Chuyên đề 5. Một số bài toán về số nguyên tố - hợp số

Chuyên đề MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ A Một số kiện thức cần nhớ Định nghĩa • Số nguyên tố số tự nhiên lớn có hai ước Ví dụ Các số ngun tố 2; 3; 5; 7; • Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước Ví dụ Các hợp số 4; 6; 8; 9; Số số số nguyên tố hợp số Số số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ nhất, số nguyên tố lại số lẻ Một số tính chất • Nếu số nguyên tố p chia hết cho số ngun tố q p = q • Nếu tích abc chia hết cho số ngun tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p • Nếu a b khơng chia hết cho số ngun tố p tích ab không chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố a) Chia số cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn • Nếu có phép chia hết số khơng phải số ngun tố • Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà phép chia số dư số số ngun tố b) Một số có ước số lớn số khơng phải số ngun tố Ước số ngun tố hợp số a không vượt a Như để kiểm số a hợp số hay không ta chia số a cho số nguyên tố nhỏ a , pháp chia hết a hợp số Phân tích số thừa số ngun tố • Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố + Dạng phân tích thừa số nguyên tố số nguyên tố số + Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố Chẳng hạn A = a b c , a, b, c số nguyên tố  ,  , ,   N * Khi số ước số A tính ( + 1)(  + 1) (  + 1) a +1 − b  +1 − c +1 − Tổng ước số A tính a −1 b −1 c −1 Số nguyên tố • Hai số a b nguyên tố ( a, b ) = • Các số a, b, c nguyên tố ( a, b,c ) = • Các số a, b, c đơi nguyên tố ( a, b ) = ( b,c ) = ( c,a ) = II Một số dạng tập liên quan đến số nguyên tố hai hợp số Dạng – Kiểm tra số số nguyên tố hay hợp số Đây dạng tập phổ biến dễ dạng tập số nguyên tố Cơ sở phương pháp kiểm tra chia số a cho số nguyên tố nhỏ a , xẩy phép chia hết a hợp số khơng có phép chia hết xẩy a số nguyên tố Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số: a) 3.4.5.6 + 7.8 b) 5.7.9.11 − 2.3.4.7 c) 3.5.7 + 11.13.17 d) 16354 + 67541 • Định hướng tư Để kiểm tra số A số nguyên tố hay hợp số ta kiểm tra xem A có chia hết cho số nguyên tố không vượt A không Nếu số A lớn p mà chia hết cho số nguyên tố p A hợp số Ngoài quan sát tổng, hiệu ta dự đoán tổng hiệu hợp số, ta cần tổng hiệu chia hết cho số nguyên tố nhở Thông thường với tập kiểu ta thường kiểm tra đến tính chẵn lẻ sử dụng tính chất chia hết tổng Lời giải a) Ta có 3.4.5.6 + 7.8 = ( 3.5.6 + 7.2 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số b) Ta có 5.7.9.11 − 2.3.4.7 = ( 5.9.11 − 2.3.4 ) chia hết cho Vậy hiệu hợp số c) Ta có 3.5.7 + 11.13.17 số chẵn lớn nên suy tổng hợp số d) Ta có 16354 + 67541 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 5.6.7 + 8.9 b) 5.7.9.11.13 − 2.3.7 c) 5.7.11 + 13.17.19 d) 4253 + 1422 • Định hướng tư Quan sát tổng, hiệu ta dự đoán tổng hiệu hợp số, ta cần tổng hiệu chia hết cho số nguyên tố nhở Lời giải a) Ta có 5.6.7 + 8.9 = ( 5.2.7 + 8.3 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số b) Ta có 5.7.9.11.13 − 2.3.7 = ( 5.9.11.13 − 2.3 ) chia hết cho Vậy tổng hợp số c) Ta có 5.7.11 số lẻ 13.17.19 số lẻ nên tổng 5.7.11 + 13.17.19 số chẵn hợp số d) Ta có 4253 + 1422 có chữ số tận nên chia hết cho Vậy tổng hợp số Bài Tổng hiệu sau số nguyên tố hay hợp số a) 17.18.19.31 + 11.13.15.23 b) 41.43.45.47 + 19.23.29.31 Lời giải a) Ta có 17.18.19.31 + 11.13.15.23 = ( 17.6.19.31 + 11.13.5.23 ) chia hết tổng hợp số b) Ta có 41.43.45.47 số lẻ 19.23.29.31 số lẻ nên 41.43.45.47 + 19.23.29.31 số chẵn, suy tổng hợp số Bài Cho a = 2.3.4.52008 Các số tự nhiên liên tiếp a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 số nguyên tố hay hợp số • Định hướng tư Để chứng minh dãy số a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 hợp số ta chứng minh dãy có ước khác Dễ thấy số a chia hết cho số 2; 3; 4;… ; 2008 nên dãy số tương ứng chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008 Do số dãy hợp số Lời giải Dễ thấy a chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008, a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 chia hết cho 2; 3; 4;… ; 2008 Đồng thời số a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 lớn Do a + 2; a + 3; a + 4; ; a + 2008 hợp sô Bài Thay d chữ số d để số 5d số nguyên tố • Định hướng tư Ta thấy d chữ số tận 5d d  0;1; 2; ; 8; 9 Từ để kiểm tra 5d số nguyên tố hay hợp số ta thay trực tiếp chữ số d Lời giải Ta có d  0;1; 2; 3; ; 8; 9 Nếu d  0; 2; 4; 6; 8 5d chia hết hợp số Nếu d  1; 7 5d chia hết hợp số Nếu d = 5d chia hết hợp số Nếu d  3; 9 5d số nguyên tố Vậy với d = d = 5d số nguyên tố Bài Với số tự nhiên n để số sau số nguyên tố hay hợp số b) 3n + a) n + 12n • Định hướng tư Dự đoán số số nguyên tố với số trường hợp n, ta thay số giá trị đặc biệt để kiểm tra Với giá trị cịn lại ta chứng minh hợp số, tức ta chứng minh số chia hết cho số nguyên tố nhỏ Lời giải a) Ta có n + 12n = n ( n + 12 ) Dễ thấy n + 12  nên n ( n + 12 ) có thêm hai ước n n + Do + Nếu n = n + 12n = n ( n + 12 ) = 13 số nguyên tố + Nếu n  n ( n + 12 ) hợp số b) Nếu n = 3n + = số nguyê tố Nếu n  3n + chia hết hợp số Bài Với số tự nhiên n số sau số nguyên tố hay hợp số ( b A = ( n − ) n + n + a) A = ( 2n + )( 3n + 1) ) Lời giải a) Do A = ( 2n + )( 3n + 1) nên A có hai ước 2n + 3n + Dễ thấy với n số tự nhiên nên 2n +  Do để A số ngun tố 3n + = hay n = , A = số nguyên tố Như n  2n +  3n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số ( ) b) Ta có A số tự nhiên nên n  Do A = ( n − ) n + n + nên A có hai ước n − n + n + Dễ thấy n + n +  nên để A số nguyên tố n − = hay n = , A = 17 số nguyên tố Như n  ta có n −  n + n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số Dạng – Bài tốn tìm số tự nhiên số ngun tố hay hợp số Dạng tốn tìm số ngun tố hay hợp số hay số tự nhiên thỏa mãn u cầu Với dạng tốn ta thường dự đốn trước số cần tìm từ sử dụng loại trừ số khơng thỏa mãn u cầu tốn Bài Tìm tất số nguyên tố p cho: a) p + 2; p + số nguyên tố b) p + 10; p + 14 số nguyên tố • Định hướng tư Nhận thấy với p = dãy số số nguyên tố Như ta cần chứng minh với số nguyên tố p khác số dãy hợp số Chú ý với số ngun tố p khác p chia có số dư Từ ta có hướng sau + Hướng Ta bổ sung vào dãy số đa cho số cho số chia hết cho p = Như p khơng chia hết cho số bổ sung khơng chia hết cho 3, đo hai số dãy phải chia hết cho + Hướng Xét trường hợp p = 3k + p = 3k + , từ hai số dãy số hợp số Lời giải a) p + 2; p + số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 2; p + 3; p + ba số tự nhiên liên tiếp, dãy số có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = p + = số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + khơng chia hết cho 3, p + p + chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố ta có p + = hợp số Do p = không thỏa mãn Với p = số nguyên tố, p + = p + = số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu tốn Với p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Ta có + Nếu p = 3k + số nguyên tố, ta có p + = 3k + + chia hết hợp số, p = 3k + không thỏa mãn + Nếu p = 3k + số nguyên tố, p + = 3k + + chia hết hợp số, p = 3k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) p + 10; p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 10; p + 12; p + 14 ba số tự nhiên chẵn lẻ liên tiếp, dãy số có số chia hết cho + Nếu p = , p + 10 = 12 chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu toán + Nếu p = , p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 12 khơng chia hết cho 3, p + 10 p + 14 chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số ngun tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố ta có p + 10 = 12 hợp số Do p = khơng thỏa mãn Với p = số nguyên tố, p + 10 = 13 p + 14 = 17 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán Với p  , p số nguyên tố nên p có hai dạng p = 3k + p = 3k + với k số tự nhiên khác Ta có + Nếu p = 3k + số nguyên tố, ta có p + 14 = 3k + 15 chia hết hợp số, p = 3k + không thỏa mãn + Nếu p = 3k + số nguyên tố, p + 10 = 3k + 12 chia hết hợp số, p = 3k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài Tìm tất số nguyên tố p cho: a) p + 2;p + 6;p + 8;p + 14 số nguyên tố b) p + 6;p + 8;p + 12;p + 14 số nguyên tố • Định hướng tư Thử giá trị 2, 3, ta nhận thấy với p = dãy số số nguyên tố Như ta cần chứng minh với số nguyên tố p khác số dãy hợp số Chú ý với số nguyên tố p khác p chia có số dư hoặc Từ ta có hướng sau + Hướng Ta bổ sung vào dãy số đa cho số cho số chia hết cho p = Như p khơng chia hết cho số bổ sung không chia hết cho Mà dãy số ln có số chia hết cho 5, số dãy cho phải chia hết cho + Hướng Xét trường hợp p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + , từ số dãy số hợp số Lời giải a) p + 2;p + 6;p + 8;p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 2; p + 6; p + 8; p + 10; p + 14 Để ý 2, 6, 8, 10, 14 có số chia hết năm số tự nhiên dãy chẵn ln có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = , p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố Do p = thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có dạng p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 10 khơng chia hết cho 5, nên số p + 2; p + 6; p + 10; p + 14 có số chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số ngun tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán Với p = số nguyên tố, p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 14 = 19 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu tốn Với p  , p có dạng p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + Trong k số tự nhiên khác Từ ta xét trường hợp sau + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 14 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + hợp số, p = 5k + không thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn Vậy p = số nguyên tố cần tìm b) p + 6;p + 8;p + 12;p + 14 số nguyên tố • Lời giải Xét dãy số sau p + 6; p + 8; p + 10; p + 12; p + 14 Để ý 2, 6, 8, 10, 14 có số chia hết năm số tự nhiên dãy chẵn ln có số chia hết cho + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn u cầu toán + Nếu p = , p + = chia hết hợp số Do p = khơng thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = , p + = 11; p + = 13; p + 12 = 17; p + 14 = 19 số nguyên tố Do p = thỏa mãn yêu cầu tốn + Nếu p  , p số nguyên tố nên p có dạng p = 5k + , p = 5k + , p = 5k + p = 5k + với k số tự nhiên khác Như dãy p + 10 không chia hết cho 5, nên số p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 có số chia hết cho Do p  khơng thỏa mãn u cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm • Lời giải Giả sử với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn u cầu tốn Với p = số nguyên tố, ta có p + = hợp số, p = khơng thỏa mãn u cầu toán Với p = số nguyên tố, p + = 11; p + = 13; p + 12 = 17; p + 14 = 19 số nguyên tố, p = thỏa mãn yêu cầu toán Với p  , p có dạng p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + Trong k số tự nhiên khác Từ ta xét trường hợp sau + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 14 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + không thỏa mãn yêu cầu toán + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số , p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + 12 = 5k + 15 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn u cầu tốn + Nếu p = 5k + số nguyên tố, p + = 5k + 10 hợp số, p = 5k + khơng thỏa mãn yêu cầu toán Vậy p = số nguyên tố cần tìm Bài Tìm tất số nguyên tố p, q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố • Định hướng tư Do pq + 11 số nguyên tố nên pq + 11 phải số lẻ pq số chẵn, hai số p q Đến ta xét trường hợp p = q = để tìm số nguyên tố lại Lời giải Nếu pq + 11 số ngun tố phải số lẻ số nguyên tố lớn Suy pq số chẵn, hai số p q Ta xét hai trường hợp sau • Trường hợp Với p = Khi ta cần tìm số ngun tố q để 7p + q = 14 + q 2q + 11 số nguyên tố + Nếu q = ta có 7p + q = 7.2 + = 16 hợp số nên q = khơng thỏa mãn + Nếu q = ta có 2q + 11 = 2.3 + 11 = 17 q + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố, q = thỏa mãn + Nếu q  , q số nguyên tố nên q có hai dạng q = 3k + q = 3k + với k số tự nhiên khác Với q = 3k + q + 14 = 3k + 15 hợp số với q = 3k + 2q + 11 = ( 3k + ) + 11 = 6k + 15 hợp số Do số nguyên tố q  không thỏa mãn yêu cầu toán ... A số nguyên tố n − = hay n = , A = 17 số nguyên tố Như n  ta có n −  n + n +  nên A hợp số Vậy n = A số nguyên tố n  A hợp số Dạng – Bài tốn tìm số tự nhiên số nguyên tố hay hợp số Dạng tốn... hợp số Nếu d  3; 9 5d số nguyên tố Vậy với d = d = 5d số nguyên tố Bài Với số tự nhiên n để số sau số nguyên tố hay hợp số b) 3n + a) n + 12n • Định hướng tư Dự đốn số số nguyên tố với số trường... Vậy n + số nguyên tố Dạng – Một số toán số học khác liên quan đến số nguyên tố Các toán số học liên quan đến số nguyên tố toán quan hệ chia hết, số phương, có sử dụng tính chất số nguyên tố để