Chuyên đề 12 các bài toán thực tế, rời rạc, dirichle

CHUYÊN ĐỀ 12 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ RỜI RẠC DIRICHLET ĐỀ BÀI TỪ BÀI 1 ĐẾN BÀI 10 Bài 1 Cho số tự nhiên bất kỳ Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho 7 Bài 2[.]

CHUYÊN ĐỀ 12 CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ - RỜI RẠC-DIRICHLET ĐỀ BÀI TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 Bài Cho số tự nhiên Chứng minh ta chọn 15 số mà hiệu hai số tùy ý chia hết cho Bài Cho 31 số nguyên tổng số số dương Chứng minh tổng 31 số dương Bài Cho số tự nhiên từ đến 11 viết theo thứ tự tùy ý sau đem cộng với số với số thứ tự ta tổng Chứng minh tổng nhận được, tìm hai tổng mà hiệu chúng số chia hết cho 10 Bài Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Bài Trên đường qua địa điểm nằm A C), có hai người xe máy Hùng Dũng Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B Họ khởi hành lúc để đến C vào lúc 11 ngày Ninh xe đạp từ C phía A, gặp Dũng lúc gặp Hùng lúc 24 phút Biết quãng đường AB dài 30km, vận tốc Ninh vận tốc Hùng Tính quãng đường BC Bài Một đoàn khách 300 người du lịch tham quan thẳng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ người lái chở 30 khách, loại thứ hai người lái chở 30 khách, loại thứ ba hai người lái chở 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số người lái thuyền để chở hết số khách không thừa, không thiếu người thuyền Đoàn dùng 11 thuyền 19 người lái Tính số thuyền loại ? Bài Một người quãng đường dài 20km Biết đầu người với vận tốc 10km sau người với vận tốc Hỏi vận tốc trung bình người qng đường ? Bài Cho số tự nhiên khác có tổng Chứng minh số có tồn ba số có tổng lớn Bài Một hộp bi có 2019 viên bi Hai bạn chơi bốc bi khỏi hộp, lần lấy từ đến viên bi Hai bạn thay bốc, bốc viên bị cuối người thắng Chứng minh có cách chơi để bạn bốc trước thắng ? Bài 10 Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài ĐÁP ÁN TỪ BÀI ĐẾN BÀI 10 Bài Ta có 100 số đem chia cho số dư nhận nhiều giá trị khác Vì nên theo nguyên lý Dirichle ta tìm 15 số mà chia cho có số dư Vậy hiệu hai số tùy ý 15 số chia hết cho Bài Trong số cho có số dương trái lại tất số âm tổng số chúng số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương cịn 30 số chia nhóm Theo đề tổng số nhóm số dương nên tổng nhóm số dương tổng 31 số cho số dương Bài Vì có 11 tổng mà có 10 chữ số tận số từ nên ln tìm hai tổng có chữ số tận giống nên hiệu chúng số nguyên có tận số chia hết cho 10 Bài Lập dãy số Đặt Nếu tồn Nếu không tồn Ta đem chia hết cho 10 toán chứng minh chia hết cho 10 ta làm sau: chia cho 10 10 số dư (các số dư Dirichle, phải có số dư Các số (đpcm) ) Theo nguyên tắc chia hết cho 10 Bài Thời gian từ A đến C Hùng là: (giờ) Thời gian từ B đến C Dũng là: (giờ) Quãng đường AB 30km khoảng cách Hùng Dũng bớt 10km Vì lúc Hùng cách Dũng 20km, lúc Ninh gặp Dũng nên Ninh cách Hùng 20km Đến 24 phút, Ninh gặp Hùng tổng vận tốc Ninh Hùng là: Do vận tốc Ninh vận tốc Hùng nên vận tốc Hùng là: Từ suy quãng đường BC là: Bài Giả sử thuyền chở 30 người 11 thuyển chở Nên số thuyền người lái chở 24 người/ thuyền là: Giả sử thuyền có người lái , số người lái thuyền: Nên số thuyền người lái chở là: (thuyền) Suy số thuyền người lái chở 30 người/ thuyền là: Bài Thời gian người đầu Thời gian người sau là: Tổng thời gian người quãng đường (người) (thuyền) (người) (thuyền) là: Bài Gọi số cho *Nếu *Nếu Bài giả sử: Muốn thắng trước lần bốc cuối bạn thứ phải để lại hộp viên Do bạn thứ phải điều chỉnh cho lần bốc để lại hộp bội Vì 2019 chia cho dư nên bạn bốc trước lần đầu bốc viên, sau bạn thứ bốc k viên bạn thứ lại bốc viên Theo cách bốc bạn bốc trước thắng Bài 10 Tổng số xoài cam lúc đầu: Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam cịn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số có 71 chia cho dư Vậy gỉ cam bán giỏ 71kg Số xồi cam cịn lại: Số cam lại: Vậy giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg ĐỀ BÀI TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: Chứng minh có số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 Bài 12 Xe máy thứ từ A đến B giờ, xe thứ hai từ B đến A Nếu hai x khởi hành lúc từ A B 1,5 hai xe cách 15km (hai xe chưa gặp nhau) Tính quãng đường AB Bài 13 Một người bán năm giỏ xoài cam Mỗi giỏ đựng loại với số lượng là: Sau bán giỏ cam số lượng xồi cịn lại gấp ba lần số lượng cam lại Hãy cho biết giỏ đựng cam, giỏ đựng xoài Bài 14 Ba máy bơm bơm vào bể lớn Nếu dùng máy I máy III sau 20 phút bể đầy, dùng máy II III sau 30 phút bể đầy, dùng máy I máy III sau 24 phút bể đầy Hỏi máy bơm dùng bể đầy Bài 15 Một xe tải khởi hành từ A lúc 7h đến B lúc 12h Một xe khởi hành từ B lúc rưỡi đến A lúc 11 rưỡi a) Hỏi hai xe gặp lúc b) Biết vận tốc xe xe tải Tính quãng đường AB Bài 16 Một hiệu sách có hộp bút bi bút chì Mỗi hộp đựng loại bút Hộp 1:78 chiếc, Hộp 2: 80 chiếc, Hộp 3: 82 chiếc, Hộp 4: 114 chiếc, Hộp 5: 128 Sau bán hộp bút chì số bút bi cịn lại gấp lần số bút chì lại cho biết lúc đầu hộp đựng bút bi, hộp đựng bút chì? Bài 17 Ba máy bơm bơm vào bể lớn, dùng máy máy hai sau 20 phút dầy bể, dùng máy máy sau 30 phút bể đầy cịn dùng máy máy bể đầy sau 24 phút Hỏi máy bơm dùng đầy bể ? Bài 18 Một hiệu sách có năm hộp bít bi bút chì Mỗi hộp đựng loại bút Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 Sau bán hộp bút chì số bút bi gấp bốn lần số bút chì lại Hãy cho biết lúc đầu hộp đựng bút bi, hộp đựng bút chì Bài 19 Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu ? Bài 20 a)Chứng minh rằng: b) Chứng minh tồn số tự nhiên viết chữ số chữ số mà số chia hết cho ĐÁP ÁN TỪ BÀI 11 ĐẾN BÀI 20 Bài 11 Lập dãy số Đặt Nếu tồn Nếu khơng tồn Ta đem chia hết cho 10 tốn chứng minh chia hết cho 10 ta làm sau: chia cho 10 10 số dư (các số dư Dirichle, phải có số dư Các số (đpcm) ) Theo nguyên tắc chia hết cho 10 Bài 12 Mỗi xe thứ được: Mỗi xe thứ hai được: Sau (quãng đường AB) (quãng đường AB) hai xe Phân số là: (quãng đường AB) (quãng đường AB) Quãng đường AB là: Bài 13 Tổng số xoài cam lúc đầu: Vì số xồi cịn lại gấp ba lần số cam cịn lại nên tổng số xồi cam cịn lại chia hết cho 4, mà 359 chia cho dư nên giỏ cam bán có khối lượng chia cho dư Trong số có 71 chia cho dư Vậy gỉ cam bán giỏ 71kg Số xồi cam cịn lại: Số cam lại: Vậy giỏ đựng cam: 71kg, 72kg Các giỏ đựng xoài: 65kg, 58kg, 93kg Bài 14 Ta quy ước dung tích bể đơn vị Như vậy, Vòi I II chảy Vòi II III chảy Vòi I III chảy được: bể bể bể Suy vòi chảy được: (bể) Trong giờ, Vòi III chảy được: Vòi I chảy được: bể bể Vòi II chảy được: bể Vậy , vịi I chảy 4h đầy bể Vịi II chảy 2h đầy bể Vịi III chảy 6h đầy bể Bài 15 a) Chọn quãng đường AB làm đơn vị quy ước Thời gian xe tải từ A đến B 5h, xe từ B đến A 4h Trong 1h hai xe gần được: Xe khởi hành sau xe tải: Khi xe khởi hành hai xe cách nhau: (AB) Hai xe gặp sau: Hai xe gặp lúc: b) 10km là: Vậy quãng đường AB dài: Bài 16 Tổng số bút bi bút chì lúc đầu: (chiếc) Vì số bút bi cịn lại gấp lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi bút chì cịn lại chia hết cho 5, mà 482 chia cho dư nên hộp bút chì bán có số lượng chia cho dư Trong số có 82 chia cho dư Vậy hộp bút chì bán hộp 3: 82 Số bút bi bút chì cịn lại: (chiếc) Số bút chì cịn lại: (chiếc) Vậy: hộp đựng bút chì: Hộp 2, hộp Các hộp đựng bút bi: Hộp 1, hộp 4, hộp Bài 17 bể Mỗi máy bơm Nên ba máy bơm: Máy ba bơm đầy bể Máy bơm đầy bể Máy bơm đầy bể bể, máy bơm bể, máy bơm bể Bài 18 Tổng số bút bi bút chì lúc đầu là: (chiếc) Vì số bút bi cịn lại gấp bốn lần số bút chì cịn lại nên tổng số bút bi số bút chì cịn lại số chia hết cho 5, mà 482 chia cho dư nên hộp bút chì bán có số lượng chia cho dư Trong số 78; 80; 82; 114; 128 có 82 chia cho dư Vậy hộp bút chì bán hộp 3: 82 Số bút bi bút chì cịn lại : (chiếc) Số bút chìn cịn lại : (chiếc) Vậy , hộp đựng bút chì là: hộp 2, hộp Các hộp đựng bút bi là: hộp 1, hộp 4, hộp Bài 19 Nếu bạn trả lời 50 câu hỏi tổng số điểm (điểm) Nhưng bạn 650 điểm thiếu (điểm) Thiếu 350 điểm số 50 câu hỏi bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời sai chênh lệch (điểm) Do câu trả lời sai bạn: (câu) Vậy số câu bạn trả lời là: (câu) Bài 20 b) Xét số: số cuối có 2011 chữ số Các số chia cho 2010 ta 2011 số dư.Mà số tự nhiên chia cho 2010 có số dư là: có 2010 khả dư Do theo nguyên lý Dirichle tồn hai số số có số dư chia cho 2010 Hiệu chúng có dạng chia hêt cho 2010 ĐỀ BÀI TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 a)Cho số tự nhiên khác có tổng ba số có tổng lớn b) Tìm số dư chia Bài 22 Chứng minh số có tồn cho 14 tìm số dư chia cho 30 Một người cắt từ sợi dây dài mét lấy đoạn dây dài phải dùng thươc đo Hỏi người làm ? mà khơng Bài 23 Hội khỏe Phù Đổng lần thứ có 495 vận động viên học sinh toàn tỉnh tham gia thi đấu môn thể thao Chứng minh có vận động viên có số người quen (Người A quen người B người B quen người A) Bài 24 Cho điểm khơng có ba điểm thẳng hàng - Có đoạn thẳng mà đoạn thẳng nối điểm cho Kể tên đoạn thẳng - Có thể dựng đường thẳng không qua điểm điểm cho mà cắt đoạn thẳng đoạn thẳng nói khơng ? Vì sao? Bài 25 Lúc người từ A đến B với vận tốc Khi cách B 20km người tăng vận tốc lên Sau làm việc B 30 phút, quay trở A với vận tốc không đổi đến A lúc phút Tính AB Bài 26 Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn từ đến 10 điểm trở lên, 39 bạn điểm 10 trở lên, 14 bạn từ điểm 10 trở lên,5 bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem đợt thi đua lớp 6A điểm 10 ? Bài 27 Hai lớp thu nhặt số giấy vụn Lớp có bạn thu 24kg lại bạn thu Lớp 6B có bạn thu cịn lại bạn thu Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng đến Bài 28 Có hai bình, loại lít loại lít Người ta đong để lấy lít, lít, lít, lít dầu từ thùng đựng cách sử dụng hai bình Em nêu cách đong để lấy: a) lít dầu b) lít dầu Bài 29 Một người từ đến với vận tốc Một lát sau người khác từ đến với vận tốc Theo dự định hai người gặp nửa quãng đường người thứ hai tăng vận tốc lên thành Hỏi hai người gặp địa điểm cách Biết quãng đường dài Bài 30 Trong buổi giao lưu tốn học, ngoại trừ Bình, hai người bắt tay nhau, Bình bắt tay với người quen Biết cặp hai người bắt tay khơng q lần có tổng cộng 420 lần bắt tay Hỏi Bình có người quen buổi giao lưu ? ĐÁP ÁN TỪ BÀI 21 ĐẾN BÀI 30 Bài 21 a) Gọi số cho giả sử: *Nếu *Nếu b) Vậy số dư chia Vậy số dư chia cho 14 cho 30 Bài 22 Nhận xét mà Tính 0,25m sợi dây Bài 23 Giả sử có người khơng quen 495 vận động viên Như 494 người cịn lại có nhiều 493 người quen Ta chia thành nhóm số người quen: Nhóm người quen gồm người có số người quen Nhóm người quen gồm người có số người quen ………… …………… Như 493 người quen gồm có số người quen 493 Như ta có 494 nhóm (từ đến 493) Mà có 495 người Vậy theo ngun lý Dirichle có nhóm người quen gồm hay có người có số người quen giống Giả sử có người quen tất người lại Như 494 người cịn lại có nhiều 494 người quen Chia nhóm người quen: có 494 nhóm người quen (từ đến 994) Bài 24 Bài 25 Gọi điểm cách 20km C Thời gian quãng đường CB BC là: Thời gian quãng đường AC CA là: Tỷ số vận tốc quãng đường AC CA CA Thời gian quãng đường AC là: Chiều dài quãng đường AC: Chiều dài quãng đường AB: Bài 26 Tổng số điểm 10 lớp 6A là: nên tỷ số vận tốc quãng đường AC (điểm 10) Bài 27 Gọi số giấy lớp thu Do Mà số kg giấy nằm khoảng 200 đến 300 Số học sinh lớp 6A: (học sinh) Số học sinh lớp học sinh Bài 28 a) Để đong lít ta thực đong, thùng lít trước, lít sau: Vậy ta có lít thùng lít b) Để đong lít, ta thực đong, thùng lít trước, lít sau: Vậy ta có lít thùng lít Bài 29 Hiệu vận tốc hai người là: Thời gian người thứ hết quãng đường Thời gian người thứ hai hết quãng đường là: theo dự kiến: Thời gian người thứ trước người thứ hai là: Quãng đường người thứ trước là: Khoảng cách hai người người thứ hai tăng vận tốc: Thời gian từ người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp là: Đến lúc gặp người thứ hai quãng đường là: Chỗ gặp cách là: Bài 30 Giả sử buổi giao lưu, ngồi Bình cịn có n người nữa, Bình có k người quen (ĐK: Số lần bắt tay người khác (khơng kể Bình): (lần) Số lần bắt tay Bình người quen Bình (lần) Vì có tổng cộng lần bắt tay nên: Hay Vì nên Hay Kết hợp với (*) suy ra: Ta có: Thay vào (*) tính Vậy Bình có 14 người quen ĐỀ BÀI TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 36 Bài 31 Một hộp bi có 2019 viên bi Hai bạn chơi bốc bi khỏi hộp, lần lấy từ đến viên bi Hai bạn thay bốc, bốc viên bị cuối người thắng Chứng minh có cách chơi để bạn bốc trước thắng ? Bài 32 a) Kết điều tra lớp học cho thấy: có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh môn, 12 học sinh không thích mơn Tính xem lớp học có học sinh ? Bài 33 Ma phương hình vng chứa số cho tổng số hàng, cột, đường chéo Hình vẽ bên cho ma phương có Trong điền số từ đến Các Hãy tìm giá trị cịn lại A có giá trị B C Bài 34 Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu Bài 35 Trong dịp Tết trồng cây, khối phân chia số cho lớp đem trồng sau: Lớp 6A trồng 10 số lại, lớp 6B trồng số lại, lớp trồng 20 số lại,… Cứ chia lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Hỏi có lớp 6, lớp chia đem trồng ? Bài 36 Trong thi có 50 câu hỏi Mỗi câu trả lời 20 điểm, trả lời sai bị trừ 15 điểm Một học sinh tất 650 điểm Hỏi bạn trả lời câu ĐÁP ÁN TỪ BÀI 31 ĐẾN BÀI 36 Bài 31 Muốn thắng trước lần bốc cuối bạn thứ phải để lại hộp viên Do bạn thứ phải điều chỉnh cho lần bốc để lại hộp bội Vì 2019 chia cho dư nên bạn bốc trước lần đầu bốc viên, sau bạn thứ bốc k viên bạn thứ lại bốc thắng Bài 32 viên Theo cách bốc bạn bốc trước a) Vẽ sơ đồ - Số học sinh thích mơn bóng đá bơi: - Số học sinh thích mơn bơi bóng chuyền: - Số học sinh thích mơn bóng đá, bóng chuyền: - Số học sinh thích bóng đá: - Số học sinh thích bơi: - Số học sinh thích bóng chuyền: - Vậy số học sinh lớp: Bài 33 A B C Tổng số hình vng là: Tổng hàng (cột) nên tỏng hàng (cột): Suy giá trị ô biết giá trị ô hạng cột Bài 34 Nếu bạn trả lời 50 câu tổng điểm (điểm) Nhưng bạn điểm cịn thiếu (điểm) Thiếu điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20+15=35 (điểm) Do số câu trả lời sai bạn là: (câu) Vậy số câu bạn trả lời là: Bài 35 Xét lớp cuối lớp thứ Giả sử lớp thứ chia (câu) lớp thứ n số lại hay Lớp thứ chia nốt Theo quy luật tốn lớp thứ chia Vì số đem trồng nên ta có: Tìm lớp thứ (cây) (vì khơng cịn số cịn lại) chia 35 cây, suy lớp chia 35 Vì lớp 6A trồng 10 số lại nên số lại 25 Tổng số là: (cây) Số lớp là: (lớp) Bài 36 Nếu bạn trả lời 50 câu tổng điểm (điểm) Nhưng bạn điểm cịn thiếu (điểm) Thiếu điểm số 50 câu bạn trả lời sai số câu Giữa câu trả lời trả lời sai chênh lệch 20+15=35 (điểm) Do số câu trả lời sai bạn là: (câu) Vậy số câu bạn trả lời là: (câu)