Bai Tap - Phuong Phap Tinh - Ts. Nguyen Van Quang.pdf

Bài tập Phương pháp tính Bài tập Phương pháp tính TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 1 Chương 1 Tính gần đúng, sai số Bài 1 Phép đo có kết quả 999 847 ( ) 0 001( )g g   Xác định sai số[.]

Bài tập Phương pháp tính Chương Tính gần đúng, sai số Bài 1: Phép đo có kết quả:   999.847 ( g )  0.001( g ) Xác định sai số tương đối giới hạn phép đo Giải: Ta có:   999.847( g )  0.001( g )  a  a  0.001 Sai số tương đối giới hạn:   a   106 a 999.847 Bài 2: Cho số: a  1.2341, a  0.45 104 b  0.5364, b  0.42 103 Hãy xác định chữ số đáng tin a b Giải: Ta có: a  1100  101  102  103  1104 Mà a  0.45 104  0.5 104 Nên số số đáng tin Vì tất số bên trái số đáng tin (số 1) số đáng tin Do tất chữ số a đáng tin b  100  101  102  103  104 Mà b  0.42 103  0.5 103 Nên số số đáng tin Do đó, chữ số đáng tin b 0,5,3,6 Bài 3: Cho hàm số: u  ln  x  y  Tính giá trị hàm số u x = 0.97, y = 1.132 Xác định sai số tuyệt đối giới hạn  u , sai số tương đối giới hạn u , biết tất chữ số x, y số đáng tin Giải: Giá trị hàm số u x = 0.97, y = 1.132: u  ln  0.97  1.1322   0.812 Vì tất chữ số x đáng tin nên:  x  0.5 102   x  0.5 102 Vì tất chữ số x đáng tin nên:  y  0.5 103   y  0.5 103 Sai số tuyệt đối hàm số u x = 0.97, y = 1.132:  u  ux ( x, y )   x  uy ( x, y )   y  2y  y x  x y x  y2 0.5 102 1.132  0.5 103   0.00272 0.97  1.1322 0.97  1.1322 Do đó: u  0.812  0.00272 Sai số tương đối hàm số u x = 0.97, y = 1.132:  0.00272 u  u   0.0033  0.33% u 0.812  TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Cơng nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính Chương Giải hệ phương trình đại số A Phương pháp khử Gauss  x1  x2  x3   Bài 1: Giải hệ phương trình: 2 x1  3x2  x3  3 3x  x  3x   a Bằng phương pháp Gauss b Bằng phương pháp nhân tử LU 2 1 1   3  R2    R1 3 3  3       Giải: a  3 R3  R1  3 7    3  1 1  R3    R1 0 0  3 3 3  3 3  1     7   x1  1, x2  0, x3  1 0 7  R3    R2 0 0 0  0 7 5  Ly  b b Ax  b  LUx  b   Ux  y  1 1 1 1 1 1 R2    R1     Ta có ma trận hệ số: A   R3   1 R2 0    R   3 R  1 3 3 0 1  0  1 0  1 1    L    ,U  0   1  0  Giải phương trình: Ly  b  y1  2, y2  7, y3  7 Giải phương trình: Ux  y  x1  1, x2  0, x3  1  x1  x2  3x3  x4  2 x  x  x  3x   Bài 2: Giải hệ phương trình:  3x1  x2  x3  x4  2 x1  3x2  x3  x4  8 a Bằng phương pháp khử Gauss b Bằng phương pháp nhân tử LU 1 2   1      1 2 3  1 2 3    Giải: a R  R1  1  1 2       3 8  3 8 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính 3 1  R2   3 R1     13 16   R3  1 3 R1 0 10  14  R4   3 R1   1  32 3 0 13 3 3 1  1      13 1 32 3 R3   4 13 R2 0 13 83 1 32   R2  R4 0 10  14  R4   13 R2 0 54 13  36 13 18 13      36 13  54 13 144 13 0  4 13 16  0 3 1   x1    13 1 32 3  x   R4   2 3 R3  0 54 13  36 13 18 13   x3  1   0 6 12   0  x4  2 2  1 2  1  1 2 3 R2    R1 0 5 8   R   3 R1   b Ta có ma trận hệ số: A    1  0 4 10    R4    R1    3  0 7 4  2  2  1 1    R3   5 R2 5 8  5 8    R   2  R3 0 18 36 5 R4    R2 0 18 36 5     18  0 36 18  0 0 0 2  1 1 2 0 5 0  8  L ,U   3 0 0 18 36 5     18   2  0 54 , y4  36 Giải phương trình: Ux  y  x1  1, x2  2, x3  1, x4  2 1 1 1 1  Bài 3: Tìm ma trận X thoả mãn phương trình: X          1 1  1 2  Giải: Ta có XA  B  XAA1  BA1  X  BA1 1 1 Tìm ma trận A1 ma trận A    phương pháp khử Gauss-Jordan   1 1  Giải phương trình: Ly  b  y1  6, y2  4, y3   TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính 1   A E    1 1  R2  1 0 0 1 1 0  1 0   R2    R1   0 0 1 2   R  1 R1 0 2 1  1 0  1 1 1 1 0   R1  1 R2  2 1  2 1 R3   2  R2  0 2 2 2 1  1 1 1 0    R2   2  R3  R3  2  0 2 1  1 R1  1 R3  0 3 1  0 3 12 12  A1   1 1   3 1  0  0  12  1  1  1 1   2   3  Do đó: X  BA     1 1    4 2       1 2   3 1 2  5  B Phương pháp lặp đơn Đưa phương trình Ax  b dạng x  Bx  g Chọn x0  g lập dãy x n  theo công thức sau: xn1  Bxn  g 1 n  Điều kiện hội tụ đến nghiệm xác x : B  max  bij  lim xn  x  i j 1 n B  x n1  x n , đó: x  max xi i 1 B Bài 1: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn với sai số nhỏ 102 : 7 5 x  y  z   x  10 y  z  12  x  y  20 z  22  Giải: hệ viết lại dạng: x  Bx  g , đó: 0.2 0.2   1.4      B   0.1 0.1  , g  1.2   B  0.4  Nên phương pháp lặp đơn hội tụ  0.05 0.05  1.1      đến nghiệm xác Chọn x0  g Đánh giá sai số: x n1  x  Khi đó: x1  0.94,0.95,0.97  x1  x  0.307 T x2  1.016,1.009,1.0055  x2  x  0.051 T x3  0.9971,0.99785,0.99875  x3  x  0.013 T TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính x4  1.00068,1.000415,1.0002525  x4  x  0.0024  102 T Vậy nghiệm gần hệ phương trình: x  1.00068,1.00042,1.00025 T Nghiệm xác hệ: x  1,1,1 Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp lặp đơn sau bước lặp, đánh giá sai số: 8 x  y  z  1   x  y  z  16 x  y  4z   Giải: hệ viết lại dạng: x  Bx  g , đó: 0.125 0.125    0.125      B   0.2 0.2  , g   3.2   B  0.5  Nên phương pháp lặp đơn hội  0.25 0.25  1.75      tụ đến nghiệm xác Chọn x0  g T Khi đó: x1   0.74375, 3.575, 2.58125  x1  x  0.83125 T x2   0.89453, 3.865, 2.82969  x2  x  0.29 T x3   0.96184, 3.94484, 2.93988  x3  x  0.11019 T x4   0.98559, 3.98034, 2.97667  x4  x  0.03679 T Vậy nghiệm gần hệ phương trình: x   0.98559, 3.98034, 2.97667 T Nghiệm xác hệ: x   1, 4, 3 T TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính Chương Trị riêng, véc tơ riêng A Phương pháp lũy thừa Tìm trị riêng có biên độ lớn (trị tuyệt đối lớn nhất) trị riêng toán: Ax  x Lập dãy n  theo công thức sau: Axn  n1xn1 Chọn x0  1,1,1 Sau bước đưa thành phần (ở vị trí so với véc tơ riêng bước lặp trước) véc tơ riêng x n (tỷ lệ hóa) T Sai số: n1  n   Khi đó: lim n   max n B Phương pháp lũy thừa nghịch đảo A 1 1 Ax   x  A-1Ax  A-1 x   A 1A  x   A -1x  A -1x    x  Tìm trị riêng có biên độ bé (trị tuyệt đối bé nhất) trị riêng toán: Ax  x Dùng phương pháp lũy thừa để tìm trị riêng  1 có biên độ lớn ma trận A -1 Khi  trị riêng có biên độ bé ma trận A Bài 1: Dùng phương pháp lũy thừa, lũy thừa nghịch đảo đến bước lặp thứ 4, tìm trị riêng có biên độ lớn nhất, bé véc tơ riêng tương ứng ma trận sau:  1 A   1  1  Giải: a Phương pháp lũy thừa: Chọn x0  1,1,1 Khi đó: Ax0   4,2,6   0.66667,0.33333,1  1x1 T T T  1  6, x1  0.66667,0.33333,1 T Ax1   2,0.33333,5.66667  5.66667  0.35294,0.05882,1  2x2 T T  2  5.66667, x2  0.35294,0.05882,1 T Ax2  0.47058, 0.52942,5.70588  5.70588  0.08247, 0.09278,1  3x3 T T  3  5.70588, x3  0.08247, 0.09278,1 T Ax3   0.7629, 1.10309,5.82475  5.82475   0.13098, 0.18938,1  4x4 T T  4  5.82475, x4   0.13098, 0.18938,1 T 13 7  b Phương pháp lũy thừa nghịch đảo: A1   5 23  44  5  Chọn x0  1,1,1 T A-1x0  0.15909,0.47727,0.11364  0.11364  1.39995,4.19984,1  11x1 T T  11  0.11364, x1  1.39995,4.19984,1 T TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính A-1x1   0.23181,2.10447, 0.22271  0.22271 1.04086, 9.44937,1  21x2 T T  21  0.22271, x2  1.04086, 9.44937,1 T A-1x2  1.83356, 4.98954,1.30385  1.30385  1.40627, 3.82677,1  31x3 T T  31  1.30385, x3  1.40627, 3.82677,1 T A-1x3  1.04702, 2.09198,0.68983  0.68983  1.51779, 3.0326,1  41x4 T T  41  0.68983, x4  1.51779, 3.0326,1 T Trị riêng có biên độ bé ma trận A :  1.44963 41 Trị riêng ma trận A : 1  4, 2   5, 3   TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính Chương Phương trình phi tuyến Định nghĩa: Khoảng phân ly nghiệm khoảng chứa nghiệm phương trình f  x  Giả sử phương trình phi tuyến f  x   có khoảng phân ly nghiệm  a, b  Nghiệm xác phương trình x   a, b  A Phương pháp lặp đơn Đưa phương trình f  x   dạng: x  g  x  Lập dãy xn  : xn1  g  xn  , x0   a, b 1 Điều kiện hội tụ đến nghiệm xác x : Nếu tồn L : g   x   L  1, x   a, b  lim xn  x , dãy  xn  thành lập từ 1 n Đánh giá sai số: xn  x  L  xn  xn1 1 L Bài 1: Cho phương trình: 6.5x3  26 x  3.9  a Chứng minh  0,1 khoảng phân ly nghiệm b Kiểm tra điều kiện hội tụ phương pháp lặp đơn khoảng phân ly nghiệm c Sử dụng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần phương trình đến bước lặp thứ với x0  0.5 , đánh giá sai số bước lặp Giải: a Ta có: f  x   6.5x3  26 x  3.9  f  0  f 1  60.84  Mà f   x   19.5x  26  0, x   0,1   0,1 khoảng phân ly nghiệm b f  x   6.5x3  26 x  3.9   x  g  x  , g  x   0.25x3  0.15 Ta có: g   x   0.75x  0.75  1, x   0,1 Do đó, phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm xác Chọn L  0.75 c Sử dụng công thức lặp: cho x0  0.5  x1  g  x0   0.18125 x2  g  x1   0.15148 x3  g  x2   0.15087 x4  g  x3   0.15086 0.75  0.15086  0.15087  105 Do đó: x4  x 0.25 Bài 2: Cho phương trình: 5x3  20 x   Tìm nghiệm gần phương trình phương pháp lặp đơn với độ xác 10 , biết khoảng phân ly nghiệm  0,1 Giải: Ta có f  x   5x3  20 x    x  g  x  , g  x   0.25x3  0.15 Sai số: x4  x  Vì g   x   0.75x  1, x   0,1 , nên phương pháp lặp đơn hội tụ đến nghiệm xác x* Chọn L  0.75 Sử dụng công thức lặp với x0  0.5 ta có: x1  g  x0   0.18125 , x1  x*  0.9563 x2  g  x1   0.15149 , x2  x*  0.0892 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính x3  g  x2   0.15087 , x3  x*  0.00186  x4  g  x3   0.15086 , x4  x*  0.00003  10 Do đó, x4  x B Phương pháp Newton (tiếp tuyến) f  xn  , x0   a, b  Lập dãy  xn  : xn1  xn  f   xn   2 Điều kiện hội tụ đến nghiệm xác x : Nếu f   x  , f   x  liên tục, không đổi dấu  a, b  Với x0 thỏa mãn: f  x0   f   x0   Khi đó: lim xn  x , dãy  xn  n thành lập từ   Đánh giá sai số: xn1  x  M   xn1  xn  , với m, M số thỏa mãn: 2m f   x   m, f   x   M , x   a, b  Bài 1: Cho phương trình: x3  3x2   24 x a Chứng minh  6.94, 6.23 khoảng phân ly nghiệm b Kiểm tra điều kiện hội tụ phương pháp Newton khoảng phân ly nghiệm c Sử dụng phương pháp Newton tìm nghiệm gần phương trình đến bước lặp thứ 3, đánh giá sai số bước lặp Giải: a Ta có: f  x   x3  3x2  24 x   f  6.94   f  6.23  Mà f   x   3x  x  24  0, x   6.94, 6.23   6.94, 6.23 khoảng phân ly nghiệm b f   x   x   0, x   6.94, 6.23 Do đó: f   x  , f   x  liên tục, không đổi dấu  6.94, 6.23 Mà f  6.9   f   6.9   nên chọn x0  6.9 Phương pháp Newton hội tụ đến nghiệm xác x c Sử dụng công thức lặp: x1  x0  x2  x1  x3  x2  f  x1   6.63821 f   x1  f  x0   6.65359 f   x0  f  x2   6.63816 f   x2  Ta có: m  f   6.23  55.0587, M  f   6.94  35.64 35.64    6.63821  6.63816   8.09 10 10 Do đó: x3  x  55.0587 1 Bài 2: Bằng phương pháp Newton, tìm hai nghiệm phương trình: 2e x   x  x 1 Với độ xác đến năm chữ số thập phân, giá trị đầu cho nghiệm chọn 0.6 0.8 Sai số: x3  x  TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Bài tập Phương pháp tính 1 1  Suy f   x   2e x   2 x  x 1  x    x  1 Giải: Ta có: f  x   2e x  Xây dựng dãy nghiệm  xn  theo công thức truy hồi: xn1  xn  a x0  0.6 Sử dụng công thức lặp: x1  x0  x2  x1  x3  x2  x4  x3  x5  x4  f  xn  f   xn  f  x0   0.7379834759 f   x0  f  x1   0.6993377784 f   x1  f  x2   0.6901627765 f   x2  f  x3   0.6897527914 f   x3  f  x4   0.6897520209 f   x4  Sai số: x5  x4  7.705 10-7 Do đó: x5  x b x0  0.8 Sử dụng công thức lặp: x1  x0  x2  x1  x3  x2  f  x0   0.7696398937 f   x0  f  x1   0.7700913090 f   x1  f  x2   0.7700914093 f   x2  Sai số: x3  x2  1.003 107 Do đó: x3  x x Bài 3: Tìm tất nghiệm dương phương trình: 10 e x dt  , xác đến chữ số thập phân   Giải: Ta có: f  x   10 xe x   f   x   10e x 3x3    x  3 f   x   30 x 2e x  3x3   3   Do f  x  đồng biến 0, 3 nghịch biến Ta có: f    1  0, f        0, f    Nên 0, 3 ,  3,  3, khoảng phân ly nghiệm, mà f  x   f  2  0, x  Vậy phương trình f  x   có nghiệm dương thuộc khoảng TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 10 Bài tập Phương pháp tính  x0  a  b Nếu f  a   :  f  xn   3 x  x   x  b   n n  n1 f  xn   f  b   Điều kiện hội tụ đến nghiệm xác x : Nếu f   x  , f   x  liên tục, không đổi dấu  a, b  , không giảm tổng quát giả sử  xn  thành lập từ  3  f   x   0, x   a, b  Khi lim xn  x , dãy n M m  xn1  xn ,  m  f   x   M , x   a, b  m Bài 1: Cho phương trình: x3  x2  x   a Chứng minh  0,1 khoảng phân ly nghiệm b Kiểm tra điều kiện hội tụ phương pháp dây cung khoảng phân ly nghiệm c Sử dụng phương pháp dây cung, tìm nghiệm gần phương trình với sai số khơng q 102 Giải: a Ta có: f  x   x3  x  x   f  0  f 1  2  Mà f   x   3x2  x   0, x   0,1   0,1 khoảng phân ly nghiệm b f   x   x     f   x   Do đó, phương pháp dây cung hội tụ đến nghiệm xác  x0   c Vì f    1  :  xn3  xn2  xn  x  x  n  n1 xn2  xn   x1  0.33333, x2  0.47059, x3  0.51954, x4  0.53586, x5  0.54117, x6  0.54287 Đánh giá sai số: xn1  x   Sai số: x6  x   x6  x5  0.00854  102 Do đó: x6  x TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 12 Bài tập Phương pháp tính Chương Xấp xỉ đa thức, nội suy I Đa thức nội suy Giả sử ta có bảng giá trị (mốc nội suy): x0 x x1 …… xn y0 y1 …… yn y  f  x Xây dựng đa thức (nội suy) bậc n, y  Pn  x  qua điểm  xi , yi  Định nghĩa: Tỷ sai phân cấp xi : fi    f  xi , xi 1  : Tỷ sai phân cấp xi : fi  2 f  xi 1 , xi    f  xi , xi 1  fi 11  fi 1  f  xi , xi 1 , xi   :  xi   xi xi   xi Tỷ sai phân cấp n xi : fi    f  xi , xi 1 , , xi  n  : n f  xi 1   f  xi  fi 1  fi  xi 1  xi xi 1  xi f  xi 1 , xi  , , xi  n   f  xi , xi 1 , , xi  n1  fi  n11  fi  n1  xi  n  xi xi  n  xi Sai phân tiến (lùi) cấp xi : fi : fi 1  fi fi : Sai phân tiến (lùi) cấp xi :  fi  fi 1  fi  Sai phân tiến (lùi) cấp n xi : n fi   n1 fi 1   n1 fi fi  fi 1  fi  fi  fi 1   n fi  n1 fi  n1 fi 1  Giả sử mốc nội suy cách đều: xi  x0  ih, i  1, n, h  const Khi ta có liên hệ tỷ sai phân sai phân tiến (lùi): f f f 0   f  x0 , x1    h h  f0 2 f2  2 (1) f  f  x0 , x1 , x2    2!h 2!h n f0 n fn n f 0   f  x0 , x1 , , xn    n !h n n !h n A Đa thức nội suy Newton tiến với mốc (không cách đều) n (2) Pn  x   f0   x  x0   f 0    x  x0   x  x1   f 0     x  x0   x  x1   x  xn1   f 0  B Đa thức nội suy Newton tiến với mốc cách x  x0  x  x0  t  h Mà xi  x0  i  h  x  xi   t  i  h Từ (1) (2): Đặt t  h f  f0 3 f0 Pn  x0  th   f   t   t  t  1   t  t  1 t    1! 2! 3! (3) n f0    t  t  1 t   t  n  1 n! C Đa thức nội suy Newton lùi với mốc (không cách đều) Pn  x   f n   x  xn   f  xn , xn 1    x  xn  x  xn 1   f  xn , xn 1 , xn 2     x  xn  x  xn1   x  x1   f  xn , xn 1 , , x1 , x0  TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN (4) 13 Bài tập Phương pháp tính D Đa thức nội suy Newton lùi với mốc cách x  xn  x  xn  t  h Mà xi  xn   n  i   h  x  xi  t  n  i  h Từ (1) (4) Đặt t  h suy ra: f n 2 fn 3 f n Pn  xn  th   f n  t   t  t  1   t  t  1 t   1! 2! 3! (5) n fn    t  t  1 t   t  n  1 n! Bài 1: Hàm số y  f  x  cho bảng: x y 64 Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 hàm số Giải: Vì mốc nội suy khơng cách Ta tính tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   fi   fi   0 1 28 64 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc không cách xuất phát từ x0 : P3  x     x   1   x   x  1    x   x  1 x   1  x3 Bài 2: Hàm số y  f  x  cho bảng: x y -5 10 30 Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 hàm số trên, tính gần giá trị f  0.5 Giải: Cách 1: Ta tính tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   fi   fi   fi   -5 -2 0.29167 2.16667 10 7.5 20 30 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 14 Bài tập Phương pháp tính Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách xuất phát từ x0 : P4  x   5   x      x   x  1   2    x   x  1 x   1    x   x  1 x   x  3  0.29167  f  0.5   P4  0.5   0.89844 Cách 2: Vì mốc nội suy cách với h  Ta tính sai phân (tiến): xi yi fi  fi  fi 3 fi -5 -4 13 10 15 20 30 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách xuất phát từ x0 : P4  t   5   t   t  t  1  t  t  1 t     t  t  1 t   t  3 24 x  0.5  t  0.5  f  0.5  P4  0.5  0.89844 Bài 3: Hàm số y  f  x  cho bảng: x -1 y -6 39 822 1011 Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 hàm số trên, tính gần giá trị f  0.25 Giải: Vì mốc nội suy khơng cách Ta tính tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   fi   fi   fi   -1 -9 -6 15 39 41 -1.67857 -8.42857 261 822 -18 189 1011 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc không cách xuất phát từ x0 : P4  x     x  1   9    x  1 x    x  1 x  x  3     x  1 x  x  3 x     1.67857   f  0.25   P4  0.25   18.96637 Bài 4: Cho bảng giá trị hàm số y  sin x : x 0.1 0.2 0.3 0.4 y 0.0998 0.1986 0.2955 0.3894 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 15 Bài tập Phương pháp tính a Lập đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 hàm số trên, tính gần giá trị sin  0.14  b Lập đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ x3 hàm số trên, tính gần giá trị sin  0.46  Giải: a Cách 1: Ta tính tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   fi   fi   0.1 0.0998 0.988 0.2 0.1986 -0.095 -0.18333 0.969 0.3 0.2955 -0.15 0.939 0.4 0.3894 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách xuất phát từ x0 : P3  x   0.0998   x  0.1  0.988   x  0.1 x  0.2    0.095     x  0.1 x  0.2  x  0.3   0.18333  f  0.14   P3  0.14   0.13948 Cách 2: Vì mốc nội suy cách với h  0.1 Ta tính sai phân (tiến): fi xi yi  fi 3 fi 0.1 0.0998 0.0988 0.2 0.1986 -0.0019 -0.0011 0.0969 0.3 0.2955 -0.003 0.0939 0.4 0.3894 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách xuất phát từ x0 : 0.0019 0.0011 P3  t   0.0998  0.0988  t   t  t  1   t  t  1 t   2! 3! x  0.14  0.1  0.1 t  0.14  t  0.4  f  0.14  P3  0.4   0.13948 b a Cách 1: Ta tính tỷ sai phân (lùi): xi yi fi  2 f i  3 f i  1 0.1 0.0998 0.988 0.2 0.1986 -0.095 -0.18333 0.969 0.3 0.2955 -0.15 0.939 0.4 0.3894 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 16 Bài tập Phương pháp tính Đa thức nội suy Newton lùi, mốc cách xuất phát từ x3 : P3  x   0.3894   x  0.4   0.939   x  0.4  x  0.3   0.15     x  0.4  x  0.3 x  0.2    0.18333  f  0.46   P3  0.46   0.44384 Cách 2: Vì mốc nội suy cách với h  0.1 Ta tính sai phân (lùi): f i xi yi  fi 3 f i 0.1 0.0998 0.0988 0.2 0.1986 -0.0019 -0.0011 0.0969 0.3 0.2955 -0.003 0.0939 0.4 0.3894 Đa thức nội suy Newton lùi, mốc cách xuất phát từ x3 : 0.003 0.0011 P3  t   0.3894  0.0939  t   t  t  1   t  t  1 t   2! 3! x  0.46  0.4  0.1 t  0.46  t  0.6  f  0.46   P3  0.6   0.44384 II Bình phương tối thiểu Giả sử ta có bảng giá trị (mốc nội suy): x1 x2 xn …… x …… y2 y1 y n yn Xây dựng hàm số y  f  x  :   f  xi   yi   i 1 Bài 5: Giả sử đại lượng x, y có quan hệ y  ax  b bảng số liệu: x 12 y 10 12 16 Xác định a, b phương pháp bình phương tối thiểu, tính gần y 10  n Giải: Ta có: S  a, b     axi  b   yi   Sa  0, Sb  i 1 n n  n  n ax  b  y x  a x  b x  xi yi   i i i   i   i  i 1  i 1 i 1 i 1  n  n n   ax  b  y   a x  bn  y  i i i i    i 1 i 1 i 1 Ta có bảng sau: xi yi xi yi 12 10 12 16 20 70 108 192 x i  36 y i  45 x y TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN i i  396 xi2 16 49 81 144 x i  300 17 Bài tập Phương pháp tính Do ta có hệ phương trình: 300a  36b  396 a  1.5   36 a  b  45  b  1.5 Vậy hàm số cần tìm có dạng: y  1.5x  1.5  y 10  1.5 10  1.5  13.5 Bài 6: Giả sử đại lượng x, y có quan hệ y  ax  bx  c bảng số liệu: x 11 13 y 11 13 30 50 Xác định a, b, c phương pháp bình phương tối thiểu, tính gần y 12   S a   Giải: Ta có: S  a, b, c     axi2  bxi  c   yi    Sb  i 1 S    c n n n n  n  n 2 ax  bx  c  y x  a x  b x  c x  xi2 yi    i i i i i   i   i i 1 i 1 i 1  i 1  i 1 n n n n n     axi  bxi  c  yi  xi   a  xi  b xi  c  xi   xi yi i 1 i 1 i 1  i 1  i 1 n n n  n  2   axi  bxi  c  yi   a  xi  b xi  cn   yi i 1 i 1  i 1  i 1 Ta có bảng sau: xi yi xi yi xi2 xi4 xi2 yi xi3 0 1 2 8 16 11 44 176 16 64 256 13 104 832 64 512 4096 11 30 330 3630 121 1331 14641 13 50 650 8450 169 2197 28561   39   106   1132   13096   375   4113   47571 Do ta có hệ phương trình: 47571a  4113b  375c  13096 a  0.35207    b  1.20893 4113a  375b  39c  1132 375a  39b  6c  106 c  3.52065   Vậy hàm số cần tìm có dạng: y  0.35207 x  1.20893x  3.52065  y 12   39.71157 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 18 Bài tập Phương pháp tính Chương Tính gần đạo hàm Cho giá trị (mốc nội suy)  xi , yi  Để tính gần giá trị y  x  ta lập đa thức nội suy Pn  x  đó: y  x   Pn  x  Bài 1: Cho bảng giá trị: xi 0.11 0.13 0.15 0.17 yi 81.81818 69.23077 60 52.94118 Tính y  0.13 Giải: Lập đa thức nội suy Newton tiến với mốc không cách đều: P4  x   f   x  x0   f  x0 , x1    x  x0   x  x1   f  x0 , x1 , x2   0.18 50   x  x0   x  x1  x  x2   f  x0 , x1 , x2 , x3    x  x0   x  x1  x  x2   x  x3   f  x0 , x1 , x2 , x3 , x4  Suy ra: P4  x   f  x0 , x1    x  x0    x  x1    f  x0 , x1 , x2     x  x0   x  x1    x  x1  x  x2    x  x2   x  x0    f  x0 , x1 , x2 , x3    x  x0   x  x1  x  x2    x  x1  x  x2   x  x3       f  x0 , x1 , x2 , x3 , x4   x  x x  x x  x  x  x x  x x  x            0   Lập bảng tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   fi   fi   fi   0.11 81.81818 -629.3705 0.13 69.23077 4195.8 -461.5385 0.15 60 -24681.04167 2714.9375 -352.941 0.17 52.94118 137108.9296 -15083.4166 1960.76667 -294.118 0.18 50 P4  x   629.3705  4195.8   x  0.11   x  0.13   24681.04167   x  0.11 x  0.13   x  0.13 x  0.15    x  0.15  x  0.11   x  0.11 x  0.13 x  0.15    x  0.13 x  0.15  x  0.17    137108.9296       x  0.15  x  0.17  x  0.11   x  0.11 x  0.17  x  0.13   y  0.13  P4  0.13  533.38834 Bài 2: Cho bảng giá trị: xi 0.12 0.15 0.17 0.2 0.22 yi 8.33333 6.66667 5.88235 4.54545 Tính y  0.12  TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Cơng nghệ, ĐHQGHN 19 Bài tập Phương pháp tính Giải: Lập bảng tỷ sai phân (tiến): xi yi fi   0.12 fi  2 fi  3 fi  4 8.33333 -55.55533 0.15 6.66667 0.17 5.88235 326.7866 -39.216 -1633.75 196.0866 -29.41167 0.2 7422.7571 -891.47429 133.6834 -22.7275 0.22 Do đó: 4.54545 P4  x   55.55533  326.7866   x  0.12    x  0.15    1633.75   x  0.12  x  0.15    x  0.15  x  0.17    x  0.17  x  0.12    x  0.12  x  0.15  x  0.17    x  0.15  x  0.17  x  0.2     7422.7571       x  0.17  x  0.2  x  0.12    x  0.12  x  0.2  x  0.15    y  0.12  P4  0.12  68.70028 Bài 3: Cho bảng giá trị: xi 0.98 1.02 yi 0.77393 0.76519 0.75633 Tính y 1 Giải: Vì mốc nội suy cách đều, nên ta thực theo cách Cách 1: Lập đa thức nội suy Newton tiến với mốc cách với h  0.02 : fi xi yi  fi 0.98 0.77393 -0.00874 0.76519 -0.00012 -0.00886 1.02 0.75633 0.00012  t  t  1 Đa thức nội suy Newton tiến, mốc cách đều: P2  t   0.77393 0.00874  t  2! 1 0.00012    2t  1  Mặt khác: y  x   P2  t   t   x    0.00874  h 2!  x    0.98  0.02t  t  Do đó:  0.00012  y 1  0.00874    1  1   0.44  0.02  2!  Cách 2: Sử dụng khai triển Taylor ta có: y  x2   y  x0  0.75633  0.77393 y 1  y  x1     0.44 2h  0.02 TS Nguyễn Văn Quang – Đại học Công nghệ, ĐHQGHN 20