Chuyên đề GIẢI một số bài TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN đồ l04

Chuyên đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ A Phần mở đầu: Lý chọn đề tài: Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, học phân môn quan trọng, mang tính tảng để hình thành tư Vật Lý cho học sinh Trong đó, học chất điểm chuyên đề đầu, mang ý nghĩa tảng để tiếp tục xây dựng khái niệm định luật cho phần học vật rắn hay chuyên đề điện Các toán học chất điểm phong phú, đa dạng, dễ tưởng tượng có nhiều ý nghĩa thực tiễn Trong số đó, tốn va chạm tốn quan trọng, có mật độ xuất tương đối nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Các toán toán ứng dụng triệt để định luật bảo tồn, chúng khơng khó mặt chất tượng mà thường gây khó khăn cho học sinh việc tính tốn Việc tồn nhiều biến số (đặc biệt sau trải qua trình phức tạp để tạo chuyển động ban đầu) dễ dẫn đến hệ phương trình nhiều ẩn tham số, có phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, điều gây khơng tâm lý tiêu cực gây khó khăn cho việc làm học sinh học sinh tôn trọng cách làm đại số Tuy sử dụng đến phương pháp hình học (hay gọi giản đồ) ta dựa vào tính chất hình học quan hệ hình học chứng minh tốn sơ cấp (học sinh học chứng minh từ cấp đầu cấp 3) để giảm nhẹ khối lượng tính tốn nhiều Từ đem lại kết đẹp, đem lại tính chất thú vị tìm nhờ tính chất hình học Hoặc ta sử dụng giản đồ công cụ trực quan để quan sát nhận định mối quan hệ đại lượng Chính chọn làm chủ đề: GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VA CHẠM BẰNG GIẢN ĐỒ Mục đích đề tài: - Triển khai phương pháp giản đồ việc giải tốn va chạm - Tìm kiếm ví dụ mà thể tác dụng phương pháp giản đồ việc giải toán va chạm - Tạo tài liệu tham khảo dành cho độc giả bắt đầu tìm hiểu tốn va chạm B Nội dung: I Phần lý thuyết Các khái niệm định luật bảo toàn: a Hệ vật, nội lực ngoại lực: - Hệ vật hệ gồm hay nhiều vật, thường tác dụng với - Những lực tương tác vật hệ với nội lực, lực vật tác dụng lên hệ ngoại lực - Hệ coi lập khơng có ngoại lực tác dụng lên hệ ngoại lực tác dụng lên hệ cân với - Hệ coi kín khơng có vật chất vào khỏi hệ b Động lượng Định luật bảo toàn động lượng: r r - Động lượng vật: p = mv - Định lý biến thiên động lượng: r r ∆p = ∑ F ∆t , độ biến thiên động lượng vật khoảng thời gian Δt xung lượng tổng lực tác dụng lên vật khoảng thời gian r dpr ∑ F = dt - Định luật II Newton dạng tổng quát: - Định luật bảo toàn động lượng: Tổng vecto động lượng hệ lập kín đại lượng bảo toàn c Động năng, năng, định luật bảo toàn năng: - Động vật: Wd = mv - Định lý biến thiên động năng: Độ biến thiên động vật cơng tồn phần lực tác dụng lên vật - Lực thế: lực mà cơng thực vật khơng phụ thuộc vào dạng đường mà phụ thuộc vào vị trí đầu cuối đường - Thế năng: dạng lượng gắn với lực Khi hệ vật tương tác với lực hệ vật dự trữ Khác với động năng, có nhiều loại ứng với nhiều loại lực khác (thế trọng trường, đàn hồi) - Cơ năng: lực thực công làm tăng động hệ lên đồng thời làm giảm hệ nhiêu - Định luật bảo tồn năng: Nếu có lực tác dụng vật hệ kín lập động vật hệ chuyển hóa thành ngược lại, hệ bảo tồn - Thế vật VTCB có giá trị cực tiểu (VTCB bền) cực đại (VTCB không bền) Va chạm: a Cơ chế va chạm: Thí nghiệm chứng tỏ hai vật va chạm chúng bị biến dạng nhỏ, bị dẹt chúng có vận tốc Sau chúng lấy lại hình dạng ban đầu xảy nhảy lùi xa Như va chạm bao gồm hai pha, pha nén pha dãn Thời gian va chạm không nhỏ so với thời gian phân tích tượng Do coi va chạm xảy chỗ khơng gian Ngồi biến thiên vận tốc hai vật lớn chúng tác dụng vào lực lớn Ở ta áp dụng định luật bảo tồn động lượng thời gian va chạm, ngoại lực nhỏ so với nội lực (lực va chạm), ta coi hệ va chạm hệ cô lập b Giới hạn đề tài: Trong đề tài xét va chạm trực diện mà không xét đến quay vật kích thích xung lực khơng qua khối tâm vật Bên cạnh tơi khơng xét toán lực ma sát xuất bề mặt vật trình va chạm , từ dẫn đến việc khơng xét quay bất thường xảy trình va chạm Hoặc có hiệu ứng chúng coi nhỏ, khơng ảnh hưởng đến kết tốn c Các kiểu va chạm - Va chạm đàn hồi: Những va chạm động hệ bảo toàn gọi va chạm đàn hồi Vì va chạm đàn hồi tuân theo định luật bảo toàn động động lượng Sử dụng hệ phương trình để giải tốn va chạm r r r r m1v1 + m2v2 = m1v '1 + m2v '2   m1v12 m2v22 m1v '12 m2v '22 + = +   2 2 - Va chạm không đàn hồi: Là va chạm mà động hệ khơng bào tồn, phần động chủ yếu biền thành nhiệt r r r r m1v1 + m2 v2 = m1v '1 + m2 v '2   m1v12 m2 v22 m1v '12 m2v '22 + = + +Q   2 2 * Va chạm mềm: Là va chạm mà sau va chạm vật chuyển động vận tốc dính với - Sau va chạm mềm động hệ giảm đi, phần động giảm chuyển thành lượng biến dạng nhiệt r r r m1v1 + m2v2 = ( m1 + m2 ) v '   m1v12 m2 v22 ( m1 + m2 ) v '2 + =   2 Bổ sung toán học: a Hình giải tích khơng gian chiều: * Trong mặt phẳng Oxy cho điểm Tọa độ vecto uuur AB = ( xB − xA , yB − y A ) A ( xA , y A ) , B ( xB , yB ) C ( xC , yC ) ,  x + xB y A + y B  J A , ÷ 2   Tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB  x + x + x y + yB + yC  G A B C , A ÷ 3  Tọa độ trọng tâm tam giác ABC  * Phương trình đường thẳng: D ( xD , y D ) r r r u Vecto ( u ≠ ) vecto phương đường thẳng d có giá song song trùng với đường thẳng d r r r Vecto n ( n ≠ ) vecto pháp tuyến đường thẳng d có giá vng góc với đường thẳng d r n ( a, b ) ax + by + c = Đường thẳng có vecto pháp tuyến Hai đường thẳng song song có vecto phương (vecto pháp tuyến) Hai đường thẳng vng góc có vecto pháp tuyến đường thẳng vecto phương đường thẳng r r Nếu u , n vecto phương vecto pháp tuyến đường thẳng d rr u.n = 2 - Phương trình tổng quát đường thẳng: ax + by + c = ( a + b > ) - Đường thẳng qua M(x0,y0) nhận r n ( a, b ) vecto pháp tuyến có dạng: r u ( p, q ) vecto phương có phương trình a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = - Đường thẳng qua M(x0,y0) nhận tham số phương trình tắc là:  x = x0 + pt   y = y0 + qt x − x0 y − y0 = q p - Đặc biệt phương trình đường thẳng qua điểm phân biệt A ( xA , y A ) , B ( xB , y B ) x − xA y − yA = có dạng: xB − xA yB − y A - Đường thẳng qua M(x0,y0) có hệ số góc k có phương trình đường thẳng với hệ số góc có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 * Phương trình đường tròn: x − a ) + ( y − b) = R2 Đường tròn tâm I(a,b) bán kính R có dạng: ( 2 Phương trình tiếp tuyến đường tròn M(x0,y0): ( x0 − a ) ( x − x0 ) + ( y0 − b ) ( y − y0 ) = * Góc khoảng cách: r r Góc hai vecto v w tính theo cơng thức: rr v w r r cos ( v , w ) = r r v.w r r n n Giả sử vecto pháp tuyến đường thẳng d1 d2 Khi đó: r r n1.n2 cos ( d1 , d ) = r r n1 n2 Độ dài vecto r u = ( a, b ) r u = a + b2 b Hình giải tích khơng gian chiều: Hệ trục tọa độ Descartes Oxy gồ trục Ox, Oy, Oz đôi vng góc với với r r r r r r i = j = k =1 vecto đơn vị i , j , k ( ) Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ r r r r r a ( ax , a y , az ) ⇔ a = ax i + a y j + az k uuuu r r r r M ( x, y , z ) ⇔ OM = xi + yj + zk * Tọa độ vecto: Cho r r u ( x, y, z ) = v ( x ', y ', z ' ) r r u = v ⇔ x = x '; y = y '; z = z ' r r u ± v = ( x ± x ', y ± y ', z ± z ') rr u v = xx '+ yy '+ zz ' r r u ⊥ v ⇔ xx '+ yy '+ zz ' = r u = x2 + y + z r i r r r r u ∧ v = [ u, v ] = x x' r r j k y z y' z' ; r ku = ( kx, ky , kz ) rr r r u v cos ( u , v ) = r r u v * Tọa độ điểm: cho A ( xA , y A , z A ) uuur AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A ) AB = ( xB − x A ) , + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) B ( xB , yB , z B ) C ( xC , yC , zC ) ,  x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC  G A , , ÷ 3   Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: * Phương trình mặt phẳng: Mặt (Oxy): z = 0; Mặt (Oxz): y = 0; Mặt (Oyz): x = 0; r n = ( A, B , C ) Mặt phẳng qua điểm M(x0,y0,z0) có vecto pháp tuyến định A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ⇔ Ax + By + Cz + D = xác r r Bên cạnh mặt phẳng xác định cặp vecto phương u w có r r r vecto pháp tuyến n = u ∧ w * Phương trình đường thẳng: Đường thẳng qua điểm M(x 0,y0,z0) có vecto phương r u = ( a, b, c ) xác định: - Phương trình tham số:  x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z = = b c - Phương trình tắc: a * Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) bán kính R viết dạng: ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) = 2 II Bài tập mẫu: Bài 1: Một vật m1 chuyển động thẳng với vận tốc v 01 va chạm trực diện với chất điểm khối lượng m2 chuyển động phương với vận tốc v02 Tính tốc độ vật sau va chạm nếu: a Va chạm chúng đàn hồi b Va chạm chúng mềm c Năng lượng hệ sau va chạm ε so với trước va chạm Bài giải: * Phương pháp định luật bảo toàn: Gọi vận tốc sau chạm chúng v’1 v’2 a Do vật va chạm đàn hồi, áp dụng định luật bảo toàn động lượng định luật bảo toàn lượng, ta lập hệ phương trình: r r r r m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2   m1v01 m v2 m v '2 m v '2 + 02 = 1 + 2   2 2 Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động rút gọn biểu thức ta thu được: m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2v '2  2 2 m1v01 + m2 v02 = m1v '1 + m2 v '2 m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )  ⇔ m v + m v = m v '2 + m  v + m1 v − v '  ( 01 )  02 1  02  01 m2    m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )  ⇔ m ( v − v '2 ) = 2m v ( v − v ' ) + m1 ( v − v ' ) 1 02 01 01  01 m2 m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 ) ⇔  m ( v + v ' ) = 2m v + m ( v − v ' ) 02 01  01  ( m1 − m2 ) v01 + 2m2v02 v '1 = m1 + m2  ⇔ v ' = ( m2 − m1 ) v02 + 2m1v01  m1 + m2  b Do vật va chạm mềm, áp dụng định luật bảo toàn động lượng định luật bảo tồn lượng, ta thu phương trình: r r r m1v01 + m2 v02 = ( m1 + m2 ) v ' Chiếu phương trình lên phương chuyển động ta thu được: m1v01 + m2 v02 = ( m1 + m2 ) v ' ⇔ v' = m1v01 + m2 v02 m1 + m2 c Do vật va chạm có mát lượng, theo giả thiết, ta lập hệ phương trình: r r r r m1v01 + m2v02 = m1v '1 + m2v '2  2 m2 v02  m1v '12 m2v '22   m1v01  + =ε + ÷    Chiếu hệ phương trình lên phương chuyển động rút gọn biểu thức ta thu được: m1v01 + m2v02 = m1v '1 + m2v '2   2 2 m1v01 + m2v02 = ε ( m1v '1 + m2v '2 ) m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )  ⇔ ε m v + m v = m v '2 + m v + m1 v − v '  ( 01 )  02 ) 1  02  ( 01 m2    m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )  ⇔  m1 v ε + v ε = m1 v '2 + v + m1 v ( v − v ' ) + m1 ( v − v ' ) 02 02 02 01 01  m2 01 m2 m2 m22 m1  v '2 = v02 + m ( v01 − v '1 )  ⇔ 2 v '2  m1 + m1  − 2v '  m1 v + m1 v  + m1 v v − v ( ε − 1) − ε m1 v + m1 v =  ÷  ÷ 02 01 01 02 02 01 01   m22 m2  m22  m2 m2 m22  m2 Xét tam thức bậc trên, điều kiện để hệ có nghiệm là:  m1 m12   m12 m1   m1 m1 m12  v01 + v01  ≥  v02 + v01 ÷ −  + ÷ v01v02 − v02 ( ε − 1) − ε m2 m2 m2   m2   m2 m2   m2 m  m1  m12  m2   m2 m   m ⇔  v02 + 12 v01 ÷ −  12 + ÷ v01v02 − ε  v02 + v01 ÷+ v02 + v01  ≥ m2 m2  m2   m2   m2 m2   m2  2  m12 m1    m1   m1 m1  m12  ⇔ + v01 ÷ − ε  v02 + v01 ÷ ≤  v02 + v01 ÷ ÷ v02 + m2  m2   m2 m2  m2 m2       m1  v01 ÷  v02 + m2    m1   m1  ⇔  v02 + v01 ÷ − ε  v02 + v01 ÷ ≤ m2  m2   m2    1 + ÷  m1       m1    v01 ÷ −  v02 +   m   m    1 + ÷ m1v01 + m2 v02 ) (  m1    ⇔ε ≥ =  m1  ( m1 + m2 ) ( m1v012 + m2v022 ) v + v  02 01 ÷ m2   Khi ta thu nghiệm hệ có dạng: tan α = − Hệ số góc đường thẳng M0M1 lúc m1 m2 - Giai đoạn 2: Sau vật m2 va chạm với tường, thay đổi dấu vận tốc, lượng hệ tốc độ khơng đổi, nên ta thu được: M2 α M0 x O M1 Khi điểm M2 đối xứng với M1 qua trục Ox - Giai đoạn 3: Sau va chạm với tường, vật m lại va chạm với vật m2, phương trình định luật bảo tồn động lượng hệ có hệ số góc giống phương trình định luật bảo tồn động lượng hệ q trình va chạm lần đầu Sử dụng điều kiện để vật không va chạm ta cần tìm điều kiện M3 nằm cung nhỏ AB, B điểm đối xứng M qua O A điểm đường tròn biểu diễn v1 = v2 hình vẽ: B α A y M2 α M3 O M0 x M1 Đến theo tính chất hình học ta dễ dàng chứng minh được: - OA ⊥ M0M1 - ¼M = M ¼M = M ¼M M Do M2 M3 đối xứng OA nên ta thu điều kiện để hệ khơng va chạm là: ¼ B ≤ M ¼M M ≤ M ¼ A M 0 · OM ≤ π + ·AOB ⇔ π ≤ 2M ( ) · M ≤ π + α − π  ⇔ π ≤ π − 2OM  ÷ 2  π  ⇔ π ≤ π − ( π − α )  ≤ π +  α − ÷ 2  π  ⇔ π ≤ ( 2α − π ) ≤ π +  α − ÷ 2  3π 5π ⇔ ≤α ≤ Do đặc điểm đồng biến hàm tan nên ta thu được: 3π 5π ≤α ≤ π π ⇔ ≤ π −α ≤ π π ⇔ tan ≤ tan ( π − α ) ≤ tan π π ⇔ tan ≤ − tan α ≤ tan m1 ⇔ ≤ ≤1 m2 ⇔ m1 ≤ ≤1 m2 * Bình luận: Đến ta nhận rõ vai trò ưu tuyệt đối phương pháp giản đồ việc giải toán Đối với phương pháp động lực học ta phải giải vài hệ phương trình giải tốn bất đẳng thức với nhiều biến số Tuy nhiên dùng phương pháp giản đồ, việc sử dụng tính chất hình học, ta giảm số lượng khối lượng tính toán nhiều Phương pháp chứng minh tác dụng ta thay đổi điều kiện ban đầu tăng số lần va chạm Cách làm dùng để đếm số lần va chạm cho trước r Bài 3: Một chất điểm khối lượng m1 bay với vận tốc v01 va chạm đàn hồi với nêm khối lượng m2 di chuyển không ma sát mặt bàn ngang với vận r v tốc 02 Biết góc nghiêng nêm α Tính vận tốc chúng sau va chạm Bài giải: Do vật va chạm đàn hồi, áp dụng định luật bảo toàn động lượng phương ngang định luật bảo toàn lượng, ta lập hệ phương trình: m1v01x + m2 v02 = m1v '1x + m2 v '2  2  m1v01 m2 v02 m1v '12 m2 v '22 + = +   2 2 Do xung lực tác dụng vào vật m1 có phương vng góc với mặt phẳng nêm, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta thu được: r r r m1 ( v '1 − v01 ) = P Chọn chiều nghiêng nêm chiều dương trục Ox (x tăng độ cao nêm giảm) chiều thẳng đứng hướng lên chiều dương trục Oy Ta có:  m1 ( v '1x − v01 x ) = Px   m1 ( v '1 y − v01 y ) = Py Do Px v' −v = − tan α ⇒ 1x 01x = − tan α Py v '1 y − v01 y Tổng hợp lại ta thu hệ phương trình: m2  v '1x − v01x  v' −v = − m  02 2  m1 ( v01x + v01 y ) m v m1 ( v '12x + v '12y ) m v '2 + 02 = + 2  2 2   v '1x − v01x  v ' − v = − tan α  y 01 y (3.1) Đến ta thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz (x, y không giống với x,y chọn hệ tọa độ để chiếu phương trình chuyển động) thành phần tương ứng là:  x = m1 v1x   y = m1 v1 y   z = m2 v2 Trong ta dùng điểm M ( x0 , y0 , z0 ) M ' ( x ', y ', z ') để biểu diễn giá trị vận tốc trước sau va chạm Khi hệ phương trình (3.1) thu gọn thành  x − x0 m1 v '1x − v01x m m m2 = =− =−  m2 v '2 − v02 m2 m1 m1  z − z0  2 2 2  x + y + z = x0 + y0 + z0 x−x  = − tan α  y − y0  k=− Đặt m1 m2 l = − cot α , số k l lúc số Ta thu hệ phương trình: y − y0 z − z0  =  x − x0 = l k   x2 + y + z = x2 + y + z 0  Ta thấy phương trình bên phương trình đường thẳng M 0M’ hệ Oxyz, phương trình bên phương trình mặt cầu tâm O qua M0 Gọi H trung điểm M0M’ ta dễ chứng minh ∆OM M ' cân O tên OH ⊥ M0M’ Do H ∈ M0M’ ⇒ H ( t + x0 , lt + y0 , kt + z0 ) uuur OH = ( t + x0 , lt + y0 , kt + z0 ) ⇒  uuuuuuu r  M ' M = ( 1, l , k ) Do OH ⊥ M0M’ uuur uuuuuuu r ⇒ OH M ' M = ⇒ t + x0 + l ( lt + y0 ) + k ( kt + z0 ) = ⇒t =− x0 + ly0 + kz0 1+ l2 + k2 Do H trung điểm đoạn M0M’ nên ta thu được:  ( x0 + ly0 + kz0 )  x ' = xH − x0 = 2t + x0 = x0 − 1+ l2 + k  2l ( x0 + ly0 + kz0 )   y ' = yH − y0 = 2lt + y0 = y0 − 1+ l + k   2k ( x0 + ly0 + kz0 )  z ' = z H − z0 = 2kt + z0 = z0 − 1+ l2 + k2  Đến cách thay số đầu vào ta dễ dàng thu kết toán, phức tạp mà tơi khơng trình bày cụ thể đáp án * Bình luận: Đến cách sử dụng cơng cụ hình học, ta nhận thấy ta giải toán va chạm mà hồn tồn khơng cần giải phương trình bậc hai Việc giúp ta giảm số lượng khối lượng tính tốn cần thiết Bên cạnh tốn việc nghiệm lại trường hợp chiều, ta mở rộng để giải nhiều toán khác: - Bài toán vật khối lượng m va chạm đàn hồi với bán cầu chuyển động khơng ma sát - Bài tốn bi-a theo đường đối xứng bi-a giống va chạm với chúng (bằng cách sử dụng phép đối xứng gương) - Bài toán va chạm vật (có thể gặp hệ lắc Newton tổng quát) -… III Bài tập tự luyện: Bài 1: Một viên đạn khối lượng m bay ngang, đập vào mặt nghiêng nêm Nêm có khối lượng m2 ban đầu đứng yên mặt phẳng ngang nhẵn Sau va chạm đàn hồi đạn nảy lên theo phương thẳng đứng nêm chuyển động theo phương cũ m1 Tính độ cao cực đại (từ vị trí va chạm) mà viên đạn lên * Gợi ý: Bài sử dụng cách làm tập mẫu 3, xác định điểm biểu diễn trạng thái hệ trước sau va chạm Từ ta viết phương trình tìm vận tốc theo phương thẳng đứng viên đạn sau va chạm m2 ( m2 − m1 ) v22 h= 2m12 g Đáp số: Bài 2: Quả cầu chuyển động mặt phẳng ngang trơn, với vận tốc không đổi đến đập vào cầu II đứng yên Va chạm hoàn toàn đàn hồi Sau va chạm vận tốc hai cầu ngược chiều, độ lớn Hãy tìm tỉ số khối lượng cầu * Gợi ý: Bài ta hoàn toàn xác định trạng thái đầu trạng thái cuối hệ Ta sử dụng phép cộng góc để hồn thành m1 = m Đáp số: m1 Bài tập 3: Hai bóng đàn hồi, khối lượng m m2, đặt đỉnh (với khe hở nhỏ chúng) Thả cho m2 chúng rơi từ độ cao h xuống sàn h m1 a Hỏi tỉ số m2 để bóng nhận phần lớn toàn phần hệ hai bóng b Nếu m1