Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THANH QUANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THANH QUANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐẶNG THANH QUANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN HỮU HẠN CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Quang Thuận Bình Định - 2019 e LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn thạc sỹ với đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều" kết trình đọc tài liệu, nghiên cứu làm rõ hướng dẫn TS Lê Quang Thuận Trường Đại học Quy Nhơn Luận văn không trùng lặp với luận văn thạc sỹ khác chuyên ngành Bình Định, ngày 21 tháng 07 năm 2019 Học viên Đặng Thanh Quang e i Mục lục Lời cam đoan Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều 1.2 Một số không gian hàm 1.3 Tập lồi hàm lồi 1.4 Ánh xạ đa trị 1.5 Ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại 4 10 15 15 16 18 21 21 21 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa 3.1 Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa 3.2 Sự tồn nghiệm EVI 27 27 28 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Bất 2.1 2.2 2.3 2.4 đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân Phân loại bất đẳng thức vi biến phân Liên hệ DVIs với số lớp toán khác Một số cách tiếp cận DVIs 2.4.1 Tiếp cận DVIs từ Lipschitz ODEs 2.4.2 Cách tiếp cận DVIs từ DIs e MỞ ĐẦU Các hệ động lực không trơn cung cấp công cụ mô hình hóa để mơ tả thay đổi khơng liên tục theo trường véc tơ quỹ đạo trạng thái Sự tiến hóa quỹ đạo hệ thống thường mô tả thông qua ánh xạ đa trị dẫn đến nhiều cách đặt toán khác Chẳng hạn như, ta xem sách lý thuyết bất biến, hệ Filippov, trình quét (sweeping process), học không trơn, báo q trình lồi đóng, bất đẳng thức vi biến phân, Các bất đẳng thức vi biến phân cung cấp cơng cụ tốn học để mơ hình hóa tiến hóa quỹ đạo trạng thái, ngồi phương trình vi phân, số quan hệ đại số Nói chung, bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thơng thường (ODE), sử dụng để mô tả chuyển động biến trạng thái, bất đẳng thức biến phân (VI), thể ràng buộc mối quan hệ phải thỏa mãn biến trạng thái Các bất đẳng thức vi biến phân nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Với mong muốn tìm hiểu điều kiện cho tồn nghiệm số vấn đề liên quan, học viên chọn đề tài “Một số vấn đề bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều” để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, ngồi mục lục, mở đầu kết luận, nội dung luận văn trình bày ba chương: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số kiến thức chuẩn bị để làm sở cho lập luận chứng minh chương sau Chương Bất đẳng thức vi biến phân Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân số vấn đề liên quan Chương Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đa trị có giá trị thay đổi theo thời gian Luận văn hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn thầy, TS Lê Quang Thuận Nhân đây, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy e hướng dẫn Thầy không hướng dẫn nghiên cứu khoa học mà cịn thơng cảm tạo điều kiện, động viên tơi suốt q trình làm đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn khoa Tốn, phịng Đào tạo sau đại học, Trường Đại học Quy Nhơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành khóa học với luận văn Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân quan tâm, giúp đỡ sát cánh bên Trong q trình viết luận văn chắn khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy cơ, q bạn đồng nghiệp để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Quy Nhơn, ngày 21 tháng 07 năm 2019 Học viên Đặng Thanh Quang e Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức cần thiết để chuẩn bị cho lập luận chương sau 1.1 Không gian vectơ Euclide n-chiều Định nghĩa 1.1 Xét không gian véc tơ Euclide n-chiều Rn Với fi » » fi — y1 ffi — x1 ffi — ffi — ffi — y2 ffi — x2 ffi — ffi — ffi n x “ — ffi P R , y “ — ffi P Rn , — ffi — ffi — ffi — ffi – fl – fl xn yn tích vơ hướng hai vectơ x y Rn xác định xx, y y :“ x1 y1 ` x2 y2 ` ă ă ă ` xn yn Chun ca vectơ x P Rn định nghĩa }x} “ a xx, xy Hình cầu đơn vị ( Rn định nghĩa Bn :“ x P Rn : }x} ď Định nghĩa 1.2 Cho A Rn Hm khong cỏch d pă, Aq : Rn Ñ R định nghĩa d px, Aq “ inf }x ´ a} : a P A , x P Rn ( e Cho λ P R Khi λA :“ tλa : a P Au Cho A, B Ă Rn Khi A ` B :“ ta ` b : a P A, b P B u Bao đóng clpAq phần intpAq định nghĩa sau: clpAq “ č pA ` Bn q , intpAq :“ ta P A : D ą 0, a ` Bn Ă Au ą0 Biên tập A định nghĩa bdpAq “ clpAqzintpAq Định nghĩa 1.3 Cho f : Rn Ñ R Y t`8u hàm Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu domf , tập xác định domf “ x P Rn : f pxq ă `8 ( ( Định nghĩa 1.4 Tập epif “ px, aq P Rn ˆ R : f pxq ď a gọi đồ thị hàm f 1.2 Một số không gian hàm Trong luận văn này, khơng gian tuyến tính hàm khả tích Lebesgue f : r0, T s Đ Rn kí hiệu L1 pr0, T s , Rn q Nó khơng gian Banach với chuẩn żT }f ptq}dt, f P L1 pr0, T s , Rn q }f }L1 “ Khơng gian tuyến tính hàm bình phương khả tích Lebesgue f : r0, T s Ñ Rn kí hiệu L2 pr0, T s , Rn q Nó khơng gian Hilbert với tích vơ hướng żT xf, g y “ xf psq, g psqyds tích vơ hướng sinh chuẩn }f }L2 ă T ˝ }f ptq} dt‚ , f P L2 pr0, T s , Rn q e Không gian Banach hàm liên tục x : ra, bs Ñ Rn với chuẩn }x} “ maxt}xptq} | t P ra, bsu kí hiệu C pra, bs, Rn q Định nghĩa 1.5 Hàm x : ra, bs Ñ Rn gọi liên tục tuyệt đối với ” ı ą 0, tồn δ ą cho với họ đếm đoạn rời tk , tk Ă ra, bs thỏa mãn ÿ´ ¯ tk ´ tk ă δ k ta có ÿ }xptk q ´ xptk q} ă k Mỗi hàm liên tục tuyệt đối liên tục có biến phân bị chặn Mỗi hàm Lipschitz liên tục tuyệt đối Nếu x : ra, bs Ñ Rn liên tục tuyệt đối khả vi hầu khắp nơi có đạo hàm x9 hàm khả tích Lebesgue Hơn nữa, ta có żt2 xpt2 q ´ xpt1 q “ x9 ptqdt t1 với t1 , t2 P ra, bs , t1 ă t2 Không gian hàm liên tục tuyệt đối đoạn ra, bs vào Rn kí hiệu ACpra, bs , Rn q Đây không gian định chuẩn với chuẩn żb }x9 ptq}dt, x P ACpra, bs , Rn q }x}AC :“ }xpaq} ` a Định nghĩa 1.6 Một tập X Ď C pra, bs , Rn q gọi đồng liên tục hay liên tục đồng bậc với ą 0, tồn δ ą cho }xpt2 q ´ xpt1 q} ă với x P X t1 , t2 P ra, bs thỏa mãn |t2 ´ t1 | ă δ Định lý 1.1 pArzela ´ Ascoliq Nếu tập X Ď C pra, bs , Rn q bị chặn đồng liên tục chứa dãy hội tụ txi |i “ 1, 2, u Ď X; nghĩa tồn x P C pra, bs , Rn q cho }xi ´ x}C Ñ i Ñ Hệ 1.1 Mỗi tập bị chặn hàm liên tục tuyệt đối X cho }x9 ptq} ď b, @x P X chứa dãy hội tụ e Định lý 1.2 Giả sử dãy xi P L1 pra, bs , Rn q hội tụ tới hàm x hầu khắp nơi }xi ptq} ď φptq, t P ra, bs , i “ 1, 2, φ P L1 pra, bs , Rn q Khi đó, x P L1 pra, bs , Rn q xi hội tụ tới x theo chuẩn L1 ` ˘ Định lý 1.3 Giả sử α P AC r0, T s , R thỏa mãn |α9 ptq| ď lptqαptq ` ρptq, t P r0, T s , ` ˘ ` ˘ l P L1 r0, T s , Rn , lptq ě 0, ρ P L1 r0, T s , Rn Khi đó, şt lpsqds ˇ ˇ ˇ ˇ ˇαptqˇ ď e0 ˇαp0qˇ ` żt şt şs ˇ ˇ lpτ qdτ ´ lpτ qdτ ˇρpsqˇ e0 ds, t P r0, T s 1.3 Tập lồi hàm lồi Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất tập lồi hàm lồi không gian hữu hạn chiều Rn Định nghĩa 1.7 Một tập C Ă Rn gọi lồi @x1 , x2 P C, @λ P r0, 1s, ta có λx1 ` p1 ´ λq x2 P C Mệnh đề 1.1 Giả sử Cα Ă Rn , α P I, tập lồi, với I tập số Khi đó, tập C “ Ş Cα tập lồi α PI Chứng minh Lấy x1 , x2 P C λ P r0, 1s Khi đó, x1 , x2 P Cα , @α P I Do Cα lồi, nên λx1 ` p1 ´ λq x2 P Cα , @α P I Từ đó, ta có λx1 ` p1 ´ λq x2 P C Vậy, C tập lồi Định nghĩa 1.8 Véc tơ x P Rn gọi tổ hợp lồi véc tơ x1 , x2 , , xm P Rn tồn λi ě 0, i “ 1, 2, , m, m ř λi “ cho x “ i“1 m ř λi xi i“1 Định nghĩa 1.9 Giả sử A Ď Rn Giao tất tập lồi chứa A gọi bao lồi tập A, kí hiệu copAq e ... đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân Phân loại bất đẳng thức vi biến phân Liên hệ DVIs với số lớp toán khác Một số cách tiếp cận DVIs 2.4.1 Tiếp cận DVIs... Chương Bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Trong chương này, chúng tơi tìm hiểu tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân phụ thuộc thời gian hay bất đẳng thức vi biến phân tiến hóa Bất đẳng thức vi. .. Chương Bất đẳng thức vi biến phân Trong chương này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm lớp bất đẳng thức vi biến phân Bất đẳng thức vi biến phân bao gồm phương trình vi phân thường kết hợp với bất đẳng