Hsg 7 hậu lộc thanh hóa 2022 2023

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày khảo sát: 25/02/2023 (Đề gồm: 01 trang) Bài 1: (4 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức    A 9999  1,(3)   5.23       999  27  813  9990        7     P                20   33   2900  2) Tính tích a  b3  c3 Q abc 3) Tính giá trị biểu thức với a, b, c thỏa mãn:  3a  2b   4b  3c 0 Bài 2: (4 điểm) 16  3.52 x  x 125 1) Tìm x, biết:    1   x    15    1    2) Tìm x, biết:  3x  y  3x  y    3x 3) Tìm x, y biết : Bài 3: (4 điểm) : : 1) Số A chia thành ba phần tỉ lệ theo Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A x  x  y    y  2) Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: 2 2 3) Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b  c  d Chứng minh rằng: abcd  2023 viết dạng hiệu hai số phương Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC  a) Chứng minh rằng: ADC = ABE DIB = 600 b) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh: AMN c) Chứng minh rằng: IA phân giác góc DIE Bài 5: (2 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác a b c   1 b c ca ab Chứng minh rằng: Hết -Họ tên học sinh: ; Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Bài Đáp án  Bài   A 9999  1,(3)   5.23       999  27  813  9990       1) Tính    A 9999  1,(3)   5.23       999  312  312  9990    điểm       9999  1,(3)   5.23       9999        9999  1,(3)  5.23       9999    9999   40  49   9999  10 3 Vậy A = -10  7   16 27 40 2907   P              20 33 2900         20 33 2900 2) 3)Tính giá trị 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 2.8.3.9.4.10 51.57  1.9.2.10.3.11 50.58 2.3.4 51 8.9.10 57  1.2.3 50 9.10.11 58 51.8 204   58 29 204 Vậy P = 29 Q Điể m 0,25 0,5 a  b3  c3 abc với a, b, c thỏa mãn:  3a  2b   4b  3c 0 Vì  3a  2b  0; 4b  3c 0 nên để  3a  2b   4b  3c 0 thì:  3a  2b  0 3a 2b a b c       b  c 4 b  c    a b c   k  a 2k ; b 3k ; c 4k Đặt Thay vào Q ta có: 3 k  23  33  43  33 a  b3  c3  2k    3k    4k  Q    abc 2k 3k 4k 24k Bài 16  3.52 x  x 125 1) Tìm x, biết: 0,5 0,5 điểm  1    5 x  1     5 x  1    5 x  1     5 x 1    5 x 16  125 16  125 0,25 16 125   15   x 1 1    125  5 x  3 0,5 x 4 Vậy x = 0,25    1   x    15    1    2) Tìm x, biết:   1 1   x   3   3 x  1 1  x  2 2 1) x  2  x  2    x ;  2  Vậy 0,5 0,5 2) x    x  2 3x  y  3x  y    3x 3)Tìm x, y biết :  x  3x  0     7 y  0  y   Nếu 3x  y  0 Nếu 3x  y  0 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta 0,5 0,5 có: 3x  y  3x  y  3x  y     3x  x 3 3.3  y     y 2    x, y    ;  ,  3;      Vậy Bài : : Biết tổng bình 1) Số A chia thành ba phần, tỉ lệ theo phương ba số 24309 Tìm số A điểm Gọi ba phần chia là: a, b, c 0,5 0,5 a :b :c  : : a  b  c 24309 Theo ta có: a b c a : b : c  : : 24 : 45 :10    24 45 10 Ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a2 b2 c2 a  b2  c2 24309        9 24 45 10 576 2025 100 576  2025  100 2701  a 576.9 5184  a 72 b 135; c 30 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Vậy  a, b, c     72;135;30  ,   72;  135;  30   2)Tìm cặp số (x, y) nguyên thỏa mãn: x  x  y    y  Ta có: x  x  y    y  x  x   xy  y  x2  5x   y  x  4 0,25  x  x  9x  0,25  x  x     x    5x   5x   x    1; 5  x    1;3;5;9 Với Với Với Với Vậy 0,5 x  y  x 3 y  x 5 y 9 0,25 x 9 y 9  x, y      1;  3 ,  3;  3 ,  5;9  ,  9;9   0,25 Học sinh viết đẳng thức cho dạng:  x    x  y  1  Từ tìm cặp số (x,y) 2 2 3)Cho a, b, c, d số nguyên thỏa mãn a b  c  d Chứng minh rằng: abcd  2023 viết dạng hiệu hai số phương 2m  1 Ta có:  4m  4m 1 4m(m  1) 1 Do ta có số phương lẻ chia dư 2 0,25 Nếu a, b, c, d lẻ a , b , c , d chia dư dẫn đến không 2 2 xảy a b  c  d (vì vế trái chia dư 1, vế phải chia dư 3) Vậy số a, b, c, d phải có số chẵn nên abcd  2023 lẻ 0,25 0,25 abcd  2023 2k  1 k  Z  2 Đặt  k   k   k   k   k  1  k  dpcm  Bài 0,25 E A D K I C B    a)Ta có: DAC BAE BAC  60   Từ AD = AB; DAC BAE AC = AE Suy ADC = ABE (c.g.c)   Từ ADC = ABE (câu a)  ABE ADC ,   AKD mà BKI (đối đỉnh)   DAK Khi xét BIK DAK suy BIK = 600 (đpcm) điểm 1,0 E A D N J K M I C B   b) Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN ACM AEN   ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN CAM EAN   MAN CAE = 600 Do AMN c) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ = IB  BIJ      BJ = BI JBI DBA = 600 suy IBA JBD , kết hợp BA = BD IBA = JBD (c.g.c)     AIB DJB = 1200 mà BID = 600   DIA = 600 Từ suy IA phân giác góc DIE Bài 1,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có 0 a  1 bc a a  b c b c a a  Vì a số dương nên theo tính chất tỉ số ta b  c a  b  c 1,0 Do ta có a a  b c a b c b b  ; c a a b c Chứng minh tương tự ta Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta c c  ab abc a b c   1 bc ca ab Vậy toán chứng 1,0