Chuyên đề 12 PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau: A C A.C = B D B D Phép nhân phân thức có tính chất: A C C A = ; B D D B Giao hoán: ổA C E Aổ C Eử ỗ ÷ = ÷ ÷ ÷ Kết hợp: ç ç ç ÷F B è ÷; ç çD F ø èB D ø Phân phối phép cng: Aổ C Eử A C A E ỗ + ữ = + ữ ỗ ữ ỗ B èD F ø B D B F Phân thức nghịch đảo Hai phân thức gọi nghịch đảo tích chúng Tổng quát, A A B A B phân thức khác = , phân thức nghịch đảo phân thức B B A B A Phép chia Quy tắc Muốn chia phân thức A C A C cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch đảo B D B D A C A D C : = với ¹ B D B C D B Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực phép tính sau: a) P = 12 x + x + 12 x + - x + x + 360 x +150 x + 360 x +150 b) P = x + 3y x - y x + 3y x - 3y 3x + y x - y 3x + y x - y Giải Tìm cách giải Nhận thấy biểu thức có phân thức chung Do nên vận dụng tính chất phân phối phép nhân nhằm đưa tốn dạng đơn giản Trình bày lời giải a) Dùng tính chất phân phối, ta có: P= 12 x + 12 x + æ x +3 - 3x ữ x +9 ỗ + = = ữ ỗ ữ ỗ x + è360 x +150 360 x +150 ø x + 30 ( 12 x + 5) 30 b) Dùng tính chất phân phối, ta có: P= x + 3y æ x - 2y x - y ö x + 3y 3x + y x + 3y ÷ ç = = ÷ ç ÷ ç x- y 3x + y è x - y ø 3x + y x - y x- y Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: R= 3a2 - ab - b2 3a - ab + b : 2a + ab - b 3a + 2ab - b (Tuyển sinh 10, Trường PTNK, ĐHQGTP.Hồ Chí Minh, năm học 2004 - 2005) Giải R= ( a - b) ( 3a + b) ( a - b) ( 3a - b) ( a - b) ( 3a + b) ( 3a - b) ( a + b) : = ( 2a - b) ( a + b) ( 3a - b) ( a + b) ( 2a - b) ( a + b) ( a - b) ( 3a - b) R= 3a + b 2a - b Ví dụ 3: Cho x + y + z = Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến số: ( x + y) ( y + z ) ( z + x ) P= xy + z yz + x zx + y Giải Tìm cách giải Khai thác điều kiện tốn, nhận thấy với điều kiện cân bậc mẫu phân tích thành nhân tử xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( z + x ) ( z + y) Do có lời giải sau: Trình bày lời giải Thay = x + y + z vào mẫu số, ta được: xy + z = xy + z ( x + y + z ) = ( z + x ) ( z + y ) tương tự ta có: yz + x = ( x + y) ( x + z) zx + y = ( x + y) ( y + z) ( x + y) ( y + z) ( z + x) Từ suy ra: P = ( x + z ) ( y + z ) ( x + y) ( x + z ) ( x + y) ( y + z ) 2 Þ P =1 Ví dụ 4: Cho a + b + c = Chứng minh tích sau khơng phụ thuộc vào biến số: a) M = 4bc - a 4ca - b2 ab - c bc + 2a2 ca + 2b ab + 2c æ a ửổ b ửổ cử 1+ ữ ỗ 1+ ữ ç 1+ ÷ ÷ ÷ ÷ b) N = ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è b øè c øè a ø Giải a) Ta có: - ( b2 - bc + c ) bc - ( b + c) - ( b - c) 4bc - a2 = = = 2 bc + 2a bc + a - a ( b + c ) bc + a - ab - ac ( a - b) ( a - c ) 2 - ( c - a) 4ca - b2 = Tương tự ta có: ca + 2b ( b - a) ( b - c ) (2) (1) - ( a - b) 4ab - c = ab + 2c ( c - a ) ( c - b) (3) Từ (1) (2), (3) ta có: 4bc - a2 4ca - b2 4ab - c - ( a - b) ( b - c) ( c - a) M= = =1 bc + 2a ca + 2b ab + 2c - ( a - b) ( b - c) ( c - a) 2 2 Vậy giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào giá trị biến b) Ta có: ỉ ưỉ b ÷ ưỉ c a + b c + b a + c ( - c) ( - a) ( - b) N =ỗ 1+ ữ ỗ 1+ ữ ç 1+ ÷ = = =- ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç b øè ç c ứố ỗ aứ ố b c a abc Vy giá trị biểu thức N không phụ thuộc vào giá trị biến Ví dụ 5: Cho x số thực âm thỏa mãn x + 1 = 23 Tính giá trị biểu thức A = x + x x Giải Tìm cách giải Do kết luận có dạng đẳng thức a3 + b3 , nên để tính giá trị biểu thức, cần tính 1 x + Với suy nghĩ ấy, khai thác điều kiện để tìm x + Từ có lời giải sau: x x Trình bày lời giải Từ giả thiết x + 1 = 23 Þ x + + = 23 Þ x x ổ 1ữ ỗ x+ ữ = 25 ỗ ç è x÷ ø Vì x < nên x + =- x ỉ 1ư Ta cú: A = x + = ỗ x+ ữ ữ ỗ ữỗ ố x xứ 3 ổ 1ử 3ỗ x+ ữ = ( - 5) - 3.( - 5) =- 110 ữ ỗ ữ ỗ ố xø Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức với n số ngun dương: ỉ ỉ ÷ ưỉ ổ ử ữ ỗ ữ ữ ç ç ÷ ç A =ç + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữỗ ữỗ ỗ 1.4 ữ ỗ 2.5 ứ ỗ 3.6 ứ ố ứố ố ữ ỗ n n + ( )ø è Giải Tìm cách giải Với phép nhân biểu thức theo quy luật, thường xét phân thức có dạng tổng quát Sau phân tích thành nhân tử tử mẫu dạng tổng quát Cuối thay giá trị từ đến n vào biểu thức rút gọn Trình bày lời giải Xét + k + 3k + ( k +1) ( k + 2) = = k ( k + 3) k ( k + 3) k ( k + 3) Thay k = 1; 2; 3; ;n ta được: A= 2.3 3.4 4.5 ( n +1) ( n + 2) 2.3.4 ( n +1) 3.4.5 ( n + 2) 3( n +1) = = 1.4 2.5 3.6 n ( n + 3) 1.2.3 n 4.5.6 ( n + 3) n +3 Ví dụ Cho a, b, c đơi khác thỏa mãn a ( b - c) + b ( c - a) + a b c + + = Tính giá trị biểu thức: b- c c- a a- b c ( a - b) Giải Tìm cách giải Quan sát phần giả thiết kết luận toán, nhận thấy có nhiều điểm giống Do vậy, để không phức tạp vận dụng giả thiết tạo hạng tử phần kết luận Sau cộng lại Trình bày lời giải Ta có: Û a b c + + =0 b- c c- a a- b a b c ac - a + b - bc c + = Û = b- c c- a b- a b- a ( b - c ) ( c - a) a2 - b + bc - ca c = ( b - c ) ( c - a) ( a - b ) ( a - b) Tương tự: a ( b - c) = b ( c - a) = (1) c - a + ab - bc ( a - b) ( b - c ) ( c - a ) b2 - c + ca - ab ( a - b) ( b - c ) ( c - a ) (2) (3) Cộng vế (1); (2) (3) Þ a ( b - c) + b ( c - a) + c ( a - b) Nhận xét Từ kết ta thấy a b, c dấu bạn giải tồn sau: Cho a, b, c đơi khác thỏa mãn a b c + + = Chứng minh ba số sau a, b, c tồn b- c c- a a- b số không âm số không dương C Bài tập vận dụng ỉx x2 - x +10 ữ x +7 ỗ ữ A = - : ỗ 12.1 Rỳt gn biu thc: ữ ỗ x - 8ữ ốx - x + x + ø x +2x +4 12.2 Chứng minh với x ¹ 0; x ¹ ±1 biểu thức sau có giá trị khơng phụ thuộc vào biến æx + x +1 x - x +1ư x4 + x3 - x2 - x ÷ ÷ A =ỗ ỗ ữ ỗ ữ x2 - x ø x +1 è x +x æx - y x + y2 + y - ö x + x y + y2 - ữ ữ + : ỗ 12.3 Rỳt gn biu thc: A = ỗ ữ ữ x + y + xy + x ỗ y + xy - x ø è2 y - x é ( x - 1) 1- x + x ù ê ú: x P = + 12.4 Cho biểu thức: ê x - x - 1ú x3 + x x + x ( ) ê ú ë û a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với ỉx - x +1 ( x - x +1) ữ ỗ ữ + 12.5 Cho P = ỗ ữ: ữ ç x2 - x èx - x x + x ø a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên æ y2 æ x x- y ử x ữ ữỗ ữ : + : ữ ỗ 12.6 Cho A = ỗ ç 2 ÷ ÷ ç ÷y x +yứ ốy + xy x + xy ứ ỗ ốx - xy a) Rút gọn A b) Tìm x, y để A > y < 12.7 Cho x số thực dương thỏa mãn điều kiện x + Tính giá trị biểu thức A = x + =7 x2 B = x5 + x x 12.8 Thực phép tính: a) A = 14 + 54 + 94 + 174 + ; 34 + 74 + 114 + 194 + 4 1 + + 294 + 4 b) B = 1 1 24 + 44 + 64 + 304 + 4 4 14 + 12.9 Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ¹ Tính giá trị biểu thức: P= ỉ1 1ư ỉ 1ử ổ 1ử ữ ỗ ỗ ỗ + 3ữ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ç ç 2 ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ( a + b) a b ( a + b) a b ( a + b) a b ø÷ a - ( b - c) b2 + c - a2 ;y = 12.10 Cho x = 2 bc ( b + c) - a 2 Tính giá trị biểu thức P = xy + x + y æ1 1 ö 1 12.11 Cho a, b, c l nhng s nguyờn tha món: ỗ + + ữ = 2+ 2+ ữ ỗ ữ ỗ èa b c ø a b c Chứng minh a3 + b + c chia hết cho 12.12 Rút gọn biểu thức với n số tự nhiên: ỉ ỉ ưỉ ưỉ ử ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ 1 ữ ữ ữ a) B = ỗ ỗ ỗ ỗ ữ, vi n > ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố 6.12 ứố 7.13 ứố 8.14 ứ ỗ ữ n n + ( ) è ø æ æ 22 ửổ 22 ửổ 22 22 ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ 1+ ữ + + + ỗ ç ç b) C = ç ÷, với n > ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữỗ ữ 2.6 ứố 3.7 ứ n n + ( ) è 1.5 øè è ø Hướng dẫn giải – đáp số 12.1 Ta có: ỉx x2 - x +10 x +7 ữ ữ A =ỗ : ỗ ữ ỗ ữ x +2x +4 x - 8ø èx - x + x + = x ( x + x + 4) - ( x - 3) ( x - 2) - ( x +10) ( x - ) ( x + x + 4) : x +7 x +2 x +4 = x + x + x - x + x + x - - x - 10 x +7 : 2 x +2 x +4 ( x - 2) ( x + x + 4) = x - 16 x2 +2x +4 x +7 ( x - 2) ( x + x + 4) = ( x - 2) ( x + ) x + x + 4 ( x + 2) = x +7 x +7 ( x - 2) ( x + x + 4) 12.2 Ta có: ( x - 1) ( x + x +1) - ( x +1) ( x - x +1) x ( x + x - x - 1) A= x ( x +1) ( x - 1) x +1 x - 1) ( x +1) ( x - 1- x - ( x - 1) ( x +1) - = = =- x +1 x +1 ( x +1) ( x - 1) ( x +1) ( x - 1) Vậy biểu thức A =- khơng phụ thuộc vào biến 12.3 Ta có ỉx - y x + y) - ( x + y2 + y - ÷ ç ÷ A =ç + : ÷ ç ÷ x ( x + y ) +( x + y ) ç è2 y - x ( x + y) ( y - x ) ø 2 x - y + x + y + y - ( x + y - 2)( x + y + 2) = : ( x + y) ( y - x ) ( x + y) ( x +1) = ( x + y) ( x +1) 2x2 + y - x +1 = 2 ( x + y) ( y - x ) ( x + y - 2)( x + y + 2) ( y - x ) ( x + y + 2) 12.4 é ( x - 1) 1- x + x ù ê ú: x + a) Ta có: P = ê (ĐK: x ±1;0 ) x - x - 1ú x3 + x x + x ( ) ê ú ë û é ù ( x - 1) 1- x + x x + x +1 ê ú: P=ê + 2 x +1 (ë x - 1) ( x + x +1) ( x - 1) ( x + x +1) ( x - 1) ( x + x +1) ú ê ú û é3 ù x - 3x + 3x - - + x + x + x + x +1 ú =ê ê ú: x +1 x - 1) ( x + x +1) ( ê ú ë û = x3 - x +1 x +1 = ( x - 1) ( x + x +1) x +1 b) P = ³ 2 dấu không xảy Vậy P > 12.5 æx - x +1 ö ( x - x +1) ữ ỗ ữ + : a) Ta cú: P = ỗ ữ ữ ỗ x2 - x èx - x x + x ø æx + x +1 x - x +1 ö ( x - 1) ữ ữ =ỗ + : ỗ ữ ữ ỗ x x x ố ứ ổ ( x - 1) x +1 x 2x2 +2ö x +1 ữ ữ =ỗ : = = ç ÷ ÷ ç x x x- x- è x ø ĐK: x ¹ 0, x ¹ b) Ta có P = x +1 Ỵ Z x Ỵ Z Þ x +1 Ỵ Z Û = x +1 + x- x- x- Û x - Ỵ Ư(2) suy ra: -1 -2 x- x -1 Kết hợp với tập xác định x Ỵ { 0;1;- 1} x Ỵ { 2;3} ta P Î Z 12.6 æ y2 æ x x- y ử x ữ ữỗ ỗ ữ : + : ữ ỗ a) Ta cú: A = ỗ 2 ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ x +yø y èy + xy x + xy ø èx - xy ỉ x2 ỉ xy - y y2 x - xy x ữ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ A =ỗ : + ữỗ ữ: ç ÷è ÷y ç çx ( x + y) ( x - y) x ( x - y) ( x + y) ø èxy ( x + y) xy ( x + y) ø = x - xy + y x - xy + y x x ( x - y) ( x + y) x x - y : : = : = xy ( x + y) x ( x - y) ( x + y) y xy ( x + y) y x ĐK: xy ¹ 0, x ¹ ±y - y >0 Û x >0 x b) A > Û 1 12.7 Từ x + = Û x + + = Û x x ổ 1ử ỗ x+ ữ = ị x + = (vì x > ) ÷ ç ÷ ç è xø x ỉ 1ư ỉ2 1 3 ữ ỗ x+ ÷ x + = 3.7 Û x + + x + = 21 Þ x + + = 21 ữ ữ Ta cú ỗ ỗ ỗ ữố ữ ỗ ỗ ố xứ x ứ x x x3 Þ A = 18 ỉ2 ỉ3 1 ỗ x + 2ữ x + 3ữ = 7.18 Û x + + x + = 126 Þ x + + = 126 ữ ữ Ta cú: ỗ ỗ ỗ ữ ữ ç ç è x øè x ø x x x Þ B = 123 12.8 a) Xét k + = ( k + 2) - k = ( k + - 2k )( k + 2k + 2) 2 é( k +1) +1ù =é (ëk - 1) +1ù ê ú ú ûê ë û Áp dụng kết với k = 1,3,5, ,19 Ta có: ( +1)( +1)( +1)( +1)( +1)(10 +1) (16 A= ( +1)( +1)( +1)( +1)(10 +1)(12 +1) (18 2 = 2 2 2 2 2 +1)( 182 +1) +1)( 202 +1) 1 = 20 +1 401 b) Tương tự câu a, áp dụng công thức: éỉ ư2 ù ỉ 1ư ộ 1ự ỳ ờỗk + ữ ỳ ữ ỗ k + = ờỗk - ữ ữ ỗ ữ + ỳờố ữ+ ỳ ỗ 2ứ ỗ 2ứ ố ê ú ú ë ûê ë û Ta kết B = 1241 12.9 Với ab = 1, a + b ¹ , ta có: P= = a3 + b3 ( a + b) ( ab) + ( a + b) ( ab) a + b3 3( a2 + b ) ( a + b) ( a + b) (a = (a = (a = = 3( a2 + b2 ) (a + ( a + b) ( ab) = a2 + b2 - ( a + b) + b2 - 1)( a2 + b2 + 2) + 3( a + b ) + + b2 ) + ( a2 + b2 ) + ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) ( a + b) + + b - 1) ( a + b) + 3( a + b ) + ( a + b) + + b + ab) ( a + b) 4 (a = + b + 2) ( a + b) é( a + b) ù ê ú û =1 =ë ( a + b) 2 + 3( a + b ) ( a + b) + ( a + b) Vậy P = , với ab = 1, a + b ¹ 2 ( b + c ) - a ( b + c - a) ( b + c + a ) 12.10 Xét x +1 = b + 2bc + c - a = = 2bc bc 2bc b + bc + c - b2 + 2bc - c 4bc = Xét y +1 = ( b + c - a) ( b + c + a ) ( b + c - a) ( b + c + a) Vậy P = xy + x + y = ( x +1) ( y +1) - = - = ỉ1 1 1 12.11 Ta cú: ỗ + + ữ = 2+ 2+ ữ ỗ ữ ỗ ốa b c ứ a b c (1) ỉ 1 1ư 1 2 ỗ + + ữ = 2+ 2+ 2+ + + ữ ỗ ữ ỗ ốa b c ø a b c ab bc ca = 1 ( a + b + c) + + + a b2 c abc Từ (1) (2) Þ (2) ( a + b + c) = Þ a +b +c = abc Ta có: a3 + b3 + c3 = ( a + b) - 3ab ( a + b) + c = ( a + b + c ) - 3abc ( a + b + c ) - 3ab ( - c ) = 3abc M 3 12.12 a) Xét - k + 6k - ( k - 1) ( k + 7) = = k ( k + 6) k ( k + 6) k ( k + 6) thay k = 6;7;8; ; n ta được: B= = 5.13 6.14 7.15 ( n - 1) ( n + 7) 5.6.7 ( n - 1) 13.14.15 ( n + 7) = 6.12 7.13 8.14 n ( n + 6) 6.7.8 n 12.13.14 ( n + 6) ( n + 7) 12n 22 k + 4k + 22 ( k + 2) = = b) Xét + k ( k + 4) k ( k + 4) k ( k + 4) thay k = 1;2;3; ; n ta được: 3.4.( n + 2) ( n +1) ( n + 2) 32 42 52 ( n + 2) C= = = 1.5 2.6 3.7 n ( n + 4) 1.2.( n + 4) ( n + 3) ( n + 4)