Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)Toán 8 (Chương trình mới)
CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Chương Muốn rút gọn phân thức, ta làm theo bước : Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) Bước 2: Tìm nhân tử chung tử mẫu chia tử mẫu cho nhân tử chung 4/ Quy đồng mẫu thức Bước 1: Phân tích mẫu thức thành nhân tử tìm mẫu thức chung Bước 2: Tìm nhân tử phụ mẫu thức; Bước 3: Nhân tử mẫu phân thức với nhân tử phụ tương ứng III/ Điều kiện xác định giá trị phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định PHÂN THỨC ĐẠI SỐ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I/ Khái niệm phân thức đại số 1/ Định nghĩa Phân thức đại số (hay gọi phân A thức) biểu thức có dạng B , với A B đa thức, B khác đa thức Trong đó, A gọi tử thức (hay tử), B mẫu thức (hay mẫu) 2/ Hai phân thức A C Hai phân thức B D gọi A ×D = B ×C II/ Tính chất phân thức 1/Tính chất Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho A A ×M = B B ×M (M khác 0) Nếu chia tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức phân thức phân thức cho A A :N = B B : N (N nhân tử chung A B) 2/ Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho A -A = B -B; 3/ Rút gọn phân thức Khi chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng để phân thức ( đơn giản hơn) cách làm gọi rút gọn phân thức Trang P Cho phân thức đại số Q Giá trị P biểu thức Q giá trị cho trước biến để giá trị mẫu thức khác gọi giá trị P phân thức Q giá trị cho trước biến Chú ý : Nếu giá trị biến mà giá trị phân thức xác định phân thức phân thức rút gọn giá trị B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm điều kiện xác định giá trị phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị biến vào phân thức CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ thực phép tính Ví dụ Tìm điều kiện xác định phân thức sau : a) b) 5x - 3x Dạng 2: Chứng minh hai phân thức B(x) = x 6y C(x) = 5x - 3(x + 1) A C Hai phân thức B D gọi A ×D = B ×C D(x) = x - d) Lời giải: x2y3 Ví dụ Cho cặp phân thức 7x3y4 35xy với xy ¹ Chứng tỏ cặp phân a) Phân thức xác định 3x 0 hay x 0 b) Phân thức xác định y 0 hay y 0 c) Phân thức xác định 3( x 1) 0 hay x d) Phân thức xác định x 0 hay x 2 x Ví dụ Tính giá trị phân thức b) ( 2) 3.( 2) 12 12 ( 2) 1 1 A(x) = c) a) Với x = -2 giá trị phân thức : A(x) = x +1 x - với x ¹ x = B (x) = x x + với x ¹ - x = C (x) = x2 - 3x + x +1 với x ¹ - c) x = 2;x = - Lời giải: a/ Với x = giá trị phân thức : 1 3 2 b/ Với x = giá trị phân thức : 1 1 thức Lời giải: 3 Ta có : x y 35 xy 35 x y 5.7 x y 35 x y 3 Suy : x y 35 xy 5.7 x y 7x3y4 x2y3 Nên = 35xy Dạng 3: Rút gọn phân thức Muốn rút gọn phân thức, ta làm theo bước : Bước 1: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) Bước 2: Tìm nhân tử chung tử mẫu chia tử mẫu cho nhân tử chung Ví dụ Rút gọn phân thức sau 2(x + 1)2 a) 4x(x + 1) (8 - x)(- x - 2) (x + 2)2 b) 2(x - y) c) y - x Lời giải: c/ Với x = giá trị phân thức : (2) 3.2 0 1 3 Trang 2(x + 1)2 2(x + 1) x + = = 4x 2x a/ 4x(x + 1) CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ b/ 4x 2 (8 - x)(- x - 2) - (8 - x)(x + 2) - (8 - x) x - = = = e) x - x - x + 2x 2 x +2 x +2 (x + 2) (x + 2) x- 4x2 x(x - 3)(x + 2) ; x(x - 3)(x + 2) 2(x - y) - 2(y - x) = =- Dạng 5: Bài toán thực tế phân thức y x y x c/ đại số Vận dụng kiến thức liên quan để giải quyêt toán thực tế Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD hình vng EFGH hình bên (các số đo hình tính theo centimet) Ví dụ Rút gọn phân thức sau x3 + 3x2 + 3x + x2 + x a) x3 - 3x2 + 3x - 2x - b) Lời giải: x3 + 3x2 + 3x + (x + 1)3 (x + 1)2 = = x(x + 1) x x2 + x a/ x3 - 3x2 + 3x - (x - 1)3 (x - 1)2 = = x 2 ( x ) b/ Dạng 4: Quy đồng mẫu nhiều phân thức Điều kiện biến để giá trị tương ứng mẫu thức khác gọi điều kiện để giá trị phân thức xác định Để tìm giá trị phân thức ta thay giá trị biến vào phân thức thực phép tính Ví dụ Quy đồng mẫu thức phân thức sau: a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD Cho biết tử thức mẫu thức phân thức vừa tìm b/ Tính giá trị phân thức x = 2; y=8 Lời giải: a/ Diện tích hình vng EFGH : x (cm ) a) xy x y Diện tích hình chữ nhật ABCD : xy (cm2 ) 2 b) x - 2x x Phân thức biểu thị tỉ số diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD : x x c) x - x - x(x + 3) (x - 3)(x + 3) x2 x xy y Tử thức x; mẫu thức 2y b/ Giá trị phân thức x = 2; y = : d) x - x - x + 3(x - 3) (x + 2)(x - 3) ; (x + 2)(x - 3) 2 2.8 16 Ví dụ Trang CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ 2 Một vườn có x x y y cây, 2 có x y lấy gỗ lại ăn a/ Viết phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số ăn b/ Tính giá trị phân thức cho x = 100; y = 10 Lời giải: a/ Số ăn : x x y y x y 2 x y (cây) Phân thức biểu thị tỉ số lấy gỗ số x2 y2 ăn : x y x y ( x y )( x y ) x y 2( x y ) b/ Ta có : x y Giá trị phân thức x = 100; y = 10 : 100 10 110 55 2 x- = c) x - ẳ vi x x2 + 4x - x + = x- ẳ vi x d) Bi Hóy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau - 2x + ¼ = x + với x ¹ ±2 a) x - x2 + 3x ¼ = x + với x ¹ - b) x2 - ¼ = c) x - x + với x ¹ ±1 (x + 1)2 x2 - 5x + x - = x- ẳ vi x d) Bi Hóy điền đa thức thích hợp vài chỗ trống đẳng thức sau x2 - x ¼ = a) x - x + với x ¹ ±1 C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Chứng minh đẳng thức sau x2 + 2x ¼ = với x ¹ - b) 3x + 3x + =3 a) x + với x ¹ - x + 2x x = 3x + với x ¹ - x- ¼ = c) x - x + với x ¹ ±1 x2 + 3x - x + = x- ¼ với x ¹ d) x- 1 = c) x - x + với x ¹ ±1 x2 + 3x - =x+4 x- với x ¹ Bài Hoàn thành chuỗi đẳng thức sau: Bài Cho ba phân thức bên Phân thức ? x2 - 2x + x - 2x - ; ; x(x - 1) x 2x x +1 ¼ ¼ = = , v?i x ¹ ±2;x ¹ x +2 x - x +x - ĐS: (x + 1)(x - 2) (x + 1)(x - 1) Bài Tính giá trị phân thức A(x) = Bài Hãy điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức sau 2x + = a) x + ¼ với x ¹ - a) A(5) = b) x +x ¼ = b) 2(x + 1) với x ¹ - x +2 x - với x ¹ x = B (x) = 2x - = Trang x2 + x +1 với x¹ - CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ C (x) = c) x2 = d) x2 - 5x + x +1 với x ¹ - D(x) = x+3 x2 - với x ¹ ±1 Bài 11 Chứng minh đẳng thức: x- - x3 = -x x x2 + 2x + ( ) Bài 12 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, tìm đa thức A đẳng thức A x = x - x +2 | x + 1|= Bài Tính giá trị phân thức x +1 A(x) = 3x + với x ¹ - x = a) Bài 13 Dùng tính chất phân thức, điền đa thức thích hợp vào chỗ trống đẳng thức (x + 1)2 ¼ = x x2 + x b) B(x) = 2x - x + với x ¹ 3x - = A= x2 - 4x + C (x) = x +1 c) với x ¹ - x2 = x2 + 2x + b) Tìm giá trị lớn phân thức B= - 4x2 + 4x Bài 15 Tìm giá trị lớn - 2x D(x) = x - với x ¹ | x |= d) D(- 1) = D(1) = 1; P = x2 - 2x + x- Bài Cho cặp phân thức x - x + với x ¹ ±1 Chứng tỏ cặp phân thức Bài 10 Dùng định nghĩa hai phân thức nhau, chứng tỏ rằng: 3y 6xy = 8x ; a) x + y 3x(x + y)2 = 3x 9x (x + y) ; Bài 14 a) Tìm giá trị nhỏ phân thức 10 x2 - 2x + Bài 16 a) Tìm A, cho biết M , cho biết thức A x + 3x + = x- x2 - b) Tìm đa thức M x + 3x + = x- x +1 Bài 17 Tìm giá trị lớn phân thức P , biết b) đa P = 15 x - 2x + Bài 18 Tìm giá trị nhỏ phân c) Q= 18 4x - x2 - thức Q , biết Bài 19 Tìm giá trị nguyên x để phân x + x2 + 4x + = x + x2 + 6x + thức 2x + nhận giá trị nguyên Trang CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ x- Bài 20 Hãy biến đổi hai phân thức 5x 16 - x2 x + để hai phân thức có tử thức Bài 21 Rút gọn phân thức sau 2x - a) (x - 3) x3 - 3x2 x2 ĐS: x - 2x2 - c) x + 4x + x2 + 2x d) x - x - 2(x - 2) ĐS: x + x ĐS: x - Bài 22 Rút gọn phân thức sau x3 - x2 + x - x2 - a) A= 23 Cho phân thức 2x - x - 3x2 + x - Chứng minh đẳng thức x +x - x - x +1 = x3 + 2x2 - x - x + Bài 25 Bài 28 Rút gọn phân thức: 3x(x b) 2x (x 2x2y5 a) 3x y ; Bài 29 Rút gọn phân thức 3x2y + 4xy2 a) 6x + 8y ; - 3x2 b) - 8x2y2(x + y) 9x3 - 18x 4xy x2 - y2 3×x4 - ( ); b) x(x + 3) x2(3 + x) ; ( ); x - 2x + d) x - 3x + Bài 31 Rút gọn biểu thức sau: a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị phân thức x = - x3 + 2x2 b) x + 6x + 12x + a) Bài 24 3x - a) x - 6x + 12x - Bài 30 Rút gọn phân thức: x3 + x2 + x + b) 2x + 3x + 2x + Bài x2 - y2 d) x + y Bài 27 Rút gọn phân thức sau ĐS: x - b) x - 6x + (1- x)(- x - 2) x +2 c) x3 + - (x - 2) x x + a) ; b) 48(x - 5) Q= 120 - 24x ; c) P = R= 12x3y4(x - y)2 18x2y5(y - x) Bài 32 Chứng tỏ hai phân thức x - 2xy + y2 x- y x - xy x x3 + 2x2 + x x3 - x a) Cho biểu thức Tính A x = giá trị biểu thức với A= x2 - 4x + A= x - 6x + Tính giá trị biểu b) Cho thức A với x = 0,2 Bài 26 Rút gọn phân thức sau (x + 2)2 a) 2x + x2 + 4x + b) 2x + Trang c) CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Bài 33 Nếu y = 2x z = 2y x +y +z x + y - z bao nhiêu? Bài 34 Đưa phân thức sau mẫu thức: x x +1 2 a) x + x x - x +1 (x - 1)(x + 1) d) x ; x + x(x + 2) 2x x(x + 2) ; x(x + 2) Bài 37 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: a) xy xy 2 b) x - x x - 2x x(x - 1) x - b) x - x + x + Bài 35 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: 3 a) 5x y 4xy x x x 2 2 b) x - 2xy + y x - xy ĐS: (x - y) x- y ; (x - y) Bài 36 Đưa phân thức sau mẫu thức: a) x + ; 2x + 3x + b) x + ; 2x - 3x - x- x+3 (x + 3)(x - 3) ; (x + 3)(x - 3) ; x+3 (x + 3)(x - 3) c) x - ; x + x - 2x - 3x + x2 - ; x2 - x2 - x c) x + 2x x - (x - 2)2 x(x - 2) d) x - 5x + x - 3(x - 2) (x - 2)(x - 3) ; (x - 2)(x - 3) e) x - 3x + x - x 4x x- x(x - 1)(x - 2) ; x(x - 1)(x - 2) Bài 38 Đưa phân thức sau mẫu thức: x2 - 4x + x +1 2 a) x - 2x x - (x - 2)(x - 1) x x(x - 1) ; x(x - 1) x3 - 23 b) x - x + x +2 Bài 39 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: Trang CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ a) x y xy - 7y 11z 5x , , 2 12 xz 18x y 6y z ; a) b) 7xy x 2x 2 b) x + 2xy + y x + xy x 2(x + y) (x + y) ; (x + y)2 Bài 44 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: ; a) 3x + 15 x - 25 ; x2 - x 3x + 2x ; ; 2 x - x + 2x + x x Bài 40 Đưa phân thức sau mẫu thức: b) Cho hai phân thức x - a a) x - ; 2x - 3x - Bài 45 1 b) x + ; 2x + x - 2x - x- 2(x - 4)(x + 4) ; 2(x - 4)(x + 4) ; x - b với a < b a) Hãy xác định a b biết quy 6x + 24 2(x - 4)(x + 4) đồng mẫu thức chúng trở thành phân thức có mẫu thức chung x2 - 5x + b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung 2 c) x - ; x - x + 2x + (x - 1)(x + 1) ; (x - 1)(x + 1) ; x2 - 5x + x- ĐS: x - x - ; (x - 2)(x - 3) 2x - (x - 2)(x - 3) 2x - (x - 1)(x + 1) x- 2 d) 2x ; x - 2x(x - 2) ĐS: 2x(x - 2) 4x ; 2x(x - 2) ; 2x(x - 2) Bài 46 Cho hai phân thức x - ax x - b với a < b Bài 41 Tìm mẫu thức chung hai 2x 3x ; 2 phân thức: x + 3x + x + 4x + a) Hãy xác định a b biết quy đồng mẫu thức chúng trở thành phân thức có mẫu thức chung Bài 42 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: x3 - 5x2 + 6x 2x + 3x 9x2y ; a) 6xy 3x2 - 4x + x - 4x ; ; 5- x x + x2 - 25 b) Bài 43 Quy đồng mẫu thức phân thức sau: Trang b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung x3 - 5x2 + 6x x- 2 ĐS: x - 2x x - ; x(x - 2)(x - 3) 2x2 - 4x x(x - 2)(x - 3) CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Bài 47 Cho hai phân thức x - ax - x + b với a;b > a) Hãy xác định a b biết quy đồng mẫu thức chúng trở thành phân thức có mẫu thức chung x3 - x2 - 6x b) Với a b tìm viết hai phân thức cho hai phân thức thu sau quy đồng với mẫu thức chung x3 - x2 - 6x 2x + - ĐS: x - 3x x + ; x(x + 2)(x - 3) - x2 + 3x x(x + 2)(x - 3) PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép cộng phân thức đại số Quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức, ta cộng tử thức với giữ nguyên mẫu thức A B A B M M M ; Quy tắc cộng hai phân thức không mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức đưa quy tắc cộng hai phân thức có mẫu thức Giống phép cộng phân số, phép cộng phân thức có tính chất sau : giao hoán; kết hợp; cộng với số Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên dãy phép cộng nhiều phân thức, ta khơng cần đặt dấu ngoặc Phép trừ phân thức đại số Trang Quy tắc trừ hai phân thức có mẫu thức: Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức, ta trừ tử phân thức bị trừ giữ nguyên mẫu : A B A B M M M ; Quy tắc cộng hai phân thức không mẫu thức: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức đưa quy tắc trừ hai phân thức có mẫu thức A Phân thức đối phân thức B kí A A A 0 hiệu B Ta có : B B A Phân thức đối phân thức B -A A B hay B A A B B ; ĐẠI SỐ PHÂN THỨC B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Cộng , trừ phân thức đại số thông thường Ví dụ Thực phép tính sau: x - 6x + + a) x + x - 10 x + + + b) x - x - x - Ví dụ Thực phép tính sau: x +1 - 2x + a) 2x - x - 2x x +1 2- x + + b) x + 4x + x + (x + 2) 2x - x - c) x - x - 2(2xy - 1) xy - 3x2y2 3x2y2 d) x3 - x + - 2 x x x +x e) CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ x2 + y2 y2 x2 2 xy - y2 x2 - xy f) x - y 2xy (x - y)(x + y) Dạng 4: Toán có nội dung thực tế Bước 1: Thiết lập biểu thức theo yêu cầu toán Bước 2: Sử dụng kiến thức học để giải toán Dạng 2: Cộng , trừ phân thức đại số kết hợp quy tắc đổi dấu Ví dụ Một đội máy xúc nhận nhiệm vụ xúc 11600 m Giai đoạn đầu, đội xúc Áp dụng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung:5000 m với suất trung bình máy xúc x m /ngày Giai đoạn -A A A -A A = ; = =sau, suất làm việc máy xúc tăng -B B -B B B m3 /ngày Khi đó: Thực theo quy tắc cộng, trừ hai phânđược thức 25 có mẫu thức a) Hãy biểu diễn: Ví dụ Thực phép tính sau: i) Thời gian xúc 5000 m giai đoạn đầu 2x2 - x x + - x2 + + 1- x x- a) x - tiên; ii) Thời gian làm nốt phần việc lại 5x + + b) x + 1- x 1- x Ví dụ Thực phép tính sau: giai đoạn sau; iii) Tổng thời gian hoàn thành công việc y 4x + 2 a) 2x - xy y - 2xy x x - 3y x + + xy - x2 b) x + xy y - x - x +y b) Giả sử suất trung bình máy xúc 250 m /ngày tổng thời gian hồn thành cơng việc ngày? Dạng 3: Rút gọn phân thức tính giá trị biểu thức Bước 1: Áp dụng kiến thức học để rút gọn phân thức Bước 2: Tính giá trị biểu thức sau rút gọn Ví dụ Cho biểu thức: 2 4x + + x - x x + x + 1- x3 x ¹ 0; x ¹ a) Rút gọn biểu thức P ; P = x(x - 1) P = Ví dụ Cơng ty da giày Hải Phịng nhận sản xuất 10000 đơi giày cho đối tác nước với thời hạn x ngày Do cải tiến kĩ thuật, công ty hoàn thành trước kế hoạch đề ngày mà cịn sản xuất thêm 200 đơi giày a) Hãy biểu diễn qua x : i) Số lượng đôi giày công ty phải sản xuất với ngày theo kế hoạch ii) Số lượng đôi giày thực tế cơng ty b) Tính giá trị biểu thức P x = sản xuất ngày iii) Số lượng đôi giày làm thêm ngày Trang 10 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ b) Tính số lượng đơi giày mà cơng ty làm thêm ngày với x = 25 - x2 2x - 2x2 - 4x + + 3- x x- a) x - - 5x + + + b) x + 2 - x - x C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Thực phép tính sau: Bài Thực phép tính sau: 11x - 10x + + - 2x a) x - y x + a) x - xy y - xy + b) x + 2x + 3x - + + xy - x2 b) x + xy y - x - x(x - y) - 3x2 1 + + c) x + x - x + x + - 2(x - 1) x2 - x + Bài Cho biểu thức: P = 1 + + + + x4 d) 1- x 1+ x 1+ x 1- x8 x +x + x3 + x2 + x + x2 + P = x +1 x2 + a) Rút gọn biểu thức P ĐS: b) Tính giá trị biểu thức P x = ĐS: Bài Cho biểu thức: Bài Thực phép tính sau: x + 4y x +y + 2 a) x - 2xy 2y - xy x2 2(x - 1) x +2 P = + + x +1 x x + x với x ¹ 0; x ¹ - b) 1 + + (x - y)(y - z) (y - z)(z - x) (z - x)(x - y) a) Rút gọn biểu thức P ; b) Tính giá trị biểu thức P x = Bài Thực phép tính sau: Bài Thực phép tính sau: 2x - 3x + 14 + a) x + x - 18 x + + + b) x - x - x - Bài Thực phép tính sau: + a) x + 4x 2x + x + x - x - 14 + + b) x - x + x - Bài Thực phép tính sau: 3x + 4 - x - 3 x y xy a) x2 + b) x + x + 5x - - c) x - x - x x y - 2x xy - x2 d) xy - y Bài 10 Tìm phân thức P (x) thỏa mãn đẳng thức sau: Trang 11 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ công mạng Trong thời gian đầu virus phát tán, trung bình ngày ghi nhận x thiết bị nhiễm virus giai đoạn khiến 60000 thiết bị bị thiệt hại Sau tốc độ lan truyền gia tăng 500 thiết bị nhiễm virus ngày a) Hãy biểu diễn: i) Thời gian 60000 thiết bị nhiễm x 6x - + - P (x) = x - a) x - x + x- P (x) = x + 2x + x +2 - P (x) = - x - x + x + b) x - virus; ii) Thời gian số thiết bị lại bị lây Bài 11 Thực phép tính sau: 3x - 2x - a) x + x + nhiễm; iii) Thời gian để 150000 thiết bị nêu 2(xy - 1) xy - x2y2 x2y2 b) x - c) x - x - x 1 - 2 x - xy d) xy - y Bài 12 Tìm phân thức Q(x) thỏa mãn đẳng thức sau: Q(x) + x- x- x- = x - x - x - 5x + Bài 13 a) Chứng tỏ hiệu phân thức 1 có tử 1: x x + ĐS: x(x + 1) b) Tính Q(x) = nhanh biểu thức sau: bị nhiễm virus b) Tính thời gian để 150000 thiết bị nêu bị nhiễm virus với x = 4000 Bài 15 Một tàu du lịch từ Hà Nội tới Việt Trì, sau nghỉ lại Việt Trì trước quay trở lại Hà Nội Quãng đường từ Hà Nội tới Việt Trì 70 km Vận tốc dòng nước km/h Gọi vận tốc thực tàu x km/h a) Hãy biểu diễn: i) Thời gian tàu ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì; ii) Thời gian tàu xi dịng từ Việt Trì tới Hà Nội; iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến tàu quay trở Hà Nội 1 + +L + x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 99)(x +70 100) 70 + +2 x- x +5 (giờ) Bài 14 Đầu tháng năm 2017 , toàn giới ghi nhận hàng chục ngàn máy tính bị nhiễm loại virus mang tên WannaCry Theo ước tính, có 150000 thiết bị điện tử trở thành nạn nhân b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến tàu tới Hà Nội, biết vận tốc lúc ngược dòng tàu 20 km/h 50 phút Bài 16 Nếu mua lẻ giá bút bi x đồng Nhưng mua từ 10 bút trở lên giá rẻ 100 đồng Trang 12 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Cô Dung dùng 180000 đồng để mua bút cho văn phòng Hãy biểu diễn qua x : a) Tổng số bút mua mua lẻ A= 180000 x x4 - (x - 1)2 (x ) Câu Cho b) Tổng số bút mua mua lúc, biết giá tiền bút không 1200 đồng M = + - x2 a,bc , + ( ) x2 - x2 - x2(x + 1)2 - + x2(x - 1)2 - x4 - (x + 1)2 thõa mãn abc = Tính a b c + + ab + a + bc + b + ac + c + Câu Thực phép tính sau 5x + + a) 4xy 2y z 6yz ; x2 3 + + x + 3x x + x c) Số bút lợi mua lúc so với mua lẻ Bài 17 Một công ty may mặc phải sản xuất 10000 sản phẩm x ngày Khi thực làm xong sớm ngày mà làm thêm 80 sản phẩm a) Hãy biểu diễn qua x : i) Số sản phẩm phải sản xuất b) Câu Rút gọn biểu thức 1 2a 4a3 8a7 + + + + a - b a + b a + b2 a4 + b4 a8 + b8 Câu Cho a + b + c = Rút gọn biểu B= thức A= a2 b2 c2 + + a2 - b2 - c2 b2 - a2 - c2 c2 - a2 - b2 ; ngày theo kế hoạch ii) Số lượng sản phẩm thực tế làm B= 1 + + 2 2 b +c - a c +a - b a + b2 - c2 ngày iii) Số sản phẩm làm thêm ngày x- = a + a - (a Câu Tìm x biết: số) Câu Chứng minh đẳng thức b) Tính số sản phẩm làm thêm ngày với x = 25 a2 + 3ab 2a2 - 5ab - 3b2 a2 + ab + ac + bc + = a2 - 9b2 6ab - a2 - 9b2 3bc - a2 - ac + 3ab Câu Tính: Bài 18 Tính nhanh biểu thức sau: 5x - 2x + + 1 1 15 ; Q(x) = + + + a) 15 x - x + 4x + x + 8x + 15 x + 12x + 35 - 2x + 2y 2x - + + 3 x y x y 6x3y ; b) E BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Thực phép tính sau: x + y x - 2y + 3x ; a) 3x 2 2 x y -y -z + + + x +y y +z x +y y +z Câu 10 Tính: b) Câu Rút gọn biểu thức sau Trang 13 c) CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ 4x - x + + xy 7xy2 ; a) 1 + + x 2x 3x ; Câu 20 Tính: b) 5x - x - 2 x y 4x2y b) c) 2x - x + + x 3x + x - 2 xy 2xy ; a) b) ; Câu Câu 12 Thực phép tính sau Rút b) gọn biểu Tính Câu 23 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x A= thức: x+4 x- - 2x + x - 1 Câu 24 Thực phép tính x x + A= 22 1 - + x +1 x +1 x - x +1 3x x a) 5x + 5y 10x - 10y ; 3x - 3x - 3x + - 9x2 13 xy x2 2 y2 - x2 a) x - y x+4 - 2 b) x - x + 2x Câu 21 Tính: Câu 11 Thực phép tính sau: Câu a) 7x + 2 - 2x 5x - 5x - ; x +2 2x + x + x + x - 1 - x3 Câu Câu 14 Rút gọn biểu thức 25 Thu gọn biểu thức: 1 1 2 20x2 + 120x + 180 5x2 - 125 (2x +A3)= - x + + + A= + x + x x + 3x + x + 5x + x + 2 2 (3x + 5) - 4x 9x - (2x + 5) x + 8x + 15 4x2 - 2x + P = Câu 15 Rút gọn tính giá trị biểu 2x - Câu 26.Viết phân thức ( thức ) dạng tổng đa thức phân 6x2 + 8x + x có tử thức số P = + v?i x = thức x - x +x +1 x - 4x2 - 2x + P = Câu 16 Tính giá trị biểu thức 2x - Câu 27 Cho phân thức 10 12 Tìm nguyên x để giá trị P = ; xgiá = - trị 0,75 phân thức P số nguyên (x + 2)(3 - x) (3 - x)(3 + x) (x + 3)(x + 2) Câu 17 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x Câu P = x +1 x - A= + - ; x ¹ 1; x ¹ - x - x +1 x - x+ a = a - a a - 1; ( Câu 18 Tìm x biết: a số) Câu 19 Tìm phân thức (a X + ) + ×a a - - 1= X 28 Cho biểu thức x¹ 25x - 5xy - 15x + y - + 1- 5x y- với ; y ¹ Tính giá trị P 2 2 Câu 29 Cho (a + b + c) = a + b + c Rút gọn biểu thức biết: a +a +1 P = a2 b2 c2 + + a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Trang 14 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phép nhân phân thức đại số Quy tắc nhân hai phân thức: Muốn cộng hai phân thức ta nhân tử thức nhân mẫu thức với A C AC B D BD ; Chú ý: Kết phép nhân hai phân thức gọi tích Ta thường viết tích dạng rút gọn *** Tính chất phép nhân thức: A C C A Giao hoán : B D D B ; A C M A C M Kết hợp : B D N B D N ; Phân phối phép cộng : A C M B D N A C A M B D B N ; A A A B B; Nhân với số 1: B A C A D C : ; 0 B D B C D B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Thực phép nhân, chia phân thức Ví dụ Thực phép tính sau: 6x ổ 5y2 ữ ỗ ữ ìỗ ç 2÷ ÷ 15y ç 3x ø è a) b) x + x2 - × x - (x + 1)2 - 3x x - × c) x - x - 6x + x2 - 2x × d) x - 3x + Ví dụ Thực phép tính sau: 1- x2 x + : x a) x - 2x x3 - : x +x +1 b) x + ( Chú ý: Nhờ tính chất kết hợp nên số dãy phép tính nhân nhiều phân thức, ta khơng cần đặt dấu ngoặc Phép chia phân thức đại số *** Phân thức nghịch đảo : B Phân thức A gọi phân thức A nghịch đảo phân thức B với A, B đa thức khác đa thức *** Quy tắc chia hai phân thức : A Muốn chia phân thức B cho phân thức C A D khác 0, ta nhân B với phân thức C nghịch đảo D ) x2 - x2 - 2x + : 2 c) x + x - x + 3x + x + 2y x2 + 4xy + 4y2 : 2 x3 - y3 d) x + xy + y x- y x + 2y Dạng 2: Rút gọn biểu thức Phân tích tử mẫu thức thành nhân tử Triệt tiêu biểu thức tử mẫu (ưu tiên tối giản phân thức từ đầu) Ví dụ Rút gọn biểu thức sau: x - 2x2 - 5x - × x + x - 5x + a) Trang 15 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ 2x - x3 - 3x2 + 3x - × x- x b) 2(x - 1) x +1 x + 1- x3 ×3 x x + b) x2 2x - x2 - x × + × c) x + x - x + x - x2 x - x2 ×(8 - 2x) x x d) Bài Thực phép tính sau: x3 - ỉ x +1 ÷ ữ ìỗ - ỗ ữ ữ ỗ a) x - èx - x + x + 1ø ĐS: x - x + x2 + x - 12 ×2 c) x - x + 5x + x2 - 3x + x2 - x - ×2 x x + x - 2x + d) Ví dụ Rút gọn biểu thức: a) x4 + 2x2 + x - 2x2 - × × 2x + x2 + x2 - ( ) x2 - 2x + x2 - ×2 c) x - x - x + x - x- ỉ x3 ữ ỗ ữ ìỗ + x + x + ữ ỗ ữ ỗ1- x 2- x ố ứ d) x- x + 1- x æ x3 ữ ỗ ữ ì x + x + ỗ ữ ỗ ữ ỗ x - 1ø x è b) Ví dụ Rút gọn biểu thức: A= x2 2x 2x : : (y + 1) y + y + B= x2 (y + 1)2 a) b) x3 + 10 - 2x x3 + x - × + × x - x +2 b) x - x + - (x2 - 2x + 4) Bài Thực phép tính sau: (x a) ổ2x 2x ữ ữ :ỗ : ỗ ữ ữ ỗ ốy + y + 1ứ ) - : 2x + x- xy x2y2 : b) 2x - - 4x x (y + 1)2 x2 x2 + 2x x2 - : 2 c) x - 2x + x - x ĐS: (x - 1)(x - 2) Ví dụ Rút gọn biểu thức P = xy , biết 2x + 3y 4x2 + 12xy + 9y2 : x3 - d) - x x + 2x + 2x + 3y (2a3 + 2b3)x + b = a (2a - 2b)y = 3(a + b)2 (a ¹ b, a ¹ - b) Bài Rút gọn biểu thức: C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Thực phép tính sau: x2 - 1 × x + 1- x a) x +4 x +5 x +6 : : a) x + x + x + x- æ x - x + 8ử ữ ữ :ỗ : ỗ ữ ç ÷ x + èx - x - 9ø b) Bài Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức sau: Trang 16 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ x2 + 3x x2 - :P = x - 4x a) x - b) Q: Q= - x x3 + × x- x b) x- 4x2 + 12x + = 2x + x2 - x2 - x x2 2x - × + × c) x - x + x - x + x2 x + 2x + x +2 Bài Thực phép tính sau: x2 - 3x + x2 - 2x - × x x (x - 1)2 d) 1- x2 - 2x : 3x a) x + 2x Bài 10 Thực phép tính sau: x +1 : x2 - x + b) x - ( ) ) x +1 x - x - 2y x2 - 4xy + 4y2 : 2 x3 + y3 d) x - xy + y x +1 æ x3 ữ ỗ ữ ìỗ x - x + 1ữ ỗ ữ ỗ x + 1ứ x ố b) x +y x - 2y ( a) x2 - x - x2 - 4x + : x + x + x2 + 2x c) Bài x4 - 2x2 + x + 2x2 - × × 2x - x2 - x2 - Bài 11 Rút gọn biểu thức P = xy , biết Cho (6a + 15b)x = 3a + (3a3 - 3b3)x - 4b = 4a (4a + 4b)y = 3(a - b)2 (a + b ¹ 0, a - b ¹ 0) (a3 + 1)y = 4a2 - 25b2 Rút gọn biểu thức x2 - x 2y A= × x - theo a b 2a - 5b a - a + Bài Rút gọn biếu thức sau: ö 4x2 ổ 3y3 ữ ỗ ữ ìỗ ữ ỗ 2x ữ 9y4 ỗ ố ứ a) x2 x2 - ì b) x - x 2x - 2 - x × c) x - x - 6x - x - 3x + × 3x - d) x - Bài Rút gọn biểu thức sau: x - x2 - 3x + ×2 a) x - x + x - 12 Bài 12 Rút gọn biểu thức: x2 3x 3x : : 2 y 2y y a) x2 æ 3x 3x ữ B = :ỗ ỗ : ữ ữ ữ 4y ỗ ố2y 2y ứ A= b) Câu 13 Thực phép tính x2 - 25 x2 + 5x : 2 a) x - 3x x - ; 25x2y5 : 15xy2 3x ; (x ) + y2 : Câu c) x y + xy x4y 14 Thực x +1 x +2 x + : : x + x + x +1 Trang 17 b) phép tính: CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Câu 15 Rút gọn biểu thức: a) 3a - 2ab - b 3a - 4ab + b : 2a2 + ab - b2 3a2 + 2ab - b2 Câu 16 Cho x ¹ 0, x ¹ ±2 Rút gọn P = R= ; x + 3y 4x - 2y x + 3y x - 3y × × 3x + y x - y 3x + y x - y b) Câu 24 Tìm biểu thức x , biết: a2 + a + a + x: = 2a + a - tính giá trị biểu thức: P = ỉ4 x + 14 ữ ữ A =ỗ : v?i x = - ỗ ữ ữ x2 ỗ ốx - x + 2ø Câu 17 Tìm x biết a +1 a2 - ×x = , a +2 a + 2a với a số; a ¹ 1; a ¹ - 1; a ¹ 0; a ¹ - Câu 25 Cho ab + bc + ca = Chứng minh tích sau khơng phụ thuộc vào biến số Câu 18 Thực phép tính 3x + x + : x- 2; x a) 5x + 10xy x + 2y : 2 x + 2xy + 4y x - 8y3 b) 4x + : (1- 2x) x a) ; 20 Cho (a + b)2 (b + c)2 (c + a)2 A= × × + a2 + b2 + c2 Câu 26 Cho a + b + c = Chứng minh tích sau không phụ thuộc vào biến số Câu 19 Thực phép tính Bài 12x + 4x + 12x + - 3x × + × x + 360x + 150 x + 360x + 150 b) đẳng a) 4bc - a2 4ca - b2 4ab - c2 × × bc + 2a2 ca + 2b2 ab + 2c2 ; thức Câu 27 Tính: 5x + 5y 6x - 6y × 4x - 4y 25x + 25y ; b) b) Câu 28 Thực phép tính sau a) c) x5 + 2x2 + 4x 5x3 + M = ×2 × 3x3 + x - x5 + 2x2 + ; ổ 7z ữ ỗ ữ 3x3y4 ìỗ 5ữ ữ ỗ ố 9xy ứ Cõu a) 3x + - 2x × 4x - 16 x + ; 3x2 ổ - 10y3 ữ ỗ ữ ì ỗ ỗ ữ ữ ỗ 5y ố 9x ø Câu 21 Thực phép tính sau: 18x2y2 5z3 × 15 z 9x y ; a) A= 22 æ x + x - x2 - 4x K = ỗ + ỗ ỗ ỗ x2 - èx - x + Cho 1ử x + 2003 ữ ữ ì ữ ữ x ø a) Rút gọn K b) Tìm số nguyên x để K nhận giá trị nguyên Câu 23 Thực phép tính sau b) ỉ ỉ bư ổ cử ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ N =ỗ + ì + ì ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ç ç cø ç1 + a ø ÷è ÷è ÷ è bø x - 2y x - 2xy ×B = 3 x +y x - xy + y2 Tìm biểu thức B M = x2 + 2x 2x - ×2 3x - x + 4x + b) Câu 29 Rút gọn tính giá trị biểu thức P = x2 - 2x + 10 × x + x2 - x với x = 99 Câu 30 Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau Trang 18 x x +1 x + x + x + × × × × × ¼ = x x +1 x +2 x + x + x + CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ Câu 31 Cho x + y + z = Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến số P = BÀI TẬP THỰC HÀNH : Bài 1: Thực phép tính sau : (x + y)2 (y + z)2 (z + x)2 × × xy + z yz + x zx + y HD: xy + z = xy + z(x + y + z) = (z + x) ×(z + y) tương tự Câu 32 Thực phép tính a) A= 14 + 54 + 94 + 174 + × × ¼ 34 + 74 + 114 + 194 + ; 4 1 + + 294 + 4× 4× 4¼ B= 1 1 24 + 44 + 64 + 304 + 4 4 b) ; C = 6 x x 3x x y 3y b) x2 - 12xy + 36y2 3x - 18y : x2 + 12xy + 36y2 3x + 18y Câu 34 Hãy điền phân thức thích hợp vào đẳng thức sau a +2 a2 - ×x = a +1 a + a với a ¹ Câu 36 Tính 2 - - 13 - 57 - A= : : :¼ : - - 11 - 55 - 2 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 8/ x 1 x x x 16 x 1 2x x x x 3 b) {- 1;0;- 2} f/ 1 2x x 1 2 7/ xy x y xy x x +1 x + x + x + : : : : : ¼ = x +1 x +2 x + x + x + Câu 35 Tìm x biết 3a 4a ×x = với a ¹ a) e/ 1/ x x x 1 2x 2x x x 12 x 36 x y x +y +z x2 + y2 - z2 + 2xy A= : 2x + 2y (x + y)2 - (x + y)z b) c/ Bài 2: Thực phép tính sau : Câu 33 Thực phép chia a) 6x - 4x2 - : x 3x2 ; b/ x x 3x 12 x 12 x 12 x d/ x 4 x x2 x x x 1 x 1 x x 3 x 1 2 x 1 x x 14 + B= x 1 x a/ 5x y y 4x x2 y x2 y 9/ 3x 3x 3x x x 4x2 10/ x Bài3: Thực phép tính sau : BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Trang 19 CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐC ĐẠI SỐI SỐ 11x3 12 y a/ y 55 x ; 48 x 50 y 125 y x3 x b/ e/ 3a a 3a a : : a2 a a2 a a2 3a : a a 3a a2 3a a a2 x 12 x 3 : x 4 x Bài 4: 1/ Thực phép tính sau : a/ x 36 b/ x 10 x 2/ Thực phép tính sau : x 10 : 2x 4 a/ x x 25 : 23xx 107 Bạn Đức làm sau : f/ x 10 x 4x x x2 2 x x 16 x x 16 3a a : a2 a 20 x x : 3y y 4 Vì bạn viết ? b/ Hãy trình bày cách làm tốn Bài 7: Cơ giáo yêu cầu làm tính chia phân thức : c/ 3x y xy 3y 2x 49 x y d/ 28 x y 2 Hãy chỗ sai làm Đức giúp bạn sửa lại tập Bài 8: Bạn Khanh thực phép cộng phân thức viết sau : b/ c/ x x 3x : x 10 x 5 x 5 x x 1 x Bài 5: Tính thể tích hình hộp chữ nhật có độ dài cạnh biểu thị phân thức sau: Em cho biết bạn học sinh mắc sai lầm chỗ ? Bài 9: Cơ giáo cho tốn : Thực phép tính 3x x x sau : x x x Bạn Tài thực sau: Ta có Bạn Nam thực sau: x x 0 x 1 x Vì : 3x x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 3x x x 1 x 1 x2 x 1 3x x x x 3x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Bài 6: x 4 x x 16 a/ Để tính tích: Bước bạn An viết sau : Trang 20