Đang tải... (xem toàn văn)
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN 5 LỜI CẢM ƠN 6 DANH SÁCH KÝ HIỆU 7 MỞ ĐẦU 8 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 1 1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ 20 1 1 1 Nửa nhóm tuyến tính 20 1 1 2 Nửa nhóm phi tuyến 23 1 2 ĐỘ ĐO KHÔNG COM[.]
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH SÁCH KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ 20 1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính 20 1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến 23 1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 27 1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 33 1.3.1 Một số vấn đề giải tích đa trị 33 1.3.2 Ánh xạ nén số định lý điểm bất động 35 1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ 36 1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 37 1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 37 1.5.2 Một số bổ đề định lý 38 1.5.3 Một số không gian hàm 39 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHƠNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 41 2.1 ĐẶT BÀI TỐN 41 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 42 2.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ 2.4 TẬP HÚT TỒN CỤC CHO NỬA DỊNG ĐA TRỊ SINH BỞI DVI Chương 48 51 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC- ELLIPTIC TRONG KHƠNG GIAN VƠ HẠN CHIỀU 57 3.1 ĐẶT BÀI TỐN 57 3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 58 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 69 3.4 ÁP DỤNG 74 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC- PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 78 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 79 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 85 4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 94 4.4 ÁP DỤNG 99 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103 Những kết đạt 103 Đề xuất số hướng nghiên cứu 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Dáng điệu nghiệm bất đẳng thức vi biến phân cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Các kết luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác mà biết Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS.TS Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm hướng dẫn mà Thầy dành cho tác giả suốt q trình học tập Thầy ln sẵn sàng đón nhận ý kiến, ln sát giải thích dẫn cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Thầy chiều thứ tư hàng tuần dành thời gian mình, khơng ngần ngại bảo, chia sẻ, trao đổi vấn đề mới, phương pháp, đường hướng cho tác giả cho nhóm nghiên cứu Ngoài hành trang quý báu mặt khoa học, động viên Thầy dành cho tác giả nguồn động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin thầy Bộ mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tác giả học tập công tác, giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tác giả Tác giả xin đặc biệt cảm ơn TS Trần Thị Loan, PGS.TS Cung Thế Anh, TS Nguyễn Như Thắng, TS Dương Anh Tuấn khích lệ tận tình góp ý luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô Hội đồng, dành nhiều thời gian, cơng sức tâm huyết để đóng góp ý kiến quý báu giúp cho luận án tác giả hoàn thành tốt Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn bè, người chung chí hướng, ln giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu Sau cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình, nơi ln dành cho tác giả tình u thương vơ hạn Nếu khơng có gánh vác san sẻ từ gia đình, tác giả khơng thể có kết Nguyễn Thị Vân Anh DANH SÁCH KÝ HIỆU R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực không âm J = [0, T ] với T>0 (E, k · kE ) không gian Banach với chuẩn k · kE 2E họ tập E P(E) = {A ∈ 2E : A 6= ∅} Pb (E) = {A ∈ P(E) : A tập bị chặn} Pc (E) = {A ∈ P(E) : A tập đóng} K(E) = {A ∈ P(E) : A compact} Kv(E) = {A ∈ P(E) : A tập lồi compact} L(E) không gian tốn tử tuyến tính, bị chặn khơng gian Banach E C(X; Y ) không gian hàm liên tục từ X vào Y Cτ = C([−τ, 0]; E) BE [a, r] = {x ∈ E : kx − ak ≤ r} I ánh xạ đồng → hội tụ mạnh * hội tụ yếu h k n hầu khắp nơi DI bao hàm thức vi phân DVI bất đẳng thức vi biến phân VI bất đẳng thức biến phân DVI-PE bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicelliptic DVI-PP bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicparabolic MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân (ODE) trải qua kỷ phát triển, chứng tỏ vai trị quan trọng việc mơ hình hóa giải nhiều tốn tự nhiên kĩ thuật Trong thập kỉ cuối kỉ XX, phương trình vi phân đại số quan tâm nghiên cứu nhiều kết quan trọng thiết lập (xem [12, 47]) Theo đó, phương trình vi phân đại số (DAE) sử dụng nghiên cứu toán hệ thống mạng điện, hệ học có ràng buộc, phản ứng hóa học, việc sử dụng phương trình vi phân thường mô tả hết yếu tố ràng buộc Tuy nhiên, nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát vật thể đa diện hay hệ lai ghép học, ODE DAE lại trở nên hạn chế, phát sinh điều kiện ràng buộc nằm dạng bất đẳng thức (ràng buộc phía), điều kiện ngắt quãng học tiếp xúc toán kĩ thuật chuyển mạch (xem [4, 22]) Chính vậy, để nghiên cứu hệ vi phân với ràng buộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn đòi hỏi nhà toán học phải khảo sát lớp toán rộng hơn, bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm lớp tốn quan trọng hệ bù vi phân Thuật ngữ bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) sử dụng lần Aubin Cellina [5] năm 1984 sách chuyên khảo bao hàm thức vi phân Trong tác giả xét toán ∀t ≥ 0, x(t) ∈ K, (1) supy∈K hx0 (t) − f (x(t)), x(t) − yi = 0, x(0) = x0 , với K tập lồi, compact khác rỗng Rn Bằng việc sử dụng hàm nón pháp tuyến tập K, toán đưa bao hàm thức vi phân f (t) ∈ F (x(t)), x(0) = x Từ đó, tác giả sử dụng cơng cụ giải tích đa trị để nghiên cứu tính giải tốn (1) Đến năm 1997, toán bất đẳng thức vi biến phân mở rộng Avgerinous Papageorgiou báo [6] Hai nhà toán học nghiên cứu nghiệm tuần hồn cho lớp DVI tập lồi, đóng, compact K biến thiên theo thời gian t −x0 (t) ∈ NK(t) (x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b], x(0) = x(b) NK(t) (x(t)) nón pháp tuyến tập lồi K(t) điểm x(t) Một cơng trình có ý nghĩa tiên phong nghiên cứu DVI cách có hệ thống nhóm tác giả J.S Pang D.E Stewart năm 2008 (xem [49]) Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân mơ hình kết hợp phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn bất đẳng thức biến phân, DVI cho phép mơ tả q trình có kết hợp hai yếu tố: yếu tố động lực yếu tố ràng buộc dạng biến phân Bài toán DVI [49] phát biểu tổng qt với mơ hình cụ thể sau: Tìm cặp hàm (x, u), x hàm liên tục tuyệt đối u hàm khả tích thỏa mãn hệ: x0 (t) = f (t, x(t), u(t)), (2) hv − u(t), F (t, x(t), u(t)i ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K (3) Đặt SOL(K, φ) tập nghiệm toán biến phân hv − u, φ(u)i ≥ 0, ∀v ∈ K Khi ta chuyển (2)-(3) dạng x0 (t) = f (t, x(t), u(t)), u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)) 10 Từ dẫn đến hệ vi phân x(·) liên kết với bất đẳng thức vi biến phân (2)-(3) x0 (t) ∈ f (t, x(t), SOL(K, F (t, x(t), ·)) Điều kiện cho phương trình đại số Γ(x(0), x(T )) = 0, (4) cho phép xác định điều kiện ban đầu điều kiện biên Một lớp toán đặc biệt bất đẳng thức vi biến phân toán bù vi phân, K = C nón Trong trường hợp này, bất đẳng thức vi biến phân (2)-(3) viết dạng x0 (t) = f (t, x(t), u(t)), C u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C ∗ , với C ∗ nón đối ngẫu C Cơng trình [49] J.S Pang D.E Stewart rõ tầm quan trọng DVI nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics), mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), tốn trị chơi vi phân Nash Bằng việc đề xuất mơ hình (2)-(3), J.S Pang D.E Stewart đưa DVI trở thành mơ hình tổng qt nhiều toán quan trọng nghiên cứu trước phương trình vi phân đại số, tốn bù vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa, Sau cơng trình J.S Pang D.E Stewart, có nhiều nghiên cứu sâu sắc DVI Các DVI với ứng dụng chúng trở thành vấn đề mở thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Cơng trình Z Liu cộng năm 2013 nghiên cứu tốn tồn tính rẽ nhánh tồn cục nghiệm tuần hoàn cho lớp bất đẳng thức vi biến phân không gian Euclid hữu hạn chiều phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị (xem [37]) Một số kết tính giải điều kiện rẽ nhánh cho DVI tham khảo cơng trình [26, 35, 37, 41] Cùng với đó, Gwinner thu kết tính ổn định cho lớp DVI (xem 11 [27]) Tính ổn định cấu trúc số lớp DVI nghiên cứu [25, 50] tài liệu tham khảo Các ứng dụng cụ thể mơ hình DVI nhà tốn học quan tâm Cơng trình Chen Wang năm 2014 sử dụng mơ hình DVI tổng quát để khảo sát toán cân Nash động với ràng buộc chia sẻ (xem [19]) Liên quan đến ứng dụng mơ hình trị chơi vi phân Nash, mơ hình mở rộng từ tốn cân Nash (xem [10, 19, 52]) Chú ý rằng, trường hợp toán cân Nash, người ta phải giải toán điều khiển tối ưu thiết lập hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho đối tượng đưa định) Tuy nhiên thực tế, có tình địi hỏi phải có nhiều đối tượng tham gia định, theo phương án quan sát cố gắng đạt trạng thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc dạng phương trình vi phân Từ đó, lý thuyết trị chơi vi phân đời mà mơ hình hóa tốn học DVI (có thể xem chi tiết [52]) Ngồi kể đến ứng dụng DVI mô tả hệ lai ghép kỹ thuật với cấu trúc biến thiên (xem [17, 20, 30]), động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát (xem [4, 49]), mạch điện có diode, Bên cạnh ứng dụng phong phú vừa kể đến DVI hữu hạn chiều, việc xét tốn DVI khơng gian vơ hạn chiều giữ vai trò quan trọng Điều hồn tồn tự nhiên tốn nảy sinh kĩ thuật, nghiên cứu giải phẫu, hệ động lực kinh tế, học tiếp xúc, mô tả hệ phương trình đạo hàm riêng Có hai mơ hình DVI vơ hạn chiều quan tâm nghiên cứu gần Mơ hình thứ DVI với ràng buộc dạng elliptic, mô tả hệ x0 (t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), Bu(t) + ∂φ(u(t)) g(x(t), u(t)), (5) (6) A B tốn tử khơng gian vô hạn chiều, ∂φ ký hiệu vi phân phiếm hàm φ Chú ý (6) viết dạng bất đẳng thức biến phân suy rộng hBu(t) − g(x(t), u(t)), v − u(t)i + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, với v ∈ D(φ) (7) 12 Khi B toán tử đạo hàm riêng loại elliptic, bất đẳng thức biến phân (7) nghiên cứu [9] Trong trường hợp A B toán tử đạo hàm riêng elliptic φ hàm trơn, (5)-(6) hệ phương trình đạo hàm riêng kiểu parabolic-elliptic, sử dụng mơ hình hóa tốn sinh-hóa [31], tốn khơi phục hình ảnh [32], Khác với mơ hình DVI thứ nhất, mơ hình DVI thứ hai chứa ràng buộc động lực dạng parabolic, xác định sau x0 (t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), u0 (t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) g(x(t), u(t)), (8) (9) với A, B φ giả thiết mơ hình thứ Trong mơ hình này, (9) bất đẳng thức biến phân tiến hóa mà trường hợp tiêu biểu B = −∆, g = g(t) nghiên cứu [8, 9] Cũng mô hình parabolic-elliptic, φ hàm trơn A, B toán tử đạo hàm riêng elliptic, (8)-(9) hệ phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic-parabolic Gần đây, số kết tính giải DVI vô hạn chiều thiết lập cơng trình [42, 40, 38, 39, 44, 55] Nhìn chung, kết nghiên cứu định tính cho DVI vô hạn chiều chưa biết đến nhiều Một vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động lực liên kết với DVI, nghiên cứu dáng điệu hàm trạng thái hệ biến thời gian đủ lớn Theo hiểu biết chúng tôi, kết theo hướng cho DVI hạn chế Kết gần dáng điệu nghiệm cho DVI không gian hữu hạn chiều cơng bố cơng trình [34] Còn nhiều câu hỏi mở đặt nghiên cứu định tính với DVI, bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, tồn tập hút toàn cục cho hệ động lực liên kết với DVI, tồn lớp nghiệm đặc biệt DVI nghiệm dao động, nghiệm phân rã, Đặc biệt, tốn DVI khơng gian vơ hạn chiều vấn đề mới, có tính thời Khó khăn nghiên cứu DVI vơ hạn chiều nằm việc xác định tính giải bất đẳng thức biến phân (VI) kèm, sau việc xác định tính chất ánh xạ nghiệm Nếu ánh xạ nghiệm khơng có tính quy, việc nghiên