát huy tối đa lực tư học sinh, tạo niềm say mê, u thích học tốn, học một, dạy nhiều Tôi xin đưa đề tài: " Khai thác phát triển tập hình học lớp 8” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nhằm giúp HS hiểu cách khai thác tập hình học Rèn luyện cho HS khả phân tích, mở rộng tốn từ phát huy tư linh hoạt, tạo say mê, sáng tạo, ngày tự tin học hình NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI - Hướng dẫn HS cách khai thác tập hình học - Giúp HS có kỹ thực hành giải tập hình học mở rộng tập PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp quan sát - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm PHẠM VI, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình mơn hình học - Đối tượng nghiên cứu: Hs lớp 8A trường THCS nghi Thủy ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Đề tài đưa giải pháp có tính hệ thống, logic, khoa học để dạy học nhằm phát triển lực tư duy, óc sáng tạo tạo hứng thú học tốn cho học sinh thơng qua việc khai thác, phát triển toán - Các giải pháp đề tài đưa trải nghiệm qua thực tế phù hợp đối tượng học sinh II NỘI DUNG: Cơ sở lý luận: Chúng ta biết việc, tượng số nguyên nhân sinh Nên điều kiện nguyên nhân thay đổi kết thay đổi theo Và từ nguyên nhân tạo kết Điều tốn học dễ xả Từ số điều kiện(giả thiết - gt) biết ta phải kết thu (kết luận - kl) Nhưng việc kết vấn đề yêu cầu trước mắt toán Mà rèn luyện cho học sinh thói quen suy xét thêm sau giải tập quan trọng Chẳng hạn: Giải xong tập em chứng minh thêm gì? Hãy thay đổi số điều kiện giả thiết thu tốn nào? Nếu đảo lại tốn có thay đổi? Cứ sau tập rèn cho học sinh thói quen làm số công việc Tôi nghĩ phương pháp tự học quan trọng 2.Thực trạng: 2.1: Thuận lợi: Trường THCS Nghi Thuỷ ln có quan tâm cấp lãnh đạo Đảng Nhà nước, Phòng Giáo dục Đào tạo Ban giám hiệu nhà trường thường xuyên quan tâm tới tất hoạt động trường, tạo điều kiện để giáo viên làm tốt công tác Nhà trường có đội ngũ giáo viên nhiệt tình, thường xun trao đổi kinh nghiệm dạy học Hầu hết học sinh có nhiều cố gắng học tập thích học mơn tốn 2.2: Khó khăn: Đa số phụ huynh làm nghề biển, bố biển vài ngày có tháng về, mẹ chợ sớm nên chưa sát sao, quan tâm nhiều đến việc học em Một số em khả nắm kiến thức cịn chậm Một số em khơng thích học mơn toán Kỹ vận dụng lý thuyết vào tập em hạn chế 3.Những biện pháp thực hiện: 3.1 Khai thác tốn dựa vào tính tương tự: Đối với đề tài đề cập đến tính tương tự có nét giống Từ số tính chất giống hai đối tượng, ta dự đốn tính chất giống khác chúng Ví dụ đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác có số tính chất giống Chẳng hạn tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh bên Các đường phân giác, đường cao có tính chất Nhờ so sánh đối tượng có số thuộc tính giống mà học sinh đề giả thuyết tương tự kiểm tra giả thuyết Từ em đề xuất tốn Ví dụ: Bài tốn: Ba đường cao AA 1; BB1; CC1 tam giác có góc nhọn cắt H Chứng minh rằng: HA HB HC + + =1 AA BB CC (1) HS đề xuất thay ba đường cao ba đường trung tuyến kết luận có thay đổi khơng? 3.2 Khai thác tốn cách tổng quát hoá toán: Người ta thường tổng quát hoá toán cách: -Thay biến số, chẳng hạn thay góc 300 góc α - Thay điều kiện toán điều kiện "rộng hơn" - Thay vị trí đặc biệt điểm, hình vị trí nó, chẳng hạn thay điểm H giao điểm đường cao tam giác điểm O nằm tam giác - Bỏ bớt điều kiện giả thiết, chẳng hạn thay tam giác nhọn tam giác Nếu tốn tổng qt em có tốn "mạnh hơn" tốn ban đầu 3.3 Khai thác toán cách mở rộng kết luận: Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC O điểm tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC AB A 1, B1 C1 Chứng minh rằng: OA OB OC + + ≥6 OA OB OC OA OB OC + + ≥6 OA OB OC Gv gợi ý: Nếu xuất toán OA OB OC OA OB 1 OC ? từ đề 3.4 Khai thác tốn cách lập tốn đảo - Có nhiều cách lập toán đảo cách đổi chỗ giả thiết kết luận cho nhau, giữ lại phần giả thiết tốn Ví dụ: * Nếu có A có B, đảo lại: Nếu có B có A * Nếu có A có B có C, lập tốn đảo: - Nếu có C có A có B ( đổi chỗ giả thiết kết luận) - Nếu có A có C có B - Nếu có B có C có A Ví dụ: : Ba đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác có góc nhọn cắt H Chứng minh rằng: H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 Vậy ngược lại cịn khơng? Đề xuất tốn đảo Cho tam giác ABC điểm H nằm tam giác AH, BH, CH theo thứ tự cắt BC, CA, AB A1, B1, C1 Biết H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 Chứng minh H trực tâm tam giác ABC 3.3 Bài toán cụ thể, hướng dẫn HS khai thác phát triển tốn: 3.3.1 Khai thác tốn dựa vào tính tương tự: Trong sách giáo khoa Tốn có nhiều tập khai thác được, nhiên đề tài xin trang 48 sgk hình học Bài 1:(Bài trang 48 sgk hình học 8) Ba đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác có góc nhọn cắt H Chứng minh rằng: HA HB HC + + =1 AA BB CC (1) HD: A B1 C1 H B C HA BC AA BC 2 SHBC= ; SABC= S HA BC HA ⇒ HBC = = S ABC AA BC AA Tương tự: S HAC S ABC = HB1 S HAB = HC BB1 ; S ABC CC S S S HA HB HC S ABC ⇒ HBC + HAC + HAB = + + = =1 S ABC S ABC S ABC AA BB CC S ABC Nhận xét: Ở toán giao điểm ba đường cao có tính chất (1), vấn đề đặt giao điểm đường trung tuyến tam giác nhọn có tính chất khơng? Bài 1.1: Cho tam giác ABC nhọn, ba đường trung tuyến AA 1, BB1, CC1 cắt G Chứng minh rằng: GA GB GC + + =1 AA BB1 CC HD: A B1 C1 G B A1 C Nhận xét: GV “Ta chứng minh giao điểm ba đường trung tuyến, giao điểm ba đường cao tam giác nhọn có tính chất (1) Vậy giao điểm ba đường trung trực tam giác nhọn có tính chất khơng?” từ đề xuất tốn mới: Bài 1.2: Ba đường trung trực tam giác ABC có ba góc nhọn cắt T Các tia AT, BT, CT kéo dài cắt BC, AC AB A 1, B1, C1 Chứng minh rằng: HD: A C1 B1 T B Kẻ TK ¿ BC(K ¿ TK BC STBC= AH BC SABC= STBC ⇒ S ABC = H BC); AH ¿ BC(T K ¿ A1 C BC) TK TA1 = AH AA Tương tự: S TAC TB1 S TAB TC = ; = S ABC BB1 S ABC CC TA TB1 TC1 S TBC S TAC STAB S ABC ⇒ + + = + + = =1 AA BB CC S ABC S ABC S ABC S ABC Nhận xét: Với tư tương tự học sinh đặt tiếp câu hỏi: giao điểm ba đường phân giác tam giác nhọn có tính chất (1) khơng? từ HS đề xuất tiếp tốn : Bài 1.3: Ba đường phân giác AA1, BB1, CC1 tam giác ABC cắt I Chứng minh rằng: IA + IB + IC AA BB CC =1 HS: Làm tương tự 3.3.2 Khai thác toán cách tổng quát hoá toán: GV tiếp tục hướng dẫn HS: Với H điểm tam giác ABC, tính chất (1) cịn khơng? Với câu hỏi học sinh đề xuất tốn tổng qt sau: (Gv thay điểm H điểm O bất kỳ) Bài 1.4: Cho tam giác nhọn ABC O điểm tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC AB A 1, B1 C1 Chứng minh rằng: OA OB OC + + =1 AA BB1 CC HS: Làm tương tự 1.2 3.3.3 Khai thác toán cách mở rộng kết luận A C1 O B B1 A1 Ở toán 1.4 ta chứng minh C OA OB OC + + =1 AA BB CC mà OA1 = AA1 - OA; OB1 = BB1 - OB; OC1 = CC1 - OC Khi : OA OB OC + + =1 AA BB CC AA 1−OA BB −OB CC 1−OC + + =1 AA BB CC ⇒ 1− ⇒ OA OB OC +1− +1− =1 AA BB CC OA OB OC − − =1 AA BB CC OA OB OC + + =2 AA BB CC 3− ⇒ ⇒ Từ HS đề xuất tốn Bài 1.5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, O điểm tam giác Các tia AO, BO, CO kéo dài cắt BC, AC AB A 1, B1, C1 Chứng minh rằng: OA OB OC + + =2 AA BB1 CC Nhận xét: A C1 O B Từ A1 B1 C OA OB OC + + =2 AA BB CC AA BB1 CC + + =? HS đặt tiếp câu hỏi OA OB OC 1 + + )≥9 Gv gợi ý để HS áp dụng BĐT (a+b+c)( a b c (với a,b,c số dương) từ đề xuất tiếp câu hỏi cho 1.5: AA BB CC + + ≥ b) OA OB OC HD: 1 + + )≥9 Áp dụng BĐT (a+b+c)( a b c , ta có: OA OB OC AA BB1 CC + + ) AA BB1 CC ( OA + OB + OC )≥9 AA BB CC OA OB OC + + =2 + + ≥ AA BB CC OA OB OC (vì ⇒ 1 ) ( Tương tự HS đề xuất tiếp câu hỏi cho 1.5 c) AA BB CC + + ≥9 OA OB OC Nhận xét: Gv tiếp tục gợi ý để HS phân tích với chìa khóa vấn đề là: AA1 = OA + OA1; BB1 = OB + OB1; CC1 = OC + OC1 : AA BB CC + + ≥9 OA OB OC OA +OA OB +OB OC +OC + + ≥9 OA OB1 OC ⇒ OA OB OC + 1+ +1+ + 1≥9 OA OB OC ⇒ OA OB OC + + ≥6 OA OB OC ⇒ Từ HS tiếp tục đề xuất thêm câu hỏi cho 1.5 OA OB OC + + ≥6 OA OB OC d) HD: (ngoài cách chứng minh dựa vào câu c) Hs c/m trực tiếp) A C1 O B H K A1 B1 C Gọi S, S1, S2, S3 diện tích tam giác ABC, OBC, OAC, OAB 10 Vẽ AH ¿ BC, OK ¿ BC (H,K AA ¿ BC) AH S = A O OK S AO AA 1− A O S−S S + S3 ⇒ = = = OA OA S1 S1 AO S S3 ⇒ = + OA S S1 ⇒ = Tương tự: BO S S3 = + OB S S CO S1 S = + OC S3 S Ta có: S S S S S S OA OB OC + + =( + )+( + )+( + )≥2+2+2=6 OA OB OC S1 S S3 S2 S S3 Nhận xét: Đến HS hứng thú với việc khai thác tốn, HS OA OB OC + + đặt câu hỏi OA OB OC có kết nào? Hs dựa vào kết câu d) dựa vào bất đẳng thức: 1 + + )≥9 Áp dụng BĐT (a+b+c)( a b c để suy OA OB OC + + ≥ OA OB OC Ngồi GV gợi ý cho HS cách khác: OA OB OC S1 S2 S3 + + = + + OA OB OC S + S3 S1 + S S! + S2 Áp dụng bất đẳng thức a b c + + ≥ b+c c +a a+b (với a, b, c >0) OA OB OC + + ≥ Ta có: OA OB OC Từ bổ sung vào 1.5 câu e) chứng minh: OA OB OC + + ≥ OA OB OC e) Nhận xét: Gv tiếp tục dành thời gian để HS tiếp tục suy nghĩ dựa mạch kiến thức làm câu 11 OA OB OC + + OA OB OC ; Ở câu c, d làm việc với OA OB OC OA OB OC OA OB OC + + OA OB OC tích OA OB OC ; OA OB OC có kết nào? Gv tiếp tục hướng dẫn Hs khai thác toán: S +S S3 + S S +S 2 √ S S √ S S1 √ S1 S ≥ ⋅ ⋅ =8 S1 S2 S3 S1 S2 S3 OA OB OC OA OB OC = Từ HS tiếp tục đề xuất câu hỏi 1.5 f) OA OB OC OA OB OC ¿ ¿ g) OA OB OC OA OB OC h) OA OB OC + + ≥3 √ OA OB OC √ √ √ Giáo viên yêu cầu HS phát biểu toán 1.5 dạng khác: Cho tam giác ABC nhọn, O điểm thuộc miền tam giác AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB theo thứ tự A 1, B1, C1 Xác định vị trí điểm O để: a) AA BB CC + + OA OB OC đạt GTNN OA OB OC + + b) OA OB OC đạt GTNN OA OB OC + + c) OA OB OC OA OB OC d) OA OB OC đạt GTNN đạt GTNN e) OA OB OC OA OB OC f) OA OB OC + + OA OB OC g) √ √ √ AA BB1 CC + + OA OB OC đạt GTLN đạt GTNN đạt GTNN Nhận xét: 12 Ngoài cách khai thác theo hướng Gv hướng dẫn HS khai thác toán theo hướng sau: Gv yêu cầu HS dự đốn C1A1 có quan hệ với góc B 1C1A1, Hs dự đốn trực quan đo đạc từ HS rút C 1A1 phân giác góc B1C1A1 Từ Hs đề xuất thêm câu hỏi cho Bài 1.6: Ba đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác có góc nhọn cắt H Chứng minh rằng: a) Chứng minh: C1A1 phân giác góc B1C1A1 Tương tự HS chứng minh B 1B, C1C phân giác ∠ C1B1A1, ∠ C1A1B1 Từ Gv hướng dẫn HS đề xuất thêm câu hỏi b) Chứng minh H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 HD: A B1 C1 H B C Chứng minh Δ AC1B1 ∞ Δ ACB ⇒ ∠ AC1B1 = ∠ ACB (1) Chứng minh Δ BC1A1 ∞ Δ BCA ⇒ ∠ BC1 A1 = ∠ BCA (2) từ (1) (2) ⇒ ∠ AC1B1 = ∠ BC1A1 Mà ∠ AC1B1 + ∠ B1C1C = 900 ∠ BC1B1 + ∠ CC1A1 = 900 ⇒ ∠ B1C1C = ∠ CC1A1 hay C1C phân giác ∠ B1C1A1 13 Tương tự chứng minh B 1B, A1A phân giác ∠ C1B1A1, ∠ C1A1B1 ⇒ H giao điểm ba đường phân giác tam giác A1B1C1 ⇒ H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 Gv tiếp tục yêu cầu HS chứng minh: c) Chứng minh: Δ BA1H ∞ Δ BB1C; Δ CA1H ∞ Δ CC1B d) Chứng minh: BH.BB1 + CH.CC1 = BC2 HD: Dễ dàng c/m Δ BA1H ∞ Δ BB1C(g.g) ⇒ ⇒ BA BH = BB1 BC BB1.BH = BA1.BC (3) Tương tự chứng minh được: CH.CC1 = CA1.BC (4) Từ (3) (4) BH.BB1 + CH.CC1 = BC2 (*) e) Từ câu e) Gv hướng dẫn HS đề xuất thêm câu f) sau AB + BC +CA 2 f) Chứng minh: AH.AA1 + BH.BB1 + CH.CC1 = HD: Tương tự câu b) Hs chứng minh được: CH.CC1 + AH.AA1 = AC2 (**) AH.AA1 + BH.BB1 = AB2 (***) Cộng vế theo vế (*);(**);(***) ta có: AB + BC +CA ⇒ AH.AA1 + BH.BB1 + CH.CC1 = 3.3.4 Khai thác toán cách lập toán đảo Ở 1.6 c) với H trực tâm tam giác ABC ta chứng minh H cách ba cạnh tam giác A 1B1C1 Vậy ngược lại cịn khơng? Tiếp tục đề xuất tốn đảo Bài 1.7: Cho tam giác ABC điểm H nằm tam giác AH, BH, CH theo thứ tự cắt BC, CA, AB A1, B1, C1 Biết H cách ba cạnh tam giác A1B1C1 Chứng minh H trực tâm tam giác ABC HD 14 A B1 C1 O B H M K N A1 C Qua H kẻ đường thẳng song song với BC Đường thẳng theo thứ tự cắt A1C1, A1B1, AB, AC M, N, O, K Áp dụng hệ định lí Talét ta có: HM CA HK BC OH A1 B = ; = ; = OH CB HN BA HK A C Nhân vế với vế ba đẳng thức trên, ta có: HM HN =1 HM = HN (1) Theo giả thiết: ∠ HA1M = ∠ HA1N (2) Từ (1) (2) ⇒ A1H ¿ MN ⇒ AA1 ¿ BC ( MN//BC) Tương tự: BB1 ¿ AC Vậy H trực tâm tam giác ABC ⇒ Một tập hình học sách giáo khoa đa số HS giải Tuy nhiên để khai thác phát triển tốn khơng phải học sinh làm Chính thực tế giảng dạy GV cần hướng dẫn, định hướng cho HS từ việc tập phát biểu toán từ toán ban đầu đến việc hướng dẫn HS khai thác phát triển xây dựng toán thành họ, chùm tốn với việc tìm tịi nhiều lời giải cho tốn Điều giúp nâng cao lực tư toán học, phát huy 15 trí thơng minh sáng tạo đồng thời tiết kiệm thời gian trình tiếp thu chuyển tải lượng kiến thức Toán học Như từ tốn đơn giản ban đầu sáng tạo nhiều toán với nhiều góc độ khác giúp học sinh phát triển tư em biết nhìn nhận toán theo nhiều định hướng mẻ Tất nhiên tốn cịn phát triển theo nhiều định hướng khác thời gian có hạn phạm vi đề tài xin nêu số định hướng Rất mong bạn bè đồng nghiệp góp ý bổ sung để đề tài phát triển PHẦN III KẾT LUẬN HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Sau nghiên cứu áp dụng đề tài nhận thấy học sinh đạt hiệu đáng khích lệ : - Học sinh có ý thức hơn, cẩn thận hơn, trình bày lời giải toán khoa học chặt chẽ - Học sinh nắm cách học mơn hình học hiệu - HS bắt đầu tự tin khai thác tốn - Các em có định hướng suy nghĩ, tìm tịi sáng tạo - Biết cách chuyển tốn khó đưa tốn đơn giản (Bài tốn gốc) để giải “chìa khóa” cho em làm nhiều toán khác - Cách suy nghĩ, định hướng học tốn có thay đổi cách tích cực - Các em có phương pháp học tập cách chủ động tích cực sáng tạo - Tạo hứng thú niềm say mê học toán cho em NHẬN ĐỊNH VỀ CÁCH ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VÀ KHẢ NĂNG MỞ RỘNG ĐỀ TÀI: - SKKN áp dụng cho đối tượng học sinh giỏi cấp THCS - Có thể thực trình dạy thêm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn Thi vào lớp 10 THPT 16 - Khi tiến hành áp dụng đề tài nên hướng dẫn học sinh giải toán gốc, sau thay đổi yếu tố tốn để mở rộng toán - Từ toán gốc sáng tạo toán theo nhiều hướng khác BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ ĐỀ XUẤT: Giáo viên cung cấp kiến thức vững cho học sinh Nhìn nhận tốn gốc theo nhiều góc độ khác nhau: tổng quát hóa, đặc biệt hóa, xét tính tương tự, lật ngược vấn đề để sáng tạo tốn thành nhiều tốn khó Rèn luyện cho học sinh gặp toán có thói quen nghiên cứu khơng đơn giải yêu cầu toán Giúp học sinh biết cách gặp toán khó nên tìm cách đưa tốn quen thuộc, tức HS biết quy lạ quen Và lời khun nhà tốn học G.Pơlya nói “Giải toán nghệ thuật thực hành giống bơi lội, trượt tuyết hay chơi đàn Có thể học nghệ thuật đó, cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xuyên thực hành Nhưng xin nhớ rằng: Nếu bạn muốn tập bơi mạnh dạn nhảy xuống nước, cịn bạn muốn học giỏi tốn bắt tay vào giải đi” Bằng kinh nghiệm rút sau nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, với giúp đỡ tận tình anh chị đồng nghiệp, ban Giám Hiệu nhà trường hoàn thành đề tài "Khai thác phát triển tập hình học lớp 8” Trên ví dụ minh hoạ cho phương pháp dạy học rèn luyện lực tư học sinh thông qua việc khai thác tập hình học sách giáo khoa toán thân rút số kinh nghiệm để thực phương pháp Tuy nhiên cách trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót mong cấp chun mơn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán tuổi thơ, toán tuổi trẻ 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vịnh Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng Tác giả: Nguyễn Đức Tấn Khai thác phát triển số toán trung học sở Tác giả: NGƯT Nguyễn Tam Sơn Phạm Thị Lệ Hằng 18 19