De tham khao danh gia tuyen sinh dai hoc cong an nhan dan nam 2023 mon toan

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Trang 1 BỘ CÔNG AN MÃ BÀI THI CA1 ĐỀ THI THAM KHẢO (Đề thi có 01 trang) BÀI THI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÔNG AN NHÂN DÂN NĂM 2023 Phần tự luận TOÁN Thời gia[.]

BỘ CÔNG AN MÃ BÀI THI CA1 ĐỀ THI THAM KHẢO BÀI THI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÔNG AN NHÂN DÂN NĂM 2023 Phần tự luận: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút (khơng kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh:………………………………… Số báo danh:…………………………………… Câu I (2 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số y =x3 − x + đoạn [ −1;2] −4 x + 12 có đồ thị ( C ) , đường thẳng d : = y x + m Chứng x +1 minh d cắt ( C ) hai điểm phân biệt với giá trị tham số m 2) Cho hàm số y = Câu II (2 điểm) 1) Tìm số phức z thỏa mãn z − z =2 + 15i 3x + 2) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + 3x + Câu III (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm I (1;2 ) đường thẳng d : x − y + 10 = Viết phương trình đường trịn ( C ) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d x y −1 z − mặt cầu 2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d= : = 1 −2 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng d ( S ) : x2 + y + z − 2x + 6z − = cho giao tuyến ( P ) ( S ) đường trịn có bán kính nhỏ Câu IV (2 điểm) 1) Cho tập hợp A = {1, 2,, 20} gồm 20 số nguyên dương Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập A Tìm xác suất để tích hai số chọn số chia hết cho � = 120o , 2) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cân A , 𝐵𝐴𝐶 AB = AC = a Tam giác SAB vuông B , tam giác SAC vng C , góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) 60o Gọi H hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng ( ABC ) Chứng minh HB vuông góc AB tính thể tích khối chóp S ABC theo a Câu V (2 điểm) π 1) Tính tích phân I = ∫ x sin x dx x sin x + cos x x x2 y 2) Cho số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn: log ( x + y )= + log + x2 y 1 P + Tìm giá trị nhỏ biểu thức = x y HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THAM KHẢO ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAND NĂM 2023 GIÁO VIÊN: TRƯƠNG VĂN TÂM Câu I ( điểm) Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x  x  đoạn 1;2 Lời giải Ta có y   x 12 x  x   1;2 Khi y    x 12 x     x   1;2 Hàm số cho liên tục đoạn 1;2 y 1  2, y 0  , y 2  11 nên suy y  y 2  11 1;2 4 x  12 có đồ thị C  đường thẳng d : y  x  m Chứng minh d cắt x 1 Cho hàm số y  C  hai điểm phân biệt với giá trị tham số m Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm d C  4 x  12  x  m  x  1 x 1  4 x  12  2 x  m x  1  x  m  6 x  m 12  1  2 Xét phương trình 2 ta có   m  6  4.2.m 12  m  4m  132   m  2  128  , m   2 Suy phương trình 2 ln có hai nghiệm phân biệt với m   Lại có 1   m  61  m 12  16  , m   nên phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt, khác 1 với m   Do phương trình 1 ln có hai nghiệm phân biệt với m , tức đường thẳng d cắt đồ thị C  hai điểm phân biệt với m   Câu II ( điểm) Tìm số phức z thoả mãn z  z   15i Lời giải Giả sử số phức cần tìm z  a  bi , với a , b   Suy z  a  bi Theo đề ta có z  z   15i  a  bi  a  bi    15i  a  3bi   15i Trang  a   a  2      3b  15  b    Vậy số phức cần tìm z  2  5i Tìm nguyên hàm hàm số f  x   3x  x  3x  2 Lời giải Ta có f  x  Suy  x  1   x  2 3x     x  x 1  x  1 x  2  x  1 x  2    f  xdx    x   x 1dx   dx   dx  4ln x   ln x   C x2 x 1 Lưu ý: Ta dùng “đồng thức” sau: Giả sử f  x   A x  2  B  x 1  A  B  x   A  B  3x  A B      x  1 x  2 x 1 x   x  1 x  2  x 1 x  2 A  B   A  1   1  Khi ta có  Suy f  x      x 1 x  2 A  B   B    Câu III ( điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm I 1;2 đường thẳng d : 3x  y  10  Viết phương trình đường trịn C  có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d Lời giải Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d d  I , d   3.1 4.2  10 32  4 1 Đường tròn C  tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính R  d  I , d   nên có phương trình  x 1   y  2  2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho đường thẳng d : x y 1 z  mặt cầu   1 2 S  : x  y  z  x  z   Viết phương trình mặt phẳng  P chứa đường thẳng d cho giao tuyến  P   S  đường trịn có bán kính nhỏ Lời giải Ta có x  y  z  x  z     x 1  y   z  3  16 , suy mặt cầu  S  có tâm 2 I 1;0; 3 bán kính R  16  Trang  Đường thẳng d qua điểm A0;1;3 nhận ud  1;1;  2 làm vectơ phương nên có  xt    phương trình tham số  y   t      z   2t Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d  H  d  H t ;  t ;  2t    IH  t 1;1  t ;6  2t      Ta có IH  ud  IH ud   1t 1  11  t   26  2t    t  Suy H  2;3;1 Ta tính IH  12  32  22  14  R nên H nằm mặt cầu  S  Do d cắt  S  hai điểm phân biệt (xem hình vẽ minh hoạ) (S ) I R r K H d P Gọi K hình chiếu vng góc I lên  P  Khi ta có IK  IH  14 Do đó, bán kính đường trịn giao tuyến  P   S  r  R  IK   IK   IH  Dấu "  " xảy  K  H  Khi đó, mặt phẳng  P  qua điểm H  2;3;1 nhận IH  1;3;2 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 1 x  2  3 y  3   z  1   x  y  z   Câu IV (2 điểm) Cho tập hợp A  1;2;3; ;20 gồm 20 số nguyên dương Lấy ngẫu nhiên hai số phân biệt từ tập hợp A Tính xác suất để tích số chọn số chia hết cho Lời giải Chọn hai số phân biệt từ tập hợp A có C202  190 cách Suy số phần tử không gian mẫu n   190 Gọi X biến cố: " Tích số chọn số chia hết cho " Trang Nhận thấy tập hợp A có + số chia hết cho ; 12; 18 17 số không chia hết cho số lại + số chia hết cho không chia hết cho 2;4;8;10;14;16;20 + số chia hết cho không chia hết cho 3;9;15 TH1: Chọn hai số chia hết cho có C32  cách TH2: Chọn số chia hết cho số khơng chia hết cho có C31.C171  51 cách TH3: Chọn hai số không chia hết cho 6, có số chia hết cho số chia hết cho có C71 C31  21 Suy n  A   51  21  75 Vậy ta có P  A  75 15  190 38   120 AB  AC  a Tam Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác cân A , BAC giác SAB vuông B , tam giác SAC vuông C , góc hai mặt phẳng  SAB   ABC  60 Gọi H hình chiếu vng góc điểm S lên  ABC  Chứng minh HB vng góc với AB tính thể tích khối chóp S ABC theo a Lời giải S H H C K B a a K B a A 60° C a A Ta có H hình chiếu S lên  ABC  nên SH   ABC   SH  AB  AB  SB  gt    AB   SHB  , mà HB   SHB  nên AB  HB (đpcm) Lúc ta có     AB  SH cmt  Chứng minh tương tự ta có AC  HC (xem hình vẽ minh hoạ)    SAB   ABCD  AB     SHB   AB    60 Ta có    SAB ,  ABCD   SB , HB   SBH   SHB  SAB  SB           SHB    ABC   HB Trang   a.a.sin120  a Diện tích tam giác ABC SABC  AB AC.sin BAC 2   a.tan 60  a Xét tam giác ABH vng B ta có BH  AB.tan BAH   a 3.tan 60  3a Xét tam giác SHB vng H ta có SH  BH tan SBH 1 a2 3 a3 Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC  SABC SH  3a  3 4 Câu V (2 điểm)  Tính tích phân  x sin x dx x sin x  cos x Lời giải  Ta có     x sin x x sin x  x cos x  x cos x dx   dx x sin x  cos x x sin x  cos x   x  x sin x  cos x  x cos x x cos x dx   x dx   dx x sin x  cos x x sin x  cos x 0   J I  Trong I   x2 x dx   2  Xét tích phân J    ln   d  x sin x  cos x  x cos x dx    ln x sin x  cos x x sin x  cos x x sin x  cos x       sin  cos  ln 0sin  cos  ln  ln1  ln 2 2  Vậy ta có  x sin x 2  dx  I  J   ln x sin x  cos x Lưu ý: Ta có  x sin x  cos x  x .sin x  x.sin x   cos x   sin x  x cos x  sin x  x cos x Cho hai số thực dương x , y thay đổi thỏa mãn log  x  y   biểu thức P  x x2 y  log  x Tìm giá trị nhỏ y 1  2 x y Lời giải Ta có log  x  y   x x2 y x  log  x  log  x  y    log x  log y  log 2  x y y Trang  log  x  y  log y  x x y x y 1  log x  x  log   log x  x y y y Xét hàm số f t   t  log t , ta có f  t    1  với t  Do hàm số f t  đồng t ln biến 0;   2 Từ 1 2 suy x y x  x  x  y  x y  y  x 1  x  y  y x 1 1  x 1 2 Lúc ta có P      x2    x2   2  x y x x x x Dấu "  " xảy x  2 4  x   x  x   y    x 1 - CHÚC CÁC EM ÔN TẬP VÀ THI TỐT ! Trang