Chuyên đề 12 một số bài toán khó thể tích chóp lăng trụ đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC  , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC  trung điểm M BC  AM  Thể tích khối lăng trụ cho A B C D 3 Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A vng góc với AA ta thiết diện tam giác AB1C1 có cạnh AB1  ; AC1  ; B1C1  Suy tam giác AB1C1 vuông A trung tuyến AH tam giác Gọi giao điểm AM AH T ; AH   MH  AM  A  60  AA  Do MA   A cos MA  H  30 Suy MA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  thể tích khối lăng trụ AB1C1 AB2C2 Ta có: AM  V  AA.S AB1C1  Câu   (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' , hình Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M  Thể tích khối lăng trụ cho A 3 B C D Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA1  1; AA2  3; A1 A2  Do AA12  AA2  A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A Gọi H trung điểm A1 A2 AH  A1 A2  Lại có MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA  Suy S ABC  S AA1 A2 cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) MH  AM  Thể tích lăng trụ V  AM  S ABC  Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , A ' M  15 Thể tích khối lăng trụ cho A B C 15 D Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1;  AI  , AK  Gọi F trung điểm BC A ' M  Ta có 15 15  AF  3 AI  BB '    BB '   AIK   BB '  IK BB '  AK  Vì CC '  BB '  d (C, BB ')  d ( K , BB ')  IK   AIK vuông A Gọi E trung điểm IK  EF  BB '  EF   AIK   EF  AE Lại có AM   ABC  Do góc hai mặt phẳng  ABC   AIK  góc EF   30   AE    FAE  Ta có cos FAE AM góc  AME  FAE AF 15 Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng  AIK  AIK nên ta có:  1  S   S ABC S AIK  S ABC cos EAF ABC 15 AF  AM   AM  AMF  Xét AMF vuông A : tan  AM 3 Vậy VABC A ' B 'C '  2 15  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC  , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC   trung điểm M BC  AM  Thể tích khối lăng trụ cho A B 15 C D 15 Lời giải Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB CC  , H hình chiếu vng góc C lên BB Ta có AJ  BB 1  2 BB   AJK   BB  JK  JK //CH AK  CC  AK  BB Từ 1   suy  JK  CH  Xét AJK có JK  AJ  AK  suy AJK vuông A Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vng ANF ta có: Gọi F trung điểm JK ta có AF  JF  FK  AF    60 ( AN  AM  AN //AM AN  AM ) cos NAF    NAF AN S 1 Vậy ta có SAJK  AJ AK  1.2   SAJK  SABC cos 60  SABC  AJK    cos 60 2 15    Xét tam giác AMA vuông M ta có MAA AMF  30 hay AM  AM tan 30  Vậy thể tích khối lăng trụ V  AM S ABC  Câu 15 15  3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác vng   120 Gọi M trung điểm cạnh BB    90 , BAA A , AB  , AC  Góc CAA (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   33 A V   B V    33  33 C V   D V   33 Lời giải Chọn C Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  Mà AB   ABBA  nên AC  AB Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM         Đặt AA  x  x   Ta có AB  AB  AA AM  AB  BM  AB  AA            1 Suy AB AM  AB  AA  AB  AA   AB  AA2  AB AA 2   1   22  x  2.x.cos120   x  x   AB  AA2  AB AA.cos BAA 2 2 2    33 1 Do AB  AM nên AB AM    x  x    x  2        33    33 sin120  Lại có S ABB A  AB AA.sin BAA (đvdt) 2  33  33 1 Do AC   ABBA  nên VC ABBA  AC.S ABB A   (đvtt) 3 2 Mà VC AB C   VABC AB C   VC ABB A  VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3   3  33  33 Vậy VABC AB C   VC ABB A   (đvtt) 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC tam giác vng cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N trung điểm AC  BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a3 Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB  IC  60  CI , C I  , suy C AB  IC   tan 60  a Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C Diện tích tam giác ABC S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a3 Do VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a3  24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ VC EM CAN  3a3 24 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  ABC  góc TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE A 21 B 21 C 21 D 21 27 Lời giải Chọn D Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có SO   ABC            Ta có AE  SE  SA  SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB 2  ASC  BSC ASB   Đật            BD  AE  BD AE    SA  SB   SC  SA   2          1  SASC  SA  SB.SC  SA.SB  2  Áp dụng định lý hàm số cơsin tam giác SAC , ta có:  cos    cos   cos    cos   AC  SA2  SC  2SA.SC.cos   Diện tích tam giác ABC S ABC   AC  3 2 2 AO   ; SO  SA2  AO  3 3 1 21  Thể tích khối chóp S.ABC V  SO.S ABC  3 3 27 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC tam giác vuông  BC nhọn Mặt A , cạnh BC  2a  ABC  600 Biết tứ giác BCCB hình thoi có B phẳng  BCCB  vng góc với  ABC  mặt phẳng  ABBA  tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B 7a3 7a3 C D 7a3 21 Lời giải Chọn B B' C' A' B H C K A  BCC B    ABC  Có  Do  BCCB kẻ BH vng góc với BC H  BCC B    ABC   BC BH   ABC  hay BH chiều cao hình lăng trụ Trong  ABC  kẻ HK vng góc với AB K Khi AB   BHK   ABBA   ABC   AB  Ta có  BHK   AB   BHK    ABBA   BK ,  BHK    ABC   KH  Góc  ABBA   ABC  góc B K KH   KH góc nhọn Do B KH  45 BHK vuông H nên B  KH  45  BHK vuông cân H  BH  KH BHK vng H có B Xét hai tam giác vng B BH BKH , ta có  BH  tan B  BH KH   sin  ABC  sin 60  BH BH BH 1 21     BH   cos B BH     sin B  1    BB  tan BBH   1  BH  BB Ta có S ABC  21 2a 21 (vì BCCB hình thoi có cạnh BC  2a )  7 1 AB AC  BC cos 600 2  Vậy VABC ABC   BH S ABC   1 a2 BC.sin 600  2a .2a  2 2  2a 21 a 3 a  7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Gọi I trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC ABC  khối lăng trụ Do ta có: AB  AC Suy tam giác ABC cân A  AI  BC Mặt khác: tam giác ABC  AI  BC Suy BC   AIA  Vậy góc mặt phẳng  ABC  mặt đáy góc  AIA  300 Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác ABC mặt đáy nên S ABC  S ABC cos   8.cos 300  Đặt AB  x  S ABC  x2   x  4 x   AA  AI tan  AIA  Suy ra: VABC ABC   AA.S ABC  2.4  Ta có: AI  Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , BC  2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng  BCB ' C '  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ cho bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 3a3 B 3a C 3a3 D a3 16 Lời giải Chọn C Ta có BC  a Từ H kẻ HI vng góc với BC HI HC AB.HC a   HI   AB BC BC Gọi K trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vuông góc với B’C’ Ta có HIC  BAC nên Tứ giác KMIH hình bình hành nên KM  IH  a Gọi N điểm B’C’ cho M trung điểm C’ N  A ' N  KM  a  Do A ' H   ABC  nên  A ' NIH    ABC  Mà A ' N  HI nên HIN góc tù Suy   HIN  1200  A ' NI  600 Gọi H ’ hình chiếu I lên A’ N suy H ’ trung điểm A’ N 3a  A ' H  IH '  NH ' tan 60   V  A ' H S ABC  Câu 11 3a a 3 3a  (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc hai mặt phẳng  SBC   SCD   , với cos  A a3 3 Thể tích khối chóp cho B a3 C 2a D 2a Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A  AM  BC SA  BC  BC   SAM  trung điểm M   SAM  mặt phẳng trung trực cạnh BC   450 Góc SB mặt phẳng  SAM  = góc SB SM = BSM   300 Góc SB mặt phẳng  ABC  = góc SB AB = SBA BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC SM  a + Tam giác vng cân SBM có BM  a , SB  a  BC  BM  2a Tam giác vng SAB có sin 30  SA a a ; AB   SA  a  SB 2 Tam giác vng ABM có AM  a 6 a 2 AB  BM     a    2 1 a a a3 2a  Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC  SA.SABC  3 2 Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho tứ diện ABCD có BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD   ABD    ABC  Thể tích tứ diện ABCD A B 27 C 27 D 2 27 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H , K trung điểm cạnh CD , AB Đặt AH  x,  x   ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng  ACD    BCD    ACD    BCD   CD  AH   BCD    ACD   AH  CD Do AH  BH 1 ACD  BCD  c.c.c  AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H  AB  AH  x (3) Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD  CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB  AK  AC  CK   1  x  (4) Từ (3), (4) ta có: x   1  x   x   x  1  x2  x 3  x  0 CD  2.HD   AH  VABCD  3 1 6 3 AH S BCD   3 3 27 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a3 Lời giải D 12a3 Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m  HA , n  SH Do tam giác SAH vuông H nên m2  n2  11a2 Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z Khi phương trình mặt phẳng (SBC) là:    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n  (SBC) n1  (n; n; m) x y z    hay véctơ pháp tuyến mặt Khi phương trình mặt phẳng (SCD) là: m m n  phẳng (SBC) n2  (n; n; m)   1 | n1 n2 |    hay Do cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD) nên 10 10 | n1 | | n2 | m2 mà n  11a  m  2 2n  m 10 Vậy m2 m2     m  2a  m  a  SH  3a n  m 10 22a  m 10 m  HA  a nên AB  2a , Chiều cao hình chóp SH  3a Diện tích hình vng S ABCD  a 1 Thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SH  4a 3a  4a3 3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  15 , từ B đến  SCA , từ C đến  SAB  10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 30 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích 20 khối chóp VS ABC A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC , BC , AB h  Đặt SH  h  VS ABC  h 12 Ta có AP  S SAB 6VS ABC h 30  S SAB   :  h 10 AB 20 d  C;  SAB   Tương tự, tính HM  2h, HN  h  PH  SP  SH  3h Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  Vậy VS ABC  Câu 19 3  HP  HM  HN   3h   h  12 3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a   SCB   900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a 3 D V  Lời giải Chọn B Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a 12 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   SCB   900  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Vì SAB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 1 10 a Xét JND có nên NJ     OI  NJ  5a  SH  10a 2 NE ND NJ Ta có  1 a 3a Vậy VSABC  SH S ABC  10a  3 Câu 20 (Chun Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' + Khi SB  AC  BA '  BC '  nên SA ' C ' vuông S SA '2  SC '2   2.SB   64 (1)  SA '2  SB '2  80 (2) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S   SB '  SC '  36 (3) + Từ 1 ;   ;  3 ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 390 1 + Ta tính VS A ' B 'C '  SC ' .SA '.SB '  390 VS ABC  VS A ' B 'C '  (đvtt) 4   60 ,  ASB  CSB Câu 21 Cho hình chóp S ABC có  ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 C a3 12 D a3 Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi M điểm nằm SC cho SM  SC  a Ta có: Tam giác SAM vuông S  AM  SA2  SM  a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM  SB  BM  a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA  SB  AB  a Vậy AB  BM  AM  Tam giác ABM tam giác vuông B Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ABM  ASM  SI  IB  a  IB2  SI  SB2  Tam giác SIB vuông I  SI  IB   SI   ABM   SI đường cao khối chóp SABM  SI  AM 1 a3 Thể tích khối chóp S ABM VS ABM  SABM SI  AB.BM SI  ( đvtt ) 12 Mà VS ABM SM a3    VS ABC  3.VS ABM  VS ABC SC abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos   ASC ;   BSC Trong a  SA ; b  SB ; c  SC ;    ASB ;    Cách 2: Ta có VS ABC   VS ABC  a.a.3a a3 ( đvtt )  cos 60  cos 60  cos 90  cos 60.cos 60.cos 90  Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA ,   SCB   90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC A 10a 3 B 8a 39 4a 13 C D a 3 Lời giải Chọn A S M H J E A N I C O D B   Vì SAB  SCB  90  S , A, B , C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Ta có Xét JND có  1 10 a 5a 10a nên NJ     OI  NJ   SH  NE ND NJ 3 Vậy VSABC Câu 23 1 10a  2a  10 3a  SH S ABC   3 (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a    90 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB  SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a D V  3a 12 Lời giải Chọn B Gọi I trung điểm SB   SCB   90 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Do SAB Gọi O tâm đáy ABC  OI  ( ABC ) Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Ta có AB  ( SAH )  AB  AH Tương tự, BC  CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH  2OI Gọi N trung điểm BC  IN // SC nên BC  IN  BC   AIN  (*) Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng  ABC   K  AO GK // OI  AK  AO  AN  KN  AN 9 10a  d  K , MBC   d  A,  MBC   21 (*) 10a Kẻ KE  GN  KE  BC  KE   MBC   d  K ,  MBC   KE  21 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tam giác GKN vng K có 1 10a    GK   SH  2OI  3GK  10a 2 KE GK KN a2 5a 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC V  10a  Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 Lời giải Chọn D Dựng tứ diện D ABC  cho A , B , C trung điểm BC , AC  , AB Theo cách dựng theo có: AC  BC   BD Xét tam giác DAC  có: BD đường trung tuyến AB  BC  BD  DAC  vuông D Chứng minh tương tự ta có: DBC  , DAB vng D Khi tứ diện D ABC  có cạnh DA , DB , DC  đơi vng góc với 1 Ta có: VABCD  VD ABC   DA.DB.DC  24  DA  38  DA2  DB2  48  DA2  38    Theo ta có:  DA2  DC 2  64   DB2  10   DB  10  DB2  DC 2  36  DC 2  26     DC   26 Vậy VABCD  1 2470 DA.DB.DC   38 10 26  24 24 12   CBD   90; AB  a; AC  a 5;  Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể tích tứ diện ABCD A a3 B a3 C a3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C Gọi H thuộc mặt phẳng  ABC  DH   ABC   BA  DA  BC  BD  BA  AH Tương tự   BC  BH Ta có   BA  DH  BC  DH   90   ABC  135; CBH Tam giác ABH có AB  a;  ABH  45 suy ABH vuông cân A  AH  AB  a Áp dụng định lý cơsin ta có BC  a 1 a2 Diện tích tam giác ABC : S ABC  BA.BC.sin  ABC  a.a  2 2 Kẻ HE , HF vng góc với DA , DB Suy HE   ABD  , HF   BCD  nên góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  góc  EHF Tam giác EHF vuông E , ta có HE  a.DH a  DH  Mặt khác: cos EHF , HF  DH a 2a  DH HE DH  2a  DH  a   HF 2.DH  2a a3 Thể tích tứ diện ABCD VABCD  DH SABC  Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC   BCC B   với cos   Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C  A V  3a B V  3a C V  a3 D V  Lời giải Chọn B Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N trung điểm AB BC   AB  CC   AB   MCC    ABC    MCC  Do   AB  CM   Kẻ CK vng góc với CM K ta CK   ABC  , CK  d C ;  ABC   a Đặt BC  x, CC   y,  x  0, y  0 , ta được: CM  x 1 1      1 2 CM CC  CK 3x y a    , EC  KC  Kẻ CE  BC  E , ta KEC sin  Lại có a 1 12 a 12 11 1 11  2  2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  là: Giải 1 , 2 ta x  2a, y  V  y Câu 27 x a 4a 3 a   4 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA với mặt phẳng  ABCD  450 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng  BBC C  mặt phẳng  CCDD  A 60 , Tính thể tích khối hộp cho B C Lời giải D 3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  BA  450 Ta có AB   ABCD    AA, ABCD    AAB  B Vì d  A, BB   d  A, BB   AH  ( H hình chiếu A lên BB ) Suy ta có A' B '  A' H  A ' B  A ' B ' tan  BB ' A '   sin  BB ' A Gán hệ trục tọa độ gốc A với điểm B  Oz , B   Oy mặt phẳng  ABC D    Oxy  Ta có     tọa độ điểm A  0, 0,  , B 0, 0, , B 0, 2,   Ta có D   Oxy  , giả sử D  a, b,  ; a   C  a , b  2,   Chọn n  BB ' C ' C    b, a, a  n  DD' C ' C   1, 0,  Vì góc mặt phẳng  BBC C  mặt phẳng  CC DD  60 Ta có cos  600   b b  2a b a  xa  Mặt khác ta có đường thằng DD  có phương trình  y  b  t Vì khoảng cách từ A đến  z t  đường thẳng DD  Ta có:    AD, u DD '  b  2a   d  A, DD0   d  A, DD      b  2a   b    u DD '   Trường hợp 1: D 3, 2,0  VABCD A' B 'C ' D '  A ' B.S A' B 'C ' D '   A ' B ', A ' D '      D 3,  2,0  V  A ' B S  Trường hợp ABCD A ' B ' C ' D ' A' B 'C ' D '  A ' B ', A ' D '    Câu 28   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  6, AD  , AC  mặt phẳng  AACC  vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  thỏa mãn tan   trụ ABCD ABC D bằng? A V  B V  12 C V  10 Lời giải Thể tích khối lăng D V  Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H hình chiếu B lên  ACCA  , BH   ACCA AC  AB  BC  ; BH  AB.BC = AC  ; HC  BC  BH  ; AH  AC  HC  Kẻ HK  AA,  K  AA  , AA  BH BH   ACCA  nên AA  BK  ; BKH vuông H ABBA ;  ACCA   BKH  BH  KH    ; AK  AH  AK  KH KH Gọi M trung điểm AA Tam giác ACA cân C ' ,  AC  AC  AC  3  tan BKH  CM  AA  KH / / CM AK AC AC.KH  ACM ∽ AHK  AM    AA  ; CM  2 AH AH S ACC ' A '  CM AA  d  A; AC  AC   d  A; AC   VABCD ABCD  d  A;AC  SABCD = Câu 29  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  BCC B  A a 3  ABC  mặt phẳng 60 Tính thể tích V khối đa diện ABCAC  B 3a 3 C a3 D a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khối đa diện ABCAC  hình chóp B ACC A có AB   ACC A  Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a ta suy AB  AC  a Gọi M trung điểm BC , suy AM  BC AM  a  AM  BC Ta có   AM   BCC B   AM  BC (1)  AM  BB Gọi H hình chiếu vng góc M lên BC , suy MH  BC (2) Từ (1) (2) ta suy BC   AMH  Từ suy góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  BCC B  góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên   AHM  60  MH  AM cot 60  a a  2 a MH    Tam giác BBC đồng dạng với tam giác MHC nên suy sin HCM MC a    tan MCH   sin MCH  1 1    tan MCH 2   a  a  BB  BC.tan MCH 1  VABCAC   VB ACC A  BA AC AA  a 3.a 3.a  a 3 3 BẠN HỌC THAM KHẢO THÊM DẠNG CÂU KHÁC TẠI https://drive.google.com/drive/folders/15DX-hbY5paR0iUmcs4RU1DkA17QpKlG?usp=sharing Theo dõi Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Tham gia ngay: Nhóm Nguyễn Bào Vương (TÀI LIỆU TOÁN)  https://www.facebook.com/groups/703546230477890/ Ấn sub kênh Youtube: Nguyễn Vương  https://www.youtube.com/channel/UCQ4u2J5gIEI1iRUbT3nwJfA?view_as=subscriber Tải nhiều tài liệu tại: http://diendangiaovientoan.vn/ ĐỂ NHẬN TÀI LIỆU SỚM NHẤT NHÉ! Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 ... AM  AM tan 30  Vậy thể tích khối lăng trụ V  AM S ABC  Câu 15 15  3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác vng   120  Gọi M trung điểm cạnh... THPTQG 2021 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho A 64... KEC sin  Lại có a 1 12 a 12 11 1 11  2  2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  là: Giải 1 , 2 ta x  2a, y  V  y Câu 27 x a 4a 3 a   4 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải