Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ

Với mong muốn giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi sắp tới. TaiLieu.VN xin gửi đến các bạn ‘Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán lớp 7 năm 2022-2023 có đáp án - Phòng GD&ĐT Tứ Kỳ’. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kì thi.

ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 MƠN: TỐN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 cầu, 01 trang) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ HỘI ĐỒNG THI OLYMPIC Câu (2,0 điểm) 1) Thực phép tính   191 33   11  1011  a)  − +  :  + +     191 382  17 34   1011 2022  25  25  2023  112 − 72 − : −   2024  1 1 c)  − 1  − 1  − 1  − 1  − 1 2     99   100  b) 2) Tính giá trị biểu thức A = ( x − y + z + 25 ) biết: x = y = z − x − y x + y = z − 19 2023 Câu (2,0 điểm) 1) Tìm x , biết 2  a) + :  − x  = 5 3  b) 14 15 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = x+1 30 32 2 100 + x+ + x+ + + x + = 102 x 101 101 101 101 x y z 2) Cho số thực x, y,z thỏa mãn: = = 2021 2022 2023 Chứng minh: ( x − z ) = ( x − y ) ( y − z ) c) x + Câu (2,0 điểm) a) Cho a, b số nguyên dương, chứng minh biểu thức ab ( a + )( b + ) chia hết cho b) Tìm cặp số tự nhiên ( x; y ) y chữ số, biết rằng: + + + ( x − 1)= yyy − x Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A ( AB > BC ) Gọi F trung điểm AC , qua F kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt đường thẳng BC M Trên tia đối tia AM lấy điểm N cho AN = BM  a) Chứng minh:  AMC = BAC b) Chứng minh: AM = CN c) Lấy điểm D cạnh AC , điểm E cạnh AB cho AD = AE Trên tia BM lấy I cho BI = DE Chứng minh: 𝐸𝐸𝐸𝐸 // 𝐷𝐷𝐷𝐷 BD > BC + DE Câu (1,0 điểm) 2023 Chứng minh giá trị biểu Cho số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = thức sau số nguyên: A = a b c + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b Hết (Chú ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay làm bài.) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 -2023 Mơn: Tốn – Lớp Câu ý Nội dung Điểm 1) Thực phép tính   191 33   11  1011  a)  − +  :  + +     191 382  17 34   1011 2022  25  b) 25  2023  − 112 − 72 − :   2024  1 1 c)  − 1  − 1  − 1  − 1  − 1 2     99   100    191 33   11  1011  − +  :  + +     191 382  17 34   1011 2022  25  a)    191 33   14 11  1011  =  382 − 382  17 + 34  :  2022 + 2022  25 +        0,25  191 33   25 1011  =  382 17 + 34  :  2022 25 +   33    =  34 + 34  :  +  0,25 = 1: = 25  2023  b) 11 − 72 − : −   2024  = 121 − 72 − : − = 49 − − 2 3 27 = − − 1= − = 5 1 1   c)  − 1  − 1  − 1  − 1  − 1 2 2     100   101  Câu 2,0 điểm 1) Do tích có 100 thừa số âm nên tích mang dấu dương        − 1  − 1  − 1  − 1  − 1  2 2     100   101  1.3 2.4 3.5 100.102 = ⋅ ⋅ ⋅ 1012 1.3.2.4 100.102 = 2 2 1012 102 51 1.2.3.4 100 3.4.5 102 = = = 101 2.3.4 101 2.3.4 101 101 2) Tìm x, y, z biết: x = y = z − x − y x + y = z − 19 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta có: 3x = y = z − 3x − y 3x y z − 3x − y 3x + y + z − 3x − y z = = = = 1 1+1+1 3x y z ⇒ = = 1 x y z ⇒ = = 20 15 36 Lại có: x + y = z − 19 ⇒ x + y − z =−19 ⇒ 0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z −19 2x + y − z = = = = = −1 20 15 36 2.20 + 15 − 36 19 Suy ra: x = −20; y = −15; z = −36 Vậy A = ( −20 + 30 − 36 + 25) 2023 0,25 = −1 1) Tìm x , biết 2  a) + :  − x  = 5 3  2 14 15 b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = x+1 30 32 2 100 + x+ + x+ + + x + = 102 x 101 101 101 101 2 a) + :  − x  = 5 3  c) x + Câu 2,0 điểm 2  : − x = − 3  0,25 2  −1 : − x = 3  10 1) 2 −1 − x =: 10 − x =−4 x= +4 14 x= 14 Vậy x = 3 14 15 b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = x+1 30 32 2 14 15 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = x+1 2.2 2.3 2.4 2.15 2.16 1.2.3 14.15 ⋅ = 15 x+1 2.3.4 15.16 1 = x+1 15 16 0,25 0,25 1 = x+1 19 2 2x +1 = 19 x = 18 x=9 Vậy x = c) x + 0,25 100 + x+ + x+ + + x + = 102 x 101 101 101 101 0,25 Điều kiện: 102 x ≥ ⇒ x ≥ 100 +x+ +x+ + + x + = 102 x 101 101 101 101 100.101 ⇔ (100 x − 102 x ) + = 101 ⇔ −2 x + 50 =0 ⇔ −2 x = −50 ⇔x= 25 (TMĐK) Vậy x = 25 x y z Cho số thực x, y,z thỏa mãn: = = 2021 2022 2023 Với x ≥ ta có: x + 0,25 Chứng minh rằng: ( x − z ) = ( x − y ) ( y − z ) x y z = 2021 2022 2023 x−z x− y y−z ⇒ = = 2021 − 2023 2021 − 2022 2022 − 2023 x−z x− y y−z ⇒ = = −2 −1 −1 Ta có: = 2) 0,25  x−z  x− y y−z ⇒  =    −2   −1  −1 ( x − z) ⇒ ( −2 ) ( x − y) y − z = ( −1) −1 ⇒ ( x − z) = 8( x − y) 0,25 ( y − z) Vậy ( x − z ) = ( x − y ) ( y − z ) a) Cho a, b số nguyên dương chứng minh biểu thức ab ( a + )( b + ) chia hết cho Câu 2,0 điểm Nếu a a ( a + ) Nếu a / a : dư nên a + hay a ( a + ) 1) Suy a ( a + ) với số nguyên dương a Tương tự b ( b + ) với số nguyên dương b Suy ab ( a + )( b + ) chia hết cho 0,5 0,25 0,25 b) Tìm số cặp số tự nhiên ( x; y ) , y chữ số biết: + + + + + ( x − 1)= yyy − x Ta có : + + + + + ( x − 1)= yyy − x + + + + + ( x − 1) + x = yyy x( x + 1) = yyy y= 111 y.3.37 0,25 Mà: + + + + + x = ⇒ x( x + 1) = y.3.37 ⇒ x( x += 1) 2.3.37 y 0,25 ⇒ x( x + 1) chia hết cho 37 ⇒ x x + chia hết cho 37 ( ( x, x + 1) = 1) (1) 2) Ta có: 𝑥𝑥(𝑥𝑥+1) 45  (2) = �����   𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 ≤  999 ⇒ 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) ≤ 1998 ⇒ 𝑥𝑥 < 0,25 Từ (1) (2) suy x = 37 𝑥𝑥  + = 37  +) Với x = 37 ����� 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = 37.38 +) Với x + =37 thì= yyy = 703  (khơng thỏa mãn) 36.37 = 666 (thỏa mãn) 0,25 Vậy ( x; y ) = ( 36;6 ) N Câu 3,0 điểm A E 0,25 D F M a) I B Chứng minh ∆MAC cân M ⇒ AMC =180° −  ACB (1)  =180° −  ACB (2) Lại có: ∆ABC cân A ⇒ BAC  Từ (1) (2) suy  AMC = BAC � = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 � (kề bù với hai góc nhau) 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Xét ∆BMA ∆ANC có: C 0,5 0,5 0,5 0,5 BM = AN ( GT ) ; b) AB = AC ( GT ) ;   (chứng minh trên) ABM = CAN ∆ANC ( c.g c ) Suy ∆BMA = ⇒ MA = NC Vì AD = AE nên tam giác ADE cân A DC = BE Ta có tam giác AED ABC cân A nên  1800 − BA C  AE = D  AB = C 0,25 Suy DE //BC Xét tam giác BIE EDB có: BI = DE  = BED  (do DE //BC ) EBI 0,25 BE : cạnh chung ∆EDB ( c.g c ) ⇒ EI //DB Suy ∆BIE = c) Xét ∆BDE ∆CED có: DC = BE ED cạnh chung  = CDE  BED ∆CDE ( c.g c ) ⇒ BD = CE (1) Suy ∆BED = 0,25 ∆EDB ⇒ IE = DB ( ) Lại có: ∆BIE = = IE = BD Từ (1) (2) suy CE Áp dụng bất đẳng thức tam giác tam giác EIC ta có: EI + EC > IC =IB + BC =DE + BC DE + BC BC + DE Hay BD > DE + BC ⇒ BD > Vậy BD > ⋅ 2 0,25 2023 Chứng Cho số nguyên dương a; b; c thỏa mãn a + b + c = minh giá trị biểu thức sau số nguyên: Câu 1,0 điểm A= a b c + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b 2023 − c = a + b  Theo ta có a + b + c = 2023 ⇒ 2023 − a = b + c 2023 − b = a + c  0,25 A= a b c a b c + + = + + 2023 − c 2023 − a 2023 − b a + b b + c a + c Vì a,b,c số nguyên dương nên a b c a b c a+b+c + + > + + = = a+b b+c a+c a+b+c b+c+a a+c+b a+b+c a a a+m Chứng minh: < ⇒ < b b b+m a b c Ta có < nên ; ; a+b b+c a+c ( a + b + c ) a b c a+c b+a c+b + + < + + = = a+b b+c a+c a+b+c b+c+a a+c+b a+b+c Vì < A < nên A số nguyên *Lưu ý: Học sinh làm cách khác yêu cầu cho điểm tối đa 0,25 0,25 0,25